專(zhuān)題10圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)類(lèi)型

考點(diǎn)5：弧、弦、圓心角關(guān)系

考點(diǎn)1：圓的基本認(rèn)識(shí)

考點(diǎn)6：圓周角定理

考點(diǎn)2：垂徑定理

模塊四圖形的性質(zhì)

考點(diǎn)7：圓周角定理推論

講圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)3：垂徑定理的推論10

考點(diǎn)8：半徑相等——等腰三角形

考點(diǎn)4：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)9：圓的內(nèi)接四邊形

口^」知識(shí)一遍過(guò)

(-)圓的相關(guān)概念

(1)圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.如圖所示的圓記做。。

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.

(3)弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

(7)確定圓的條件：過(guò)已知一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)已知兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓,過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)可

作一個(gè)圓

(二)垂徑定理及推論

(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

如圖：CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD

(2)推論：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

②弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（3）延伸：根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：

①弧AC=MAD；②弧BD=MCB；③CE=DE；@AB±CD；⑤AB是直徑.

只要滿(mǎn)足其中兩個(gè)，另外三個(gè)結(jié)論一定成立，即推二知三.

（三）弧、弦、圓心角的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余

各組量都分別相笠.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，

一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等。

（四）圓周角定理及推論

（1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖a,

ZA=-ZO.

2

（2）推論：

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.

②直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,ZC=90°.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

亳2考點(diǎn)一遍過(guò)

考點(diǎn)1：圓的基本概念

典例1：（2022上?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)4,0,D,點(diǎn)、C,D,E以及點(diǎn)B,0,C分別在一條直線(xiàn)上,

則圓中弦的條數(shù)為（）

C

A.2條B.3條C.4條D.5條

【變式1］（2023上?安徽六安?九年級(jí)校考階段練習(xí)）若點(diǎn)P為。。內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為8,最短弦

長(zhǎng)為4,則線(xiàn)段OP長(zhǎng)為（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【變式21（2023上?山東泰安?九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中,AB1BC,AB=6,

BC=4,P是AABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足NP4B=NP8C,則線(xiàn)段CP的長(zhǎng)的最小值為（）

A.2B.4C.5D.7

【變式3］（2023下?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的

圓形噴水池，則這四個(gè)噴水池占去的綠化園地的面積為（）

考點(diǎn)2：垂徑定理

典例2：（2023上,陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（圖中的弧腦），點(diǎn)。是

這段弧所在圓的圓心，點(diǎn)C是A?上一點(diǎn)，0C12B,垂足為點(diǎn)D,AB=300m,CD=50m,則弧池所在圓

的半徑是（）

A

A.150mB.250mC.300mD.350m

【變式1］（2023上?內(nèi)蒙古通遼?九年級(jí)校聯(lián)考期中）回。的半徑是10,弦力B||CD,AB=16,CD=12,則

弦48與CD的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【變式2］（2023上,江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)校考階段練習(xí)）兩個(gè)同心圓，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)C,

則4B=6,那么該圓環(huán)的面積為（）

A.37rB.67TC.97TD.127r

【變式3］（2023廣西欽州?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A,3,C,E在O。上,OC148于點(diǎn)D/E=22.5°,。8=2夜,

A."B."C.V2;rD.H

42

考點(diǎn)3：垂徑定理的推論

典例3：（2023上?廣西南寧?九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)4B在。。上，直徑MN1

4B于點(diǎn)C,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.0C=CNC.AN=BND.AM=BM

【變式1］（2023上?遼寧葫蘆島?九年級(jí)校考期中）如圖，以。為圓心的MMC、。三等分連MN、CD,

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.乙COM=乙CODB.若0M=MN,貝IJ/AOB=20。

C.MN||CDD.MN=3CD

【變式2］（2023上?甘肅武威?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，CD是。。的直徑，是非直徑的弦，AB^CD

相交于點(diǎn)從以下四個(gè)條件中任取一個(gè)，其中不能得到的有（）

A.AM=BMB.0M=CMC.AC1=品D.AD=9

【變式3］（2023上?山東濟(jì)寧?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，OP與x軸分別交于A(yíng)、8兩點(diǎn),

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為⑶一1）,48=28，若將O尸向上平移，則。P與1軸相切時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（）

A.（3,2）B.（3,3）C.（3,4）D.（3,5）

考點(diǎn)4：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

典例4：（2024上?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光

啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1,筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，

如圖2,已知圓心。在水面上方，且。。被水面截得的弦力B長(zhǎng)為8米，。。半徑長(zhǎng)為5米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌

道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦力B所在直線(xiàn)的距離是（）

水面

圖1圖2

A.1米B.3米C.2米D.1.5米

【變式11（2023上?浙江溫州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）"圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣

泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞如圖1，其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示.園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的地面跨徑

4B=1米，。為圓上一點(diǎn)，DC14B于點(diǎn)C,且CD=BC=0.7米，則門(mén)洞的半徑為（）

圖1圖2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【變式2]（2024上?黑龍江齊齊哈爾?九年級(jí)統(tǒng)考期末）一次綜合實(shí)踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，

