大招:半角模型

k_____________________

(ika

成j模型介紹

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三

角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型o解決類似問題的常見辦法主要有兩種：

旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法.

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三

角形角含半角模型;正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：

旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法.

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

(1)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點D,E在BC上，且NDAE=45°,

貝1］：BD2+CE2=DE2.

圖示(1)作法1：將AABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折

△ABD,AACE

(2)如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點D在BC上，點E在BC延長線上,

且NDAE=45°,貝I：BD2+CE2=DE2.

翻折法

圖示（2）

（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..

任意等腰三角形

類型二：正方形中角含半角模型

（1）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，ZEAF=45°,連接EF,

過點A作AGJ_于EF于點G,則：EF=BE+DF,AG=AD.

圖示（1）作法:

（2）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CB,DC的延長線上，NEAF=45°,

連接EF,

貝U：EF=DF-BE.

圖示（2）作法:將4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°

（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD,

ZBAD+ZC=180°，點E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=1

ZBAD,連接EF,則：EF=BE+DF.

2

BB,

C

圖示（3）作法：將aABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)/BAD的大小

【專題說明】

半角模型應用比較廣泛：理解半角模型的定義，掌握正方形背景中半角模型的模型的應用，

掌握等腰直角三角形背景中半角模型的應用尤為重要。

【知識總結(jié)】

過等腰三角形頂點作兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為

半角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形

通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形,從而進行等量代換,然后證明與半角形成的三角形全等,

再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。

聲方政提娃

一、半角模型特征

1、共端點的等線段；2、共頂點的倍半角；

二、半角模型輔助線的作法

1、旋轉(zhuǎn)的方法：以公共端點為旋轉(zhuǎn)中心，相等的兩條線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角;

2、旋轉(zhuǎn)的條件：具有公共端點的等線段；

3、旋轉(zhuǎn)的目的：將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)。

film

瑞例題精講

【例1].如圖，正方形A3C。的邊長為4,點E,尸分別在AB,上，若CE=5,且/ECF

=45°,則CF的長為—20M

解：如圖，延長月9到G,使QG=8E；

連接CG、EF-,

???四邊形ABCQ為正方形，

'CB=CD

在△BCE與△DCG中，，NCBE=/CDG，

BE=DG

:ABCE沿△DCG(SAS),

:.CG=CE,/DCG=NBCE,

：.ZGCF=45°,

'GC=EC

在△GCF與中，，NGCF=/ECF，

CF=CF

AGCF^A￡CF(SAS),

：.GF=EF,

:CE=5,CB=4,

:.BE=3,

：.AE=1,

設(shè)貝!]Z)F=4-x,GF=3+(4-x)=7-x,

EF=VAE2+X2=V1+x2'

/.(7-x)2=l+x2,

7

即A尸=21,

7

尸=4-處=2，

77

???CF=7CD2+DF2=^42+(y)2='故答案為：[2-

G.、

A變式訓練

【變式17】.如圖四邊形ABC。中，AO〃BC,NBC￡)=90°,AB=BC+AD,ZDAC^45°,

E為CD上一點,且/BAE=45°.若CZ)=4,則△ABE的面積為()

B.

B謂48

T嗒

解法一：作交CB的延長線于R在C尸的延長線上取一點G,使得PG=QE.

,JAD//BC,

：.ZBCD+ZADC=1SO°,

：.ZADC^ZBCD^ZAFC^90°,

四邊形AOCF是矩形，

VZCAD=45°,

：.AD=CD,

四邊形AOCP是正方形，

：.AF=AD,ZAFG=ZADE=90°,

AAFG^AAD￡,

J.AG^AE,NFAG=NDAE,

：.ZFAG+ZFAB=ZEAD+ZFAB=45°=ZBAE,

：./\BAE^/\BAG,

：.BE=BG=BF+GF=BF+DE,

設(shè)BC=a,則AB=4+a,BF=4-a,

在RtZXABB中，42+(4-a)2=(4+a)2,解得a=l,

：.BC=1,BF=3,設(shè)BE=b,貝UOE=6-3,C￡=4-(b-3)=7-b.

