專題11四邊形與正多邊形

1.平行四邊形的定義、性質與判定

(1)定義：兩組對邊分別的四邊形叫作平行四邊形.

(2)性質：對邊平行；對邊________；對角相等；對角線互相平分，是_________圖形.

(3)判定方法：①兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③有一組對邊且的四邊形是平行四邊形；

④對角線的四邊形是平行四邊形.

2.矩形的定義、性質與判定

(1)定義：有一個角是_____的叫作矩形.

(2)性質：矩形的對邊且；四個角都是；兩條對角線互相_____且_______.

(3)判定方法：①有三個角都是________的四邊形是矩形；②對角線的平行四邊形是矩形.

3.菱形的定義、性質與判定

(1)定義：有一組鄰邊_______的平行四邊形叫作菱形,菱形是_______圖形，也是_______圖形，它的對稱軸就

是它的兩條所在直線.

(2)性質：菱形的四條邊都；兩條對角線互相；每條對角線平分.

(3)判定方法：①有一組鄰邊_______的平行四邊形是菱形；②對角線的平行四邊形是菱形；③四條邊都

的四邊形是菱形.

4.正方形的定義、性質與判定

(1)定義：有一個角是_____且有一組鄰邊_______的平行四邊形是正方形.

(2)性質：除具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質外，還具有對角線與邊夾角為的性質；面積等于

正方形既是_______圖形，也是_______圖形，它的對稱軸有.

(3)判定方法：有一組鄰邊______的矩形是正方形；有一個角是_______的菱形是正方形；對角線______且—

一平分的四邊形是正方形.

5.梯形

一組對邊______另一組對邊_____的四邊形叫作梯形.同一底上的的梯形是等腰梯形；兩對角線

的梯形是等腰梯形；兩腰的梯形是等腰梯形.有一個角是的梯形是直角梯形.連接梯形的兩腰

的連線叫作梯形的中位線；梯形的中位線______于兩底，并且等于的一半.

6.梯形的常見輔助線

(1)平移梯形的使兩腰和同一底上兩底角會聚到一個三角形中.

(2)平移梯形的.

(3)作梯形的.

(4)延長使延長部分等于上底長，再______上底端點和下底的延長終點.

(5)作一______的平行線，和下底的延長線相交.

(6)過一腰的作另一腰的和其中一底的延長線相交,和另一底相交.

(7)延長兩腰使之相交.

7.正多邊形

(1)如果多邊形的各邊都各內角都則稱它為正多邊形。)正n邊形的內角和等于任意

多邊形的外角和等于.

實戰演練

1.如圖在口ABCD中,一定正確的是()

A.AD=CDB.AC=BD

C.AB=CDD.CD=BC

2.如圖，在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點0,點E為CD的中點.若OE=3很U菱形ABCD的周長為()

A.6B.12C.24D.48

3.大自然中有許多小動物都是“小數學家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節省材料，多名學者

通過觀測研究發現：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF,若對角線

AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為()

圖1圖2

A.2mmB.2y/2mm

C.2V3mmD.4mm

4如圖，在正五邊形ABCDE中以AB為邊向內作正△ABF,則下列結論錯誤的是（）

A.AE=AF

B.NEAF二NCBF

C.NF=NEAF

D.ZC=ZE

5.如圖，在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.E,F分別為AC,BD上一點，且OE=OF,連接AF,BE,EF.

若NAFE=25。,則NCBE的度數為()

A.500B.55°

C.65°D.70°

6.下列多邊形中，內角和最大的是()

7.如圖把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中,NPMN=30°,直角頂點P在正方形

ABCD的對角線BD上，點M,N分別在AB和CD邊上,MN與BD交于點O,且點。為MN的中點，則NAMP

A.60°B.65°

C.75°D.80°

8.如圖，面積為S的菱形ABCD中點0為對角線的交點,E是線段BC的中點，過點E作EFXBD于點F,

EG±AC于點G,則四邊形EFOG的面積為()

A.-B.-

48

C.—D.—

1216

9.如圖，在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點。，點E是邊AD的中點點F在對角線AC上，且AF=[

連接EF.若AC=10,則EF=

10.如圖,正方形ABCD的邊長為8,點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點H、G廁

BG=

11.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E在OB上，連接AE點F為CD的中點，連接OF若AE=

BE,OE=3,OA=4廁線段OF的長為

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別在BC,CD的延長線上，且CE=2,DF=

1,G為EF的中點，連接OE,交CD于點H,連接GH.則GH的長為

13如圖，在口ABCD中,對角線AC.BD相交于點O,AB=AD.

⑴求證:AC_LBD;

(2)若點E,F分別為AD,AO的中點，連接.EF,第=|,2。=2,求BD的長及四邊形ABCD的周長.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F,連接

AF,ZBDF=90°.

