^rfr-rt-

第八早立體兒何

第一節空間幾何體

考試要求：1.認識柱、錐、臺及簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描

述現實生活中簡單物體的結構.

2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓錐、棱柱及其簡易組合）的

直觀圖.

3.知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實

際問題.

必備知識-回顧教材重“四基”

一、教材概念?結論-性質重現

1.多面體的結構特征

名稱棱柱棱錐棱臺

A,E^yC,D'

圖形S

ARARAR

底面互相平行且全等多邊形互相平行

相交于二點但延長線交于二

側棱平行且相等

不一定相等A

側面形狀平行四邊形三角形梯形

2.旋轉體的結構特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

圖形4a

相互平行且延長線交于

母線相交于一點

相等并垂直—占X

于底面

全等的等腰全等的等腰

軸截面全等的矩形圓

三角形梯形

側面

矩形扇形扇環

展開圖X

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規則是：

（1）“斜”：在直觀圖中，V軸、V,軸的夾角為45?；?35°.

（2）“二測"：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于

軸的線，在直觀圖中長度為原來的二主.

微提醒■■■

畫直觀圖要注意平行，還要注意長度及角度兩個要素.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺

側面口工八2"|；

展開圖甚凝y

側面積SK1臺儲=7tS+

SM^?]=2nrlSMMtM=7tr/

公式Z21/

5.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S裂面積=S何+2S底V=S_^_h

錐體（棱錐和圓錐）S衣曲積=S刨+S底V=^S?-h

Y（SE+S下+

S表面積=S忸+?3

臺體（棱臺和圓臺）

Sr+S下Js上s下）A

球5=4兀-2V=]R3

微提醒?■??

(1)求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時，要結合它們的結構特點與平面幾何知識

來解決.

(2)常常利用一些幾何體的展開圖解決表面上的最短距離問題.

(3)求幾何體的體積時，要注意利用分割、補形與等體積法.

6.常用結論

幾個與球有關的切、接常用結論：

⑴正方體的樓長為〃，球的半徑為R.

①若球為正方體的外接球，則2R=K。；

②若球為正方體的內切球，則27?=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=&〃.

(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為小b,c,外接球的半徑為R,則2A=

y/a24-b24-c2.

(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1.

微提醒?■，

解決與球“外接”問題的關鍵：(1)確定球心.(2)構造正(長)方體等特殊幾何體.

二、基本技能?思想?活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“，錯的畫“義”.

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(X)

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(X)

(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(V)

(4)圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是

271s.(X)

2.如圖，長方體48。。-4夕。。被截去一部分，其中則剩下的幾何

體是()

A.棱臺B.四棱柱

C.五棱柱D.簡單組合體

C解析：由幾何體的結構特征知，軻下的幾何體為五棱柱.

3.己知圓錐的表面積等于1271cm2,其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑

為（）

A.IcmB.2cm

3

C.3cmD.-cm

2

B解析：S&=兀產+?！?兀戶+"?2r=3兀3=12兀，所以戶=4,所以r=2cm.

4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12兀B.等

C.8兀D.4兀

A解析：由題意可知正方體的枝長為2,其體對角線為2/5即為球的直徑，所

以球的表面積為4兀R2=（2R），=12兀.故選A.

5.在直觀圖（如圖所示）中，四邊形。/，方。為菱形且邊長為25］，則在平面直角

坐標系xO.v中，四邊形4BC。為________,面積為cnr.

矩形8解析：由斜二測畫法的規則可知，在平面直角坐標系xOy中，四邊形

44C。是一個長為4cm,寬為2cm的矩形，所以四邊形A8C。的面積為8cm

、關鍵能力-研析考點強“四翼

考點1空間幾何體的結構特征與直觀圖——基礎性

「多維訓練」

1.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（）

A.圓柱

B.圓錐

C.球

D.圓柱、圓錐、球體的組合體

C解析：截面是任意的，且都是圓面，則該幾何體為球體.

2.下列命題止確的是（）

A.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐

B.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺

C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面

D.一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺

C解析：由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知A,B錯誤,C正確.對于D,只有

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，D不正確.

