掃答案廣東省2025屆高三年級綜合能力測試(CAT)數學(新課標I卷)本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卡整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合A=N,B={x|y=√x2-4x},則ANC&B)=A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}2.在等差數列{a}中，若as+a?+a?=27,則2ag-a?的值為A.18x12345y58且y對x呈現線性相關關系，則y與x的經驗回歸方程y=bx+a必經過的定點為A.(1,5)B.(2,7-m)C.(3,8)D.(5,11)4.在平面直角坐標系內，點A(0,1),B(b,b),直線l上的單位向量為若AB⊥I,則b的值為5.2025年3月14日是星期五.學校數學組于3月10日至3月14日舉辦為期5天的“數學節”活動，其中有一項抽獎活動.在一個不透明的紙箱中，放著5個質地、大小完全相同的小球，球上寫著“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”,分別對應得分：1,2,3,4,5.學生從中有放回地任取一個球，記下得分.設事件A=“第一次得分5”,事件B=“第二次得分5”,則P(B|A)=數學試卷第1頁(共4頁)6.已知斜率為√3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點F,且從上到下與C依次交于A、BAF=FB,則λ=AA7.在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M,N分別為AB,CC?的中點，過直線MN的平面截該正方體的內切球O,所得截面圓的面積的最小值為A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知i為虛數單位，復數z滿足,則A.z的實部為3B.z的虛部為2i10.已知函)的部分圖像如圖所示，把函數f(x)的圖得到函數g(x)的圖像，則y個1EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up2(5),6)B.函數g(x)的圖像關于直線對稱C.若函數y=f(2x)在區間[0,m]上恰有4個不同的零點，則m的取值范圍為|D.函數y=f(2x)g(x)的圖像關于點對稱11.已知數列{a}滿足a+2+a≥2a+,數列{bn}滿足bn=e”,T,為數列{bn}的前n項的積，B.bn+k+1·bnk-1<bn+k·bnC.若T100=1,則b??bs?≤1D.若a?=1,a2025=2025,則a?的最大值為12數學試卷第2頁(共4頁)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在二項式的展開式中，所有二項式系數和為64,則常數項為_.(用數字作答)13.已知F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點且在第一象限，且BF垂直于x軸.若C的離心率為2,則AB的斜率為14.已知函數,且函數g(x)=f'(x),若不等式g(x+a)<g(2x)對任意的x∈(-○,-2)U(1,+)恒成立，則實數a的取值范圍是_四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程；(2)求函數f(x)的極值；(3)討論函數h(x)=f(x)-e+1在(0,+○)上的單調性.16.(15分)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2btanC=c(tanA+tanC).(ii)過邊AC上一點P作AB,BC的垂線，垂足分別為D,E,求DE的最小值.17.(15分)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是邊長為4的等邊三角形，底面△ABC是以∠ABC為直角的等腰直角三角形.數學試卷第3頁(共4頁)(2)若二面角P-AB-C的大小為求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.18.(17分)已知F,F?是離心率為的橢圓C:)的左、右焦點，上頂點為A,(1)求橢圓C的方程.(2)若直線I?與橢圓C交于兩個不同的點M,N(i)若AM⊥AN,證明：直線l?恒過定點P,并求出點P坐標；(ii)若點M,N關于直線對稱，且OM⊥ON,O為坐標原點，求m的19.