一一次方程(組)及其應用知識必備02方程與不等式,用于解方程中的系數化為1)中的應用3.移項：把含有未知數的項都移到等號的左邊，常數項都移到等號的右邊(記住移項一程及其解法|解法步驟定要④變號)程及其解法|解法步驟4.合并同類項：把方程化成ax=-b(a≠0)的形式5.系數化為1:在方程兩邊都除以未知數的⑤系數，得到方程的解為一一次二元一次方程組的解：二元一次方程組中的兩個方程的公共解最簡公分母為0=a是分式方程的增根解分式方分式方程去分母整式方程解整式方程=檢驗分式方程的購買問題：總費用=購買數量【滿分技法】列分式方程解實際應用題必須驗根，既要看原方程是否有增根(原方程增根應舍去),又要看是否符合實際情況.程的步驟：乘以x=a是分式方程的根相分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根使分式方程分母為0.分式方程及其解法分式方程及其應田1.形如(x+h)2=k(h、k為常數，k≥0)的方程二次項系數化為1后，一次項系(1)化二次項系數為1:兩邊同時除以a得(2)常數項移右邊,即(4)直接開平方一元二次方程根與系數的關系(*選學):方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x?,x?,!平均增長率(下一元二次方程的(降率)問題實際應用的常見每每問題：總利潤=(售價-成本)×數量次次不等式(組)2.如圖2,設陰影部分的寬為x,則S=⑩(a-x)(b-x)3.如圖3,設陰影部分的寬為x,則S=?(a-x)(b-x)4.如圖4,欄桿總長為a,BC的長為b,則面積問題一元二次方程互贈禮物問題石和短，的分數為n-1)若a>b,則a±c①>b±c若a>b,c>0,那么a③>be若a>b,c<0,那么ac⑥<be,一般解答步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1總結一般解答步驟：先求出不等式組中各個不等式的解關于x的不等式組的解集及其在數軸上表示的四種情況如下表：類型(a>b)口訣同大取大同小取小取中間大大小小取不了元二次方程及其應用元二次方程及其應用方法1:不等式(組)中的分類討論1.(2022·黔東南州)在解決數學實際問題時，常常用到數形結合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數-1的點的距離，x-2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離.當x|+1|+|x-2|取得最小值時，x的取值范圍是()A.x≤-1B.x≤-1或x2.(2023·淄博)某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振興，決定在“五一”期間對團隊*旅游實行門票特價優惠活動，價格如下表：購票人數m(人)每人門票價(元)*題中的團隊人數均不少于10人.現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人.(1)如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人?(2)如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人?方法2:方程中的轉化思想3.(2023·德陽)在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m.王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，74方法3:根的判別式4.(2023·廣元)關于x的一元二次方程A.有兩個不相等的實數根根的情況，下列說法中正確的是()B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.無法確定5.(2022·泰州)方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數根，則m的值為方法4:增長率問題6.(2022·河池)某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，三月份的口罩產量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x.則所列方程為()A.30(1+x)2=50B.30(1-x)C.30(1+x2)=50D.7.(2022·寧夏)受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x,根據題意列出方程，正確的是()方法5:圖形面積問題8.(2023·黑龍江)如圖，在長為100m,寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2,則小路的寬是()9.(2022·泰州)如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2,道路的寬應為多少?10.(2022·德州)如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35m,15m.現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地(1)若擴充后的矩形綠地面積為800m,求新的矩形綠地的長與寬；(2)擴充后，實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5:3.求新的矩形綠地面積.方法6:商品銷售問題進貨價和銷售價如下表：(注：利潤=銷售價-進貨價)A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價(元/件)銷售價(元/件)(1)網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件(進貨價和銷售價都不變),且進貨總價不高于2200元.應如何設計進貨方案，才(3)冬奧會臨近結束時，網店打算把B款鑰匙扣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件.經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元?12.(2023·赤峰)某集團有限公司生產甲乙兩種電子產品共8萬件，準備銷往東南亞國家和地區.已知2件甲種電子產品與3件乙種電子產品的銷售額相同；3件甲種電子產品比2件乙種電子產品的銷售額多1500元.(1)求甲種電子產品與乙種電子產品銷售單價各多少元?(2)若使甲乙兩種電子產品的銷售總收入不低于5400萬元，則至少銷售甲種電子產品多少件?13.(2022·湖北)某班去革命老區研學旅行，研學基地有甲乙兩種快餐可供選擇，買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.(1)買一份甲種快餐和一份乙種快餐各需多少元?(2)已知該班共買55份甲乙兩種快餐，所花快餐費不超過1280元，問至少買乙種快餐多少份?14.(2023·內江)某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果.某超市看好甲、乙售價(元/千克)甲a乙b該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元.(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克.