3.如圖，矩形。卬夕。是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中0，H=6cm,

C'D'=2cm,則原圖形是（）

A.正方形

B.矩形

C.菱形

D.一般的平行四邊形

C解析：如圖，在原圖形04AC中，應有00=2077=2X2或=4魚（cm）,CD

=。'。'=2cm.

所以OC=JO02+C"=J（4&）2+22=6（cm）,

所以O4=OC,所以四邊形Q4BC是菱形.

4.（多選題）下列命題中正確的是（）

A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱

柱

C.存在每個面都是直角三角形的四面體

D.棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等

BC解析：A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不

一定全等：B正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底

面；C正確，如圖，正方體A8CQ-A山iGQi中的三棱錐G-A8C,四個面都是直

角三角形；D不正確，枝臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱

的延長線交于一點，但是側枝長不一定相等.

解題通法

1.解決空間幾何體的結構特征的判斷問題，其主要方法是定義法，即緊扣定義

來判斷，或列舉反例進行判斷.解答此類問題常常由于定義理解出錯，如第2題

有可能錯選A,B,D,第4題錯選A,D等.

2.解決直觀圖問題，要理解并學會運用斜二測畫法規則.

考點2空間幾何體的表面積與體積一綜合性

「典例引領」

考向1空間幾何體的表面積問題

例。?（1）（2021?新高考I卷）已知圓錐的底面半徑為加，其側面展開圖為一個半

圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2V2C.4D.4或

B解析：由題意知圓錐的底面周長為2注兀設圓錐的母線長為/,則山=2企兀，

即/=2近.故選B.

（2）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，A4i_L底面A8C,AB_LBC,AA\=AC=2,直

線AiC與側面AA\B\B所成的角為30°,則該三棱柱的側面積為（）

A

A.4+4或B.4+4V3

C.12D.8+4在

A解析：連接48因為A4J■底面A8C,則A4J_8C,義ABtBC,AAiCiAB

=A,所以8C_L平面A4B山，所以直線4C與側面44出出所成的角為NC48

=300.又44|=4。=2,所以AC=2或，所以8C=壺.又A8_L8C,則A8=企，

則該三棱柱的側面積為2&X2+2X2=4+4企.

(3)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm,母線長最短5()cm,

最長8()cm,則斜截圓柱的側面面積S=cm2.

50cm

\^40cm^/

2600九解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側面展開

圖為矩形.由題意得所求側面展開圖的面積S=1x(50+80)X(71X40)=2

600兀(cm)

解題通法

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求

表面積平面圖形面積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將

求旋轉體的

其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、

表面積

母線長與對應側面展開圖中的邊長關系

通常將所給幾何體分割成規則的柱體、錐體、臺

求不規則幾何體，先求出這些規則的柱體、錐體、臺體的表面

體的表面積積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面

積

「多維訓練」

I.一個六棱錐的體積為26，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等,

則該六棱錐的側面積為.

12解析：設正六棱錐的高為h,側面的斜高為".由題意，得gx6xg><2XV5></?

=2V3,所以〃=1,所以斜高〃=J12+(8)2=2,所以S例=6X：X2X2=12.

2.《九章算術》是我國古代數學名著，它在書中將底面為直角三角形，且側棱垂

直于底面的三棱柱稱為塹堵.己知一個塹堵的底面積為6,體積為弓的球與其各

面均相切，則該塹堵的表面積為.

36解析：設球的半徑為「，底面三角形的周長為/,由已知得,=1,所以塹堵

的高為2.則*=6,/=12,所以表面積S=12X2+6X2=36.

考向2空間幾何體的體積問題

例卬.(1)如圖所示，已知三棱柱A8C-4BG的所有棱長均為1,且44_L底面

ABC,則三棱錐a-48Q的體積為()

A解析：易知三棱錐的體積等于三棱錐A-BiBCi的體積，又三棱錐

A-BBG的高為隹，底面積為匕故其體積為三乂三乂叵=恒.

2232212

(2)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別

為4和5,則該圓臺的體積為.