在RtZ^CE中，12+(7-b)2=/,解得b=空，

7

，8G=8E=至，

7

5AABE=5AABG=—X—X4=—.

277

【變式1-2].如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且/BDC=

120°,以點。為頂點作一個60°的角，使其兩邊分別交A3、AC于點M、N,則△AMN

的周長為10.

D

解：:△BDC是等腰三角形，且NB￡)C=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

???AABC是邊長為3的等邊三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA^60°,

：.ZDBA^ZDCA^90°,

延長AB至凡使BF=CN,連接DF,

在△8。產(chǎn)和△口)"中，

'BF=CN

,ZFBD=ZDCN>

DB=DC

ABD%△CDN(SAS),:.NBDF=NCDN,DF=DN,

\'ZMDN=60°,

:./BDM+NCDN=60°,：.ZBDM+ZBDF=60°,

在和中，

'JMD

<ZFDM=ZMDN>

DF=DN

:ADMNQADMF(SAS)：.MN=MF,

：.AAMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=5+5=10.故答案為:

10.

【變式1-3].如圖，在正方形A8CD中，點。是對角線8。的中點，點P在線段。。上，

連接AP并延長交CD于點E,過點P作PF1AP交BC于點F,連接A尸、EF,AF交BD

于G,現(xiàn)有以下結(jié)論：

?AP=PF；

②BG?+Dp2=Gp2；

③PB-PD=MBF；

?S四邊形PEFG=S^APG.

圖1

?：AP±PF,四邊形A2C￡＞是正方形,

AZABF=ZAPF=90°,ZABD=ZCBD^45°,

'：AT^TF,

：.BT=AT=TF=PT,

：.A,B,F,尸四點共圓,

：.ZPAF=ZPBF=45

：.ZPAF=ZPFA=45°,

：.PA=PF,故①正確，

②如圖2,將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到過點5作8N_L5D,交AM于

N,連接NG,

VZADE=ZABM=90°,ZABC=90°,

/.ZABC+ZABM=180°,

圖2

VZEAF=45°,ZDAB=90°,

：.ZDAE+ZBAF=45°,

?；NDAE=NBAM,

：.ZBAM+ZBAF=45°=ZEAF,

*：/GBN=90°,ZABZ)=45°,

/.ZABN=45°=ZADP9

*：AB=ADf/DAP=/BAN,

：.ADAP^ABAN(ASA),

：.AP=AN,

\'AG=AGf

：.AAGP^AAGN(SAS),

:?PG=NG,

VZNBG=90°,

：.BN1-^BG1=NG1,

：.BG2^-PD2=GP2,故②正確；

③如圖3,連接尸C,過點尸作PQJ_b于。，過點尸作尸WJ_C。于W,則四邊形尸。CW

是矩形，

圖3

在和PBC中，

'PB=PB

<ZPBA=ZPBC>

AB=BC

:.4PBA2APBC(SAS),

：.PA=PC,

'JPF^PA,

：.PF=PC,

'JPQLCF,

：.FQ=QC,

,:PB=y[^BQ,PD=?PW=?CQ=?FQ,

:.PB-PD=M(BQ-FQ)=42BF,故③不正確；

④如圖2,ZABF+ZAPF=180°

/.A,B,F,尸四點共圓,

ZAPG=ZAFB,

:AAFE^AAFM,

ZAFE=ZAFB,

：.ZAPG=/AFE,

:ZPAG=ZEAF,

：./\PAG^/\FAE,

S

.AAPG=(AP)2=(AP)2=

"SAAFE后(&AP)爹

5Hii?PEFG=S^APG,故④正確，故答案為：①②④.

【例2】.如圖，ZXAE/中/EAP=45°,AG±EF^G,且GF=2,GE=3,求SMEF.

解：如圖，將AAEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿A尸折疊得到△AF。，延長BE

和。月相交于點C.

