武威市2023年初中畢業、高中招生考試

數學試卷

考生注意：本試卷滿分為120分，考試時間為120分鐘,所有試題均在答題卡上作答，否則

無效.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項.

L9的算術平方根是()

A.±3B.±9C.3D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】由3?=9,可得9的算術平方根.

【詳解】解：9的算術平方根是3,

故選C

【點睛】本題考查的是算術平方根的含義，熟練的求解一個數的算術平方根是解本題的關鍵.

2.若@=一,則?！?()

2b

.,3「2

A.6B.-C.1D.一

23

【答案】A

【解析】

【分析】根據等式的性質即可得出結果.

【詳解】解：等式兩邊乘以2〃，得加?=6,

故選：A.

【點睛】本題考查/等式的性質，熟練掌握等式的性質是本題的關鍵.

3.計算：2。=()

A.2B.a2C.a2+2aD.a2-2a

【答案】B

【解析】

【分析】先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解：a(a+2)-2a=a2+2ci-2a=a2,

故選：B

【點睛】此題考查了整式的四則混合運算，熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵.

4.若直線y=6（A是常數，ZwO）經過第一、第三象限，則％的值可為（）

1

A.-2B.-1C.——D.2

2

【答案】D

【解析】

【分析】通過經過的象限判斷比例系數2的取值范圍，進而得出答案.

【詳解】?.■直線），=6（〃是常數，女工0）經過第一、第三象限，

A>（）,

???k的值可為2,

故選：D.

【點睛】本題考查正比例函數的圖象與性質，熟記比例系數與圖象經過的象限之間的關系是解題的關鍵.

5.如圖，8。是等邊“5。的邊AC上的高，以點。為圓心，D8長為半徑作弧交8C的延長線于點￡,

則NOEC=（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【解析】

【分析】由等邊三角形的性質求解/O8C='NA8c=30。，再利用等腰三角形的性質可得

2

/DBE=/DEB=30°，從而可得答案.

【詳解】解：T8D是等邊JASC的邊4c上的高，

???ZDBC=-ZABC=30°,

2

???DB=DE,

：?/DBE=/DEB=30。,

故選C

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質是解

本題的關鍵.

21

6.方程一二——的解為（）

xx+\

A.x=_2B.x=2C.x=—4D.x=4

【答案】A

【解析】

【分析1把分式方程轉化為整式方程求解，然后解出的解要進行檢驗，看是否為增根.

【詳解】去分母得2（x+l）=x,

解方程得x=-2,

檢驗：x=—2是原方程的解，

故選A.

【點睛】本題考查了解分式方程的一般步驟，解題關鍵是熟記解分式方程的基本思想是“轉化思想”，即

把分式方程轉化為整式方程求解，注意分式方程需要驗根.

7.如圖，將矩形A8C。對折，使邊A3與。C，與AO分別重合，展開后得到四邊形EFG”.若

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得四邊形EFG"是菱形，FH=AB=2,GE=BC=4,由菱形的面積等于對角線

乘積的?半即可得到答案.

【詳解】解：???將矩形A8CO對折，使邊A8與。C,8c與A。分別重合，展開后得到四邊形

EFGH,

:?EF上GH,石廠與G〃互相平分，

???四邊形石尸GH是菱形，

,:FH=AB=2,GE=BC=4,

???菱形EFGH的面積為‘尸"G￡=-x2x4=4.

22

故選：B

【點睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半

是解題的關鍵.

8.據統計，數學家群體是一個長壽群體，某研究小組隨機抽取了收錄約2200位數學家的《數學家傳略辭

典》中部分90歲及以上的長壽數學家的年齡為樣本，對數據進行整理與分析，統計圖表（部分數據?）如

下，下列結論錯誤的是（）

年齡范圍（歲）人數（人）

90-9125

92-93▼

94-95▼

96-9711

98-9910

100-101m

A.該小組共統計了100名數學家年齡

B.統計表中〃？的值為5

C.長壽數學家年齡在92-93歲的人數最多

D.《數學家傳略辭典》中收錄的數學家年齡在96-97歲的人數估計有110人

【答案】D

【解析】

【分析】利用年齡范圍為98-99的人數為10人，對應的百分比為10%,即可判斷A選項；由A選項可知

該小組共統計了100名數學家的年齡，根據機=100x5%=5即可判斷B選項；由扇形統計圖可知，長壽

數學家年齡在92—93歲的占的百分比最大,即可判斷C選項：用2200乘以小邠共統計了10（）名數學家的

年齡中在96—97歲的百分比，即可判斷D選項.