61兀解析：圓臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上，

如圖，設球的球心為O,圓臺上底面的圓心為O，,

則圓臺的高"Q2_o，Q2=2-42=3.

據此可得圓臺的體積V=^X3X(52+5X4+42)=61H.

解題通法

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法對于規則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解

把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；

割補法或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補

成熟悉的幾何體，便于計算其體積

一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的.如果一個幾何

等體體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求

積法解.通過選擇合適的底面來求幾何體體積，主要用來解決有關

錐體的體積，特別是三棱錐的體積

多維訓練

1.(2022?全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為

2兀，側面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若上=2,則詈=()

§乙V乙

A.75

C.yflO

C解析：如圖，

甲、乙兩個圓錐的側面展開圖剛好拼成一個圓，設圓的半徑(即圓錐母線)為3,

甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為內，7-2,高分別為歷，〃2,則2兀門=4兀，27177=

y121-

2n，解得力=2,m=l,由勾股定理可得加=追，加=2/，所以3=鳥」=履.

v乙尹加2

2.如圖，已知體積為V的三棱柱ABCAiBG,尸是棱38上除點囪，8外的任

意一點，則四棱錐P-A4GC的體積為

y解析：如圖，把三棱柱A8C-4BG補成平行六面體A018C1-AO8C.設點

P到平面A4GC的距離為h,則“一"心。=衿8“?仁泌/QC-DDaB=/

2匕BC.4iBiCi=^~?

考點3與球有關的切、接問題——綜合性

「典例引領」

考向1“相切”問題

例g“已知正四面體P-/WC的表面積為Si,此四面體的內切球的表面積為S2,則

&=

Sz------------------'

—解析：設正四面體的枝長為小則正四面體的表面積為Si=4X恒義/=8序，

TT4

其內切球半徑一為正四面沐高的二即r="當=當，因此內切球表面積為S2

44312

=4兀/=手，則＞等=號

同源異考/

本例中若把“正四面體”改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球的體積

為32島,內切球的體積為學.

解題通法

處理與球有關內切問題的策略

解答此類問題時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內切的是多面體，則

作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作，利用體積分割法求內切球半徑.

考向2“相接”問題

例口“已知直三棱柱A8C-A山Ci的6個頂點都在球。的球面上，若A8=3,AC

=4,AB1AC,/L4i=12,則球0的半徑為（）

A.孚B.2同

C.D.3710

C解析：如圖所示，由球心作平面A8C的垂線，則垂足為BC的中點M.

又AM=；8C=*OM=1A4i=6,所以球O的半徑R=OA=J（|）+62=y.

解題通法

處理與球有關外援問題的策略

1.構造正（長）方體等特殊幾何體轉化為特殊幾何體的外接球問題.

2.空間問題平面化，把平面問題轉化到直角三角形中，作出適當瓶面（過球心、

接點等）.

3.利用球與截面圓心的連線垂直于微面，確定球心所在的直線.

「多維訓練」

1.（2022?新高考II卷）已知正三樓臺的高為1,上、下底面邊長分別為36和4g,

其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.128兀

C.144兀D.192兀

A解析：由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為7^|不=3,下底面所

2sin60

在平面截球所得圓的半徑為上一=4,如圖，設球的半徑為R,則軸截面中由幾

2sin600

何知識可得、R2一中一\人2—42=1,解得"=5,

該球的表面積為4兀/?2=4兀乂25=100兀.