：.AD=AG=AB,ZD=ZAGF=90°,ZB=ZAGE=90°,NDAF=NGAF,/BAE

=ZGAE,

VZEAF=45°^ZFAG+ZGAE,

：.ZDAF+ZBAE=45°,

AZDAB=45°+45°=90°,

即N8=NO=NOA8=90°,AD=AB,

四邊形ABC。是正方形.

由折疊知，RtAABE^RtAAGE,RtAADF^RtAAGF,

:.BE=EG=3,DF=FG=2,

,:EF=5,

設(shè)AG=x,貝ijAB=BC=C￡)=AG=x,CE=CB-BE=x-3,CF=x-2.

VCE2+CF2=￡F2,

(x-3)2+(x-2)2=52.

解得Xl=6,X2=-1(舍去).

；.AG=6.

/\AEF的面積=1E>AG=1X5X6=15.

22

A變式訓練

【變式2-1].如圖，等邊△ABC中，D、E為BC邊上的點，BD=2CE,NZME=30°,DE

=3,CE的長為苫互.

—7―

解：將△A2￡)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACR作尸H_L2C于H.

,?AABC是等邊三角形，

J.AB^BC^AC,NB=/BAC=NACB=60°,

VZDAE=30°,

AZCAF+ZCAE=ZBAD+ZCAE=30°,

.\ZEAD=ZEAF=30°,

\'AE=AE,AD=AF,

：./\EAD^AEAF,

：.DE=EF=3,設(shè)EC=x,則BD=Cf=2無

VZACF=ZACB=60°,

ZFCH=60°,

：.CH=^CF=x,FH=?c,

在RtZXEFH中，EF2=EH2+FH2,

.,.9=4/+37,

.-3V7

??Ar-----,

7

故答案為宜

7

【變式2-2].如圖，在梯形ABC。中，AD//BCCBOAD),ZD=90°,BC=CD12,

NABE=45°,若AE=10.求CE的長度.

延長DM到G,使MG=CE,連接BG,

易知四邊形BCDM是正方形，

則△BEC與△BGAf中，

，BC=BM

<ZC=ZBMG=90°，

EC=GM

：./\BEC^/\BMG(SAS),

：.ZMBG=ZCBE,BE=BG,

"：ZABE=45°,

ZCBE+ZABM=ZMBG+ZABM=45°,

BPZABE=ZABG=45°,

在△ABE與△ABG中，

'BE=BG

<ZABE=ZABG-

AB=AB

AAABE^AABG(SAS),

：.AG=AE=10,

設(shè)CE=x,貝i」AM=10-x,

AD—12-(10-x)—1+x,DE—12-x,

在RtZXADE中，AE1=AD2+DE2,

.,.100=(x+2)2+(12-x)2,

即x2-10x+24=0；

解得：xi=4,X2=6.故CE的長為4或6.

【變式2-3].如圖①，在△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點。和點E均在邊3C上,

且/ZME=45°.

(1)如圖②，把△A3。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,可使AB與AC重合，連接

EG,求證：△DAEWXGAE；

(2)試猜想80、DE、EC應滿足的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程.

：.AD=AG,

VZBAC=90°,ZZ)AE=45°,

：.ZEAG=45°,

在△D4E和AGAE中，

'AD=AE

<ZDAE=ZEAG>

,AE=AG

AADAEVAGA￡(SAS)；

(2)由△D4E且△GAE,

：.BD=EG,

由旋轉(zhuǎn)，BD=CG,ZACG=ZB,

\'ZBAC=90°,

：.ZECG^90°,

在RtZ\CEG中，EG2=EC2+CG2,

C.DE^CEr+BD1.

