專題07分式方程

課標(biāo)要求考點考向

分式方

能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫

1.程的運考向一解分式方程

現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型

;算

考向二分式方程的解

2.能解可化為一元一次方程的分式方程:

3.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

分式方考向一列分式方程

程的應(yīng)

考向二分式方程的實際應(yīng)用

用

易錯易混提醒

解分式方程過程中，易錯點有:

（1）去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項;

（2）忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解.

（3）增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根，若這個整式方程本身無

解，當(dāng)然原分式方程就一定無解.

?考向一解分式方程

1

1．（2024·海南·中考真題）分式方程1的解是（）

x2

A．x3B．x3C．x2D．x2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗即可．

1

【詳解】解：1

x2

去分得：1x2，

解得x3，

檢驗，當(dāng)x3時，x20，

∴x3是原方程的解，

故選：A．

15

2．（2024·山東濟寧·中考真題）解分式方程1時，去分母變形正確的是（）

3x126x

A．26x25B．6x225

C．26x15D．6x215

【答案】A

【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分

母．

15

【詳解】解：方程兩邊同乘26x，得26x26x26x，

3x126x

整理可得：26x25

故選：A．

12

3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程3的解是（）

x22x

75

A．xB．x1C．xD．x3

33

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)

化為1，檢驗）求解，即可解題．

12

【詳解】解：3，

x22x

12

3，

x2x2

13x22，

13x62，

3x9，

x3，

經(jīng)檢驗x3是該方程的解，

故選：D．

111

4．（2024·四川廣元·中考真題）若點Qx,y滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的

xyxy

坐標(biāo)．

【答案】2,1（答案不唯一）

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以xy后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值，

以此為點的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得xy1，

令，則，

∴“?美=好2點”的?坐=標(biāo)?為12，1，

故答案為2，1（答案不唯一）

2

5．（2024·浙江·中考真題）若1，則x

x1

【答案】3

【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解

分式方程一定注意要驗根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得

到分式方程的解．

【詳解】解：去分母得：2x1，

移項合并得：x3，

解得：x3，

經(jīng)檢驗，x3是分式方程的解，

故答案為：3

11

6．（2024·北京·中考真題）方程0的解為.

2x3x

【答案】x1

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．

先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根．

11

【詳解】解：0

2x3x

x2x30，

解得：x1，

經(jīng)檢驗：x1是原方程的解，

所以，原方程的解為x1，

故答案為：x1．

2x

7．（2024·陜西·中考真題）解方程：1．

x21x1

【答案】x3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程

的解進行檢驗即可．

2x

【詳解】解：1，

x21x1

去分母得：2xx1x21，

去括號得：2x2xx21，

移項，合并同類項得：x3，

檢驗：把x3代入x1x1得：313180，

∴x3是原方程的解．

3x

8．（2024·福建·中考真題）解方程：1．

x2x2

【答案】x10．

【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．

3x

【詳解】解：1，

x2x2

方程兩邊都乘x2x2，得3x2x2x2xx2．

去括號得：3x6x24x22x，

解得x10．

經(jīng)檢驗，x10是原方程的根．

?考向二分式方程的解

2m

9．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程1的解為正數(shù)，則m的取值范圍（）

x1x1

A．m3B．m3且m2

C．m3D．m3且m2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x1得，2x1m，

解得xm3，

2m

∵分式方程1的解為正數(shù)，

x1x1

∴m30，

∴m3，

又∵x1，

即m31，

∴m2，

∴m的取值范圍為m3且m2，

故選：B．

kx3

10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程2無解，則k的值為（）

x33x

A．k2或k1B．k2C．k2或k1D．k1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．

【詳解】解：去分母得，kx2(x3)3，

整理得，(k2)x9，

當(dāng)k2時，方程無解，

當(dāng)k2時，令x3，

解得k1，

kx3

所以關(guān)于x的分式方程2無解時，k2或k1．

x33x

故選：A．

1m

11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于x的分式方程0的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值

xx1

范圍是（）

A．m1且m0B．m1C．m1D．m1且m1

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的

解是負數(shù)得到m10，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為0，求出m的取值范圍即可，熟練掌握解

分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：方程兩邊同時乘以xx1得，x1mx0，

1

解得x，

m1

∵分式方程的解是負數(shù)，

∴m10，

∴m1，

又∵xx10，

∴x10，

1

∴1，

m1

∴m0，

∴m1且m0，

故選：A．

2x1

3

12．（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組3的解集為x4，且關(guān)于y的分式

4x23xa

a8y

方程1的解均為負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．

y2y2

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的

a10

兩個不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出a2；解分式方程得到y(tǒng)，再由關(guān)于y的分式方程