(17分)已知m,n∈N*,n≥2.設集合C={x|x=3k-2或x=3k-1,k∈N*,且k≤m},集合A={a|α=|x?-y?l+|x?-v?I+…+x,-yl=1,則稱β為α的“相鄰元”.對于整數H,若集合A存在一個子集B滿足：(i)集合B中的元素個數為H;(ii)Va∈B,在集合B中都至少有n-1個“相鄰元”,則稱H是“好數”.(2)當m=2,n=9時，求證：4?-47是“好數”;(3)當n=2025時，若整數d,d?,d?滿足0<d?<d?<d?≤2022,證：(2m)2?2?-[m2025d(2m)1+m225d(2m)2+m2025d(2m)]是“好數”.掃答案數學試卷第4頁(共4頁)題號1235678DDCBDAB1.命題立意：試題主要考函數的定義域，集合的表示方法以及全集、子集、交集、補集的概念和運算，考查基本的運算求解能力.由于集合A={0,1,2,3,4,},B={x|x≤0或x≥4},則oB={x|0<x<4},A∩(B)={1,2,3}.故選D.2.命題立意：試題主要考查等差數列的概念、通項公式、基本性質等內容，考查基本的邏輯思維與推理能力，以及運算求解能力.3.命題立意：試題主要考查一元線性回歸模型的含義、參數的統計意義，利用一元線性回歸模型研究變量之間的隨機關系并進行預測，考查知識獲取能力和邏輯推理能力.故選C.4.命題立意：試題主要考查單位向量概念，直線的斜率，兩運算求解能力和化歸與轉化的思想.由于,則,因為AB⊥l,則,解得或b=4.故選C.運算求解能力，邏輯推理能力，也考查考生分析問題和解決問題的能力.查數形結合思想，邏輯推理能力與運算求解的綜合能力，體現解析幾何的基本思想和基本方法.由于F(1,0),直線AB方程為y=√3(x-1),聯立方程消去y,得3x2-10x+3=0, 顯然xA>x,得xA=3,,|AF|=xA+1=4,,AF=3FB, λ=3.故選D.7.命題立意：試題主要考查考生熟悉的正方體、球等基綜合性，創新性的考查要求.設T是線段MN的中點，則OT⊥MN,由勾股定理MN=√MB2+BN2=√6,OM=√2,球心O到MN距離,當OT垂直于過MN的平面時，截得內切球所得截面圓的面積最小，MN被球截得的弦長 此時圓的半徑就是,面積為.故選A.8.命題立意：試題主要考查三個數值的大小比較，通過分析數值的共性與特點，作差、變形.試題重點考查考生分析問題的能力以及對數運算解決問題的能力.試題緊扣課程標準，題目經典，力圖引導教學，符合基礎性，綜合性，應用性，創新性的考,b<c,則b<c<a.故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，題號99.命題立意：試題主要考查復數的概念，復數的基本運算.試題強調基礎，注重對基本概念，基本思想方法的考查.本題能夠穩定考生的緊張情緒，增強考生考試的信心，有利于考生在考試中正常發揮.由于,則二的實部為3,=的虛部為2,不是2i,由于|,z·z=|zl2=13,E=3-2i在復平面內對應的點(3,-2)在第四象限.故選ACD.10.命題立意：試題主要考查三角函數圖像的識別與基本性質，三角的邏輯思維能力和運算求解能力，考查考生理性思維等數學學科索養.由于A=1,,則w=1,f(x)=sin(x+φ),令的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得單位長度，得到函數g(x)=sin2x,令則函數g(x)圖像關于直線對選項C正確； 圖像關于點對稱，選項D正確.故選BCD.11.命題立意：試題主要考查數列的基本概念、力，運算求解能力和創新能力，考查考生的推理預判，數學應用、探索等數學學科素養.由于b=e,則b,>0,對于選項A:方法1:,將上述不等式累乘得：方法2:由-得bb?≥b?b,≥b?b?≥b,bs,即成立.故選項A正確.對于選項B:由于,則,整理得b++ba--1≥b+·b-,I≤k<n,故選項B錯誤.則(bs?·b??)5?≤b?b?b?b?…b,b?0=To=1,得bsob??≤1,故選項C正確.另外，a,-ag≥a?-a,,a,-ag≥a-a?,結合①②式得：,得：ag≤8,顯然a=n符合題意，此時ag=8,綜上所述，a的最大值為8.故選項D錯誤.故選AC.3由于2"=64,則n=6,二項式6的通項為：r=0,1,2,,6,令得r=4,故常數項是(-2)?C4=16×15=240.數，函數g(x)在區間(-,0)上單調遞減，在區間(0,+)上單調遞增得得四、解答題：本題共5小題，共77分。15.