實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售，求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y(元)與購進甲種水果的數量x(千克)之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)在(2)的條件下，超市在獲得的利潤y(元)取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率(利潤率=本金))不低于16%,求m的最大值.方法7:方案選擇問題15.(2022·牡丹江)某工廠準備生產A和B兩種防疫用品，已知A種防疫用品每箱成本比B種防疫用品每箱成本多500元.經計算，用6000元生產A種防疫用品的箱數與用4500元生產B種防疫用品的箱數相等，請解答下列問題：(1)求A,B兩種防疫用品每箱的成本；(2)該工廠計劃用不超過90000元同時生產A和B兩種防疫用品共50箱，且B種防疫用品不超過25箱，該工廠有幾種生產方案?(3)為擴大生產，廠家欲拿出與(2)中最低成本相同的費用全部用于購進甲和乙兩種設備(兩種都買).若甲種設備每臺2500元，乙種設備每臺3500元，則有幾種購買方案?最多可購買甲，乙兩種設備共多少臺?(請直接寫出答案即可)少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元.銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元.(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元?(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍.(3)在(2)的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些?并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少?易錯點1:運用等式性質時，兩邊同除以一個數必須要注意不能為0的情況.1.(2022·青海)根據等式的性質，下列各式變形正確的是()C.若a2=b2,則a=bD.若則x=-2易錯點2:一元一次方程的解以及解方程：計算思路要清晰、計算要準確，否則很容易失分。2.(2003·綿陽)當a=0時，方程ax+b=0(其中x是未知數，b是已知數)A.有且只有一個解B.無解C.有無限多個解D.無解或有無限多個解易錯點3:解二元一次方程：注意題目給出的條件，充分利用條件進行解答。3.(2023·無錫)下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是()易錯點4:一元二次方程中相關字母的取值范圍的題目易忽視二次項系數不為0。解這類問題一定要掌握一元二次方程的定義，注意特殊字母的取值范圍：4.(2023·桐柏縣一模)關于x的方程(m+1)xm+1-mx+6=0是一元二次方程，則m的值是易錯點5:一元二次方程的解：靈活運用求解的幾種方法，另外，結合整體代入法進行考查時也是是一個特別容易出錯的點，需特別留意。6.(2023·婁底)若m是方程x2-2x-1=0的根，則易錯點6:解分式方程時首要步驟去分母，分數線相當于括號，易忘記根檢驗，導致運算結果出錯。另外注意方程無解時，相關字母可能會出現多個解，容易遺漏：7.(2023·山西)解方程：8.(2023·陜西)解方程：9.(2023·西藏)解分式方程：10.(2023·廣西)解分式方程：11.(2022·眉山)解方程：12.(2022·青海)解方程：13.(2022·玉林)解方程：易錯點7:運用不等式的性質3時，容易忘記改變不等號的方向而導致結果出錯。注意結合不等號兩邊的正負性靈活轉變不等號的方向。不等式(組)的解得問題要先確定解集，確定解集的方法運用數軸。:14.(2022·宿遷)如果x<y,那么下列不等式正確的是()A.x-1>y-1B.x+1>y+1C.-2x<-2y易錯點8:關于一元一次不等式組有解、無解的條件易忽視相等的情況。解不等式過程中，容易忽視整數解的正確選擇，需要考慮到解題步驟中要滿足每個步驟及相關條件：15.(2022·內蒙古)關于x的不等式紅無解，則a的取值范圍是16.(2022·黑龍江)若關于x的一元一次不等式的解集為x<2,則a的取值范易錯點9:不等式(組)的解的問題要先確定解集，注意包含與不包含，以及對正整數，整數，非負整數等關鍵詞理解要透徹，容易概念混亂。確定解集的方法運用數軸。:17.(2023·陜西)解不等式組：18.(2023·福建)解不等式組：19.2023·常州)解不等式把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解.20.(2023·濟南)解不等式組：,并寫出它的所有整數解.21.(2022·淮安)解不等式組：并寫出它的正整數解.22.(2022·揚州)解不等式并求出它的所有整數解的和.23.(2022·西寧)解不等式組：并寫出該不等式組的最大整數解.易錯點10:方程與不等式應用于實際問題時應注意：(1)單位要統一；(2)找等量關系必須準確；(3)列方程組時要避免出現0=0的情況。在一元二次方程中容易忽略多個解24.(2023·懷化)某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿.(1)求原計劃租用A種客車多少輛?這次研學去了多少人?(2)若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案?(3)在(2)的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算?25.(2022·遂寧)某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球.已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元.(1)求籃球和足球的單價分別是多少元；(2)學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元.那么有哪幾種購買方案?26.(2023·淮安)為了便于勞動課程的開展，學校打生態園一面靠墻(墻足夠長),另外三面用18m的籬笆圍成.生態園的面積能否為40m2?如果能，請求出AB的長；如果不能，請說明理由.墻27.(2023·郴州)隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人.(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；(2)預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待28.(2022·眉山)建設美麗城市，改造老舊小區.某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現假定每年投入資金的增長率相同.(1)求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率；(2)2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元.2022年為提高老舊小區品質，每個小區改造費用增加15%.如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區?29.(2022·畢節市)2022北京冬奧會期間，某網店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：(注：利潤=銷售價-進貨價)A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價(元/件)銷售價(元/件)(1)網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件(進貨價和銷售價都不變),且進貨總價不高于2200元.