高中數學第三章數系的擴充與復數的引入3.2復數代數形式的四則運算3.2.2復數代數形式的乘除運算教學實錄1新人教A版選修2-2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數學

2.教學年級和班級：高一年級

3.授課時間：2023年X月X日第2節

4.教學時數：1課時

二、核心素養目標分析三、教學難點與重點1.教學重點：

-復數代數形式的乘除運算規則：重點在于掌握復數乘法的分配律、結合律和交換律，以及復數除法中的分母有理化方法。

-復數乘除運算的實際應用：通過具體的例子，讓學生學會如何將復數乘除運算應用于實際問題中，如解決幾何問題或電路問題。

2.教學難點：

-復數乘除運算的技巧：難點在于如何正確進行復數乘法，特別是在乘法運算中出現多項式乘以多項式的情況。

-分母有理化的步驟理解：學生往往在分母有理化時容易出錯，難點在于理解每一步的目的和如何正確操作。

-復數運算的幾何意義：對于一些學生來說，理解復數乘除運算在復平面上的幾何意義是一個難點，需要通過直觀的圖形來幫助學生理解。

-運算過程中符號的準確使用：在復數運算中，符號的正負和乘除的順序是容易出錯的地方，需要特別強調和練習。四、教學方法與策略1.采用講授法，結合多媒體課件展示復數乘除運算的步驟和規則，直觀地展示復數在復平面上的幾何意義。

2.設計小組討論活動，讓學生通過合作解決實際問題，加深對復數乘除運算的理解。

3.利用在線互動平臺，提供實時反饋，讓學生在練習中鞏固知識，同時教師通過提問和解答幫助學生克服難點。

4.結合數學游戲，如復數拼圖，增加學習的趣味性，提高學生的學習積極性。五、教學過程一、導入新課

（教師）

同學們，我們上節課學習了復數的概念，知道了復數是由實部和虛部組成的。今天，我們將繼續探討復數的運算，特別是復數代數形式的乘除運算。請大家回顧一下復數的定義，準備好進入今天的課堂。

（學生）

回顧了復數的定義，了解到復數由實部和虛部組成。

二、新課講授

1.復數乘法

（教師）

首先，我們來復習一下復數乘法的基本規則。假設有兩個復數\(a+bi\)和\(c+di\)，它們的乘積是\((a+bi)\times(c+di)\)。按照分配律，我們可以將其展開為\(ac+adi+bci+bdi^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(bdi^2=-bd\)。因此，乘積可以簡化為\((ac-bd)+(ad+bc)i\)。

（學生）

明白了，復數乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。

（教師）

現在，讓我們通過一個例子來實踐一下。假設我們要計算\((2+3i)\times(4-5i)\)。

（學生）

\((2+3i)\times(4-5i)=(2\times4)+(2\times-5i)+(3i\times4)+(3i\times-5i)=8-10i+12i-15i^2\)。

（教師）

很好，我們得到了\(8+2i\)。注意，這里我們使用了\(i^2=-1\)來簡化計算。

2.復數除法

（教師）

（學生）

明白了，我們需要乘以共軛復數來有理化分母。

（教師）

讓我們通過一個例子來練習。計算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。

（學生）

\(\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+4i+6i+8i^2}{9+12i-12i-16i^2}=\frac{3+10i-8}{9+16}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。

（教師）

正確！我們得到了\(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。注意，我們在計算過程中使用了\(i^2=-1\)。

3.實際應用

（教師）

現在，讓我們將這些運算應用到實際問題中。例如，一個電路中的電流是\(3+4i\)安培，電阻是\(2+3i\)歐姆，求電路中的電壓。

（學生）

電壓\(V=I\timesR=(3+4i)\times(2+3i)=6+9i+8i+12i^2=6+17i-12=-6+17i\)。

（教師）

很好，我們得到了電壓為\(-6+17i\)伏特。

三、課堂練習

（教師）

（學生）

認真完成練習題，檢查自己的計算過程。

四、課堂總結

（教師）

今天我們學習了復數代數形式的乘除運算。我們了解到復數乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。在復數除法中，我們需要乘以共軛復數來有理化分母。我們還通過實際應用題鞏固了這些運算。

（學生）

五、布置作業

（教師）

請大家課后完成以下作業：

1.復數乘法練習題；

2.復數除法練習題；

3.應用復數乘除運算解決實際問題。

（學生）

認真完成作業，準備下一節課的討論。六、知識點梳理1.復數的定義

-復數是形如\(a+bi\)的數，其中\(a\)是實部，\(b\)是虛部，\(i\)是虛數單位，滿足\(i^2=-1\)。

2.復數的幾何表示

-復數\(a+bi\)可以在復平面上表示為一個點，其實部\(a\)表示點的橫坐標，虛部\(b\)表示點的縱坐標。

3.復數的相等

-兩個復數\(a+bi\)和\(c+di\)相等，當且僅當它們的實部相等，虛部也相等，即\(a=c\)且\(b=d\)。

4.復數的加法

-復數加法遵循實部與實部相加，虛部與虛部相加的規則，即\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)。