2

a8y

1的解均為負整數(shù)，推出a10且a6且a是偶數(shù)，則2a10且a6且a是偶數(shù)，據(jù)此確

y2y2

定符合題意的a的值，最后求和即可．

2x1

3①

【詳解】解：3

4x23xa②

解不等式①得：x4，

解不等式②得：xa2，

∵不等式組的解集為x4，

∴a24，

∴a2；

a8ya10

解分式方程1得y，

y2y22

a8y

∵關(guān)于y的分式方程1的解均為負整數(shù)，

y2y2

a10a10a10

∴0且是整數(shù)且y220，

222

∴a10且a6且a是偶數(shù)，

∴2a10且a6且a是偶數(shù)，

∴滿足題意的a的值可以為4或8，

∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是4812．

故答案為：12．

?考向一列分式方程

13．（2024·四川巴中·中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動，目的地距學(xué)校60km，一部分學(xué)

生乘慢車先行0.5h，另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時到達．已知快車的速度比慢車的速度每小時快

20km，求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為xkm/h，則可列方程為（）

6060160601

A．B．

xx202x20x2

6060160601

C．D．

x20x2xx202

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)慢車的速度為xkm/h，則快車的速度是x20km/h，再根

據(jù)題意列出方程即可．

【詳解】解：設(shè)慢車的速度為xkm/h，則快車的速度為x20km/h，根據(jù)題意可得：

60601

．

xx202

故選：A．

14．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購買A、B兩種綠植，

已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50

株．設(shè)B種綠植單價是x元，則可列方程是（）

6750300030006750

A．50B．50

3xx3xx

6750300030006750

C．50D．50

3xx3xx

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據(jù)用6750

元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可．

【詳解】解：設(shè)B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是3x元，根據(jù)題意得：

67503000

50，

3xx

故選：C．

15．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細

心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設(shè)每袋粽子的

原價是x元，所得方程正確的是（）

240240240240

A．10B．10

xx2xx2

240240240240

C．10D．10

x2xx2x

【答案】C

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．根據(jù)

降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應(yīng)的分式方程．

【詳解】解：由題意可得，

240240

10，

x2x

故選：C．

16．（2024·山西·中考真題）某校組織學(xué)生開展“茶韻與書畫”為主題的研學(xué)課程，已知學(xué)校用于購買扇子的

費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數(shù)量是購買茶具數(shù)量的2倍，并且扇子的單

價比茶具的單價便宜3元．設(shè)購買扇子的單價為x元．則x滿足的方程為（）

4000320040003200

A．2B．2

xx3xx3

4000320040003200

C．2D．2

x3xx3x

【答案】A

【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為x3元，根據(jù)“購買

扇子的數(shù)量是購買茶具數(shù)量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為x3元，

40003200

根據(jù)題意得：2，

xx3

故選：A．

?考向二分式方程的實際應(yīng)用

17．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）A，B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器

人每小時多搬運30千克，A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等．A，

B兩種機器人每小時分別搬運多少干克化工原料？（）

A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運x30

千克，根據(jù)“A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等”列分式方程求解即

可．

【詳解】解：設(shè)B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運x30千克，

900600

根據(jù)題意，得，

x30x

解得x60，

經(jīng)檢驗，x60是原方程的解，

∴x3090，

答：A型機器人每小時搬運90千克，B型機器人每小時搬運60千克．

故選：D．

18．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所

用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A．5km/hB．6km/hC．7km/hD．8km/h

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，利用順?biāo)凫o水速水速，逆水速靜水速-水速，設(shè)未知數(shù)

列出方程，解方程即可求出答案．

【詳解】解：設(shè)江水的流速為xkm/h，根據(jù)題意可得：

12080

，

40x40x

解得：x8，

經(jīng)檢驗：x8是原方程的根，

答：江水的流速為8km/h．

故選：D．

19．（2024·山東·中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)

100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）

A．200B．300C．400D．500

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x100，根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的

時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．

【詳解】解：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x100，

600400

根據(jù)題意，得：，

xx100

解得：x300，

經(jīng)檢驗x300是分式方程的解，且符合題意，

答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)300．

故選：B．

20．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生

產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進小號“龍辰

辰”的數(shù)量是用2200元購進大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網(wǎng)店在該

廠家購進了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍

辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，

則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元．

【答案】551260

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x15元，根據(jù)題意建立分式方

程，解方程即可得；設(shè)購進小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進大號“龍辰辰”的數(shù)量為60a個，先求出a

的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為w元，建立w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．

【詳解】解：設(shè)大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x15元，

24002200

由題意得：1.5，

x15x

解得x55，

經(jīng)檢驗，x55是所列分式方程的解，

所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．

設(shè)購進小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進大號“龍辰辰”的數(shù)量為60a個，