應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少?(3)冬奧會臨近結束時，網店打算把B款鑰匙扣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件.經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元?一.一元一次方程的解(共1小題)1.(2023·永州)關于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1,則m的值為()二.解一元一次方程(共1小題)A.9B三.由實際問題抽象出一元一次方程(共1小題)3.(2023·成都)《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一，書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何?其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問木長多少尺?設木長x尺，則可列方程為()四.一元一次方程的應用(共5小題)4.(2023·臺灣)有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時，兩人在吊橋上的某點交會，且交會之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步的距離相等，則交會之后小維再走多少步會恰好走到東向良名向良名小維A.46B.505.(2023·德陽)在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m.王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則m=.746.(2023·河北)某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖.珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數，需重新投.計分規則如下：投中位置A區脫靶一次計分(分)31在第一局中，珍珍投中A區4次，B區2次.脫靶4次.(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A區k次，B區3次，其余全部脫靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值.7.(2023·臨沂)大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月(30天)的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金.當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金.(1)這臺M型平板電腦價值多少元?(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬(用含m的代數式表示)?乙區的農田多10000畝，甲區農田的80%和乙區全部農田均適宜試種，且兩區適宜試種農田的面積剛好相同.(1)求甲、乙兩區各有農田多少畝?(2)在甲、乙兩區適宜試種的農田全部種上油菜后，為加強油菜的蟲害治理，基地派出一批性能相同的無人機，對試種農田噴灑除蟲藥，由于兩區地勢差別，派往乙區的無人機架次是甲區的1.2倍(每架次無人機噴灑時間相同),噴灑任務完成后，發現派往甲區的每架次無人機比乙區的平均多噴泥畝，求派往甲區每架次無人機平均噴灑多少畝?五.由實際問題抽象出二元一次方程(共1小題)9.(2023·溫州)一瓶牛奶的營養成分中，碳水化合物含量是蛋白質的1.5倍，碳水化合物、蛋白質與脂肪的含量共30g.設蛋白質、脂肪的含量分別為x(g),y(g),可列出方程六.二元一次方程的應用(共3小題)10.(2023·黑龍江)某社區為了打造“書香社區”,豐富小區居民的業余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A,B,C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本(三種圖書都要買),此次采購的方案有()11.(2023·西藏)列方程(組)解應用題如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成.(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積.12.(2023·海南)2023年5月10日，搭載天舟六號貨運飛船的長征七號遙七運載火箭，在星發射中心參觀學習.已知該校租用甲、乙兩種不同型號的客車共15輛，租用1輛甲型客車需600元，1輛乙型客車需500元，租車費共8000元，問甲、乙兩種型號客車各租多少輛?七.二元一次方程組的解(共1小題)13.(2023·眉山)已知關于x,y的二元一次方程組的解滿足x-y=4,八.解二元一次方程組(共3小題)九.由實際問題抽象出二元一次方程組(共3小題)17.(2023·西寧)《孫子算經》中有一道題，原文是：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何?意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺?設木長x尺，繩長y尺，根據題意列方程組得()18.(2023·浙江)我國古代數學名著《張丘建算經》中有這樣一題：一只公雞值5錢，一只母雞值3錢，3只小雞值1錢，現花100錢買了100只雞.若公雞有8只，設母雞有x只，小雞有y只，可列方程組為四.問人數、物價各幾何?”題目大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元.問有多少人?該物品價值多少元?設有x人，該物品價值y元，一十.二元一次方程組的應用(共3小題)20.(2023·巴中)某學校課后興趣小組在開展手工制作活動中，美術老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側面，另一部分做底面.已知每張卡紙可以裁出2個側面，或者裁出3個底面，如果1個側面和2個底面可以做成一個包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個數為()21.(2023·重慶)某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩種食品.(1)該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份?(2)由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多50%,每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份?22.(2023·宜昌)為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節吃粽子的習俗.某顧客端午節前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍.