2017-2018學(xué)年黑龍江省牡丹江高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意的）1．（5分）兩個整數(shù)1908和4187的最大公約數(shù)是（）A．53 B．43 C．51 D．672．（5分）要從已編號（1～70）的70枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機抽取7枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的7枚導(dǎo)彈的編號可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，433．（5分）下列各組事件中，不是互斥事件的是（）A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分數(shù)不低于90分與平均分數(shù)不高于90分C．播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%4．（5分）=（）A． B． C． D．5．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．1806．（5分）某電子元件電路有一個由三節(jié)電阻串聯(lián)組成的回路，共有6個焊點，若其中某一焊點脫落，電路就不通．現(xiàn)今回路不通，焊點脫落情況的可能有（）A．5種 B．6種 C．63種 D．64種7．（5分）隨機調(diào)查某校50個學(xué)生在學(xué)校的午餐費，結(jié)果如表：餐費（元）678人數(shù)102020這50個學(xué)生的午餐費的平均值和方差分別是（）A．7.2，0.56 B．7.2， C．7，0.6 D．7，8．（5分）一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同的站法為（）A．4種 B．12種 C．24種 D．120種9．（5分）把十進制的23化成二進制數(shù)是（）A．00110（2） B．10111（2） C．101111（2） D．11101（2）10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入與支出情況如表所示：收入x（億元）2.22.64.05.35.9支出y（億元）0.21.52.02.53.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為=0.8x+，依次估計如果2017年該公司收入為7億元時的支出為（）A．4.5億元 B．4.4億元 C．4.3億元 D．4.2億元11．（5分）如圖中，x1，x2，x3為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，P為該題的最終得分．當x1=6，x2=9，p=8.5時，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．712．（5分）甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a，b分別表示拋擲甲、乙兩枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，當點P（a，b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上的概率最大時，則m的值為（）A．6 B．5 C．7 D．8二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13．（5分）某射擊教練評價一名運動員時說：“你射中的概率是90%．”你認為下面兩個解釋中能代表教練的觀點的為．①該射擊運動員射擊了100次，恰有90次擊中目標②該射擊運動員射擊一次，中靶的機會是90%14．（5分）在數(shù)軸上0和4之間任取一個實數(shù)x，則使“l(fā)og2x＜1”的概率為．15．（5分）張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是．①拋擲一枚均勻的骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝②同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲勝③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是黑色的則張華獲勝④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則張華獲勝．16．（5分）用數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字1，3不相鄰，數(shù)字2、5相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，求此點取自黑色部分的概率．18．（12分）為了選拔參加自行車比賽的選手，對自行車運動員甲、乙兩人在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836（1）畫出莖葉圖，由莖葉圖求出甲乙運動員的中位數(shù)；（2）估計甲、乙兩運動員的最大速度的平均數(shù)和方差，并判斷誰參加比賽更合適．19．（12分）關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計π的值：先請200名同學(xué)，每人隨機寫下一個x，y都小于1的正實數(shù)對（x，y）；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計π的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是m=56，請計算此時π的估計值．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名中學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如所示．組號分組頻數(shù)頻率第1組[160，165）50.050第2組[165，170）①0.350第3組[170，175）30②第4組[175，180）200.200第5組[180，185）100.100合計1001.00（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生接受A考官進行面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，側(cè)面PAB為等邊三角形，側(cè)棱．（1）求證：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．22．（12分）已知拋物線C：y2=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過M點的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點．（1）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；（2）是否存在定點M，使得不論直線l：x=ky+m繞點M如何轉(zhuǎn)動，恒為定值？

