往期復變函數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數，則u(x,y)滿足以下哪一個條件？

A.?u/?x=?v/?y

B.?u/?x=-?v/?y

C.?u/?x+?v/?y=0

D.?u/?x-?v/?y=0

2.復數z=1+i對應的模是多少？

A.√2

B.1

C.0

D.2

3.設z=x+iy為復數，下列哪一個函數是z的共軛函數？

A.z?=x-iy

B.z?=y-ix

C.z?=x+iy

D.z?=y+ix

4.若復數z的輻角為α，則z可以表示為下列哪一個形式？

A.z=|z|e^(iα)

B.z=|z|cosα+isinα

C.z=|z|sinα-icosα

D.z=|z|sinα+icosα

5.設f(z)=z^2，z=re^(iθ)，則f(z)在z=0處的泰勒級數展開式的系數為多少？

A.0

B.1

C.2

D.r

6.設f(z)=e^(z^2)，則f(z)的解析域是下列哪一個？

A.實數集

B.平面

C.半平面

D.單位圓

7.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0處解析，則下列哪一個等式成立？

A.?u/?x=?v/?y

B.?u/?x=-?v/?y

C.?u/?x+?v/?y=0

D.?u/?x-?v/?y=0

8.設z=re^(iθ)，則下列哪一個函數是z的幅角主值？

A.θ

B.π+θ

C.2π-θ

D.2π+θ

9.若f(z)=z/(1-z)，則f(z)在z=1處的解析性是什么？

A.內解析

B.外解析

C.無解析

D.不確定

10.設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0處解析，則f(z)的拉普拉斯變換是下列哪一個？

A.L{u(x,y)}+iL{v(x,y)}

B.L{u(x,y)}-iL{v(x,y)}

C.L{u(x,y)+v(x,y)}

D.L{u(x,y)-v(x,y)}

二、填空題（每題2分，共20分）

1.復數z=2+3i的模是_________。

2.設z=1+i，則z的輻角是_________。

3.復數z=3-4i的共軛函數是_________。

4.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數，則u(x,y)滿足_________。

5.設z=re^(iθ)，則z的幅角主值是_________。

6.復數z=2i的泰勒級數展開式是_________。

7.設f(z)=z/(1-z)，則f(z)在z=1處的解析性是_________。

8.若f(z)=e^(z^2)，則f(z)的解析域是_________。

9.設f(z)=z^2，則f(z)在z=0處的泰勒級數展開式的系數是_________。

10.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0處解析，則f(z)的拉普拉斯變換是_________。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.設z=2+3i，求z的模和輻角。

2.設f(z)=z^2，求f(z)在z=1處的泰勒級數展開式。

3.設f(z)=z/(1-z)，求f(z)在z=1處的解析性。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數，則f(z)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都滿足拉普拉斯方程。

2.證明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數，則f(z)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)的混合偏導數相等，即?u/?x=?v/?y。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.設f(z)=e^(z^2)，求f(z)在z=0處的泰勒級數展開式的前三項。

2.設f(z)=z/(1-z)，求f(z)在z=1處的反函數。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.設f(z)=z^2，求f(z)在z=1處的留數。

2.設f(z)=e^(z^2)-1，求f(z)在z=0處的解析性。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.A

解析思路：解析函數的實部u(x,y)和虛部v(x,y)滿足柯西-黎曼方程，即?u/?x=?v/?y。

2.A

解析思路：復數z的模等于其實部和虛部的平方和的平方根。

3.A

解析思路：復數z的共軛函數是將z的虛部取相反數。

4.A

解析思路：復數z的輻角是其與實軸的夾角，輻角主值在[-π,π]區間內。

5.B

解析思路：復數z的泰勒級數展開式的系數是z的n次冪的導數在z=0處的值除以n!。

6.B

解析思路：f(z)=e^(z^2)在整個復平面上都是解析的。

7.A

解析思路：解析函數的實部u(x,y)和虛部v(x,y)滿足柯西-黎曼方程。

8.C

解析思路：復數z的幅角主值是其輻角在[-π,π]區間內的值。

9.B

解析思路：f(z)在z=1處有奇點，但在z=1的右側是解析的。

10.B

解析思路：復數函數的拉普拉斯變換是對其實部和虛部分別進行拉普拉斯變換。

二、填空題答案及解析思路：

1.5

解析思路：復數z的模等于其實部和虛部的平方和的平方根。

2.π/4

解析思路：復數z的輻角是其與實軸的夾角，對于z=1+i，其輻角是π/4。

3.3+4i

解析思路：復數z的共軛函數是將z的虛部取相反數。

4.?u/?x=?v/?y

解析思路：解析函數的實部u(x,y)和虛部v(x,y)滿足柯西-黎曼方程。

5.θ

解析思路：復數z的幅角主值是其輻角在[-π,π]區間內的值。

6.1+2iz-2z^2+...

解析思路：復數z的泰勒級數展開式可以通過對z進行多項式展開得到。

7.外解析

解析思路：f(z)在z=1處有奇點，但在z=1的右側是解析的。

8.平面

解析思路：f(z)=e^(z^2)在整個復平面上都是解析的。

9.1

解析思路：復數z的泰勒級數展開式的系數是z的n次冪的導數在z=0處的值除以n!。

10.L{u(x,y)}-iL{v(x,y)}

解析思路：復數函數的拉普拉斯變換是對其實部和虛部分別進行拉普拉斯變換。

三、計算題答案及解析思路：

1.z的模=√(2^2+3^2)=√13，z的輻角=arctan(3/2)。

解析思路：復數的模是其實部和虛部的平方和的平方根，輻角是反正切函數的值。

2.f(z)=z^2在z=1處的泰勒級數展開式的前三項為1+2z+z^2。

解析思路：泰勒級數展開式可以通過對z進行多項式展開得到。

3.f(z)在z=1處的解析性是外解析。

解析思路：f(z)在z=1處有奇點，但在z=1的右側是解析的。

四、證明題答案及解析思路：

1.證明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數，則f(z)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都滿足拉普拉斯方程。

解析思路：利用柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程的定義進行證明。

2.證明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數，則f(z)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)的混合偏導數相等，即?u/?x=?v/?y。

解析思路：利用柯西-黎曼方程和偏導數的定義進行證明。

五、應用題答案及解析思路：

1.f(z)=e^(z^2)在z=0處的泰勒級數展開式的前三項為1+0z+0z^2。

解析思路：泰勒級數展開式可以通過對z進行多項式展開得到。

2.f(z)=z/(1-z)在z=1處的反函數是f^(-1)(z)=