如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯

口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A(yíng)、8、C、。四點(diǎn),然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,

CD=6cm.請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）

C.10cmD.10.2cm

【變式3]（2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)校考期中）杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底

橋，橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）

3.2m,拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為2m,則此橋拱的半徑是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

考點(diǎn)5：弧、弦、圓心角關(guān)系

典例5：（2023上?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在。。上，乙4OC=132。，點(diǎn)8是弧力C的

中點(diǎn)，則AD的度數(shù)是（）

【變式1］（2023上?河南周口?九年級(jí)校考期中）如圖,4B為。0的直徑，C、D是。。上的兩點(diǎn),^BAC=20°,

【變式2］（2023上?甘肅平?jīng)?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在。。中，痂=2⑵，那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無(wú)法比較

【變式31（2022上?河北廊坊?九年級(jí)校考期中）如圖，糜：=8=腌,已知AB是O。的直徑，=35°,

那么N40E的度數(shù)是（）

A.40°B.70°C.75°D.105°

考點(diǎn)6:圓周角定理

典例6：（2023上?遼寧盤(pán)錦?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，力B是。。直徑，仁。是。。上的兩點(diǎn)，且0。||BC,

連接力C和BD,下歹！J四個(gè)結(jié)論中：?AD=CD；②。D垂直平分AC；（3）AAOD=2zDBC；?BD=AC.所

有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【變式1］（2023上?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，。。經(jīng)過(guò)菱形A8CD的頂點(diǎn)A,B,C,頂點(diǎn)D在。。

內(nèi)，延長(zhǎng)AD,CD與。。分別交于點(diǎn)E,F,連接BE,BF,下列結(jié)論：①BE=BF；②?=和=際；

③N4BC=90°+^NEBF,其中正確的結(jié)論是（）

C.②③D.①②③

【變式2］（2023上?廣東江門(mén)?九年級(jí)校考期中）如圖，在。。中，P是弦28的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑，則

下列結(jié)論中不正確的是（）

c

D

A.AB1CDB.乙AOD=幺BODC.AD=BDD.PO=PD

【變式3］（2022上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，在。。中，4、C、D、B是。。上

四點(diǎn)，OC、。。交AB于E、F,B.AE=BF.下列結(jié)論不正確的是（）

A.OE=OF

B.AC=BD

C.AC=CD=DB

D.CD\\AB

考點(diǎn)7:圓周角定理推論

典例7：（2024上?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在。。中，為直徑，C為圓上一點(diǎn)，Nb4c的角平分

線(xiàn)與O。交于點(diǎn)。，若NADC=20。，則乙4:。的大小為（

A.120°B.125°C.130°D.135°

【變式1］（2023上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，4員4c=40。,。。的圓心。在A(yíng)B上，且與邊/C相切

于點(diǎn)D,與交于點(diǎn)E,F,連接F。，貝！）乙4?。=（）

B

ADC

A.15°B.20°C.25°D.30°

【變式2］（2024上?北京西城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，48為。。的直徑，弦CD交4B于點(diǎn)E,BE=BC.若

ACAB=40°,貝!UBAD的大小為（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【變式3］（2023上?浙江杭州,九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校考階段練習(xí)）如圖，等腰AABC內(nèi)接

于O0,4B=4C,連結(jié)。C,過(guò)點(diǎn)B作2C的垂線(xiàn)交。。于點(diǎn)。，交OC于點(diǎn)M,交4C于點(diǎn)E,連結(jié)力。，若ND=a,

A.90°—ccB.60°—ccC.90°—2aD.45°+cc

【變式4］（2023上?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)校考期末）如圖,AB是半圓。的直徑，點(diǎn)C,D在半圓。上.若乙4BC=55°,

則乙BDC的度數(shù)為（）

c

D

AOB

A.155°B.145°C.135°D.125°

【變式5］（2023上?湖北武漢?九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，4B是OO切線(xiàn)，點(diǎn)4E是。。

上的點(diǎn)，CD的直徑，418c=NE=45。，ABC。面積為27,貝的長(zhǎng)為（）

A.3B.2V3C.4D.3V6

【變式6］（2023上?山東濱州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，OC過(guò)原點(diǎn)0,且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)4B,點(diǎn)4的

坐標(biāo)為（0,5）,點(diǎn)M是第三象限內(nèi)附上一點(diǎn)，ABM0=120°,則。。的半徑為（）

【變式7］（2023上?全國(guó),九年級(jí)期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)

上，以4B為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D,貝Usin乙40c的值為（）

考點(diǎn)8：半徑相等一一等腰三角形

典例8：（2023?甘肅平?jīng)?統(tǒng)考二模）如圖，A、B、C是圓。上的三點(diǎn)，且四邊形4BC。是平行四邊形，OF10C

交圓。于點(diǎn)尸，貝亞4。尸等于（）

c

【變式1］（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，4B為o。的直徑，CD是。。的弦，4B、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,

已知2B=2DE,^AEC=20°,貝吐40C的度數(shù)為（）

【變式2］（2023下?浙江金華?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在扇形20B中，。為弧4