【詳解】解：A.年齡范圍為98-99的人數為1()人，對應的百分比為10%,則可得10?10%=100

(人)，即該小組共統計了100名數學家的年齡，故選項正確，不符合題意；

B.由A選項可知該小組共統計了100名數學家的年齡，則〃?=100x5%=5,故選項正確，不符合題

意；

C.由扇形統計圖可知，長壽數學家年齡在92-93歲的占的百分比最大，即長壽數學家年齡在92-93歲

的人數最多，故選項正確，不符合題意；

D.《數學家傳略辭典》中收錄的數學家年齡在96-97歲的人數估計有22()0x」-二242人，故選項錯

100

誤，符合題意.

故選:D.

【點睛】此題考查了扇形統計圖和統計表，從扇形統計圖和統計表中獲取正確信息，進行正確計算是解題

的關鍵.

9.如圖1,漢代初期的《淮南萬早術》是中國古代有關物理、化學的重耍文獻，書中記載了我國古代學者

在科學領域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人

利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線

位于法線的兩側；反射角等于人射角”.為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一

面￥面鏡可改變光路，當太陽光線A8與地面CD所成夾角ZABC=50。時，要使太陽光線經反射后剛好

垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡放與地面的夾角()

川

工

，

南

上

寓<

不

街

A.60°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【解析】

析】如圖，過BBQV平面鏡,可4QBE=/QBF=90。

/ABC+NCBQ=/ABQ=NMBQ,而NCBQ+NQBM=NCBM=90。,再建立方程

50。+NCBQ=90?！狽CBQ,可得NCBQ=20。,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，過8作4Q，平面鏡￡尸，

圖2

???/QBE=NQBF=90°,ZABC+ZCBQ=ZABQ=ZMBQ,

而乙CBQ+4QBM=乙CBM=90",

???50°+NCBQ=90°-ZCBQ,

???/C8Q=20°,

AZEBC=90°-20°=70%

故選B.

【點睛】本題考查的是垂直的定義，角的和差運算，角平分線的含義，屬于跨學科題，熟記基礎概念是解

本題的關鍵.

10.如圖1,正方形43co的邊長為4,￡為CQ邊的中點.動點P從點A出發沿A3->3C勻速運動,

運動到點C時停止.設點0的運動路程為x,線段總的長為兒V與％的函數圖象如圖2所示，則點M

C.（4,2百）D.（4,5）

【；1C

【解析】

【分析】證明A/?=8C=CO=4O=4,ZC=ZD=90°,CE=3E=2,則當P與A,B重合時，PE

最長，此時「￡=萬丁=2#，而運動路程為0或4,從而可得答案.

【詳解】解：???正方形A8CO的邊長為4,E為C。邊的中點，

A^=BC=CD=AD=4,ZC=ZD=90°,CE=DE=2,

當P與人，3重合時，PE最長，

此時PE="彳=2行，

運動路程為。或4,

結合函數圖象可得M(4,2石)，

故選C

【點睛】本題考查的是從函數圖象中獲取信息，正方形的性質，勾股定理的應用，理解題意，確定函數圖

象卜.橫縱坐標的含義是解本題的關鍵.

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.

11.因式分解：cue-2cix+a=.

【答案】r/(x-l)2

【解析】

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：O￥2-26U4-6Z=cz(x2-2x+l)=tz(x-l)2,

故答案為：6/(x-l)2

【點睛】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，掌握因式分解的方法與步驟是解本題的關鍵.

12.關于X的一元二次方程丁+2刀+4(7=0有兩個不相等的實數根，則c=(寫出一個滿足條件

的值).

【答案】一2(答案不唯一，合理即可)

【解析】

【分析】先根據關于x的一元二次方程f+2x+4c=0有兩個不相等的實數根得到A=4—16。>0,解得

C<-,根據C的取值范圍，選取合適的值即可.

4

【詳解】解：???關于x一元二次方程f+2x+4c=0有兩個不相等的實數根，

***A=22-4x1x4c=4-16c>0?

解得c<!，

4

當c=—2時，滿足題意，

故答案為：一2（答案不唯一，合理即可）

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當△二尸—4ac>0時，一元二次方程

加+汝+。=0（。工0）有兩個不相等的實數根是解題的關鍵.