1

由題意得：060aa，

2

解得40a60，

設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為w元，

則w6040a60130%5560a3a1380，

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40a60內(nèi)，w隨a的增大而減小，

則當(dāng)a40時，w取得最大值，最大值為34013801260，

即該網(wǎng)店所獲最大利潤為1260元，

故答案為：55；1260．

21．（2024·山東東營·中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證

1

從今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲原價的．小麗家去年5月份的水費是28元，而

4

今年5月份的水費則是24.5元．已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．設(shè)該市去

年居民用水價格為x元/m3，則可列分式方程為．

2824.5

3

【答案】5

xx

4

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市去年居民用水價格為x元/m3，則今年居民用水價格為

5

x元/m3，根據(jù)小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3，列出方程即可．

4

13

【詳解】解：設(shè)該市去年居民用水價格為x元/m3，則今年居民用水價格為1x元/m，根據(jù)題意得：

4

2824.5

3

5．

xx

4

2824.5

3

故答案為：5．

xx

4

22．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具

有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術(shù)．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2m0.8m，裝裱后，上、下、左、右邊

襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后AB與AD的比是16:10，且ab，cd，c2a，求四周邊

襯的寬度．

【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分別表示出AB,AD的長，列出分式方程，進行求解即可．

【詳解】解：由題意，得：AB1.2cd1.22c1.24a，AD0.8ab0.82a，

∵AB與AD的比是16:10，

1.24a16

∴，

0.82a10

解得：a0.1，

經(jīng)檢驗a0.1是原方程的解．

∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．

23．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時電價機制，引導(dǎo)電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施

峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—

次日7：00，峰時電價比谷時電價高0.2元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為

50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．

【答案】該市谷時電價0.3元/度

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市谷時電價為x元/度，則峰時電價(x+0.2)元/度，根據(jù)題意列

出分式方程，解方程并檢驗，即可求解．

【詳解】解：設(shè)該市谷時電價為x元/度，則峰時電價(x+0.2)元/度，根據(jù)題意得，

5030

，

x0.2x

解得：x0.3，經(jīng)檢驗x0.3是原方程的解，

答：該市谷時電價0.3元/度．

24．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某

農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，

已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有

多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)甲組有x名工人，則乙組有35x名工人．根據(jù)題意得

27003000

1.2，據(jù)此即可求解．

35xx

【詳解】解：設(shè)甲組有x名工人，則乙組有35x名工人．

27003000

根據(jù)題意得：1.2，

35xx

解答：x=20，

經(jīng)檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意，

35x352015．

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人．

25．（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達

到洗衣目標(biāo)．

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5kg水．

0.5d前

濃度關(guān)系式：d后．其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所

0.5w

加清水量（單位：kg）

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務(wù)：

(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要多少清水？

(2)如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標(biāo)？

(3)比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．

【答案】(1)只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水．

(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標(biāo)；

(3)兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)

【分析】本題考查的是分式方程的實際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

0.5d前

（1）把d后0.01%，d前0.2%代入d后，再解方程即可；

0.5w

（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可．

0.5d前

【詳解】（1）解：把d后0.01%，d前0.2%代入d后

0.5w

0.50.2%

得0.01%，

0.5w

解得w9.5．經(jīng)檢驗符合題意；

∴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水．

（2）解：第一次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.2%代入d后，

0.5w

0.50.2%

∴d后0.04%，

0.52

第二次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.04%代入d后，

0.5w

0.50.04%

∴d后0.008%，

0.52

而0.008%0.01%，

∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標(biāo)；

（3）解：由（1）（2）的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，

∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)．

26．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為

300千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型

車的平均速度．

【答案】D型車的平均速度為100km/h

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是3xkm/h，根

據(jù)“乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．

【詳解】解：設(shè)D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是3xkm/h，

300300

根據(jù)題意可得，2，

x3x

整理得，6x600，

解得x100，

經(jīng)檢驗x100是該方程的解，

答：D型車的平均速度為100km/h．

27．（2024·重慶·中考真題）為促進新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30

條生產(chǎn)線的設(shè)備進行更新?lián)Q代．

(1)為鼓勵企業(yè)進行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線

的設(shè)備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線

的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？

(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬

元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得

70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

【答案】(1)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

(2)需要更新設(shè)備費用為1330萬元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有30x條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該

企業(yè)可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；

（2）設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為m5萬元，利用

用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，再建立分

式方程，進一步求解．

【詳解】（1）解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有30x條，則

3x230x70，

解得：x10，

則30x20；

答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

（2）解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為m5萬元，

則

200180

，

mm5

解得：m50，

經(jīng)檢驗：m50是原方程的根，且符合題意；

則m545，

則還需要更新設(shè)備費用為10502045701330（萬元）；

28．（2024·重慶·中考真題）某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、

乙兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半．據(jù)測算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費用為15000元，已知A種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元．

(1)求A、B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

4

(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)

5

所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)A種外墻漆每千克的價格為26元，則B種外墻漆每千克的價格為24元．