肉粽數量小歡媽媽小樂媽媽(1)求豆沙粽和肉粽的單價；(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數量(單位：個)和付款金額(單位：元);①根據上表，求豆沙粽和肉粽優惠后的單價；②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A,B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子(包裝成本忽略不計),每包的銷售價格按其中每個粽子優惠后的單價合計.A,B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A包裝中的豆沙粽數量不超過肉粽的一半.端午節當天統計發現，A,B兩種包裝的銷量分別為(80-4m)包，(4m+8)包，A,B兩種包裝的銷售總額為17280元.求m的值.十一.一元二次方程的解(共1小題)23.(2023·綿陽)若x=3是關于x的一元二次方程的一個根，下面對a的值估計正確的是()十二.解一元二次方程-配方法(共1小題)24.(2023·赤峰)用配方法解方程x2-4x-1=0時，配方后正確的是()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17十三.根的判別式(共2小題)25.(2023·錦州)若關于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有兩個實數根，則k的取值范圍是26.(2023·朝陽)若關于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是()十四.根與系數的關系(共5小題)27.(2023·西藏)已知一元二次方程x2-3x+2=0的兩個根為xi、x?,則的值為()28.(2023·岳陽)已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數根x?、x?,且x?+x?+x?x?=2,則實數m=.29.(2023·湖北)已知一元二次方程x2-3x+k=0的兩個實數根為x?,x?,若x1x?+2x?+2x?=30.(2023·襄陽)關于x的一元二次方程x2+2x+3-k=0有兩個不相等的實數根.(2)若方程的兩個根為α,β,且k2=aβ+3k,求k的值.31.(2023·南充)已知關于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若x?,x?是方程的兩個實數根，求m的值.十五.由實際問題抽象出一元二次方程(共2小題)32.(2023·阜新)近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元.設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x,則所列方程正確的是()A.16(1+x)2=23B.23(1-x)2=16C.23-23(1-x)2=16D.23(1-2x)=1633.(2023·衢州)某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感.設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程()A.x+(1+x)=36B.2(1+x)C.1+x+x(1+x)=36D.1+x+x2=36十六.一元二次方程的應用(共1小題)34.(2023·大連)為了讓學生養成熱愛圖書的習慣，某學校抽出一部分資金用于購買書籍.已知2020年該學校用于購買圖書的費用為5000元，2022年用于購買圖書的費用是7200元，求2020-2022年買書資金的平均增長率.十七.配方法的應用(共1小題)35.(2023·鹽城)課堂上，老師提出了下面的問題：試比較M與N的大小.小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與2x-1的大小.小華：∵(x2+1)-(2x-1)=x2+1-2x+1=(x-1)2+1>0,老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎?(1)請用“作差法”完成老師提出的問題.(2)比較大小：(填“>""=”或“<”)十八.分式方程的解(共1小題)36.(2023·黑龍江)已知關于x的分式方的解是非負數.則m的取值范圍是A.m≤2B.m≥2C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠-2十九.解分式方程(共2小題)37.(2023·益陽)分式方程的解是38.(2023·赤峰)方程1的解為二十.分式方程的增根(共1小題)39.(2023·巴中)關于x的分式方有增根，則m=二十一.由實際問題抽象出分式方程(共5小題)40.(2023·青海)為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學校八年級師生在清明節期間前往距離學校15km的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了30min后，其余師生乘汽車出發，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設騎車師生的速度為xkm/h.根據題意，下列方程正確的是()41.(2023·云南)閱讀，正如一束陽光.孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界.某區教育體育局向全區中小學生推出“童心讀書會”的分享活動.甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發，參加分享活動.甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點.若設乙同學的速度是x米/分，則下列方程正確的是()42.(2023·青島)某校組織學生進行勞動實踐活動，用1000元購進甲種勞動工具，用2400元購進乙種勞動工具，乙種勞動工具購買數量是甲種的2倍，但單價貴了4元.設甲種勞動工具單價為x元，則x滿足的分式方程為43.(2023·呼和浩特)甲、乙兩船從相距150km的A,B兩地同時勻速沿江出發相向而行，甲船從A地順流航行90km時與從B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h,則江水的流速為km/h.經營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數量比用175元購進B型玩具的數量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍.(1)求兩種型號玩具的單價各是多少元?根據題意，甲、乙兩名同學分別列出如下方程：甲：解得x=5,經檢驗x=5是原方程的解.乙：解得x=65,經檢驗x=65是原方程的解.則甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示(2)該經營者準備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個?二十二.分式方程的應用(共4小題)45.(2023·南通)為推進全民健身設施建設，某體育中心準備改擴建一塊運動場地.現有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：信息一工程隊每天施工面積(單位：m2)每天施工費用(單位：甲乙x信息二甲工程隊施工1800甲工程隊施工1800m2所需天數與乙工程隊施工1200m2所需天數相等.(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m2.該段時間內體育中心至少需要支付多少施工費用?46.(2023·通遼)某搬運公司計劃購買A,B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數相同.