13.近年來，我國科技工作者踐行“科技強國”使命，不斷取得世界級的科技成果，如由我國研制的中國

首臺作業型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度10907米，填補了中國水下萬米作業型無

人潛水器的空白；由我國自主研發的極目一號HI型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創造了

浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界記錄.如果把海平面以上9050米記作“+9050米”，那么海平

面以下10907米記作“米”.

【答案】-10907

【解析】

【分析】根據正負數表示相反的意義解答即可.

【詳解】解：把海平面以上9050米記作“十9050米”，則海平面以下10907米記作—10907米，

故答案為：-10907.

【點睛】此題考杳了正負數的理解：在一個事件中，規定一個量為正，則表示相反意義的量為負，正確理

解正負數表示一對相反的意義的量是解題的關鍵.

14.如圖，/BC內接于C）o,A8是。o的直徑，點。是0。上一點，NCDB=55。,則乙48C=

D

【答案】35

【解析】

【分析】由同弧所對的圓周角相等，得NA=NCD5=55。,再根據直徑所對的圓周角為直角，得NAC8=90。,

然后由直角三角形的性質即可得出結果.

【詳解】解：QNANCD3是8。所對的圓周角,

/.ZA=ZCD25=55°,

AB是C。的直徑，

vZ4CB=90°,

在RtZXACB中，ZABC=9()°-ZA=9()°-55°=35°,

故答案為：35.

【點睛】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質，利用了轉化的思想，熟練掌握圓周先定理是解

本題的關鍵.

15.如圖，菱形A8CZ)中，ZZMB=60°,BELAB，DF1CD,垂足分別為8,D,若

A8=6cm,則所=cm.

【答案】2百

【解析】

【分析】根據菱形的性質，含30。直角三角形的性質，及三角函數即可得出結果.

【詳解】解：在菱形A3CO中，ZDAB=60°,

ZDAB=ZDCB=60°,NBAC=ZDAC=NDCF=-ZDAB=30°,

2

QDFA.CD,

ZDFC=90%

:"DFC=90°-ZDCF=60°,

在RtZ\CEm'中，DF=>CF,

2

Q/ADF=ZDFC-乙DAF=60°-30°=30。，

^FAD=ZADF,

AF=DF=-CF=-AC,

23

同理，CE=-AC,

3

:.EF=AC-AF-CE=-AC,

3

:.EF=-AE,

2

A￡=—加—__-=金___二4后

在RtAAB石中，cos30073

T

EF=-AE=2y/3.

2

故答案為：2G.

【點睛】本題考查了菱形的性質，含3（）。直角三角形的性質，及三角函數等知識，熟練掌握菱形的性質是

解題的關鍵.

16.如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人段續的第一架水車創制成功后，黃河

兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志

性景觀，是蘭州“水車之都”的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）OA長

約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，

驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150。上升至輪子上方B處，斗口

開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀水）轉動到9處（倒

水）所經過的路程是________米.（結果保留萬）

【答案】5乃

【解析】

【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可;

n7irI50X^-X6

【詳解】1=

故填：5尾.

【點睛】本題考查弧長公式的應用，準確記憶公式，并正確代入公式是解題的關鍵.

三、解答題：本大題共6小題，共32分.解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

【答案】6叵

【解析】

【分析】利用二次根式的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：V27-—X2V2-6A/2

2

=3石xx2V2-6V2

=1272-672

=6>/2.

【點睛】本題考杳了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解答本題的關鍵.

x>-6-2x

18.解不等式組：，3+x

x<------

4

【答案】-2<%41

【解析】

【分析】先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解

集.

x>-6-2MB

【詳解】解；解不等式組；3十人…，

x<------②

4

解不等式①，得x>—2.

解不等式②，得

因此，原不等式組的解集為-2<xWl.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關鍵.

。+2。a-ba2-b~

19.化簡:

a+ba-2ba2-4ab+4b2

4b

【答案】

a+b

【解析】

【分析】先將除法轉化為乘法進行計算，再根據分式的加減計算，即可求解.

a-b（a-2b）2

【詳解】解：原式

a+ba-2b（。+/?）（〃一/?）

_a+2ba-2b

a+ba+b

4Z?

a+b

【點睛】本題考查了分式的混合運算，解題關鍵是熟練運用分式運算法則進行求解.

