2016-2017學年江蘇省南京市高二（上）期末數學試卷（理科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上1．（5分）命題“若a=b，則|a|=|b|”的逆否命題是．2．（5分）雙曲線=1的漸近線方程是．3．（5分）已知復數為純虛數，其中i是虛數單位，則實數a的值是．4．（5分）在平面直角坐標系xOy中，點（4，3）到直線3x﹣4y+a=0的距離為1，則實數a的值是．5．（5分）曲線y=x4與直線y=4x+b相切，則實數b的值是．6．（5分）已知實數x，y滿足條件則z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2=4x的焦點為F，P為拋物線C上一點，且PF=5，則點P的橫坐標是．8．（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與圓M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，則r的取值范圍是．9．（5分）觀察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此規律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“?x∈R，x2+ax+a=0”是真命題，則實數a的取值范圍是．11．（5分）已知函數f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e為自然對數的底數）．若在x=﹣3處函數f（x）有極大值，則函數f（x）的極小值是．12．（5分）有下列命題：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示橢圓”的充要條件；②“a=1”是“直線l1：ax+y﹣1=0與直線l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要條件；③“函數f（x）=x3+mx單調遞增”是“m＞0”的充要條件；④已知p，q是兩個不等價命題，則“p或q是真命題”是“p且q是真命題”的必要不充分條件．其中所有真命題的序號是．13．（5分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的焦距為2c（c＞0），左焦點為F，點M的坐標為（﹣2c，0）．若橢圓E上存在點P，使得PM=PF，則橢圓E離心率的取值范圍是．14．（5分）已知t＞0，函數f（x）=，若函數g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6個不同的零點，則實數t的取值范圍是．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC三個頂點坐標為A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線的方程．16．（14分）已知數列{an}滿足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．17．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=﹣2x上，且圓M與直線x+y﹣1=0相切于點P（2，﹣1）．（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．18．（16分）某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現計劃在該花壇內建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構成的六邊形ABCDEF區域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設∠AOF=θ，其中O為圓心．（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關于θ的函數f（θ）；（2）當θ為何值時，可使得六邊形區域面積達到最大？并求最大面積．19．（16分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，兩個頂點分別為A（﹣a，0），B（a，0），點M（﹣1，0），且3=，過點M斜率為k（k≠0）的直線交橢圓E于C，D兩點，其中點C在x軸上方．（1）求橢圓E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：為定值．20．（16分）已知函數f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）當a=1時，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范圍；（3）若對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范圍．

2016-2017學年江蘇省南京市高二（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上1．（5分）命題“若a=b，則|a|=|b|”的逆否命題是若|a|≠|b|，則a≠b．【解答】解：命題“若a=b，則|a|=|b|”的逆否命題是命題“若|a|≠|b|，則a≠b”，故答案為：“若|a|≠|b|，則a≠b”2．（5分）雙曲線=1的漸近線方程是y=±2x．【解答】解：∵雙曲線標準方程為=1，其漸近線方程是=0，整理得y=±2x．故答案為y=±2x．3．（5分）已知復數為純虛數，其中i是虛數單位，則實數a的值是2．【解答】解：==，∵復數為純虛數，∴，解得a=2．故答案為：2．4．（5分）在平面直角坐標系xOy中，點（4，3）到直線3x﹣4y+a=0的距離為1，則實數a的值是±5．【解答】解：由題意，=1，∴a=±5．故答案為±5．5．（5分）曲線y=x4與直線y=4x+b相切，則實數b的值是﹣3．【解答】解：設直線與曲線的切點為P（m，n）則有：?，化簡求：m=1，b=n﹣4；又因為點P滿足曲線y=x4，所以：n=1；則：b=n﹣4=﹣3；故答案為：﹣3．6．（5分）已知實數x，y滿足條件則z=2x+y的最大值是9．【解答】解：實數x，y滿足條件作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，則當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線的截距最大，此時z最大，由可得A（3，3）．此時z=9，故答案為：9．7．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2=4x的焦點為F，P為拋物線C上一點，且PF=5，則點P的橫坐標是4．【解答】解：∵拋物線y2=4x=2px，∴p=2，由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案為：48．（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與圓M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，則r的取值范圍是3＜r＜7．【解答】解：由題意，圓心距為5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案為3＜r＜7．9．（5分）觀察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此規律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：觀察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此規律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），故答案為：n（n+1）10．（5分）若“?x∈R，x2+ax+a=0”是真命題，則實數a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“?x∈R，x2+ax+a=0”是真命題，則△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案為：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函數f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e為自然對數的底數）．