實戰(zhàn)演練

1.如圖，已知等邊三角形△ABC邊長為a,等腰三角形△BOC中N8OC=120°,ZMDN

=60°,角的兩邊分別交AB,AC于點M,N,連接MN,則△AMN的周長為（

A

D

A.aB.2aC.3aD.4〃

解：?..△BDC是等腰三角形，且/8￡^=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

:AABC是邊長為a的等邊三角形，

AZABC=ZBAC=ZBCA=60°,

：.ZDBA^ZDCA^90Q,

延長AB至R使BF=CN,連接。F,

在尸和Rtz\CND中，BF=CN,DB=DC,

.?.RtABDF^RtACDA^(HL),

:.NBDF=NCDN,DF=DN,

；NMDN=60°,

：.ZBDM+ZCDN=60°,

AZBDM+ZBDF=60°,ZFDM=60°=ZMDN,0M為公共邊，

:.ADMN”叢DMF(SAS),

:.MN=MF

：.AAMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a,

故選：B.

2.如圖，菱形ABC。的邊48=20,面積為320,ZBAD<90°,。0與邊A8,4D都相切,

A.5B.6C.2A/5D.3V2

解：如圖作ZM/_LA2于H,連接BZ),延長A。交2。于E.

:菱形ABC。的邊AB=20,面積為320,

：.AB'DH^32.0,

：.DH=16,

在Rtz\AZW中，AH=VAD2-DH2=121

：.HB=AB-AH=S,

在Rtz^BD”中，BD=I/DH2+BH2=8V5>

設(shè)0。與AB相切于R與A。相切于J,連接OF,OJ,貝!]OFLAB,OJ±AD,OF=OJ,

.?.OA平分//MB,

'：AD=AB,

：.AE.LBD,

'：ZOAF+ZABE=90°,ZABE+ZBDH=9Q°,

：.NOAF=NBDH,,:NAFO=/DHB=90°,

AAOFsADBH,

.OA=OF

"BD而，

.10-OF

,寺F

：.OF=2疾.

故選：C.

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=6,點、E、尸分別在BC、CD±,若AE=QZ

EAF=45°,則AF的長為2\/76.

解：取AB的中點M,連接ME,在A。上截取設(shè)DF=DN=x,

???四邊形ABC。是矩形,

：.ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=6,

：.NF=yj2x,AN=6-x,

VAB=2,

：.AM=BM=1,

VAE=V5，AB=2,

；?BE=1,

AM￡=VBM2+BE2=V12+12=V2,

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZA/AE+ZAEM=45°,

/.NMEA=NNAF,

：.AAMEsAFNA,

???—AM二ME,

FNAN

.1V2

??—--=-，

V2x6-x

解得尤=2.

2222

AF=VAD+DF=VS+2=2A/I5.

故答案為：2標.

AYD

BEC

4.PA,依切O。于A、B兩點,CO切。。于點E,交E4、PB于C、D,若。。的半徑為

r,△PCQ的周長等于3r,則tan/APS的值是段.

—5―

解：連接。4、OB、OP,延長BO交必的延長線于點況

'：PA,PB切。。于A、8兩點，CO切0。于點E

：.ZOAF^ZPBF^90°,CA=CE,DB=DE,PA^PB,

,/APC￡>^J^^z=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

：.PA=PB=^-r.

在RtAPBF和RtAOAF中，

(NFAO=NFBP,

1ZOFA=ZPFB，

.".RtAPBF^RtAOAF.

?AF.LAQ_r_2

"FB薩3后，

2r

：.AF^—FB,

3

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

：.(B4+AF)2-PB2=FB2

2

：.(旦r+Z^P)-(2.r)2=2/2,

232

解得BF=^-r,

5

18

5.如圖，在正方形ABC。中，點M,N在CB,CD上運動，且NAMN=45°,在MN上截

取一點G,滿足BM=GM,連接AG,取AM,AN的中點RE,連接GRGE,令AM,

AN交BD于H,/兩點,若AB=4,當GF+GE的取值最小時，則HI的長度為8-4J5.