20.1672年，丹麥數學家莫爾在他的著作《歐兒里得作圖》中指出：只用圓規可以完成一切尺視作

圖.1797年，意大利數學家馬斯凱羅尼乂獨立發現此結論，并寫在他的著作《圓規的幾何學》中.請你利

用數學家們發現的結論，完成下面的作圖題：

如圖，已知。0,A是。。上一點，只用圓規將。。的圓周四等分.（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）

①以點A為圓心，OA長為半徑，自點A起，在。。上逆時針方向順次截取AB==CO；

②分別以點A,點。圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于0。上方點E;

③以點A為圓心，OE長為半徑作弧交OO于G,H兩點.即點A,G,D,”將。。的［3周四等分.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據作圖提示逐步完成徑圖即可.再根據圖形基本性質進行證明即可.

【詳解】解：如圖，

即點A,G,D,”把OO的圓周四等分.

理由如F：

如圖，連接OB,OC,AG,AE,DE,AC,DC,OE,OH,OG,AH,

由作圖可得：AB=BC=CD，且04=08=48,

???SOB等邊三角形，ZAOB=60°,

同理可得：ZBOC=ZCOD=6()0,

???ZAOB+ZBOC+ZCOD=180。，

???4O,D三點共線,AD為直徑，

???ZACD=90°,

設CO=x,而〃4C=30。，

:.AD=2x,AC=6x，

由作圖可得：DE=AE=AC=gx，而。4=Q￡)=x,

AEOA-AD,OE=\lDE?-OD?=y/2x?

???由作圖可得AG=AH=，

而OA=OH=x，

AOA2+OH2=2X2=AH2,

???/AOH=90。，

同理ZAOG=90。=ZDOG=ZDOH,

:?點A,G,D,”把CO的圓周四等分.

【點睛】本題考杳的是等腰三角形的性質，圓弧與圓心角之間的關系，等邊三角形的判定與性質，勾股定

理與勾股定理的逆定理的應用，圓周角定理的應用，熟練掌握圖形的基本性質并靈活應用于作圖是解本題

的關鍵.

21.為傳承紅色文化，激發革命雁神，增強愛國主義情感，某校組織七年級學生開展“講好紅色故事，傳

承紅色基因”為主題的研學之旅，策劃了二條紅色線路讓學生選擇:

A.南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；B.長征會師勝利之旅（會宇縣）；C.西路軍紅色征程之旅（高臺

縣），且每人只能選擇一條線路.小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路.他們準備了3

張不透明的卡片，正面分別寫上字母A，B,C，卡片除正面字母不同外其余均相同，將?3張卡片正面向

下洗勻，小亮先從中隨機抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再從中隨機推取一張卡

片.

（1）求小亮從中隨機抽到卡片A的概率；

（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片C的概率.

【答案】⑴!

3

⑵-

9

【解析】

【分析】（1）本題考查了等可能時間的概率，帶入公式即可求解；

（2）先用列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的情況，再帶入公式計算即可.

【小問1詳解】

P（小亮抽到卡片A）=1.

【小問2詳解】

列表如下：

小剛

ABC

小亮

A(AA)(AB)(AC)

B(民A)（B,B）（民。）

C(CM)(CB)(CC)

或畫樹狀圖如下:

開始

小亮ABC

小ZN小

小剛ABCABCABC

共有9種等可能的結果，兩人都抽到卡片。的結果有1種,

所以，P（兩人都抽到卡片C）=-.

9

【點睛】本題考杳列舉法求概率，正確用樹狀圖或者列表法列舉出所有情況，并找到符合條件的事件數

量，正確帶入公式計算是解題的關鍵.

22.如圖1,某人的一器官后面A處長了一個新生物，現需檢測到皮膚的距離（圖I）.為避免傷害器官，

可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量.某醫療小組制定方案，通過醫療儀器的測量

獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離.方案如下：

課題檢測新生物到皮肽的距離

工具醫療儀器等

皮膚E4

N___________

NM

示意圖

??”..T1r7新生物

A

圖2

圖1

如圖2,新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新

說明生物,檢測射線與皮膚MN的夾角為NO8N；再在皮膚上選擇距離B處9cm

的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為NECN.