(13分)(1)由于f(x)=xlnx定義域為(0,+),,f(e)=e,f'(e)=2故曲線y=f(x)在點(e,e)處的切線方程為：y-e=(2)令f'(x)<0,則,令f'(x)>0,則,則函數f(x)在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.故函數f(x)的極小值為,無極大值.7分(3)由于函數h(x)=xlnx-e+1,令g(x)=h'(x)=Inx+1-e(x>0),則在區間(0,+)上單調遞減，且,g'(1)=1-e<0,故,使,當且僅當即x?=1時，等號成立，顯然，等號不成立，故h'(x)<0,故h(x)在(0,+)上是減函數.13分16.(15分)化歸與轉化等數學思想.(1)在△ABC中，A+C=π-B,sin(A+C)=sin由2btanC=c(tanA+tanC)及正弦定理得，2sini(2)(i)如圖1,在△ABC中，,由正弦定理得，即,得b=AC=4(√3-1).方法1:單變量法=2x2-4x+8=2(x-1)2+6.方法2:四點共圓如圖1,由PD⊥AB,PE⊥AC,故P,E,B,D四點共圓，且BP為該圓直徑.由正弦定理得,故求DE的最小值等價于求BP的最小值.當BP15分方法3:建系坐標法以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖2,則A(2,0),B(-2,0),直線BC:y=x+2,直線AC:y=-√3(x-2).設D(t,0),則P(t,-√3(t-直線PE:y=-(x-t)-√3(t-2).17.(15分)13分15分位置關系，考查二面角、直線與平面所成角、空間直角坐標系，考查考生想象能力和運算求解能力，重點突出對基礎性和綜合性的考查.取AC的中點H,連接BH,PH,則BH⊥AC.方法1:在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,則∠PHB=90°.由于PH⊥HB,PH⊥AC,HB⊥AC=H,則PH⊥平面ABC.又PHc平面PAC,故平面PAC⊥平面ABC.7分方法2:由于PH⊥AC,BH⊥AC,則∠PHB是二面角P-AC在△PHB中，PH=HB=2√2,PB=4,則∠PHB=90°.故二面角P-AC-B為直二面角，即平面PAC⊥平面ABC.7分(2)方法1:以B為坐標原點，以BC,BA所在直線為x軸、V軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,0),C(4,0,0),A(0,4,0).9分由于△PAB是邊長為4的等邊三角形，二面角P-AB-C的平面角為則P(√3,2,3).設直線PA與平面PBC所成角為θ,設平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z).由于,故直線PA與平面PBC所成角的正弦值為15分取AB的中點為O,連接OP,OH.在等邊△PAB中，AB⊥OP,則OH⊥AB(三垂線定理的逆定理),則∠POH就是二面角P-AB-C的平面角，即9分在△POH中，PO=2√3,,則H在△ABC內.作HN⊥BC于N,連PN,則PN⊥BC(三垂線定理).設直線PA與平面PBC所成角為θ,設點A到平面PBC的距離為d.由于HN=OB=2,PN=√22+32=√13,Vp-Ac=Va-PBc,,得13分18.(17分)設直線/:y=kx+n(n≠1),M(x?,y?),N(x?,y?).由△=64k2n2-4(4k2+1)(4n2-4)>0得，n2<4k2+1.由于A(0,1),因為AMIAN,AM=(x?,y?-1),AN=(x?,y?-1),且AM·把代入(*)式，得滿足n2<4k2+1,故直線方程消去得(1十代入5m2n2-4m2-4=0,得11m?-24m2-80=0,得m2=4或(舍),當m2=4時，1,滿足,故m=±2.17分19.(17分)命題立意：試題主要考查元素、集合、子集、絕對值運算等基礎知識；考查學生的邏輯思維，運算求解，獨立思考和創新應用等能力，同時重點考查學生應用所學知識分析問題，解決問題的能力；重點考查從特殊到一般，轉化與化歸，分類討論等數學思想與方法.(1)α=(1,4,1)的“相鄰元”為：(2,4,1),(1,5,1),(1,4,2).3分(2)因為m=2,所以C={1,2,4,5}.設A={a|α=(x,x?,,x,),x,∈{1,2,4,5}},顯然A中每一個元素恰有9個“相鄰元”.設U={u|u=(1,1,u?,…,u?),u,∈{1,2,4,5}},構造B=OU,則集合B中的元素個數為4?-4?.對集合B中的任意元素b=(b,,b?,…,b?),在集合U中至多存在一個u=(1,1,u?,…,u?),滿足|b?-1|+|b?-1|+|b?-u?|+…+|b,-u,|=1,從而b=(b,b?,…,b)