BMC

解：如圖1中，將△A￡W繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AR7,則AN=A7,NDAN=N

BAJ,

：.ZDAB=ZABC=90°,

VZMAN=45°,

：.ZMAJ=ZMAB+ZBAJ=ZMAB+ZDAN=45°,

???/MAJ=/MAN,

,：AM=AM9AJ=AN,

：.AAMJ^/XAMN(SAS),

???ZAMB=/AMN,

\9MA=MA,MB=MG,

：.AMAB^^MAG(SAS),

??.A5=AG=4,ZABM=ZAGM=90°,

VAF=FM,AE=EN,

：.FG=^AM,EG=LAN,

22

:.GF+GE=L(AM+AN),

2

下面證明當AM=AN時，AM+AN的值最小，如圖2中，過點A在直線/〃MN,作點N

關(guān)于直線/的對稱點N，,連接AM,MN'.

圖2

?：N,N1關(guān)于直線對稱，

:.AN=AN',

：.AM+AN=AN'+AM,

.?.當A,M,N'共線時，AM+AN的值最小，

此時：AN=AN',

:./ANN'=ZAN'N,

〃直線/,NN'1.直線/,

：.NN'±MN,

：.ZMNN'=90°,

ZAMN+ZAN'N=90°,

ZANM+ZANN'=90°,

：.NAMN=Z.ANM,

；.AN=AM,

：.當AM=AN時，AM+AN的值最小，

如圖1中，當AM=AN時，可知8/7=。/,過點H作HP_LA8于P,在AP上截取一點K,

使得AK=K〃，連接K”，設(shè)PH=PB=x,

VZBAM=ZDAN=22.5°,KA=KH,

:.NKAH=NKHA=225°,

AZPKH=ZKAH+ZKHA=45°,

:.PK=PB=PH=x.AK=KH=?x,

'：AB=4,

.,.2x+yf2x—A-,

...x=4-25

:.BH=DI=?1PB=4如-4,

,:BD=4?

:.HI=4近-2(472-4)=8-472-故答案為8-4近.

6.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段ERGH分割成四個小矩形，P是與G”的交

點，若矩形PPCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定的大小并證明你的

結(jié)論.

解：如圖，連接網(wǎng)，延長CB到使BM=DH,連接AM,

"?RtAABM^RtAADH,

：.AM=AH,ZMAB=ZHAD,

：.ZMAH=ZMAB+ZBAH=ZBAH+ZHAD=90°,

如圖設(shè)正方形邊長為“，AG=m,GP—n,則尸C=〃-〃，CH=a-m,

因為面積是二倍所以列式得到：/-(m+n)a+mn=2mri9

2

在直角三角形尸CH中方"2=(〃_〃)2+(a-m),將上面的式子聯(lián)立得到:

FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,

'：AF=AF,AH=AM,

：.AAMF^AAHF,

：.ZMAF^NHAF,

：.ZHAF=ZMAF=45°.

B

7.如圖，正方形ABC。的邊長為1,點M、N分別在3C、CD±,且的周長為2,

：.NC=1-x,MC=1-y,CANCM=NC+CM+NM=2,

.\NM=x+y.

將△OVA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AAB凡

F

則NM=M尸，AM^MA,AN=AF,

：./\ANM^/\AFMCSSS).

：.ZNAM=45°,NDNA=NAFB=/ANE.

過點A作垂足為E,

■:/AEN=ND,ZDNA=ZANE,AN為公共邊，

:.△DANQ△EAN(A4S),

.\AE=AD=l,

???在RtZXCMW中，由勾股定理得：Cm+C序=Nhfi,

(1-x)2+(1-3；)2=(x+y)2,

???化簡得：xy+x+y-1=0,①

S/\ANM=(x+y)②.

???(x-y)220,

(x+y)224孫，

二孫W6四)2,③

4

???將②③代入①并整理可得S2+2S-1^0,④

(5+1)222.

VS>0,

;心我-1,

△MAN的面積的最小值為&-1.

8.如圖，E是正方形ABC。中C。邊上一點，以點A為中心把△AOE順時針旋轉(zhuǎn)90°.

（1）在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（2）若旋轉(zhuǎn)后E點的對應點記為M,點尸在BC上，且NEAP=45°,連接EF.

