第8講正態分布1/28考綱要求考點分布考情風向標利用實際問題直方圖，了解正態分布曲線特點及曲線所表示意義年新課標考查正態分布及相互獨立事件；年新課標Ⅰ考查正態分布及數學期望；年湖北考查正態分布；年山東考查正態分布；年湖南考查正態分布；年新課標Ⅰ第19題考查正態分布1.利用正態分布密度曲線對稱性研究相關概率問題，包括知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間面積為1.2.利用3σ標準求概率問題時，要注意把給出區間或范圍與正態變量μ，σ進行對比聯絡，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中哪一個2/281.正態分布(1)我們稱f(x)＝(x∈R)[其中μ，σ(σ>0)為參數]圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.3/28(2)一般地，如果對于任何實數a<b，隨機變量X滿足完全由參數μ和σ確定，所以正態分布常記作N(μ，σ2).假如隨機變量X服從正態分布，記作X～N(μ，σ2).μ，σ分別表示總體平均數(期望值)與標準差.(3)當μ＝0，σ＝1時正態分布叫做標準正態分布，記作X～N(0，1).4/282.正態曲線特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交.(2)曲線是單峰，關于直線________對稱.(4)曲線與x軸之間面積為______.

(5)當σ一定時，曲線隨μ改變沿x軸平移. (6)當μ一定時，曲線形狀由σ確定：σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；σ越_______，曲線越“高瘦”，表示總體分布越集中.x＝μ1小5/283.3σ標準(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827.(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.6/281.正態曲線下、橫軸上，從均值到＋∞面積為()A.0.95B.0.5C.0.975D.不能確定(與標準差大小相關)2.(年廣東珠海二模)已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，62)，且P(ξ≤4－a)＝P(ξ≥2＋3a)，則a＝()AB7/283.已知隨機變量ξ服從正態分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝()CA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9774.已知隨機變量X服從正態分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，則實數a值為()AA.1B.C.2D.48/28考點1正態分布相關計算

例1：(1)(年山東)已知某批零件長度誤差(單位：毫米)服從正態分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3，6)內概率為()

(附：若隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)A.4.56%C.27.18%B.13.59%D.31.74%9/28解析：用ξ表示零件長度，依據正態分布性質得0.1359.故選B.答案：B10/28(2)已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，則P(0<X<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

解析：由P(X<4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，如圖D83，由題意知正態曲線對稱軸為直線x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2.∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6.∴P(0<X<2)＝12P(0<X<4)＝0.3.

圖D83答案：C11/28(3)(年山東威海模擬)已知隨機變量X

服從正態分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X＞4)＝()A.0.1588C.0.1586B.0.15865D.0.1585

解析：∵隨機變量X～N(3，1)，∴正態曲線關于x＝3對稱.∴P(X≥3)＝0.5.又

P(2≤X≤4)＝0.6827，∴P(X＞4)＝0.5－答案：B12/28

(4)(年河南洛陽三模)已知隨機變量Z～N(1，1)，其正態分布密度曲線如圖9-8-1，若向正方形OABC中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分點個數預計值為()

[附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.9973]

圖9-8-1A.6038B.6586.5C.7028D.753913/280.34135＝0.65865，則落入陰影部分點個數預計值為10000×0.65865＝6586.5.答案：B14/28

(5)(年貴州七校聯考)在我校

屆高三11月月考中理科數學成績ξ～N(90，σ2)(σ>0)，統計結果顯示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假設我校參加此次考試有780人，那么試預計此次考試中，我校成績高于120分有________人.

解析：因為成績ξ～N(90，σ2)，所以其正態曲線關于直線x＝90對稱.又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由對稱性知成績在120分以分有0.1×780＝78(人).答案：7815/28

(6)假設天天從甲地去乙地旅客人數X是服從正態分布N(800，502)隨機變量，記一天中從甲地去乙地旅客人數800＜X≤900概率為p0，則p0＝__________.答案：0.47725

【規律方法】關于正態曲線在某個區間內取值概率求法： ①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)值；

②充分利用正態曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1.16/28考點2正態分布密度函數性質)兩個正態分布密度曲線如圖9-8-2.以下結論中正確是(

圖9-8-2A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對任意正數t，P(X≥t)≥P(Y≥t)17/28答案：C18/28度函數圖象如圖9-8-3，則有(

)圖9-8-3

A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ219/28解析：因為正態曲線圖象關于直線x＝μ對稱，由圖知μ1<μ2.

又σ2

越大，即方差越大，說明樣本數據越發散，圖象越矮胖；反之，σ2

越小，即方差越小，說明樣本數據越集中，圖象越瘦高.答案：A20/28解析：由題意可得P(2≤ξ<4)＝(3)(年江西南昌二模)已知隨機變量ξ

服從正態分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)＝()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.71－0.15×2 2＝0.35.故選B.答案：B【規律方法】正態曲線性質.①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰，它關于直線x＝μ對稱.21/28

④曲線與x軸之間面積為1.

⑤當σ一定時，曲線伴隨μ改變而沿x軸平移，如圖9-8-4(1).(1)(2)

圖9-8-4

⑥當μ一定時，曲線形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中.如圖9-8-4(2).22/28易錯、易混、易漏⊙與正態分布結合綜合問題

例題：(年新課標Ⅰ)為了監控某種零件一條生產線生產過程，檢驗員天天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據長久生產經驗，能夠認為這條生產線正常狀態下生產零件尺寸服從正態分布N(μ，σ2). (1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件數，求P(X≥1)及X數學期望；23/289.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

(2)一天內抽檢零件中，假如出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件，就認為這條生產線在這一天生產過程可能出現了異常情況，需對當日生產過程進行檢驗. ①試說明上述監控生產過程方法合理性； ②下面是檢驗員在一天內抽取16個零件尺寸：24/28i＝1，2，…，16.25/28

解：(1)抽取一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內概率為0.9973，從而零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外概率為0.0027，故X～B(16，0.0027).所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X數學期望為E(X)＝16×0.0027＝0.0432.

(2)①假如生產狀態正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