2017-2018學(xué)年黑龍江省牡丹江高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意的）1．（5分）兩個整數(shù)1908和4187的最大公約數(shù)是（）A．53 B．43 C．51 D．67【解答】解：∵4187=1908×2+371，1908=371×5+53，371=53×7+0，∴兩個整數(shù)1908和4187的最大公約數(shù)是53，故選A．2．（5分）要從已編號（1～70）的70枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機抽取7枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的7枚導(dǎo)彈的編號可能是（）A．5，10，15，20，25，30，35 B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，43【解答】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義則編號間距為70÷7=10，則滿足條件是3，13，23，33，43，53，63，故選：B3．（5分）下列各組事件中，不是互斥事件的是（）A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分數(shù)不低于90分與平均分數(shù)不高于90分C．播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%【解答】解：A中，一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6，不可能同時發(fā)生，故A中兩事件為互斥事件．B中，當平均分等于90分時，兩個事件同時發(fā)生，故B中兩事件不為互斥事件．C中，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒，不可能同時發(fā)生，故C中兩事件為互斥事件．D中，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率為70%，不可能同時發(fā)生，故C中兩事件為互斥事件．故選B4．（5分）=（）A． B． C． D．【解答】解：===．故選：D．5．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的S值是（）A．54 B．56 C．90 D．180【解答】解：模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S=22+32+42+52+62的值，S=22+32+42+52+62=90．故選：C．6．（5分）某電子元件電路有一個由三節(jié)電阻串聯(lián)組成的回路，共有6個焊點，若其中某一焊點脫落，電路就不通．現(xiàn)今回路不通，焊點脫落情況的可能有（）A．5種 B．6種 C．63種 D．64種【解答】解：根據(jù)題意，這個回路中共6個焊點，按其脫落與否，共2×2×2×2×2×2=26=64種情況，如果電路暢通，則每個焊點都不能脫落，有一種情況，現(xiàn)今回路不通，至少有一個焊點脫落，與電路暢通對立，故焊點脫落情況的可能有64﹣1=63種，故選C．7．（5分）隨機調(diào)查某校50個學(xué)生在學(xué)校的午餐費，結(jié)果如表：餐費（元）678人數(shù)102020這50個學(xué)生的午餐費的平均值和方差分別是（）A．7.2，0.56 B．7.2， C．7，0.6 D．7，【解答】解：根據(jù)題意，計算這50個學(xué)生午餐費的平均值是=×（6×10+7×20+8×20）=7.2，方差是s2=×[10×（6﹣7.2）2+20×（7﹣7.2）2+20×（8﹣7.2）2]=0.56．故選：A．8．（5分）一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同的站法為（）A．4種 B．12種 C．24種 D．120種【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①、老師站在正中間，有1種情況，②、將四名學(xué)生全排列，安排在兩邊的4個位置，有A44=24種排法，則5人不同的站法有1×24=24種；故選：C．9．（5分）把十進制的23化成二進制數(shù)是（）A．00110（2） B．10111（2） C．101111（2） D．11101（2）【解答】解：23÷2=11…111÷2=5…15÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故23（10）=10111（2）．故選：B．10．（5分）某公司在2012﹣2016年的收入與支出情況如表所示：收入x（億元）2.22.64.05.35.9支出y（億元）0.21.52.02.53.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為=0.8x+，依次估計如果2017年該公司收入為7億元時的支出為（）A．4.5億元 B．4.4億元 C．4.3億元 D．4.2億元【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回歸直線方程為=0.8x﹣1.2，計算x=7時=0.8×7﹣1.2=4.4（億元），即2017年該公司收入為7億元時的支出為4.4億元．故選：B．11．（5分）如圖中，x1，x2，x3為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，P為該題的最終得分．當x1=6，x2=9，p=8.5時，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【解答】解：根據(jù)提供的該算法的程序框圖，該題的最后得分是三個分數(shù)中差距小的兩個分數(shù)的平均分．根據(jù)x1=6，x2=9，不滿足|x1﹣x2|≤2，故進入循環(huán)體，輸入x3，判斷x3與x1，x2哪個數(shù)差距小，差距小的那兩個數(shù)的平均數(shù)作為該題的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故選C．12．（5分）甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a，b分別表示拋擲甲、乙兩枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，當點P（a，b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上的概率最大時，則m的值為（）A．6 B．5 C．7 D．8【解答】解：甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a，b分別表示拋擲甲、乙兩枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)，基本事件總數(shù)n=6×6=36，當點P（a，b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上，∴m=2的概率為，m=3的概率為，m=4的概率為，m=5的概率為，m=6的概率為，m=7的概率為，m=8的概率為，m=9的概率為，m=10的概率為，m=11的概率為，m=12的概率為．