(1)求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸?(2)每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案.1200元購買A型玩具的數量比用1500元購買B型玩具的數量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍.(2)若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A,B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個?48.(2023·長春)隨著中國網民規模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢推出數字敦煌文化大使“伽瑤”,受到廣大敦煌文化愛果提前5天完成任務，問原計劃平均每天制作多少個擺件?二十三.不等式的解集(共1小題)49.(2023·黃石)若實數a使關于x的不等式的解集為-1<x<4,則實數a的取值范圍為二十四.解一元一次不等式(共2小題)50.(2023·鹽城)解不等式并把它的解集在數軸上表示出來.51.(2023·寧夏)解不等式組下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：任務一：該同學的解答過程第步出現了錯誤，錯誤原因是;不等式①的正確解集是任務二：解不等式②,并寫出該不等式組的解集.二十五.一元一次不等式的應用(共3小題)共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元.(1)求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；(2)若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本?53.(2023·哈爾濱)佳衣服裝廠給某中學用同樣的布料生產A,B兩種不同款式的服裝，每套A款服裝所用布料的米數相同，每套B款服裝所用布料的米數相同.若1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服裝和1套B款服裝需用布料7米.(1)求每套A款服裝和每套B款服裝需用布料各多少米；(2)該中學需要A,B兩款服裝共100套，所用布料不超過168米，那么該服裝廠最少需要生產多少套B款服裝?54.(2023·湖北)創建文明城市，構建美好家園.為提高垃圾分類意識，幸福社區決定采購A,B兩種型號的新型垃圾桶.若購買3個A型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元，購買6個A型垃圾桶和5個B型垃圾桶共需要860元.(1)求兩種型號垃圾桶的單價；(2)若需購買A,B兩種型號的垃圾桶共200個，總費用不超過15000元，至少需購買A型垃圾桶多少個?二十六.解一元一次不等式組(共4小題)55.(2023·廣州)不等式的解集在數軸上表示為()56.(2023·威海)解不等式時，不等式①②的解集在同一條數軸上表示正確1157.(2023·北京)解不等式組：58.(2023·湘潭)解不等式組：并把它的解集在數軸上表示出來.二十七.一元一次不等式組的整數解(共2小題)59.(2023·綿陽)關于x的不等式有且只有兩個整數解，則符合條件的所有整數A.11B.1560.(2023·宜賓)若關于x的不等式所有整數解的和為14,則整數a的值為 一次一次方程(組)及其應用1.若a=b,則a±c=b±c(用于解方程中的移項)等式的性質2.若a=b,則ac=be(用于解方程中的去分母),用于解方程中的系數化為1)及在解方程一元一次方一元一次方3.移項：把含有未知數的項都移到等號的左邊，常數項都移到等號的右邊(記住移項一程及其解法|解法步驟定要④變號)二元一次方程二元一次方程組的解：二元一次方程組中的兩個方程的公共解組及其解法代入消元法：方程組中有一個方程未知數的系數是1或-1時，選擇代入消元法比較簡單(1)方程組中一個未知數的系數相等或互為相反數時，選擇加組的基本方法打折銷售問題：售價=標價×折扣(打幾折，折扣就是百分之幾十),銷售額=售價×銷量一次方程(組)購買分配問題：總費用=甲的數量×甲的單價+乙的數量×乙的單價的實際應用常見類型及關系解分式方分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根使分式方程分母為0.【滿分技法】列分式方程解實際應用題必須驗根，既要看原方程是否有增根(原方程增根應舍去),又要看是否符合實際情況.江分式方程及其解法分式方程及其應用-概念：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是①2的整式方程叫做一元二次方程1.形如(x+h)2=k(h、k為常數，k≥0)的方程2.方程缺少一次項時，即方程ax2二次項系數化為1后，一次項系(1)化二次項系數為1:兩邊同時除以a得(2)常數項移右邊,即(4)直接開平方[一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為③b2-4ac根的判別式判別式與根的關程有兩個④不相等的實數根方程有兩個相等的實數根一元二次方程根與系數的關系(水選學):方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x..x.[1.增長率=基礎量×100%;平均增長率(下類型及關系2.改a為基礎量，b為變化后的量，則每每問題：總利潤=(售價-成本)×數量一一次不等式(組)的實際應用的[1.如圖1,設空白部分的寬為x,則Sm=⑨(a-2x)(b-2x)2.如圖2,設陰影部分的寬為x,則S=⑩(a-x)(b-x)3.如圖3,設陰影部分的寬為x,則S=4.如圖4,欄桿總長為a,BC的長為b,則面積問題互贈禮物問題人區和送單分收為n-1)若a>b,則a±c①>b±c不等式的基本性質若a>b,c>0,那么a③>be,"不等式的基本性質一般解答步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1一一般解答步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1總結aa一般解答步驟：先求出不等式組中各個不等式的解關于x的不等式組的解集及其在數軸上表示的四種情況如下類型(a>b)口訣同大取大同小取小取中間大大小小取不了元二次方程及其應用元二次方程及其應用方法1:不等式(組)中的分類討論義是數軸上表示數x的點與表示數-1的點的距離，|x-2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離.當x|+1|+x-2|取得最小值時，x的取值范圍是()A.x≤-1B.x≤-1【分析】以-1和2為界點，將數軸分成三部分，對x的值進行分類討論，然后根據絕對值的意義去絕對值符號，分別求出代數式的值進行比較即可.【解答】解：如圖，綜上所述，當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|取得最小值，所以當|x+1|+lx-2|取得最小值時，x的取值范圍故選C.【點評】本題結合數軸考查了絕對值的意義以及絕對值的性質，解題的關鍵是以-1和2為界點對x的值進行分類討論，進而得出代數式的值.2.(2023·淄博)某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振興，決定在“五一”期間對團隊*旅游實行門票特價優惠活動，價格如下表：購票人數m(人)每人門票價(元)*題中的團隊人數均不少于10人.現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人.