若在x=﹣3處函數f（x）有極大值，則函數f（x）的極小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）ex，f′（x）=（x2+3x+m+1）ex，若f（x）在x=﹣3處函數f（x）有極大值，則f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）ex，f′（x）=（x2+3x）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）遞增，在（﹣3，0）遞減，在（0，+∞）遞增，故f（x）極小值=f（0）=﹣1，故答案為：﹣1．12．（5分）有下列命題：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示橢圓”的充要條件；②“a=1”是“直線l1：ax+y﹣1=0與直線l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要條件；③“函數f（x）=x3+mx單調遞增”是“m＞0”的充要條件；④已知p，q是兩個不等價命題，則“p或q是真命題”是“p且q是真命題”的必要不充分條件．其中所有真命題的序號是②④．【解答】解：對于①，當m=1時，方程x2+my2=1表示圓，故錯；對于②，∵a=±1時，直線l1與直線l2都平行，故正確；對于③，若函數f（x）=x3+mx單調遞增?m≥0，故錯；對于④，p或q是真命題?p且q不一定是真命題；?p且q是真命題?p或q一定是真命題，故正確；故答案為：②④13．（5分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的焦距為2c（c＞0），左焦點為F，點M的坐標為（﹣2c，0）．若橢圓E上存在點P，使得PM=PF，則橢圓E離心率的取值范圍是[]．【解答】解：設P（x，y），由PM=PF?PM2=2PF2?（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2?x2+y2=2c2，橢圓E上存在點P，使得PM=PF，則圓x2+y2=2c2與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有公共點，∴b≤≤a??．故答案為：[]14．（5分）已知t＞0，函數f（x）=，若函數g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6個不同的零點，則實數t的取值范圍是（3，4）．【解答】解：∵函數f（x）=，∴函數f′（x）=，當x＜，或x＜t時，f′（x）＞0，函數為增函數，當＜x＜t時，f′（x）＜0，函數為減函數，故當x=時，函數f（x）取極大值，函數f（x）有兩個零點0和t，若函數g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6個不同的零點，則方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三個解，即函數f（x）的圖象與y=1和y=t+1各有三個零點，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集為：t∈（3，4），故答案為：（3，4）二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC三個頂點坐標為A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中點D的坐標為（6，0），…（2分）所以AD的斜率為k==8，…（5分）所以BC邊上的中線AD所在直線的方程為y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直線的斜率為k==1，…（9分）所以BC邊上的高所在直線的斜率為﹣1，…（12分）所以BC邊上的高所在直線的方程為y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知數列{an}滿足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想an=（n∈N*）．證明：當n=1時，a1=1=，所以an=成立，假設當n=k時，an=成立，即ak=，則（ak﹣3）ak+1﹣ak+4=0，即（﹣3）ak+1﹣+4=0，所以ak+1=，即ak+1==，所以當n=k+1時，結論an=成立．綜上，對任意的n∈N*，an=成立．17．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=﹣2x上，且圓M與直線x+y﹣1=0相切于點P（2，﹣1）．（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．【解答】解：（1）過點（2，﹣1）且與直線x+y﹣1=0垂直的直線方程為x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圓心M的坐標為（1，﹣2），…（4分）所以圓M的半徑為r=，…（6分）所以圓M的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因為直線l被圓M截得的弦長為，所以圓心M到直線l的距離為d==，…（9分）若直線l的斜率不存在，則l為x=0，此時，圓心M到l的距離為1，不符合題意．若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直線l的方程為x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現計劃在該花壇內建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構成的六邊形ABCDEF區域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設∠AOF=θ，其中O為圓心．（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關于θ的函數f（θ）；（2）當θ為何值時，可使得六邊形區域面積達到最大？并求最大面積．【解答】（本題滿分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，則OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）則六邊形的面積為f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因為θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）當θ∈（0，）時，f′（θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上單調遞增；當θ∈（，）時，f′（θ）＜0，所以f（θ）在（，）上單調遞減，…（14分）所以當θ=時，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：當θ=時，可使得六邊形區域面積達到最大，最大面積為平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，兩個頂點分別為A（﹣a，0），B（a，0），點M（﹣1，0），且3=，過點M斜率為k（k≠0）的直線交橢圓E于C，D兩點，其中點C在x軸上方．（1）求橢圓E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：為定值．【解答】解：（1）因為3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因為=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以橢圓E的方程為+y2=1．…（4分）（2）設點C的坐標為（x0，y0），y0＞0，則=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因為BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因為+y02=1，②聯立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．