⑴求證:四邊形ABDF是矩形;

(2)若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積S.

15.如圖，在口ABCD中.對角線AC與BD相交于點O,點E,F分別在BD和DB的延長線上，且DE=BF,連接A

E,CF.

(1)求證:4ADE^ACBF;

⑵連接AF,CE.當BD平分NABC時,四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由.

1.如圖，在正方形ABCD中,E為AB邊上一點,BFLCE于點G，若已知下列三角形面積，則可求陰影部分面

AFD

積和的是（）

A.SABAFB.SABCF

C.SABCGD.SAFCG

2.如圖，在△ABC中,NBAC=90。,以BC為邊向上作正方形BCDE,以AC為邊作正方形ACFG,點D落在GF

上，連接AE,EG若DG=2,BC=6^!UAEG的面積為（）

A.4B.6

C.5V2D.8

3.如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,對角線ACLAB,對角線AC,BD交于點。點E為BC邊中點,

連接OE,DE^bDOE的面積為）

A

N2B片

C.V52D.2

4.如圖，在菱形ABCD中,AB=4,NB=120。,點E,F分別在邊AD,BC上，點G,H在對角線AC上.若四邊形EGF

H是矩形，且FG〃AB,則EG的長是（）

D

C.2O.2V3

5.問題如圖，在口ABCD中點E、點F在對角線AC上（不與點A、點C重合），連接BE,DF.若______，求證:

BE=DF在①AE=CF;②NABE=/CDF;③/BEC=NDFA,這三個條件中選擇其中一個，補充在上面問題中，

并完成問題的解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC中點過點O作EFLAC分別交邊AB,CD于點E,F.

求證：四邊形AECF是菱形.

7.如圖，在正方形ABCD中,AC,BD相交于點0,點E,F分別在0A,0D±,ZABE=ZDCF.

(1)求證:△ABE^ADCF;

(2)若BC=4五,AE=3,求BE的長.

8.如圖在等腰三角形ABC中,AB=AC點D是BC中點點E是AD的中點，過點A作AF〃BC交BE的延

長線于點F,連接CF.

⑴試判斷四邊形ADCF的形狀，并加以證明；

(2)若AB=17,BC=30,求四邊形ADCF的面積.

BDC

參考答案

1.⑴平行

⑵相等中心對稱

⑶平行平行相等互相平分

2.⑴直角平行四邊形

⑵相等平行直角平分相等

⑶直角相等

3.(1)相等中心對稱軸對稱對角線

(2)相等垂直平分每一組對角

(3)相等互相垂直相等

4.(1)直角相等

(2)45°邊長的平方軸對稱中心對稱四條

(3)相等直角相等垂直

5.平行不平行兩底角相等相等相等直角中點平行兩底和

6.⑴腰

⑵對角線

⑶高

⑷下底連接

(5)對角線

⑹中點平行線

7.(1)相等相等

(2)(n-2)-180°360°

1.C【解析】本題考查平行四邊形的性質.根據平行四邊形對邊相等可得AB=CD,故選C.

2.C【解析】本題考查菱形的性質、三角形中位線定理.因為四邊形ABCD是菱形，所以OA=OC.又E為CD

的中點，所以AD=2OE=6,所以菱形ABCD的周長為4AD=24,故選C.

3.D【解析】本題考查正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質.如圖所示，連接CF,與AD交于點O.V

六邊形ABCDEF是正六邊形,AD=8mm,AZAOF=60°,OA=OF=3AD,40F是等邊三角形-4mm

，故選D.

CD

4.C【解析】本題考查正多邊形的性質、多邊形內角和定理多邊形ABCDE為正五邊形,，AB=AE,/C=

=4EAB=^CBA=色W變:=MABF是等邊三角形,.?.AB=AF,/F=/FAB=NFBA=60。.對于A,VAB=AE,AB

=AF,；.AE=AF,故A選項正確;對于B//ZEAB=NCBA,/FAB=NFBA,；.NEAF=/CBF,故B選項正確;對于C,

^.^/F=60。,/EAF=108。-60。=48。,.^./FW/EAF,故C選項錯誤對于D,/C=/E成立,故D選項正確，故選C.

5.C【解析】本題考查正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質四邊形A

BCDZAOB=ZAOD=90o,OA=OB,ZOBC=45°.VOE=OF,△OEF為等腰直角三角形，

ZOEF=ZOFE=45°.'ZZAFE=25°,ZAFO=ZAFE+ZOFE=70°,AZFAO=20°.在△AOF和△BOE中，

"OA=OB,

^AOF=乙BOE=90AOF=△BOE(SAS),.*.ZEBO=ZFAO=20°,；.ZCBE=/EBO+/OBC=65°,故選C.