測量數據4DBN=35。,ZECN=22°,BC=9cm

請你根據上表中的測量數據，計算新生物A處到皮膚的距離.（結果精確到0.1cm）（參考數據：

sin35。=0.57,cos35。a0.82,tan35°^0.70>sin220no.37,cos22。。0.93,tan22°?0.40）

【答案】新生.物A處到皮膚的距離約為8.4cm

【解析】

【分析】過點A作4〃_LMV,垂足為，，在Rt-AHC,用A"與NACH的正切值表示出C”，在

RIZXA/73中，用AH和NA3”的正切值表示出8"，由CH—BH=BC=9,聯立求解AH即可.

【詳解】解：過點A作A〃_LMN,垂足為”.

由睡意得，ZABH=/DBN=35，ZACH=/ECN=22，

AHAHAH

在中，BH=%

tan/ABHtan350(170

iAHAHAH

在RJAHC中,

-tanZACH~tan22°~0.4()

BH

N

,:CH-BH=BC,

.也上=9

0.400.70'

/.AH=8.4（cm）.

答：新生物A處到皮膚的距離約為8.4cm.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形，通過三角函數求解線段是求解本題的關

鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

23.某校八年級共有200名學生，為了解八年級學生地理學科的學習情況，從中隨機抽取40名學生的八年

級上、下兩個學期期末地理成績進行整理和分析（兩次測試試卷滿分均為35分，難度系數相同：成績用x

表示，分成6個等級：A.x<10：B.10<x<15；C.15<x<20；D.20<x<25；

E.25<x<30；F.30<x<35）.下面給出了部分信息：

a.八年級學生上、下兩個學期期末地理成績的統計圖如下：

15,15,15,15,15,16,16,16,18,18

c.八年級學生上、下兩個學期期末地理成績的平均數、眾數、中位數如下:

學期平均數眾數中位數

八年級上學期17.715in

八年級下學期18.21918.5

根據以上信息，回答下列問題：

（1）填空：m=；

（2）若工225為優秀，則這200名學生八年級下學期期末地理成績達到優秀的約有人；

（3）你認為該校八年級學生的期末地理成績下學期比上學期有沒有提高？請說明理由.

【答案】（1）16（2）35

（3）八年級，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由中位數的概念，可知40人成績的中位數是第20、21位的成績；

（2）根據樣本估計總體即可求解；

（3）根據平均成績或中位數即可判斷.

【小問1詳解】

解：山中位數的概念，可知40人成績的中位數是第20、21位的成績，

由統計圖知A組4人，B組10人，C組10人，則中位數在C組，第20、21位的成績分別是16,16,

則中位數是巫?=16；

2

故答案為：16；

【小問2詳解】

解：200x—=35（A）,

40

這200名學生八年級卜學期期末地理成績達到優秀的約有35人，

故答案為:35；

【小問3詳解】

解：因為抽取的八年級學生的期末地理成績的平均分（或中位數）下學期的比上學期的高，所以八年級學

生下學期期末地理成績更好.

【點睹】本題考查了條形統計圖，中位數，眾數等知識，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵.

24.如圖，一次函數y=，nv+〃的圖象與y軸交于點A,與反比例函數1y=g（x>0）的圖象交于點

X

B（3,a）.

(1)求點5的坐標；

(2)用〃？的代數式表示〃；

(3)當AOAB的面積為9時，求-次函數了=〃氏+〃的表達式.

【答案】(1)8(3,2)

(2)n=-3/?74-2

Q

(4)y=-v—6

3

【解析】

【分析】(1)把點8(3,〃)代入y=g(x>()),從而可得答案；

(2)把點8(3,2)代入丁=如+〃，從而可得答案;

(3)利用三角形的面積先求解。A=6,可得A的坐標，可得盟=-6,代入再解決，〃的值即可.

【小問1詳解】

解：???點8(3,。)在反比例函數y=%x>())的圖象上，

6「

/.<7=—=2,

3

???5(3,2).

【小問2詳解】

丁點8(3,2)在一次函數)，=twc+〃的圖象上，

/.3m+〃=2?

即n=-3加+2.

【小問3詳解】

如圖,連接。B.

.」OAx3=9,

2

OA=6，

???A(0,-6),

/z=—6?

/.-3m+2=-6,

:.m=-

3f

o

???一次函數的表達式為：y=-x-6.

J

【點睛】本題考查的是一次函數與反比例函數的綜合應用，坐標與圖形面積，熟練的利用待定系數法求解

函數解析式是解本題的關鍵.

25.如圖，”6C內接于A3是。O的直徑，。是0。上的一點，C。平分N3CD,

CEYAD,垂足為E，與CO相交于點尸.

