第五章二次函數5.1二次函數

生活中,存在著許多變化的量,函數是刻畫變量與變量之間關系的一個有效的數學模型.知識回顧一般地，在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，x是自變量.1.

什么叫函數?2.

我們學習哪幾種函數？你能寫出它們的表達式嗎？一次函數：y=kx+b(k、b為常數，k≠0)反比例函數：

生活·數學1.水滴激起的波紋不斷地向外擴展，形成的圓.圓的周長C與相應圓的半徑r的關系式是________；圓的面積S與相應圓的半徑r的關系式是_________.這兩個函數表達式有何差異？

C=2πrS=πr2在這個問題中，設矩形的一邊長為xm，則另一邊長為_______m．生活·數學2.用長16m的籬笆圍成矩形的生物園飼養小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?(8-x)究竟怎樣圍可使小兔的活動范圍比較大？矩形面積y與長x之間的函數關系為:y＝－x2＋8x生活·數學3.一面長比寬之比為2：1的矩形鏡子，四周鑲有邊框.已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費為45元.設鏡面的寬為xm，則長為____m，鏡面面積為_____m2，鏡面費用為___________元，邊框費用為______________元，總費用(元)與鏡面寬長(m)之間的函數關系為___________________.2x

2x2120×2x230(2x+x+2x+x)xm2xm

y＝240x2＋180x＋45類比歸納S=πr2y＝－x2＋8xy＝240x2＋180x＋45

以上函數表達式有什么共同特征？

它們與一次函數、反比例函數的表達式有什么不同？類比一次函數的定義，你能歸納出二次函數的定義嗎？概念學習二次函數的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）的函數稱為二次函數．其中x是自變量，y是x的函數.為什么要限制a≠0，b、c可以為零嗎？思考：二次函數的一般形式新知鞏固下列函數中y是x的二次函數嗎？若是二次函數，指出a、b、c的值．(1)1－x2(2)y＝x(x－2)(3)y＝22+2x如何判斷一個函數是否是二次函數？歸納總結（1）函數表達式是關于自變量的整式；（2）化簡后自變量的最高次數是2

(可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項)；（3）二次項系數不為0.注意：先化簡后判斷二次函數的識別方法：討論交流問題1函數y=ax2+bx+c中自變量x的取值范圍是什么？任意實數問題2上述三個問題中自變量的取值范圍還是任意實數嗎？S=πr2y＝－x2＋8xy＝240x2＋180x＋45r＞00<x<8x＞0

解：由題意得：解得：m＝－3．當m=-3時，y=-6x2-2x+7例題講解

－1例題講解例2寫出下列問題中y與x之間的函數的表達式,并寫出自變量的取值范圍:(1)如圖，在長200m、寬140m的矩形綠地內修建等寬的十字形道路，設道路寬為x(m)，綠地面積為y(m2)；解：(1)y=(200-x)(140-x)0<x<140例題講解(2)某化肥廠10月份生產某種化肥200t，設該廠11月、12月的月平均增長率為x，12月份化肥的產量為y(t)；解：(2)y=200(1+x)2x＞0(3)如圖，用長50m的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設矩形花園的長為x(m)，面積為y(m2).

0<x<50新知鞏固

2.寫出正方體的表面積S(cm2)與正方體的棱長a(cm)之間的函數表達式.

解：由題意得：解得：k＝－2．解：S=6a2a＞0新知鞏固4.如圖，矩形紙片長為30cm、寬為20cm，剪去一個邊長為xcm的正方形，寫出剩余部分的面積S(cm2)與x(cm)之間的函數表達式.3.高為14cm的圓柱的體積V(cm3)與底面半徑r(cm)之間的函數表達式.解：V=14πr2r＞0解：S=600-x20<x≤20課堂小結二次函數概念列二次函數表達式自變量的取值范圍形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）的函數稱為二次函數．審清題意找出等量關系列二次函數表達式一般是任意實數實際問題有實際意義當堂檢測

D2.若y＝(m－2)x2＋(m－1)x是關于x的二次函數，則m的取值范圍是(

)

A.m≠2

B.m≠1

C.m≠2且m≠1

D.全體實數A當堂檢測3.用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，矩形的面積為Sm2.當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是(

)A.一次函數關系、二次函數關系B.反比例函數關系、二次函數關系C.一次函數關系、反比例函數關系D.反比例函數關系、一次函數關系A4.已知函數y=3x2m-1－5

①當m=＿＿時，y是關于x的一次函數；②當m=＿＿時，y是關于x的反比例函數；③當m=＿＿時，y是關于x的二次函數.當堂檢測10

5.將y＝－(x＋2)2－3化為一般形式為_______________，其中二次項系數為_______，一次項系數為_______，常數項為_______.y＝－x2－4x－7－1－4－7當堂檢測6.函數y＝2x2＋3x＋7中，自變量x的取值范圍為___________.全體實數7.已知二次函數y＝x2＋3x－5，當x＝2時，y＝________.58.若菱形的兩條對角線的長的和為36cm，則菱形的面積S(cm2)與一條對角線的長x(cm)之間的函數表達式為________________，其中自變量x的取值范圍是___________.

0＜x＜36當堂檢測9.如圖，學校準備圍一個中間隔有一道籬笆且一面靠墻(墻長為