2024春新教材高中數學5.4.3正切函數的性質與圖象教學實錄新人教A版必修第一冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024春新教材高中數學5.4.3正切函數的性質與圖象教學實錄新人教A版必修第一冊教材分析2024春新教材高中數學5.4.3正切函數的性質與圖象教學實錄新人教A版必修第一冊。本節(jié)課以正切函數的性質與圖象為主要內容，通過引導學生觀察、分析、歸納，幫助學生掌握正切函數的基本性質，理解正切函數圖象的特點，并能運用所學知識解決實際問題。教學內容與課本緊密相連，符合教學實際，注重培養(yǎng)學生的數學思維能力和應用能力。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象和數學運算等核心素養(yǎng)。通過探究正切函數的性質，學生能夠提高抽象思維能力，學會運用數學語言描述和表達數學現象；通過邏輯推理，學生能夠理解函數性質與圖象之間的關系，提升邏輯推理能力；通過數學建模，學生能夠將實際問題轉化為數學模型，提高解決實際問題的能力；通過直觀想象，學生能夠從圖象中獲取信息，培養(yǎng)空間想象能力；通過數學運算，學生能夠熟練運用運算技能，提高運算效率。教學難點與重點1.教學重點：

-正切函數的定義域和值域：重點強調正切函數的定義域為所有實數除去π的整數倍，值域為所有實數。

-正切函數的單調性：通過具體例子，如tan(x)在(-π/2,π/2)內是增函數，幫助學生理解正切函數的單調性。

-正切函數的周期性：明確正切函數的周期為π，通過繪制正切函數圖象，讓學生直觀感受周期性。

2.教學難點：

-正切函數圖象的理解：學生可能難以直觀理解正切函數圖象的無窮間斷點，需要通過多個例子和圖象分析來加深理解。

-正切函數的應用：將正切函數的性質應用于解決實際問題，如求解角度、計算三角形的邊長等，學生可能對如何將理論知識與實際問題結合感到困難。

-正切函數的導數：理解正切函數的導數公式及其應用，學生可能對導數的概念和計算過程感到抽象和復雜。通過具體的計算實例和導數的幾何意義，幫助學生突破這一難點。教學資源-軟硬件資源：計算機、投影儀、電子白板、數學函數繪圖軟件

-課程平臺：學校內部教學平臺，用于發(fā)布教學材料和學生作業(yè)

-信息化資源：正切函數圖象動畫、相關數學概念的視頻講解

-教學手段：實物教具（如三角板、量角器）、黑板、粉筆教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務：教師通過在線平臺發(fā)布PPT和視頻，要求學生預習正切函數的定義和基本性質。

-設計預習問題：教師設計問題如“正切函數的定義域和值域有何特點？”和“如何通過圖象理解正切函數的單調性？”

-監(jiān)控預習進度：通過在線平臺的訪問記錄和學生的反饋，監(jiān)控預習情況。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生閱讀PPT和視頻，理解正切函數的基本概念。

-思考預習問題：學生根據預習資料思考并提出問題，如“正切函數在哪些區(qū)間內是單調的？”

-提交預習成果：學生整理預習筆記，提交至平臺或紙質筆記給老師。

方法/手段/資源：

-自主學習法：通過自主學習，學生初步掌握正切函數的基本知識。

-信息技術手段：利用在線平臺，實現預習資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-為課堂學習做好準備，幫助學生建立初步的知識框架。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過展示正切函數在生活中的應用案例，如機械運動分析，引出課題。

-講解知識點：詳細講解正切函數的周期性和奇偶性，結合圖象說明。

-組織課堂活動：分組討論如何利用正切函數的性質解決實際問題，如計算角度。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學生積極參與小組討論，共同解決問題。

方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學生理解正切函數的性質。

-實踐活動法：通過小組合作，讓學生在解決問題中應用所學知識。

-合作學習法：通過小組討論，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力。

作用與目的：

-深入理解正切函數的性質，掌握其應用。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置包含正切函數性質應用題的作業(yè)，如計算特定角度的正切值。

-提供拓展資源：推薦相關的數學競賽題目或在線學習資源。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生獨立完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