①求證：AAMF式AAEF；

②若正方形的邊長為6,AE=3代，求E?

解：（1）如圖，為所作;

(2)①如圖，連接EF.

???四邊形ABCO是正方形，

AZBAD=90°,

:/\ADE點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到4加陽,

：.AM=AE,ZMAE=90°,

又；/EAF=45°,

：.ZMAF=ZEAF,

在△AM尸和△AEF中，

M=AE

-ZMAF=ZEAF>

AF=AF

(SAS).

@VAAMF^AAEF,

:?EF=MF,

即EF=MF=BM+BF,

而BM=DE,

：.EF=BF+DE,

在中，DE=/一皿2J(3粕)2一6?=3,

：.CE=CD=DE=6-3=3,

設(shè)EF=x,則8b=x-3,

.\CF=6-(x-3)=9-x.

在RtZSCEF中，CF2+CE1=EF2,

即(9-x)2+32=X2,

解得：x=5.

即EF=5.

9.如圖，邊長為1的正方形ABC。中，點E、尸分別在邊CD、A。上，連接BE、BF、EF,

且有AP+CE=EF.

(2)探究NEBF的度數(shù)是否為定值，并說明理由.

解：(1)設(shè)CE=x,AF=y,貝lj￡)E=l-x,DF=l-y,

'：AF+CE=EF,

*.EF=x+y.

???四邊形A5c。是正方形,

：.ZD=90°,

：.EF2=DE1+DF2,即(x+y)2=(1-X)2+(1-y)2,

xy+x+y—1,

(AF+1)(CE+1)=(y+1)(x+1)=孫+工+丁+1=1+1=2；

(2)NEB尸的度數(shù)為定值，理由如下：

如圖，將△ABb繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM,此時AB與C8重合.

由旋轉(zhuǎn)，可得：AB=CB,BF=BM,AF=CM,ZABF=ZCBM,ZBCM=ZA=90°,

：.ZBCM+ZBCD=900+90°=180°,

...點M、C、E在同一條直線上.

,：AF+CE=EF,CM+CE=EM,

；.EF=EM.

rBF=BM

在△BEP和△BEM中，<BE=BE>

EF=EM

.?.△BEF"ABEM(SSS),

ZEBF=NEBM=NCBM+NCBE=ZABF+ZCBE,

XVZABC=9Q°,ZABC=ZEBF+ZABF+ZCBE,

：.ZEBF=^ZABC=45°.

10.在正方形ABC。中，連接80.

（1）如圖1,AE±BDE,直接寫出/BAE的度數(shù)；

（2）如圖2,在（1）的條件下，將AAEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得

到△AB1E1,ABi與BD交于M,AE1的延長線與BD交于N.求證：BW+NbJMN2.（提

示，將△AN。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AEB,并連接）

（3）如圖3,E、尸是邊BC、CD上的點，△（;￡1/周長是正方形ABCZ）周長的一半，AE,

AF分別與BD交于M、N,寫出線段3M、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

?:BD是正方形ABCD的對角線,

：.ZABD=ZADB=45,

'：AE±BD,

：.ZABE=ZBAE=45°；

(2)將△4VD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到

AZADB=ZFBAf/BAF=/DAN,DN=BF,AF=AN,

???在正方形ABC。中，AELBD,

：.ZADB=ZABD=45,

JZFBM=ZFBA+ZABD=ZADB+ZABD=90°,

在RtZkBFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B1+BM2=FM1,

???旋轉(zhuǎn)△ABE得到△ABiEi,

：.ZE\ABi=45°,

：.ZBABi^ZDAN=90°-45°=45°,

*//BAF=DAN,

：.ZBABi+ZBAF=45,

/.ZMM=45°,

：.ZFAM=ZE1AB\,

9：AM=AM.AF=AN,

：.AAFM^AAW,

:?FM=MN,

■:BW+F"FM2,

:.BM2+DN2=MN2.

