2024年北京第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試

數(shù)學(xué)仿真模擬試卷01

一、選擇題（本大題共20題，每小題3分，共計(jì)60分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

最符合題目要求的）

1.若集合A={-3,T,2,6},8={x|x>0},則力”8=()

A.{2,6}B.{-3,-1)C.{-1,2,6)D.{-3,—1,2}

2.命題“VXGZ,x2"）”的否定是（)

A.HveZ,丁20B.玉wZ,x2<0

C.3xeZ,%2<0D.史Z,X2<0

3.下列函數(shù)圖象中，為偶函數(shù)的是（)

4.如圖，在正方體/Wco-AAGA中,直線4c與的位置關(guān)系是

B.平行C.垂直且相交D.相交

5.函數(shù)丁=尸！的定義域是（）

A.[X+oo)B.(2,+8)C.(f2)D.Y),2]

6.已知向量a=(x,3),6=(2,1),a/。，則工=()

33

A.6B.D.

22

7.某中學(xué)高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁、戊三個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地中選擇一個(gè)進(jìn)行研學(xué)，則選

擇紅色教育基地的概率是)

8.已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與380。角終邊相

同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

9.log62+logft3=()

A.0B.1C.2D.3

10.樹人中學(xué)田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員30人，女運(yùn)動(dòng)員20人，按性別進(jìn)行分層，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)

員中抽出一個(gè)容量為10的樣本，則應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

H.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.已知函數(shù)/(x)=f-2x,xq2,5],則函數(shù)的最大值為()

A.15B.10C.0D.-1

13.平面向量。=(1,一2)力=(2,間，若〃//方，則,一耳二()

A.石B.2C.V5D.76

14.“心一3”是“心一2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.設(shè)角。的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(蟲」)，貝"osa=()

22

A.；B.—C.立D.1

222

16.已知函數(shù)/3=工；:八，則函數(shù)/(/(0))=()

2—2,x>0

A.1B.2C.3D.-1

17.在一A6C中，角A8,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a也c,如果〃=l.c=G.8=300,那么角A的度數(shù)是()

A.30或60B.45,或60C.30°或90°D.45°或120'

18.某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn)，在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360,284,290,3(X),188,240,260,288,

則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為()

A.290B.295C.300D.330

19.在“8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，力，c.若a=2,b=3,c=4,則cosA=()

A.--B.5C.-D.—

42816

20.《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉脯.現(xiàn)有一個(gè)“鱉膈“，PA_L底面48C,

ACJ.BC,且PA=3,AC=BC=2,則該四面體的體積為()

2

F

c

A.1B.2C.4D.8

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）

21.己知i為虛數(shù)單位，則（l+i）（l-i）=—.

22.能說明“若心〃，則,〈卜為假命題的一組。力的值依次為"_______;〃=_______

ab

23.將4及C三組數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖，則這三組數(shù)據(jù)中，組數(shù)據(jù)的方差最小.

24.水平放置的"WC的斜二測直觀圖如圖所示，已知8，C=4,A，C=3,軸，則/包。中以下

說法正確的有________________

三、解答題（本題共4小題，共28分）

25.（7分）已知函數(shù)'=5畝（2.1+季），xeR.

（1）求出該函數(shù)的最小正周期；

（2）求出該函數(shù)取最大值時(shí)自變量x的取值范圍.

26.（7分）已知：如圖，四棱錐"-A8C。，24_1_平面人股；九四邊形AHC"是平行四邊形，E為PC中

3

則稱集合A為“閉集”.

(廳,式判斷集合呂={-1,0,1}是否為“閉集”，并說明理由；

(2)沒集合A是“閉集”，求證：若工ye4,則x+yeA；

(3)若集合M是一個(gè)“閉集”，判斷命題“若xeM,則feM”的真假，并說明理由.

5

一,選擇題（本大題共20題，每小題3分，共計(jì)60分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是最符合題目要求的）

I.若集合A={-3,-1,2,6},8={x|x>0},則418=（）

A.{2,6}B.{-3,-1}C.{-1,2,6}D.{-3,—1,2）

【答案】A

【分析】由交集的運(yùn)算得到即可.

【詳解】因?yàn)榧?={-3,-1,2,6},8={1相>0},

所以AQ8={2,6},

故選：A.

2.命題“X/xeZ,f20”的否定是（）

A.HxeZ,x2>0B.HxgZ?x2<0

C.HxeZ,x2<0D.3Lv^Z?x2<0

【答案】C

【分析】根據(jù)命題rxw何，〃（"”的否定是“HreM,力⑴”直接得出結(jié)果.

【詳解】命題“VxwZ,-NO”的否定是“HreZ,x2<0'\

故選：C.

3.下列函數(shù)圖象中，為偶函數(shù)的是（）

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，關(guān)于），軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù).

故迷：C.