(2)甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米．

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；

（1）設(shè)A種外墻漆每千克的價格為x元，則B種外墻漆每千克的價格為x2元，再根據(jù)總費用為15000

元列方程求解即可；

4

（2）設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是y平方米；利用乙完成粉刷任務(wù)

5

所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時．從而建立分式方程求解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)A種外墻漆每千克的價格為x元，則B種外墻漆每千克的價格為x2元，

∴300x300x215000，

解得：x26，

∴x224，

答：A種外墻漆每千克的價格為26元，B種外墻漆每千克的價格為24元．

4

（2）設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是y平方米；

5

500500

5

∴4，

yy

5

解得：y25，

經(jīng)檢驗：y25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米．

一、單選題

1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（）

x1514x

A．B．

233x13x1

x33xx1

C．1D．2

2x12x143

【答案】C

【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進行判斷即可．

x15

【詳解】解：A．是一元一次方程，故選項不符合題意；

23

14x

B．不是方程，故選項不符合題意；

3x13x1

x3

C．1是分式方程，故選項符合題意；

2x12x1

3xx1

D．2是一元一次方程，故選項符合題意．

43

故選：C．

2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某生鮮超市在三月份用20000元進購一批鐵皮西紅柿，四月份這種鐵皮西紅柿

每千克降價了1元，此生鮮超市用18000元進購?fù)N鐵皮西紅柿，卻多進貨500千克．求三月份這種鐵皮

西紅柿每千克多少元？設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，可列方程得（）

20000180002000018000

A．500B．500

x1xxx1

20000180002000018000

C．500D．500

x1xxx1

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅

柿每千克x1元，根據(jù)三月進貨量+500=四月進貨量，列出方程即可．

【詳解】解：設(shè)三月份這種鐵皮西紅柿每千克x元，則四月份這種鐵皮西紅柿每千克x1元，

2000018000

可列方程得500，

xx1

故選：D．

3．（2024·上海寶山·一模）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為；把一

份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時

1800900

間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍．根據(jù)題意列方程為，其中x表示（）

x1x3

A．快馬的速度B．慢馬的速度C．規(guī)定的時間D．以上都不對

【答案】C

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系及所列的方程，找

900900

出x的含義是解題的關(guān)鍵．由快、慢馬速度間的關(guān)系，結(jié)合所列的方程，可得出表示慢馬的速度，

x1x3

表示快馬的速度，結(jié)合快、慢馬所需時間與規(guī)定時間之間的關(guān)系，可得出x表示規(guī)定的時間．

9009001800900

【詳解】解：∵快馬的速度是慢馬的2倍，所列方程為2，即，

x1x3x1x3

900900

∴表示慢馬的速度，表示快馬的速度；

x1x3

∵把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比

規(guī)定時間少3天，

∴x表示規(guī)定的時間．

故選：C．

4k

4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知x5是分式方程1的解，則k的值為（）

x22x

A．5B．4C．3D．2

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把

x5代入原方程求出k的值即可．

4k

【詳解】解：x5是分式方程1的解，

x22x

4k

1，

5225

解得：k3，

故選：C．

5．（2024·上?！つM預(yù)測）野豪豬內(nèi)卷會用6000元購進一批試卷，每套試卷含數(shù)理化三科，每套以比進價

高10元的優(yōu)惠價格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價送給了其他同學(xué)，

最后野豪豬內(nèi)卷會盈利950元，則一套試卷的進價為（）

A．50元B．100元C．120元D．240元

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)每套試卷的進價為x元，則每套試卷的售價為x10元，根據(jù)題

意列出分式方程，解之即可，注意檢驗．

【詳解】解：設(shè)每套試卷的進價為x元，則每套試卷的售價為x10元，

60006000950510

根據(jù)題意得5，

xx10

整理得x2190x120000，

解得x150，x2240（不合題意，舍去），

經(jīng)檢驗，x50是原方程的解，且符合題意；

答：每套試卷的進價為50元，

故選：A．

6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）為改善生態(tài)環(huán)境，打造宜居城市，某市園林綠化部門計劃植樹20萬棵，由于工

程進度需要，實際每天植樹棵數(shù)比原計劃增加了25%，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．若設(shè)實際每天植樹x萬棵，

則根據(jù)題意可得方程為（）

20125%202020

A．4B．4

xx25%xx

20202020

C．4D．4

125%xxx125%x

【答案】A

x

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)實際每天植樹x萬棵，則原計劃每天植樹萬棵，根

125%

據(jù)“提前4天完成任務(wù)”列出方程即可．

x

【詳解】解：設(shè)實際每天植樹x萬棵，則原計劃每天植樹萬棵，

125%

2020

4

根據(jù)題意可得方程為xx，

125%

20125%20

整理為：4，

xx

故選：A．

2xa1

7．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組x12x有且只有兩個偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方

1