(3)結(jié)論：BM2+DN2=MN2.

將△4￡＞尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90,得到△A3G,

：.DF=GB,

??,正方形A5CO的周長為4AB,

△CEF周長為EF+EC+CF,

:△CE尸周長是正方形A5CZ)周長的一半，

：.4AB=2(EF+EC+CF),

：?2AB=EF+EC+CF

?:EC=AB-BE,CF=AB-DF,

：.2AB=EF+AB-BE+AB-DF,

???EF=DF+BE,

■:DF=GB,

；.EF=GB+BE=GE,

由旋轉(zhuǎn)得到AF=AG,

'：AE=AE,

：.AAEG^AAEF,

：.ZEAG=ZEAF=45°,

同理可得BA^+DN2=MN2.

11.如圖，四邊形A8C0為正方形，若點A坐標為（0,5）.

（1）如圖1,直接寫出點B的坐標⑸5）；

（2）如圖1,點。為線段OA上一點，連接BD,若點A到8。的距離為1,求點C到

BD的距離；

（3）如圖2,若。為x軸上一點，且0D=2,M為y軸正半軸上一點，且/O8M=45°,

直接寫出點/的坐標（0,」回）或（0,至）.

--------4----------6-

解：（1）?四邊形A8CO為正方形，點A坐標為（0,5）,

：.B的坐標（5,5）,

故答案為：（5,5）；

（2）如圖1,作AE_LBO于E,于尸，

VZABE+ZFBC^90°,ZABE+ZEAB^90°,

：.ZFBC=ZEAB,

又；AB=BC,NAEB=/BFC=9Q°,

.'.△ABE出ABCF(A4S),

.?.2F=AE=1,

又?.?BC=OA=5,

CF=>/BC2-BF2=2^6，

即點C到瓦)的距離為2遍；

(3)①當點。位于x軸正半軸時，如圖2,在x軸上截取CF=AM,

M

I______，?

()\DCFx

圖2

"：AB=CB,ZMAB=ZFCB=90°,

:.AABM出ACBF(SAS),

:.BM=BF,ZABM=ZCBF,

"：ZDBM=45°,

；./DBF=NDBC+NCBF=NDBC+NABM=90°-ZDBM=45°,

ZDBM=ZDBF,

又，；BD=BD,

:.ADBM-DBF(SAS),

設(shè)OM^y,則AM=CF=5-?DF=DM=CD+CF=5-2+5-y=8-?

在Rt/XMOD中，MD2=OM2+OD2,

即(8-y)2=『+22,

解得：尸工，

4

此時用■點坐標為(0,正)；

4

②當點。位于X軸負半軸時，如圖3,在無軸上截取C/=AM,

圖3

同理可得之△CBE,ADBM%LDBF,

設(shè)OM=y,貝l|AM=y-5=C尸，DF=2+5-(y-5)=12-y=DM,

在RtZ\MO。中，MD1=OM2+OD2,

即(12-y)2=y2+21,

解得：尸更，

6

此時M點坐標為(0,翌)，

6

綜上，M點坐標為（0,—）或（0,—

46

故答案為：（0,生）或（0,更）.

46

12.（1）【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖1,正方形A8C。中，點M、N分別是邊BC、CD上的點，NMAN=45°,若將△

D4N繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAG位置，可得△MAN0ZkAMG,若△A/CN的周長為

6,則正方形A8C。的邊長為3.

（2）【類比延伸】

如圖（2）,四邊形ABC。中，AB^AD,/區(qū)4。=120。，ZB+ZD=180°,點、M、N分

別在邊8C、CD上的點，ZMAN=60°,請判斷線段8ALDN,MN之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

（3）【拓展應用】

如圖3,四邊形A5CD中，AB=AD=10,ZAZ）C=120°,點、M,N分別在邊5C,CD

上，連接AM,MN,AABM是等邊三角形，AM±AD,DN=5請直接寫出

MN的長.