4.如圖，在正方體AB8-A4GA中，直線與￡8的位置關(guān)系是（）

6

C.垂直且相交D.相交

【答案】A

【分析】由異面直線的定義判斷即可.

【詳解】體對(duì)角線4。與面對(duì)角線CB不在同一個(gè)平面內(nèi)，且不平行,

故體對(duì)角線與面對(duì)角線C}B的位置關(guān)系一定是異面.

故選：A.

5.函數(shù)y=Jx-2的定義域是()

A.[2,+co)B.(2,+co)C.(-oo,2)D.(9,2]

【答案】A

【分析】直接根據(jù)被開方數(shù)不小于零列不等式求解.

【詳解】〈J曰有意義，???“一220,即XN2,

所以函數(shù)丁=>/7^的定義域是[2,48),

故選:A.

6.已知向量。=(蒼3),。=(2,1),6工萬，則尸()

33

A.6B.-C.—6D.—

22

【答案】D

【分析】運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.

3

【詳解】二d上6，；?萬石=0，即2x+3xl=0,解得％=-不,

故選：D.

7.某中學(xué)高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)紅色教育基地和丙、丁、戊三個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地中選擇一個(gè)進(jìn)行研學(xué)，則選

擇紅色教育基地的概率是()

A.—B.—C.—D.~

6532

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式計(jì)算即得?.

【詳解】依題意，任選一個(gè)基地有5種方法，選擇紅色教育基地有2種方法，

7

所以選擇紅色教育基地的概率是I.

故選：B

8.已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與380。角終邊相

同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】A

【分析】利用終邊相同的角的集合逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榕c380。角終邊相同的角的集合為｛0尸=380。+匕360。,攵￡4,當(dāng)攵=-1時(shí)?，得到力=20。，

又teZ,所以易知BCD均不符合題意.

故選：A.

9.log62+logft3=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】log62+log63=log6（2x3）=log66=1.

故選：B.

10.樹人中學(xué)田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員30人，女運(yùn)動(dòng)員20人，按性別進(jìn)行分層，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)

員中抽出一個(gè)容量為10的樣本，則應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】用分層抽樣知識(shí)計(jì)算即可求解.

【詳解】應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為天30合xl0=6人.

故迷：C.

11.設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出即可.

【詳解】因?yàn)閦=—3+2i,

所以對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)（-3,2）,

所以位于第二象限，

8

故選:B

12.已知函數(shù)/(x)=d-2x,x€口5］,則函數(shù)的最大值為()

A.15B.10C.0D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)給定函數(shù)的單調(diào)性，求出在指定區(qū)間上的最大值作答.

【詳解】函數(shù)/(>=勘-2］在［2,5］上單調(diào)遞增,則/(0皿=7(5)=52—2x5=15,

所以函數(shù)八幻的最大值為13.

故選：A

13.平面向量〃=(1,一2),〃=(2,回，若〃//力，則()

A.3B.2C.75D.x/6

【答案】C

【分析】利用向量平行求出胴，再利用模長公式求解答案.

【詳解】因?yàn)樗詌x/〃=-2x2,解得〃?=-4,所以。一力=(-1,2),所以卜一4=6.

故迷：C.

14.“。之一3”是“。之一2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個(gè)范圍的包含關(guān)系即可得到兩個(gè)命題間的充分性和必要性的判斷.

【詳解】因{aIa>-3}*{〃|Q>-2},故%>-3”是“a之-2”的必要不充分條件.

故選B.

15.設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(立一)，貝ijcosa=()

A.；B.—C.巫D.

222

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義直接求解即可.

【詳解】設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(等,；)，所以cosa=乎.

故選：C

21一2%〉0，則函數(shù)/(，(°))=()

A.1B.2C.3D.-1

9

【答案】A

【分析】先計(jì)算出〃0）=-1,進(jìn)而求出/（/（（）））的值.

【詳解】/（0）=2°-2=-1,故/（〃0））=f（T）=（T）2=i.

故選：A

17.在.A8C中，角ARC所對(duì)應(yīng)的邊分別為如果〃=Lc=Vl8=30°,那么角A的度數(shù)是（）

A.30"或60B.45,或60C.30,或90D.45°或120

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理可求解c=：或進(jìn)而根據(jù)內(nèi)角和即可求解A.

行』r

【詳解】由正弦定理可得加食二山出？sinC跡='?

b12

由于C?0㈤，所以C=?或因此當(dāng)C=1時(shí)，4=],當(dāng)。=4時(shí)，A=S

333236

故選：c

18.某地有8個(gè)快遞收件點(diǎn),在某天接收到的快遞個(gè)數(shù)分別為360,284,290,300,188,240,260,288,

則這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為75的快遞個(gè)數(shù)為（）

A.290B.295C.300D.330

【答案】B

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?88,240,260,284,288,290,300,360,

8x75%=6,所以75%分位數(shù)為"等史=295.