OF=OE,

6.D【解析】本題考查多邊形的內角和.選項A中的圖形是一個三角形，其內角和為180。；選項B中的圖形

是一個四邊形，其內角和為360°；選項C中的圖形是一個五邊形，其內角和為540°；選項D中的圖形是一個六邊

形，其內角和為720°，，內角和最大的是六邊形，故選D.

7.C【解析】本題考查正方形的性質、直角三角形的性質.在RtAPMN中,NMPN=90。.因為。為MN的中點，

所以OP=]MN=0M.因為NPMN=30。,所以NMPO=30。,所以/DPM=150。.在四邊形ADPM中，因為NA=90°,

ZADB=45°,ZDPM=150°,所以NAMP=360°-/A-NADB-/DPM=360°-90°-45°-150°=75°,,故選C.

8.B【解析】本題考查菱形的性質及面積公式、三角形中位線定理四邊形ABCD是菱形,；.BD垂直平分A

C,設AC=4a,BD=4b,則S=|X4aX=8ab,VE為BC的中點EF_LOB于點F,EG_LOC于點G,...四邊形EFOG

為矩形,：OC=2a,OB=2b,；.EG=b,OG=a,S=ab,S=故選B.

BF0GEF0Go

9.|【解析】本題考查矩形的性質、三角形的中位線定理.在矩形ABCD中,BD=AC=10,，OA=OD=5.???4F=；

AC=|,.\F是AO的中點又：E是AD的中點,，EF是4AOD的中位線，FF=|oD=|

10.1【解析】本題考查正方形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理.如圖，連接AG,EG,在正方形ABC

D中,/B=/C=9(T,CD=AB=BC=8.因為E是CD的中點，所以CE=|CD=4.因為HG垂直平分AE,所以AG=E

G.設BG=x，在RtAABG中,.AG2=AB2+BG2=64+%2..在RtACEG中，EG2=CE2+CG2=16+(8-%)2,

所以(64+x2=16+(8-久產解得x=l,即BG=1.

11.2V5【解析】本題考查勾股定理、三角形的中位線定理、菱形的性質在菱形ABCD中,AC，BD,AB=BC,

OD=OB在RtAAOE中，AE=VOX2+OE2=5,所以BE=AE=5,所以OB=BE+OE=8.在RtAAOB中，AB=

VOX2+OB2=4有，所以BC=AB=又因為F為CD的中點，所以OF為ABCD的中位線，所以OF=擲

=2V5.

12.手【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形的中位線定理.如圖，

過點O作OM_LCD,則OM=CE=2,ZOMH=ZECH=90°.又ZOHM=ZEHC,.,.△OHM^AEHC,.*.O

H=EH,即H是OE的中點.連接OF,：G是EF的中點,，GH是AEFO的中位線.在RtzXOMF中,FM=DM+DF

=2+1=3,；.OF=VOM2+FM2=V22+32=V13,GH=］。尸=手，即GH的長為手.

作輔助線構造全等三角形和直角三角形是解答本題的關鍵.

13.⑴略(2)4713

(1)根據菱形的判定與性質即可證明；(2)由三角形的中位線定理求得OD,再由菱形的性質求得BD,利用勾股

定理求出AD,即可求解.

解:⑴證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=AD,.?.口ABCD是菱形，

/.ACXBD.

(2);?點E,F分別為AD,AO的中點，

AEF是4AOD的中位線，

；.OD=2EF=3.

由⑴可知,四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,AC±BD,BD=2OD=6.

在RtAAOD中，由勾股定理得

AD=7A。2+=713,

菱形ABCD的周長為4AD=4V13.

14.(1)略(2)18

⑴利用平行四邊形的性質與“AAS”證明△ABE0△DFE,則有AB=DF,結合AB〃DF與/BDF=90唧可證明結論

成立；(2)根據平行四邊形與矩形的性質可得四邊形ABCF的面積是4BDF的面積的3倍，根據矩形的對邊相等與

勾股定理可得BD的長，求出△BDF的面積，進而求出四邊形ABCF的面積.

解：⑴證明：由四邊形ABCD是平行四邊形和已知得AB〃CF.

ZBAE=ZFDE,ZABE=ZDFE.

,/E是AD的中點,AE=DE.

/.△ABE烏ADFE(AAS).AAB=DF.

VAB/7CF.BPAB^DF,

..?四邊形ABDF是平行四邊形.

又：/BDF=90。，

四邊形ABDF是矩形.

(2)：四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDF是矩形，

；.AB=CD=DF.即D是CF的中點.

ABCD,ABDF,AABF的面積相等.

四邊形ABCF的面積S=3SABDF.