-拓展學習：學生利用推薦資源進行進一步的深入學習。

方法/手段/資源：

-自主學習法：學生通過完成作業(yè)和拓展學習，提高自學能力。

-反思總結法：學生通過反思作業(yè)和拓展學習，總結學習經驗。

作用與目的：

-鞏固和拓展學生的知識，提高學生的應用能力和自主學習能力。教學資源拓展1.拓展資源：

-正切函數的歷史背景：介紹正切函數的起源和發(fā)展，以及它在數學史上的重要地位。

-正切函數的應用領域：探討正切函數在物理學、工程學、計算機科學等領域的應用實例。

-正切函數的極限性質：深入研究正切函數的極限性質，包括極限存在性、極限值等。

-正切函數的微分與積分：介紹正切函數的微分和積分公式，以及其在實際問題中的應用。

-正切函數與三角恒等式的關系：探討正切函數與其他三角函數之間的關系，如正弦、余弦、余切等。

-正切函數在幾何中的應用：分析正切函數在解析幾何、立體幾何等幾何學領域的應用。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：推薦學生閱讀《數學分析基礎》、《高等數學》等書籍，深入了解正切函數的數學理論。

-參與數學競賽：鼓勵學生參加數學競賽，如美國數學競賽（AMC）、國際數學奧林匹克（IMO）等，提升解題能力。

-觀看在線課程：推薦學生觀看相關的在線課程，如《數學之美》、《高等數學教程》等，拓寬知識面。

-實踐項目：引導學生參與實踐項目，如設計一個基于正切函數的物理實驗或編程項目，將理論知識應用于實際問題。

-小組討論：組織學生進行小組討論，分享對正切函數的理解和應用經驗，培養(yǎng)團隊合作能力。

-制作思維導圖：要求學生制作正切函數的思維導圖，梳理知識點，加深對正切函數的理解。

-探究性學習：鼓勵學生進行探究性學習，如研究正切函數在特定領域的應用，提出自己的觀點和見解。

-參加學術講座：組織學生參加學術講座，邀請相關領域的專家分享研究成果，激發(fā)學生的學習興趣。

-實地考察：組織學生進行實地考察，如參觀科技館、實驗室等，直觀感受正切函數的應用場景。

-編寫論文：指導學生撰寫論文，對正切函數的性質和應用進行深入研究，提高學術寫作能力。典型例題講解1.例題：已知函數f(x)=tan(x)+2，求函數的值域。

解答：由于tan(x)的值域為(-∞,+∞)，因此f(x)=tan(x)+2的值域為(-∞,+∞)+2，即(-∞,+∞)。

2.例題：證明正切函數tan(x)在區(qū)間(-π/2,π/2)內是增函數。

解答：設x1,x2屬于(-π/2,π/2)，且x1<x2。由于tan(x)在(-π/2,π/2)內連續(xù)，且tan'(x)=sec^2(x)>0，因此tan(x)在(-π/2,π/2)內是增函數。

3.例題：已知tan(θ)=1/2，求θ的值。

解答：由于tan(θ)=1/2，且θ在(-π/2,π/2)內，因此θ=arctan(1/2)≈0.4636弧度。

4.例題：求函數f(x)=tan(x+π/4)的周期。

解答：由于tan(x)的周期為π，因此tan(x+π/4)的周期也為π。即f(x)的周期為π。

5.例題：已知函數f(x)=2tan(x)-1，求f(x)在x=π/4時的導數。

解答：f'(x)=2sec^2(x)。當x=π/4時，f'(π/4)=2sec^2(π/4)=2(2)=4。

補充說明：

-例題1和例題2涉及到正切函數的值域和單調性，這是正切函數的基本性質，需要學生掌握。

-例題3和例題4涉及到正切函數的逆函數和周期性，這些知識點是學生需要理解和應用的重要部分。

-例題5涉及到正切函數的導數，這是高等數學中的知識點，需要學生有一定的數學基礎。

-例題1：通過觀察tan(x)的圖象，可以發(fā)現其值域為整個實數集。因此，對于任何實數y，都存在一個x值使得tan(x)=y。在本例中，由于f(x)=tan(x)+2，因此值域為(-∞,+∞)+2，即(-∞,+∞)。

-例題2：通過求導數和利用導數的正負性，可以判斷函數的單調性。在本例中，由于tan'(x)=sec^2(x)>0，因此tan(x)在(-π/2,π/2)內是增函數。