(1)如果兩個團隊分別購票，一共應付5580元，問甲、乙團隊各有多少人?(2)如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各少于1200元，問甲團隊最少多少人?【分析】(1)設甲團隊有x人，乙團隊(102-x)人，但需要考慮乙團隊人數是否大于100,所以分類討論即可.甲團隊按票價是每人80元，乙團隊按票價是每人60元，如果乙超過100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構成甲的人數，因為此時甲的人數只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數在50以下，乙人數在51到100之間，聯列方程即可；(2)兩個團隊要合起來購票的話，每人40元，列出一共購票的錢和各自購票的錢之和，【解答】解：(1)設甲人數x人，乙人數(102-x)人；∵當乙大于100人時，此時甲人數只能是1人，共花的價格不夠5580元；∴乙人數在51到100之間，甲人數在10到50之間；∴甲48人，乙54人；答：甲團隊48人，乙團隊54人.(2)設甲人數x人，乙人數(102-x)人；甲乙一起買價格：102×40=4080(元);∴甲最少18人；答：甲團隊最少18人.【點評】本題考查學生不等式的基本應用，屬于基礎題.方法2:方程中的轉化思想3.(2023·德陽)在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m.王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則m=_3974【分析】設九宮格中最中間的數為x,由于第1列中間數與第2行的最左側的數重合，建立方程16+4=7+x,求得x,根據九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和等于最中間數的三倍所以m=3x.【解答】解：設九宮格中最中間的數為x,∵第1列中間數與第2行的最左側的數重合，根據九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和等于最中間數的三倍，故答案為：39.【點評】本題考查了九宮格的知識，根據九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等的規律，觀察九宮格中數的排列特征建立方程是解決問題的關鍵.方法3:根的判別式4.(2023·廣元)關于x的一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是()A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.無法確定【分析】先確定a、b、c的值，在計算b2-4ac即可.∴方程沒有實數根.【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程中根的判別式大于0,方程有兩個不相等的實數根；根的判別式等于0,方程有兩個相等的實數根；根的判別式小于0,方程無解.5.(2022·泰州)方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數根，則m的值為1【分析】由題可得△=(-2)2-4×1×m=0,即可得m的值.【解答】解：∵方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數根，解得m=1.故答案為：1.【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則△=b2-4ac>0;若一元二次方程有兩個相等的實數根，則△=b2-4ac=0;若一元二次方程沒有實數根，則△=b2-4ac<0.方法4:增長率問題6.(2022·河池)某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，三月份的口罩產量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x.則所列方程為()A.30(1+x)2=50B.C.30(1+x2)=50D.30(【分析】若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x,某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，則二月份的口罩產量是30(1+x)萬個，三月份的口罩產量是30(1+x)2萬個，根據三月份的口罩產量是50萬個，列出方程即可.【解答】解：設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x,由題意得，30(1+x)2=50.【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出各月的產量是解題關鍵.7.(2022·寧夏)受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x,根據題意列出方程，正確的是()【分析】利用該地92號汽油五月底的價格=該地92號汽油三月底的價格×(1+該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率)2,即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.【解答】解：依題意得6.2(1+x)2=8.9,【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的感覺.方法5:圖形面積問題8.(2023·黑龍江)如圖，在長為100m,寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2,則小路的寬是()【分析】設小路的寬是xm,則余下的部分可合成長為(100-2x)m,寬為(50-2x)m的【解答】解：設小路的寬是xm,則余下的部分可合成長為(100-2x)m,寬為(50-2x)解得：xi=5,x?=70(不符合題意，舍去),∴小路的寬是5m.【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.9.(2022·泰州)如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2,道路的寬應為多少?【分析】要求路寬，就要設路寬應為x米，根據題意可知：矩形地面-所修路面積=草坪面積，利用平移更簡單，依此列出等量關系解方程即可.【解答】解：設路寬應為x米根據等量關系列方程得：(50-2x)(38-2x)=1260,40不合題意，舍去，答：道路的寬應為4米.【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.10.(2022·德州)如圖，某小區矩形綠地的長寬分別為35m,15m.現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.(1)若擴充后的矩形綠地面積為800m,求新的矩形綠地的長與寬；(2)擴充后，實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5:3.求新的矩形綠地面積.【分析】(1)設將綠地的長、寬增加xm,則新的矩形綠地的長為(35+x)m,寬為(15+x)m,根據擴充后的矩形綠地面積為800m,即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值分別代入(35+x)及(15+x)中，即可得出結論；(2)設將綠地的長、寬增加ym,則新的矩形綠地的長為(35+y)m,寬為(15+y)m,根據實地測量發現新的矩形綠地的長寬之比為5:3,即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面積計算公式，即可求出新的矩形綠地面積.