故選：B

19.在A8c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c.若a=2,b=3,c=4,則cosA=（）

A.--B.5C.-D.—

42816

【答案】C

【分析】由題意結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理可得：COSAJ+C'T=9+16-4=2

2bc2x3x48

故選：C.

20.《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉脯.現(xiàn)有一個(gè)“鱉嚅“，E\_L底面A8C,

ACJ.BC,且E4=3,AC=BC=2,則該四面體的體積為（）

10

【答案】B

【分析】根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：三棱錐P-ABC的高為幺=3,

所以該四面體的體積為gx3xgx2x2=2.

故選：B.

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）

21.己知i為虛數(shù)單位，貝Ij（l+i）（l—i）=—.

【答案】2

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡可得結(jié)果.

【詳解】（l+i）（l_i）=lT2=l+l=2.

故答案為：2.

22.能說明“若〃>〃，則為假命題的一組〃，力的值依次為"_______；b=_____.

ab

【答案】1（答案不唯-）-1（答案不唯只要a>0,b<0或。>0,〃=0或。=0,匕V。均可）

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】若而>0,則由因此假命題時(shí)，只要滿足〃>0,。<0或〃>0,。=0或1=0,〃<0即

ab

可，如=,

故答案為：1;-1.（答案不唯一）

23.將三組數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖，則這三組數(shù)據(jù)中，組數(shù)據(jù)的方差最小.

12345

-o-A--o-B\AV\C

【答案】B

【分析】根據(jù)折線圖可計(jì)算得到三組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同,根據(jù)數(shù)據(jù)波動(dòng)程度可得到結(jié)論.

II

1+3+5+6+93+4+6+5+63+2+4+7+8

【詳解】A民C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為=4.8,

—5-5

8組數(shù)據(jù)相對(duì)「平均數(shù)的波動(dòng)程度最小，.??8組數(shù)據(jù)的方差最小.

故答案為：B.

24.水平放置的.ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知9C=4,A'C'=3,8'C”?軸，則”灰:中以下

說法正確的是（）

B.AC長為6

D.邊上的中線長為恒

C.8c長為8

【答案】①③④

【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，即可求解.

【詳解】因?yàn)檩S，由斜二測畫法規(guī)則知AC13C,即工8c為直角

三角形，如圖所示，

又因?yàn)?9=4,4（7=3,可得AC=3,8c=8,所以A8=6，

所以A8邊上的中線長度為理.

故選：①③④.

三、解答題（本題共4小題，共28分）

25.（7分）已知函數(shù)'=5m（215，XGR.

（1）求出該函數(shù)的最小正周期；

（2）求出該函數(shù)取最大值時(shí)自變量》的取值范圍.

【答案］（1）兀（2）｛xx=J+履MeZ

6

【分析】（1）使用最小正周期公式進(jìn)行求解即可；

⑵由2x+?=V+2E,ksZ,求出x的取值范圍即可.

62

/\

【詳解】（1）設(shè)函數(shù)y=sin2x+g,xeR的最小正周期為7,

12

則T=—=7l,

工函數(shù)y=sin(2%+JxeR的最小正周期為冗.

(2)令2.丫+四=巴+2丘，keZ,

62

解得X=￥+E,ZGZ,

6

.??函數(shù)二sin（2x+JxeR取最大值時(shí)，自變量x的取值集合為““竦+五入Z-

26.（7分）已知：如圖，四棱錐P-A8c。，/%_1平面A8CQ,四邊形A8CO是平行四邊形，E為PC中

（1）求證：PA//平面BDE；

（2）求證：BCVDE.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【分析】（1）連接AC交8。于點(diǎn)。，連接OE,證明OE〃尸A,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

（2）證明0￡：_1_平?面A3C。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得OE_LAC,再證明8c上平面8DE,杈據(jù)線面垂直

的性質(zhì)即可得證.

【詳解】（1）連接AC交8。于點(diǎn)。，連接0E,

因?yàn)樗倪呅蜛8CD是平行四邊形，所以點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以O(shè)E//PA、

又PAN平面BOE,OEu平面BDE,

所以/W/平面8DE；

（2）因?yàn)槭珹_L平面ABC。，OE//PA,

所以。E_L平面ABC。，

又BCu平面ABC。，所以QE_LBC,

因?yàn)镹。力=90。，所以BC上BD,

又BDcOE=O,BD,OEu平面BDE，

所以8c工平面BDE，

又因DEu平面3DE，所以。C_LO￡.

13

27.(7分)已知函數(shù)/(x)=%+￡，月/(1)=5.

⑴求〃?；

(2)判斷并證明/(x)的奇偶性；

⑶判斷函數(shù).“X)在(2,+8)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？請證明.

【答案】(1)m=4

(2)"可是奇函數(shù)，證明見解析

(3)“刈在(2,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，將x=l代入函數(shù)解析式，求解即可；

(2)利用奇函數(shù)的