5.復數的減法

-復數減法遵循實部與實部相減，虛部與虛部相減的規則，即\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)。

6.復數的乘法

-復數乘法遵循分配律，即\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。

7.復數的除法

-復數除法需要乘以共軛復數來有理化分母，即\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)。

8.復數的模

-復數\(a+bi\)的模定義為\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

9.復數的共軛

-復數\(a+bi\)的共軛復數為\(a-bi\)。

10.復數的乘除運算性質

-復數乘法滿足結合律和交換律。

-復數除法滿足結合律。

-復數乘法滿足分配律。

11.復數的幾何意義

-復數的乘法在復平面上表示為向量乘法，乘積的模表示向量的長度，乘積的輻角表示向量的方向。

12.復數的應用

-復數在電子學、信號處理、流體力學等領域有廣泛的應用。七、典型例題講解1.例題一：計算復數乘法

-題目：計算\((3+2i)\times(4-3i)\)。

-解答：\((3+2i)\times(4-3i)=(3\times4)+(3\times-3i)+(2i\times4)+(2i\times-3i)=12-9i+8i-6i^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(12-9i+8i-6i^2=12-i+6=18-i\)。

2.例題二：計算復數除法

-題目：計算\(\frac{5+3i}{2-i}\)。

-解答：\(\frac{5+3i}{2-i}=\frac{(5+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{(5\times2)+(5\timesi)+(3i\times2)+(3i\timesi)}{(2^2)+(2\timesi)-(2\timesi)-(i^2)}=\frac{10+5i+6i-3}{4+1}=\frac{7+11i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i\)。

3.例題三：計算復數的模

-題目：計算復數\(2+3i\)的模。

-解答：\(|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。

4.例題四：求復數的共軛

-題目：求復數\(4-5i\)的共軛。

-解答：復數\(4-5i\)的共軛是\(4+5i\)。

5.例題五：利用復數解決幾何問題

-題目：在復平面上，點\(A\)的坐標為\(2+3i\)，點\(B\)的坐標為\(4-i\)。求線段\(AB\)的長度。

-解答：線段\(AB\)的長度可以通過計算兩個點的坐標差的模來得到。首先，計算\(AB\)的坐標差：\((4-i)-(2+3i)=2-4i\)。然后，計算模：\(|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。因此，線段\(AB\)的長度是\(2\sqrt{5}\)。八、反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.案例教學法的應用：在講解復數乘除運算時，我嘗試引入實際案例，如電路問題、幾何問題等，讓學生在實際情境中應用所學知識，提高他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體課件展示復數在復平面上的幾何意義，以及復數乘除運算的步驟，使抽象的概念更加直觀易懂。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對復數乘除運算的掌握程度不夠：部分學生在進行復數乘除運算時，容易出錯，特別是在分母有理化過程中。

2.學生對復數幾何意義的理解不足：一些學生對復數在復平面上的幾何表示和運算的幾何意義理解不夠深入，需要加強這方面的教學。

3.課堂互動不足：在課堂教學中，我發現學生參與度不高，互動環節較少，需要改進教學方法，提高學生的參與積極性。

反思改進措施（三）改進措施

1.加強對復數乘除運算的練習：針對學生在復數乘除運算中容易出錯的問題，我將增加練習題的數量和難度，讓學生通過反復練習來提高運算能力。

2.深入講解復數的幾何意義：為了幫助學生更好地理解復數在復平面上的幾何表示和運算的幾何意義，我將結合具體例子進行講解，并利用圖形工具進行輔助教學。

3.提高課堂互動性：為了提高學生的參與積極性，我將設計更多互動環節，如小組討論、問題解答等，鼓勵學生主動參與課堂，提出問題和觀點。

4.課后輔導和答疑：對于學習上有困難的學生，我將提供課后輔導和答疑服務，幫助他們解決學習中的問題，提高學習效果。

5.定期評估和反饋：我將定期對學生進行評估，了解他們的學習進度和存在的問題，并根據評估結果調整教學策略，確保教學效果。板書設計①復數乘法

-復數乘法公式：\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

-\(i^2=-1\)

-分配律、結合律、交換律

②復數除法

-復數除法公式：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)

-分母有理化：乘以共軛復數

-\(i^2=-1\)

③復數的模

-復數模公式：\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

-模的幾何意義：復平面上點到原點的距離

④復數的共軛

-共軛復數公式：\(a+bi\)的共軛為\(a-bi\)

-共軛復數的幾何意義：復平面上點關于實軸的對稱點

⑤復數