3

(2)當。0的半徑為5,sin8=g時，求CE的長.

【答案】（1）見解析

【解析】

【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等，得出NADC=NB,根據OB=OC得出N8=N0C8,角平

分線的定義得出N0C4=N0C。，等量代換得出NAOC=NOCD,進而得出49CO+N￡CQ=90。，即

CE1OC,即可得證；

（2）連接0。，得OD=OC,則N8C=NOCD，進而證明/OCDWQCB,得出CQ=C3,解

RtAA8C，得出C8=8,則CD=8,進而根據CE=CZ>sinNAZ）C=a>sinB即可求解.

【小問I詳解】

證明：:AC二AL

:.ZADC=/B.

<OB=OC,

:?AB=/OCB.

???CO平分/BCD,

:.40cB=/OCD,

???ZADC=NOCD.

-CE1AD,

???ZAZ)C+ZECD=90%

AZOCD+ZECD=90°,BPCE1OC.

*/。。為。。的半徑，

???CE是oo的切線.

連接。。，得OD=OC,

：?ZODC=ZOCD.

???/OCD=/OCB=/B,

???/ODC=/B,

?：co=co,

/.OCD^.OCB,

:.CD—CB.

???AB是。。的直徑，

???ZACB=90°,

3

AAC=ABsinB=10x-=6,

5

-CB=yjAB2-AC2=V102-62=8?

:.CO=8,

324

：.CE=CD^nZADC=CDsinB=Sx-=—,

55

【點睛】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

26.【模型建立】

（1）如圖I,A5C和一兩汨都是等邊三角形，點。關于4。的對稱點尸在邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段AD，BD,0戶的數量關系，并說明理由.

模型應用】

（2）如圖2,/8C是直角三角形，AI3=AC,CD工BD,垂足為。，點C關于AO的對稱點尸在

邊上.用等式寫出線段AO,BD,OR的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

（3）在（2）的條件下，若AO=4&，BD=3CD,求cosNAFB的值.

圖1圖2

【答案】（1）①見解析：②AZ）=D/+5D，理由見解析；（2）五AD=DF+BD，理由見解析；（3）［

【解析】

【分析】（1）①證明：ZABE=/CBD,再證明△A4EM/XC8O（SAS）即可；②由。尸和DC關于A力

對稱，可得DF=DC.證明AE=OF,從而可得結論；

（2）如圖，過點〃作于點￡，得NBED=90。，證明/AQF=NAZ）C=45。，NE5O=45。.可

得DE=-BD，證明AB=—BC，ZABE=ZCBD,可得sinZABE=sinZCBD,則

22

AE?BC=CDAB,可得AE=^CD，從而可得結論；

2

（3）由BD=3CD=3DF,可得及4。=。/+3。尸=4力尸，結合4。=4&，求解0b=。。=2,

30=6,如圖，過點A作于點〃.可得HF=；3F=2,8。=病百=2而，可得

AF=AC=—BC=2>/5，再利用余弦的定義可得答案.

2

【詳解】(1)①證明：???.A3C和二比@都是等邊三角形,

:,AB=BC，BE=BD，ZABC=ZEBD=60°,

???ZABC-/CBE=/EBD-/CBE,

???AABE=/CBD,

???△ABE二△CBO(SAS).

AE=CD.

②AD=DF+BD.理由如下:

,/DF和DC關于A。對稱，

：?DF=DC.

?:\E=CD,

AAE=DF.

：?AD=AE+DE=DF+BD.

（2）6AD=DF+BD.理由如下：

如圖，過點B作的_LA。于點E，得/BED=90。.

???DF和QC關于AO對稱，

；?DF=DC,ZADF=ZADC.

CDLBD,

???ZADF=ZADC=45n,

???NEBD=450.

??DE=—BD.

2

???一48。是直角三角形，A13=AC,

：.ZABC=45°,AB=&BC，

2

???ZABC-NCBE=Z.EBD-Z.CBE，

：?ZABE=NCBD,

sinZABE=sinZCBD,

AECD

??—,

ABBC

:?AEBC=CDAB,

AAD=AE+DE=—CD+—BD=—DF-i--BD&6AD=DF+BD.

2222

（3）?:BD=3CD=3DF,

/.J2AD=DF+3DF=4DF?

?:AD=AB

???DF=DC=2,

???80=6.

如圖，