【解答】解：(1)設將綠地的長、寬增加xm,則新的矩形綠地的長為(35+x)m,寬為根據題意得：(35+x)(15+x)=800,解得：x1=5,x?=-55(不符合題意，舍去),答：新的矩形綠地的長為40m,寬為20m.(2)設將綠地的長、寬增加ym,則新的矩形綠地的長為(35+y)m,寬為(15+y)m,即3(35+y)=5(15+y),答：新的矩形綠地面積為1500m2.【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應找準等量關系，正確列出一元二次方程；(2)找準等量關系，正確列出一元一次方程.方法6:商品銷售問題進貨價和銷售價如下表：(注：利潤=銷售價-進貨價)類別價格B款鑰匙扣進貨價(元/件)銷售價(元/件)(1)網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數；(2)第一次購進的冰墩墩鑰匙扣售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件(進貨價和銷售價都不變),且進貨總價不高于2200元.應如何設計進貨方案，才(3)冬奧會臨近結束時，網店打算把B款鑰匙扣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件.經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元?【分析】(1)設購進A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，利用總價=單價×數量，結合該網店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，即可得出關于x,y的二元一次方程(2)設購進m件A款鑰匙扣，則購進(80-m)件B款鑰匙扣，利用總價=單價×數量，結合總價不超過2200元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設再次購進的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，利用總利潤=每件的銷售利潤×銷售數量，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題；(3)設B款鑰匙扣的售價定為a元，則每件的銷售利潤為(a-25)元，平均每天可售出(78-2a)件，利用平均每天銷售B款鑰匙扣獲得的總利潤=每件的銷售利潤×平均每天的銷售量，即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出結論.【解答】解：(1)設購進A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，答：購進A款鑰匙扣20件，B款鑰匙扣10件.(2)設購進m件A款鑰匙扣，則購進(80-m)件B款鑰匙扣，依題意得：30m+25(80-m)≤2200,設再次購進的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，則w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960.∴當m=40時，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080,此時80-m=80-40=40.答：當購進40件A款鑰匙扣，40件B款鑰匙扣時，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是1080元.(3)設B款鑰匙扣的售價定為a元，則每件的銷售利潤為(a-25)元，平均每天可售出解得：a?=30,a?=34.答：將銷售價定為每件30元或34元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元.【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用、一元二次方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式；(3)找準等量關系，正確列出一元二次方程.12.(2023·赤峰)某集團有限公司生產甲乙兩種電子產品共8萬件，準備銷往東南亞國家和地區.已知2件甲種電子產品與3件乙種電子產品的銷售額相同；3件甲種電子產品比2件乙種電子產品的銷售額多1500元.(1)求甲種電子產品與乙種電子產品銷售單價各多少元?(2)若使甲乙兩種電子產品的銷售總收入不低于5400萬元，則至少銷售甲種電子產品多少件?“2件甲種電子產品與3件乙種電子產品的銷售額相同；3件甲種電子產品比2件乙種電子產品的銷售額多1500元”,可列出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論； (2)設銷售甲種電子產品m萬件，則銷售乙種電子產品(8-m)萬件，利用銷售總額=銷售單價×銷售數量，結合銷售總額不低于5400萬元，可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論.【解答】解：(1)設甲種電子產品的銷售單價是x元，乙種電子產品的銷售單價是y元，根據題意得：解得：答：甲種電子產品的銷售單價是900元，乙種電子產品的銷售單價是600元；(2)設銷售甲種電子產品m萬件，則銷售乙種電子產品(8-m)萬件，根據題意得：900m+600(8-m)≥5400,∴m的最小值為2.答：至少銷售甲種電子產品2萬件.【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.13.(2022·湖北)某班去革命老區研學旅行，研學基地有甲乙兩種快餐可供選擇，買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.(2)已知該班共買55份甲乙兩種快餐，所花快餐費不超過1280元，問至少買乙種快餐多少份?【分析】(1)設購買一份甲種快餐需要x元，購買一份乙種快餐需要y元，根據“買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元”,即可(2)設購買乙種快餐m份，則購買甲種快餐(55-m)份，利用總價=單價×數量，結合總價不超過1280元，即可列出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論.【解答】解：(1)設購買一份甲種快餐需要x元，購買一份乙種快餐需要y元，答：購買一份甲種快餐需要30元，購買一份乙種快餐需要20元.(2)設購買乙種快餐m份，則購買甲種快餐(55-m)份，依題意得：30(55-m)+20m≤1280,答：至少買乙種快餐37份.【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.14.(2023·內江)某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果.某超市看好甲、乙水果種類進價(元/千克)售價(元/千克)甲a乙b該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元.(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克.