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文檔簡介

習題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應用

重積分的計算及應用

一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標系使積分域多為坐標線圍成;被積函數用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法(二重積分積分限的特點)3.掌握確定積分限的方法——累次積分法

例1.計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區域.提示:利用極坐標原式

例2.計算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示

二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或重心公式簡化計算3.消去被積函數絕對值符號

證明:提示:左端積分區域如圖,交換積分順序即可證得.例3.

例4.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長度應為多少?解:建立坐標系如圖.由對稱性知由此解得即有薄片的重心恰好落在圓心上,

例5.計算其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.

(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得

例6.計算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標為:面積為:積分區域線形心坐標

例7.如圖所示交換下列二次積分的順序:解:

三、重積分的應用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體

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