圖1

：.MN=GM,

,:DN=BG,GM=BG+BM,

：.MN=BM+DN,

「△CA/N的周長為：MN+CM+CN=6,

：.BM+CM+CN+DN=6,

：.BC+CD=6,

.?.BC=C￡>=3,

故答案為3.

(2)如圖2中，結(jié)論：MN=NM+DN.

延長CB至E,使BE=DN,連接AE,

VZABC+ZD^180°,ZABC+ZABE^180°,

ZD=/ABE,

在△ABE和△AON中，

'AB=AD

-ZABE=ZD-

BE=DN

AABE咨AADN,

：.AN=AE,ZDAN=ZBAE,

'：NBAD=2NMAN,

：.ZDAN+ZBAM=ZMAN,

：.NMAN=NEAM,

在△AMN和中，

'AN=AE

<ZMAN=ZMAE-

AM=AM

/\MAN^/\MAE,

：.MN=EM=BE+BM=BM+DN,即MN=BM+DN；

(3)解：如圖3,把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△AOG,連接AN.作NH_L4￡>

于H,在AH上取一點K,使得NNKH=30°

G

圖3

在Rt/XOHN中，VZNDH=60°DN=5

：.DH-'DN—5(立二1).,HN=MDH=15-5?,

222

在Rt^KNH中，KN=2HN=15-5如,HK=MHN=美丐一英,

：.AK=AH-HK=15-573，

：.AK=KN,

:./KAN=/KNA,

:ZNKH=ZKAN+ZKNA,

：.ZNAK=15°,

/.ZMAN=150=L/BAD,

2

由(2)得，MN=BM+DN=10+5(?-1)=5+5如.

13.請閱讀下列材料：

問題：正方形ABC。中，M,N分別是直線CB、0c上的動點，ZMAN=45°,當/MAN

交邊C3、OC于點M、N（如圖①）時，線段BM、OV和MV之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

小聰同學的思路是：延長CB至E使BE=ON,并連接AE,構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理使

問題得到解決.請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）直接寫出上面問題中，線段ON和MN之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）當/肱4N分別交邊CB,OC的延長線于點M/N時（如圖②），線段BW,DN和MN

之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明；

（3）在圖①中，若正方形的邊長為16cm,DN=4cm,請利用（1）中的結(jié)論，試求MN

的長.

解：⑴BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

理由如下：

如圖，在QC上截取。尸連接AF.

"：AB=AD,ZABM=ZADF=90°,

4ABM絲△4。尸(SAS)

J.AM^AF,ZMAB=ZFAD.

：.ZMAB+ZBAF=ZFAD+ZBAF=W1,

即/M4P=NA4r)=90°.

又/〃AN=45°,

：*NNAF=/MAN=45°.

:AN=AN,

：.小MAN學工FAN.

：.MN=FN,

即MN=DN-DF=DN-BM；

(3):正方形的邊長為16,DN=4,

：.CN=12.

根據(jù)(1)可知，BM+DN=MN,

設(shè)MN=x,則4,

.'.CM—16-(尤-4)=20-x.

在RtZXCMN中，

?：MN2=CM2+CN1,

(20-x)2+122.

解得x=13.6.

.\MN=13.6cm.

14.問題背景:

如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=120°,NB=NADC=90°,E,尸分

另1J是BC,CO上的點，且NEAB=60°,探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小

王同學探究此問題的方法是：延長ED到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE絲

△AOG,再證明會ZkAGR可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是EF=BE+DF.

實際應用：

如圖2,在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABC。，四周修有步行小徑，且AB=A。，Z

B+ZD=180°,在小徑BC,CD上各修一涼亭E,F,在涼亭E與E之間有一池塘，不

能直接到達經(jīng)測量得到BE=10米，。尸=15米，試求兩涼亭之間的

2

距離EF.

解：問題背景：VZADC=90°,ZADC+ZADG=ISO°,

：.ZADG=9Q°,

在△ABE和△ADG中，

'BE=DG

<ZB=ZADG，

AB=AD

；.AABE經(jīng)AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=