實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售，求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y(元)與購進甲種水果的數量x(千克)之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)在(2)的條件下，超市在獲得的利潤y(元)取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價3m元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率)不低于16%,求m的最大值.【分析】(1)根據信息列二元一次方程得出答案；(2)分類討論，分別求出30≤x≤60和60<x≤80時的函數關系；(3求出當x為多少時，y值最大，利用利潤率公式得到關于m的不等式，解出m的最大【解答】解：(1)由題可列(2)由題可得當30≤x≤60時，y=(20-14)x+(23-19)(100-x)=2x+當60<x≤80時，y=(20-3-14)(x-60)+(20-14)×60+(23-19)(100-x)=-x+答：超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y(元)與購進甲種水果的數量x(千克)之間的答：m的最大值為1.2.【點評】本題以應用題為背景考查了一次函數的應用、二元一次方程組的應用、解一元一次不等式，解題的關鍵是明確題意，根據公式正確列出關系式.本題難度適中，常為期末考試題.方法7:方案選擇問題15.(2022·牡丹江)某工廠準備生產A和B兩種防疫用品，已知A種防疫用品每箱成本比B種防疫用品每箱成本多500元.經計算，用6000元生產A種防疫用品的箱數與用4500元生產B種防疫用品的箱數相等，請解答下列問題：(1)求A,B兩種防疫用品每箱的成本；(2)該工廠計劃用不超過90000元同時生產A和B兩種防疫用品共50箱，且B種防疫用品不超過25箱，該工廠有幾種生產方案?(3)為擴大生產，廠家欲拿出與(2)中最低成本相同的費用全部用于購進甲和乙兩種設備(兩種都買).若甲種設備每臺2500元，乙種設備每臺3500元，則有幾種購買方案?最多可購買甲，乙兩種設備共多少臺?(請直接寫出答案即可)【分析】(1)設B種防疫用品的成本為x元/箱，則A種防疫用品的成本為(x+500)元/箱，利用數量=總價÷單價，結合用6000元生產A種防疫用品的箱數與用4500元生產B種防疫用品的箱數相等，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出B種防疫用品的成本，再將其代入(x+500)中即可求出A種防疫用品的成本；(2)設生產m箱B種防疫用品，則生產(50-m)箱A種防疫用品，根據“該工廠計劃用不超過90000元同時生產A和B兩種防疫用品共50箱，且B種防疫用品不超過25箱”,即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數，即可得出該工廠共有6種生產方案；(3)設(2)中的生產成本為w元，利用生產成本=A種防疫用品的成本×生產數量+B種防疫用品的成本×生產數量，即可得出關于w關于m的函數關系式，利用一次函數的性質即可求出(2)中最低成本，設購買a臺甲種設備，b臺乙種設備，利用總價=單價×數量，即可得出關于a,b的二元一次方程，結合a,b均為正整數，即可得出各購買方案，再將其代入a+b中即可得出結論.【解答】解：(1)設B種防疫用品的成本為x元/箱，則A種防疫用品的成本為(x+500)經檢驗，x=1500是原方程的解，且符合題意，答：A種防疫用品的成本為2000元/箱，B種防疫用品的成本為1500元/箱.(2)設生產m箱B種防疫用品，則生產(50-m)箱A種防疫用品，解得：20≤m≤25.∴m可以為20,21,22,23,24,25,∴該工廠共有6種生產方案.(3)設(2)中的生產成本為w元，則w=2000(50-m)+1500m=-500m+100000,∴當m=25時，w取得最小值，最小值=-500×25+100000=87500.設購買a臺甲種設備，b臺乙種設備，依題意得：2500a+3500b=87500,又∵a,b均為正整數，或或或∴a+b=33或31或29或27.∴共有4種購買方案，最多可購買甲，乙兩種設備共33臺.【點評】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用、一次函數的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；(3)找準等量關系，正確列出二元一次方16.(2023·湘西州)2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元.銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元.(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元?(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍.(3)在(2)的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些?并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少?【分析】(1)列方程組即可求出兩種風扇的進價，(2)列一元一次不等式組求出取值范圍即可，(3)再求出利潤和自變量之間的函數關系式，根據函數的增減性確定當自變量為何值時，利潤最大，由關系式求出最大利潤.【解答】解：(1)設A、B型品牌小電器每臺的進價分別為x元、y元，根據題意得：解得：答：A、B型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元.(2)設購進A型品牌小電器a臺，由題意得：解得30≤a≤50,答：購進A種品牌小電器數量的取值范圍30≤a≤50.(3)設獲利為w元，由題意得：w=3a+4(150-a)=-a+600,∵所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，解得：a≤35,∵w隨a的增大而減小，∴當a=30臺時獲利最大，w最大=-30+600=570元，答：A型30臺，B型120臺，最大利潤是570元.【點評】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組解法和應用以及一次函數的圖象和性質等知識，搞清這些知識之間的相互聯系是解決問題的前提和必要條件.易錯點1:運用等式性質時，兩邊同除以一個數必須要注意不能為0的情況.1.(2022·青海)根據等式的性質，下列各式變形正確的是()C.若a2=b2,則a=bD.若則x=-2【分析】根據等式的性質，進行計算逐一判斷即可解答.B、若ac=bc(c≠0),則a=b,C、若a2=b2,則a=±b,故C不符合題意；,【點評】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵.易錯點2:一元一次方程的解以及解方程：計算思路要清晰、計算要準確，否則很容易失分。2.(2003·綿陽)當a=0時，方程ax+b=0(其中x是未知數，b是已知數)(A.有且只有一個解B.無解C.有無限多個解D.無解或有無限多個解【分析】分兩種情況進行討論(1)當a=0,b=0時；(2)當a=0,而b≠0.【解答】解：當a=0,b=0時，方程有無限多個解；當a=0,而b≠0時，方程無解.【點評】本題考查了一元一次方程的解的情況，要分情況討論在判斷.易錯點3:解二元一次方程：注意題目給出的條件，充分利用條件進行解答。3.(2023·無錫)下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是()【分析】二元一次方程2x