o\

2.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為

爭解析：方法一：如圖，在圓錐的軸裁面A8C中，COJ_AA,BD=

1,3c=3,圓。內切于△A8C,E為切點,連接0區則OEJ_BC.在A

RSBC。中，CD=7BC2一＜。2=2或.易知BE=BD=1,則CE=2.設回貨

A7）8

圓錐的內切球半徑為R,則OC=2或一R在RMCOE中，OC?一。產

=CE,即（2立一/?）2—/?2=4,所以/?=—,圓錐內半徑最大的球的體積為eTTR3

23

方法二：如圖，記圓錐的軸裁,而為△ABC,其中4c=8C=3,AB=2,CD工AB,

在RtABCD中，CD=7B。-BD2=20則S△八8c=2企.設△ABC的內切圓0的

半徑為R則/?=出必匹=立，所以圓錐內半徑最大的球的體積為與迎兀

3+3+2233

課時質量評價（二十二）

A組全考點鞏固練

1.（2022?濰坊一模）以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉一周，所得到的

幾何體的體積為（）

A.2兀B.871

B解析：以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉一周，所得到的幾何體是

底面半徑為2,高為2的圓柱體，該圓柱體的體積為丫=兀義22乂2=8兀

2.如圖，一平面圖形的直觀圖是一個等腰梯形。48C,且該梯形的面積為企，

則原圖形的面積為（）

A.2B.V2

c.2V2D.4

D解析：由斜二測畫法知原圖形仍為梯形，上、下兩底長度不變，高為直觀圖

中梯形高的套倍，故原圖形的面積為企x親=4.

3.棱長為a的正四面體的表面積是（）

A.9B.濟

C.—crD.V3?2

4

D解析：棱長為a的正四面體的四個面都是正三角杉，正四面體的表面積是

4X立標:四層

4

4.我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”日：置積尺數，以十六乘之，

九而一，所得開立方除之，即立圓徑.意思是：球的體積V乘16,除以9,再開

立方，即為球的直徑d,由比我們可以推測當時球的表面積S的計算公式為（）

A.B.S=*

C.S=-cPD.S=-^

214

A解析：因為，所以=所以亢，所以s=47t（；）2=

.故選A.

848

5.（多選題）如圖所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,則（）

A.該圓錐的母線長為5

B.該圓錐的體積為12兀

C.該圓錐的表面積為15n

D.三棱錐S-A8c體積的最大值為12

ABD解析：該圓錐的母線長為V32+42=5,A正確；該圓錐的體積為

ix7rX32X4=12n,B正確；該圓錐的表面積為兀X3X[3+5）=24兀，C錯誤；當

OBIAC^,AABC的面積最大，此時￡UBC=[X6X3=9,三枝錐S-ABC體積

的最大值為乙X9X4=12,D正確.故選ABD.

6.一個圓錐的側面展開匿是半徑為2,圓心角為]的扇形，則該圓錐的表面積為

\解析：設圓錐的底面半徑為乙則有2"=EX2,解得/所以圓錐的表面

422

積為7rX2x14-7cxQ）2=y.

7.已知體積為8的正方體內接于球。，求球。的表面積.

解：由題意可知正方體的邊長是2,則球。的直徑為2百，因此半徑是次，則球

的表面積是4冗川=12兀.

B組新高考培優練

8.《算數書》是我國現存最早的系統性數學典籍，其中記載有求“困蓋”的術:

置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出了由圓錐的底

面周長L與高力，計算其體積V的近似公式丫心白爐力，用該術可求得圓周率兀的

近似值.現用該術求得兀的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐

的表面積的近似值為9,則該圓錐體積的近似值為（）

A.V3B.2V3

C.3V3D.3

A解析：圓錐的體積丫=4（上）2/?=三加￡卻?，解得必況則設所求圓錐的底

3\2irz127r36

面直徑與母線長為x（x>0）,則底面半徑為：，則5=兀0=9,解

得x=2,設高為“，則V=g償）兀/7=孑?J%2-0=導廣；次故選A.

9.張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數學家，他曾經得出圓周率的平方除

以十六等于八分之五.已知三棱錐A-BCD的每個頂點都在球O的球面上，AB±

底面8CQ,BCLCD,且A8=CO=V5,BC=2,利用張衡的結論可得球0的表

面積為（）

A.30B.I0V10

C.33D.12V10

B解析：因為BC_LCQ,所以8。=夕，又AB上底面BCD,所以球0的球心

為側枝AD的中點，從而集O的直徑為同.利用張衡的結論可得h=；,則7t=

168

.2

V10,所以球。的表面積為4n（邛）=10兀=10同.故選B.

10.（2022?全國乙卷）已知球的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點

均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.-

32

C.在D.包

32

C解析：由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大