-例題3：利用反正切函數的性質，可以求得tan(θ)=1/2時的θ值。在本例中，θ=arctan(1/2)。

-例題4：由于tan(x)的周期為π，因此tan(x+π/4)的周期也為π。這意味著對于任何實數k，都有tan(x+π/4)=tan(x+kπ/4)。

-例題5：通過求導數公式，可以求得f(x)的導數。在本例中，f'(x)=2sec^2(x)，當x=π/4時，f'(π/4)=4。內容邏輯關系①正切函數的定義

-定義：正切函數是正弦函數與余弦函數的比值，即tan(x)=sin(x)/cos(x)。

-定義域：正切函數的定義域為所有實數除去π的整數倍，即{x|x≠kπ,k∈Z}。

-值域：正切函數的值域為所有實數，即(-∞,+∞)。

②正切函數的性質

-單調性：正切函數在(-π/2,π/2)內是增函數，在其他區(qū)間內是減函數。

-奇偶性：正切函數是奇函數，即tan(-x)=-tan(x)。

-周期性：正切函數的周期為π，即tan(x+π)=tan(x)。

③正切函數的圖象

-圖象特點：正切函數的圖象在y軸上存在無窮多個間斷點，圖象呈現周期性波動。

-間斷點：正切函數在x=kπ處（k為整數）存在無窮間斷點。

-周期：正切函數的周期為π，圖象每隔π個單位長度重復一次。

④正切函數的應用

-解三角形：利用正切函數的性質求解三角形的邊長和角度。

-物理學：在物理學中，正切函數用于描述物體在斜面上的運動。

-工程學：在工程學中，正切函數用于計算角度和斜率等參數。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

1.回顧正切函數的定義和基本性質，強調定義域、值域、單調性、奇偶性和周期性等關鍵概念。

2.通過圖象分析，讓學生直觀理解正切函數的間斷點和周期性。

3.強調正切函數在解決實際問題中的應用，如解三角形、物理學和工程學中的角度和斜率計算。

4.引導學生總結本節(jié)課所學內容，包括正切函數的基本性質和圖象特征。

當堂檢測：

1.單項選擇題：

-下列哪個選項不是正切函數的定義域？

A.(-∞,+∞)

B.(-π/2,π/2)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(-π,π)

-正切函數在哪個區(qū)間內是增函數？

A.(-π/2,π/2)

B.(π/2,3π/2)

C.(-π,0)

D.(0,π)

-正切函數的周期是多少？

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

2.判斷題：

-正切函數是偶函數。（×）

-正切函數在x=π/4時的值是1。（√）

-正切函數的圖象在y軸上沒有間斷點。（×）

3.填空題：

-正切函數的定義域是__________，值域是__________。

-正切函數的周期是__________，即tan(x+__________)=tan(x)。

-當x=π/6時，tan(x)的值是__________。

4.應用題：

-已知tan(θ)=3/4，且θ在第二象限，求θ的度數。

-一個三角形的兩個內角分別是30°和45°，求第三個內角的度數。

-在一個直角三角形中，已知直角邊長分別為3cm和4cm，求斜邊的長度。

檢測目的：

-通過當堂檢測，檢查學生對正切函數基本性質的理解和應用能力。

-幫助學生鞏固所學知識，及時發(fā)現并解決學習中存在的問題。

-提高學生的數學思維能力和解決問題的能力。教學反思與總結這節(jié)課上完之后，我感到收獲頗豐，同時也意識到在教學過程中還存在一些需要改進的地方。

首先，我覺得我在教學方法上做得還是比較好的。我盡量采用直觀的教學方式，比如通過圖象展示正切函數的性質，讓學生能夠更直觀地理解抽象的數學概念。我還設計了小組討論和實踐活動，讓學生在互動中學習，這樣的方式很受學生歡迎，他們的參與度和積極性都提高了。

但是，我也發(fā)現了一些問題。比如，在講解正切函數的周期性時，我發(fā)現有些學生對于周期的概念理解不夠深刻，他們對周期性圖象的直觀感受還不夠。這可能是因為我對于周期的講解還不夠生動，沒有足夠的時間讓學生通過實踐來感受周期的重復性。

在教學策略上，我嘗試了多種教學方法，包括講授法、討論法、實踐法等，這些方法在一定程度上都起到了作用。但是，我也意識到，對于一些理解力較強的學生，單純的講授可能不足以激發(fā)他們的學習興趣，而實踐活動可能對于一些基礎較弱的學生來說又顯得有些難度。因此，我需要在今后的教學中更加注重分層教學，根據學生的不同需求來調整教學策略。

在課堂管理方面，我發(fā)現自己在維持課堂紀律上還有待加強。有時候，課堂