AD=5,DF=3,四邊形ABDF是矢巨形，

BD=AF=yjAD2-DF2=V25-9=V16=4.

11

'''SBDF=-XDFXBD=-X3X4=6.

四邊形ABCF的面積S=3SBDF=3X6=18.

15.⑴略⑵菱形，理由略

⑴根據平行四邊形的性質，利用SAS證明△ADEgZkCBF;⑵利用△ADE且Z\CBE得到AE與CF平行且相

等，從而證明四邊形AFCE是平行四邊形，再由角平分線的性質證明對角線互相垂直，從而證明四邊形AFCE是

菱形.

解：(1)證明：,四邊形ABCD是平彳亍四邊形，；.AD=BC,NADB=NCBD.

又：ZADB+ZADE=180°,

ZCBF+ZCBD=180°,

ZADE=ZCBF.

在4ADE和^CBF中,AD=BC,

ZADE=ZCBF,DE=BF,

.,.△ADE^ACBF(SAS),

(2)如圖所示，連接AF,EC,

由(1)彳導△ADEg/XCBF貝(JAE=CF,ZAED=ZCFB,

；.AE〃CF,

即AF±CE,

四邊形AFCE是平行四邊形，當BD平分NABC時,/ABD=NCBD.

又；AD〃CB,

ZADB=ZDBC,

/.ZADB=ZABD,

即AD=AB=BC,

/?△ABC為等腰三角形.

由等腰三角形三線合一的性質可知AC±EF,

平行四邊形AFCE是菱形.

壓軸預測

1.D【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定及性質.在正方形ABCD中,AB=BC=AD,/BAD=/

ABC=90°.?/BF±CE,/.ZABF+ZBEC=ZABF+ZAFB=90°,BPZBEC=ZAFB,A△ABF^ABCE,AAF=BE,AAE

S

=DF,/.SAAEC=SACDF,AS陰影=SABC-S^OG?又：°SABC=SBCF=5s的彩BCD，工5-形=BCF—

SBCG=SROG，?，??右已知SAFCG,可求出陰影部分的面積和，故選D.

AFD

BC

2.D【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的面積公式四邊形BCDE是正

方形，???BC=CD,/BCD=90。.：四邊形ACFG是正方形，

；.CF=AG=AC,ZACF=90°.XZACB+ZACD=ZACD+ZFCD,.\ZACB=NFCD.在△ABC和△FDC中,

(AC=CF.

/.AABC^AFDC

BC=CD,

AB=FD.過點E作EH±BG于點H,貝!JNEBH二NACB,NEHB=NBAC=9(T,BE=BC,AAABC^AHEB(AA

S),?'?EH=AB.設AB=a,AC=b,a2+b2=BC2=36.vDG=FG-DF=AC-AB,:.b—a=2,??.a2-2ab+b2

=4,36—2ab—4ab=16,SAEG—-EH—^AC-AB=^ab=|x16=8故選D.

3.B【解析】本題考查平行四邊形的性質.???四邊形ABCD為平行四邊形,???BC=AD=4在RtABAC中,AB=2,

22

BC=4,貝[|AC=V4-2=2V3,??.S加力中=AB-AC=^,SBCD=2點?.?點O,E分別為BD,BC的中點，

SBED=]SBCD=V3,SD0E=-SBED=故選B.

4.A【解析】本題考查菱形的性質、矩形的性質.如圖，連接BD,交AC于點O,因為四邊形ABCD是菱形，

所以AC_LBD,所以NAOB=90。,因為/ABC=12(F,AB=BC,所!以NBA。=|x(180°-120°)=30。，所以OB=

=2,OA=WOB=28,因為四邊形EGFH是矩形，所以NGFH=90。,因為FG〃AB,所以/FGH=/BAC=30。，

所以GH=2FH=2GE,即OG=GE,因為/GFC=NABC=120。,NGFH=90。,所以NHFC=/HCF=30。,所以FH=HC,同理可

得GE=AG,所以OA=AG+OG=2GE=2W所以GE=舊,故選A.

5.略

根據題意，若選條件①，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由平行線得內錯角相等，結合已知條件即可證

明兩個三角形全等，從而可得結論；若選條件②，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由平行線得內錯角相等，

結合已知條件，即可證明兩個三角形全等，從而可得結論；若選條件③，結合平行四邊形的對邊平行且相等，再由

平行線得內錯角相等，結合已知條件，即可證明兩個三角形全等，從而可得結論.

證明：若選條件①：

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=CD,AB〃CD,

所以/BAE=NDCF.

又因為AE=CF,

所以△ABE^ACDF(SAS),

所以BE=DF.

若選條件②：

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=CD,AB〃CD,

所以/BAE=NDCF.

又因為/ABE=/CDF,

所以△ABE^ACDF(ASA)