協助圓問題已知點A、B、C均在半徑為R的⊙O上．問題探究(1)如圖①，當∠A＝45°，R＝1時，求∠BOC的度數和BC的長度；(2)如圖②，當∠A為銳角時，求證：BC＝2R·sinA；問題解決(3)若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN上滑動，且點B、C均與點A不重合．如圖③，當∠MAN＝60°，BC＝2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試著探究線段BC在整個滑動過程中，P、A兩點之間的距離是否為定值，若是，求出PA的長度；若不是，請說明理由．第1題圖(1)解：∵點A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，又∵OB＝OC＝1，∴BC＝eq\r(2)；(2)證明：如解圖①，作直徑CE，連接EB，則∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°，∴sinA＝sinE＝eq\f(BC,EC)＝eq\f(BC,2R)，∴BC＝2R·sinA;圖①圖②第1題解圖(3)解：如解圖②，連接AP，取AP的中點K，連接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝eq\f(1,2)AP＝AK＝PK，同理可得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴點A、B、P、C都在以K為圓心，以AK長為半徑的⊙K上，由(2)可知sin60°＝eq\f(BC,AP)，∴AP＝eq\f(2,sin60°)＝eq\f(4\r(3),3)為定值，故線段BC在整個滑動過程中，P、A兩點之間的距離是定值，PA的長度為eq\f(4\r(3),3).問題探究(1)如圖①，已知四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：①對角線BD長度的最大值；②四邊形ABCD的最大面積；(用含有a，b的代數式表示)問題解決(2)如圖②，四邊形ABCD是某市規劃用地示意圖，經測量得到如下數據：AB＝20cm，BC＝30cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，請你用所學到的學問探究出它的最大面積，并說明理由．(結果保留根號)第2題圖解：(1)①∵∠B＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是圓內接四邊形，AC為圓的直徑，∴BD的最大值為AC，此時BD＝AC＝eq\r(a2＋b2)；②連接AC，則AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CD≤eq\f(1,4)(AD2＋CD2)＝eq\f(1,4)(a2＋b2)．又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)ab，∴四邊形ABCD的最大面積為eq\f(1,4)(a2＋b2)＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,4)(a＋b)2；(2)如解圖，連接AC，延長CB，過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E，∵AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin60°＝10eq\r(3)，EB＝AB·cos60°＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AE·BC＝150eq\r(3).∵BC＝30，∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝eq\r(AE2＋EC2)＝10eq\r(19)，∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，∴∠D＝45°，則△ACD中，D為定角，對邊AC為定邊，∴點A、C、D在同一個圓上，作AC、CD中垂線，交點即為圓心O，當點D與AC的距離最大時，△ACD的面積最大，AC的中垂線交⊙O于點D′，交AC于點F，FD′即為所求最大值，第2題解圖連接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，∴△AOF為等腰直角三角形，AO＝OD′＝eq\r(2)·(eq\f(AC,2))＝5eq\r(38)，OF＝AF＝eq\f(AC,2)＝5eq\r(19)，D′F＝OD′＋OF＝5eq\r(38)＋5eq\r(19)，S△ACD′＝eq\f(1,2)AC·D′F＝eq\f(1,2)×10eq\r(19)×(5eq\r(38)＋5eq\r(19))＝475＋475eq\r(2)，∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝150eq\r(3)＋475＋475eq\r(2).問題探究(1)如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，則△ABC的面積為________；(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P在對角線AC上，且CP＝CB，求△PBC的面積；問題解決(3)如圖③，△ABC是一塊商業用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某開發商現打算再征一塊地，把△ABC擴充為四邊形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面積最大的四邊形ABCD？若存在，求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請說明理由．第3題圖解：(1)12；【解法提示】如解圖①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(52－32)＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×6×4＝12.圖①圖②第3題解圖(2)如解圖②，過點P作PE⊥BC，垂足為E，則PE∥AB，∴△CPE∽△CAB，∴eq\f(CP,CA)＝eq\f(PE,AB)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴eq\f(4,5)＝eq\f(PE,3)，∴PE＝eq\f(12,5)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PE＝eq\f(1,2)×4×eq\f(12,5)＝eq\f(24,5)；(3)存在．如解圖③，作△ABC的外接圓⊙O，第3題解圖③∵∠ABC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，又∵∠ADC＝90°，∴點D在⊙O上，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(302＋402)＝50，連接OD，則OD＝eq\f(1,2)AC＝25，過點D作DN⊥AC，垂足為N，∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×30×40＝600，∴只要S△ACD最大，那么S四邊形ABCD最大，又∵S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DN，而DN≤DO＝25，∴當DN＝25時，S△ACD最大，即eq\f(1,2)×50×25＝625，∴四邊形ABCD的最大面積為：600＋625＝1225(平方米)．問題探究(1)如圖①，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，則△ABC的面積為________(用含a的代數式表示)；(2)如圖②，△AOD與△BOC為兩個等腰直角三角形，兩個直角頂點O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a.若△AOD與△BOC不重合，連接AB、CD，求四邊形ABCD面積的最大值；問題解決(3)如圖③，點O為電視臺所在位置，現要在距離電視臺5km的地方修建四個電視信號中轉站，分別記為A、B、C、D.若要使OB與OC夾角為150°，OA與OD夾角為90°(∠AOD與∠BOC不重合且點O、A、B、C、D在同一平面內)，則符合題意的四個中轉站所圍成的四邊形面積有無最大值？假如有，求出最大值；假如沒有，請說明理由．第4題圖解：(1)eq\f(\r(3),4)a2；【解法提示】如解圖①，過點B作AC的垂線交CA的延長線于點D，第4題解圖①在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝a，則BD＝eq\f(\r(3),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.(2)如解圖②，分別過點A、D作BO、CO的垂線交BO的延長線于點E，交CO于點F，第4題解圖②∵△AOD與△BOC均為等腰直角三角形，OA＝OB＝OC＝OD＝a，∴S△AOD＝eq\f(1,2)a2，S△BOC＝eq\f(1,2)a2，令∠AOB＝α，∠COD＝β，則S△AOB＝eq\f(1,2)a·asinα，S△COD＝eq\f(1,2)a·asinβ，∴S△AOB＋S△COD＝eq\f(1,2)a2(sinα＋sinβ)，∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴α＝90°，β＝90°，即∠AOB＝90°，∠COD＝90°時，△AOB與△COD面積最大，即此時四邊形ABCD面積最大，此時，S△AOB＝eq\f(1,2)a2，S△COD＝eq\f(1,2)a2，∴S四邊形ABCD最大＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＝2a2；(3)有最大值，理由如下：∵OA＝OB＝OC＝OD＝5km，則A、B、C、D四點在以O為圓心，5km為半徑的圓上，如解圖③，將△DOC繞O點順時針旋轉150°至△D′OB位置．連接AD′，設OB與AD′交于點E，第4題解圖③∵△AOD與△BOC面積是定值，∴求S四邊形ABD′O最大即可．∠AOD′＝360°－150°－90°＝120°，過O作OM⊥AD′于點M，過B作BN⊥AD′于點N，在△OAM中，∠AOM＝60°，∴OM＝eq\f(5,2)，AM＝eq\f(5\r(3),2)，AD′＝5eq\r(3)，令∠MEO＝∠NEB＝α，∴S四邊形ABD′O＝S△AOD′＋S△ABD′＝eq\f(1,2)AD′·OM＋eq\f(1,2)AD′·BN＝eq\f(1,2)AD′·[OE·sinα＋(5－OE)·sinα]＝eq\f(1,2)AD′