∴當點P（a，b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上的概率最大時，則m的值為7．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13．（5分）某射擊教練評價一名運動員時說：“你射中的概率是90%．”你認為下面兩個解釋中能代表教練的觀點的為②．①該射擊運動員射擊了100次，恰有90次擊中目標②該射擊運動員射擊一次，中靶的機會是90%【解答】解：某射擊教練評價一名運動員時說：“你射中的概率是90%．”能代表教練的觀點的為該射擊運動員射擊一次，中靶的機會是90%．故答案為：②．14．（5分）在數(shù)軸上0和4之間任取一個實數(shù)x，則使“l(fā)og2x＜1”的概率為．【解答】解：由log2x＜1，得0＜x＜2，區(qū)間長為2，區(qū)間[0，4]的長度為4，所以所求的概率為P==．故答案為：．15．（5分）張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是②．①拋擲一枚均勻的骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝②同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲勝③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是黑色的則張華獲勝④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則張華獲勝．【解答】解：在①中，拋擲一枚均勻的骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)和向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率均為，故在①中的游戲公平；在②中，同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上的概率p==，兩枚都正面向上的概率p′==，故在②中的游戲不公平；在③中，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色與撲克牌是黑色的概率均為，故在③中的游戲公平；在④中，張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同的概率p==，故在④中的游戲公平．故答案為：②．16．（5分）用數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字1，3不相鄰，數(shù)字2、5相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是24（用數(shù)字作答）．【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：①、將2、5看成一個整體，考慮其順序，有A22=2種情況，②、將這個整體與4全排列，有A22=2種排法，排好后有3個空位，③、在3個空位中任選2個，安排1、3，有A32=6種情況，則符合條件的五位數(shù)有2×2×6=24個；故答案為：24．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，求此點取自黑色部分的概率．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為2a（a＞0），則黑色部分的面積為：，結(jié)合幾何概型的計算公式可得，滿足題意的概率值為：．18．（12分）為了選拔參加自行車比賽的選手，對自行車運動員甲、乙兩人在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836（1）畫出莖葉圖，由莖葉圖求出甲乙運動員的中位數(shù)；（2）估計甲、乙兩運動員的最大速度的平均數(shù)和方差，并判斷誰參加比賽更合適．【解答】解：（1）莖葉圖如下：甲的中位數(shù)為：=33，乙的中位數(shù)為：=33.5．（2）甲的平均數(shù)為：==33，乙的平均數(shù)為：=（28+29+33+34+36+38）=33，甲的方差為：=，乙的方差為：=甲、乙的平均數(shù)相等，乙的方差更小，則乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，故乙參加比賽更合適．19．（12分）關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計π的值：先請200名同學(xué)，每人隨機寫下一個x，y都小于1的正實數(shù)對（x，y）；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計π的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是m=56，請計算此時π的估計值．【解答】解：由題意，200對都小于1的正實數(shù)對（x，y），滿足，面積為1，兩個數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y），滿足x2+y2＜1，且，區(qū)域面積為，由已知，解得．20．（12分）某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名中學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如所示．組號分組頻數(shù)頻率第1組[160，165）50.050第2組[165，170）①0.350第3組[170，175）30②第4組[175，180）200.200第5組[180，185）100.100合計1001.00（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生接受A考官進行面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．【解答】解：（1）①由題可知，第2組的頻數(shù)為0.35×100=35人，②第3組的頻率為=0.300，頻率分布直方圖如圖所示，（4分）（2）因為第3、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：×6=3人，第4組：×6=2人，第5組：×6=1人，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面試．（7分）（3）設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有15種選法，分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中第4組的2位同學(xué)B1，B2中至少有一位同學(xué)入選的有9，分別為：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），∴第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為=．（12分）21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，側(cè)面PAB為等邊三角形，側(cè)棱．（1）求證：平面P