2025年統計學期末考試：基于統計預測的決策分析方法試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統計分析要求：對給定的一組數據進行描述性統計分析，包括計算均值、中位數、眾數、標準差、最大值、最小值等，并分析數據的集中趨勢和離散程度。1.計算以下數據的均值、中位數、眾數、標準差、最大值和最小值：數據：25,30,28,35,28,30,33,25,32,272.下列數據中，哪一個是中位數？為什么？數據：18,22,20,16,24,23,21A.20B.21C.22D.233.給定以下數據，計算眾數：數據：2,5,3,2,6,2,5,7,2,84.下列數據中，標準差最大的是：A.10,15,20B.30,25,40C.20,35,30D.15,20,255.給定以下數據，計算最大值和最小值：數據：-5,-10,-3,-2,-8,-4,-66.下列數據中，哪一個是標準差？A.2.5B.5.0C.3.0D.4.57.計算以下數據的均值和標準差：數據：15,20,10,25,10,20,158.下列數據中，眾數是10的是：A.10,12,10,10,12B.8,10,12,10,12C.9,10,11,10,12D.7,10,11,10,129.給定以下數據，計算中位數：數據：2,5,3,2,6,2,5,7,2,810.下列數據中，均值最大的是：A.10,15,20B.30,25,40C.20,35,30D.15,20,25二、概率論基礎知識要求：對以下問題進行概率論基礎知識的分析和計算。1.一個袋子里有5個紅球和7個藍球，隨機取出一個球，求取到紅球的概率。2.一個袋子里有5個紅球和7個藍球，連續取出兩次球，求兩次都取出紅球的概率。3.一個班級有20名學生，其中有10名女生和10名男生，隨機選取3名學生，求選出的3名學生中至少有1名女生的概率。4.一個事件A的概率為0.4，事件B的概率為0.6，且事件A和B相互獨立，求事件A和事件B同時發生的概率。5.一個盒子里有5個紅球和7個藍球，隨機取出一個球，求取到紅球的概率。6.一個事件A的概率為0.5，事件B的概率為0.4，且事件A和事件B互斥，求事件A和事件B至少發生一個的概率。7.一個班級有20名學生，其中有10名女生和10名男生，隨機選取3名學生，求選出的3名學生中恰好有1名女生的概率。8.一個事件A的概率為0.2，事件B的概率為0.3，且事件A和事件B相互獨立，求事件A和事件B至少發生一個的概率。9.一個盒子里有5個紅球和7個藍球，隨機取出一個球，求取到藍球的概率。10.一個事件A的概率為0.3，事件B的概率為0.5，且事件A和事件B互斥，求事件A和事件B同時發生的概率。四、假設檢驗要求：對以下問題進行假設檢驗，并給出結論。1.假設檢驗問題：某公司聲稱其新產品的平均壽命為500小時。從生產的第一批產品中隨機抽取了20個產品，其平均壽命為490小時，標準差為30小時。假設產品的壽命服從正態分布，顯著性水平為0.05，檢驗公司聲稱的平均壽命是否成立。2.假設檢驗問題：某品牌洗衣機的平均使用壽命為1000小時。隨機抽取了30臺洗衣機，其平均使用壽命為980小時，標準差為50小時。假設洗衣機的使用壽命服從正態分布，顯著性水平為0.01，檢驗該品牌洗衣機的平均使用壽命是否低于1000小時。五、回歸分析要求：對以下問題進行回歸分析，并解釋分析結果。1.已知某城市居民的年消費支出（Y）與家庭收入（X）之間存在一定的關系。以下是一組數據：|家庭收入（X）|年消費支出（Y）||---------------|----------------||20,000|12,000||25,000|15,000||30,000|18,000||35,000|21,000||40,000|24,000|求出線性回歸方程，并解釋方程的意義。2.某研究調查了不同品牌的智能手機，收集了以下數據：|品牌|價格（元）|用戶滿意度評分||------------|------------|----------------||品牌A|3000|4.5||品牌B|3500|4.2||品牌C|4000|4.8||品牌D|4500|4.0||品牌E|5000|4.3|使用最小二乘法建立價格與用戶滿意度評分之間的線性回歸模型，并解釋模型的意義。六、時間序列分析要求：對以下時間序列數據進行分析，并預測未來的趨勢。1.以下是一組某城市近五年居民消費支出的時間序列數據：|年份|消費支出（元）||------|----------------||2019|10,000||2020|10,500||2021|11,000||2022|11,500||2023|12,000|使用移動平均法或指數平滑法預測2024年的消費支出。2.以下是一組某城市近五年居民平均工資的時間序列數據：|年份|平均工資（元/月）||------|------------------||2019|8,000||2020|8,200||2021|8,500||2022|8,800||2023|9,000|使用自回歸模型預測2024年的平均工資。本次試卷答案如下：一、描述性統計分析1.均值=(25+30+28+35+28+30+33+25+32+27)/10=29中位數=29眾數=28標準差=√[Σ(x-均值)2/(n-1)]=√[(25-29)2+(30-29)2+(28-29)2+(35-29)2+(28-29)2+(30-29)2+(33-29)2+(25-29)2+(32-29)2+(27-29)2]/9≈3.46最大值=35最小值=252.答案：D.23解析：中位數是將一組數據從小到大排列后位于中間位置的數，因此23是中位數。3.眾數=24.答案：C.20解析：標準差反映了數據的離散程度，標準差越大，數據的波動越大。5.最大值=-2最小值=-106.答案：A.2.5解析：標準差是衡量數據離散程度的統計量，計算結果為2.5。7.均值=(15+20+10+25+10+20+15)/7≈16.29標準差=√[Σ(x-均值)2/(n-1)]=√[(15-16.29)2+(20-16.29)2+(10-16.29)2+(25-16.29)2+(10-16.29)2+(20-16.29)2+(15-16.29)2]/6≈4.718.答案：B.10解析：眾數是數據中出現次數最多的數，這里10出現了三次。9.中位數=2.510.答案：B.30,25,40解析：均值是所有數值的總和除以數值的個數，計算結果為30。二、概率論基礎知識1.概率=紅球數量/總球數量=5/(5+7)=5/122.概率=(紅球數量)2/(總球數量)2=(5/12)2=25/1443.概率=1-(無女生的概率)=1-(女生數量)/(總人數)=1-(10/20)=1-0.5=0.54.概率=概率A×概率B=0.4×0.6=0.245.概率=紅球數量/總球數量=5/(5+7)=5/126.概率=概率A+概率B-概率A×概率B=0.5+0.4-0.5×0.4=0.97.概率=(10/20)×(9/19)×(8/18)=0.0248.概率=概率A+概率B-概率A×概率B=0.2+0.3-0.2×0.3=0.449.概率=藍球數量/總球數量=7/(5+7)=7/1210.概率=概率A+概率B-概率A×概率B=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65三、假設檢驗1.假設H0:μ=500,H1:μ≠500t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本數量)=(490-500)/(30/√20)≈-2.83p-value=P(t<-2.83)≈0.006結論：拒絕原假設，認為產品的平均壽命不等于500小時。2.假設H0:μ=1000,H1:μ<1000t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本數量)=(980-1000)/(50/√30)≈-1.47p-value=P(t<-1.47)≈0.07結論：不拒絕原假設，認為洗衣機的平均使用壽命不低于1000小時。四、回歸分析1.線性回歸方