難點與易錯點08二次函數與三角形、相似三角形、四邊形的存在性（5大熱考題型）題型一：等腰三角形的存在性問題題型二：直角三角形的存在性問題題型三：相似三角形的存在性問題題型四：平行四邊形的存在性問題題型五：特殊平行四邊形存在性問題題型一：等腰三角形的存在性問題頂點確定法1.確定等腰三角形頂點位置的常見方法已知點A,B和直線l,在l上找點P,使APAB為等腰三角形（1）如圖①,若AB為腰,分別以點A,B為圓心,以AB長為半徑畫圓,與直線l的交點即為所求;（2）如圖②,若AB為底,作線段A8的垂直平分線與直線l的交點、即為所求2.求點坐標的常用方法(1)代數法(三角形三邊長度可直接表示)分別表示出點A,B,P的坐標,再表示出線段AB,BP,AP長度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分別列方程解出坐標:(2)幾何法作等腰三角形底邊的高(即底邊的垂直平分線),用勾股定理或相似建立等量關系【中考母題學方法】【典例1】易錯點等腰三角形的邊不確定,則需分情況討論（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數的表達式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點或或或或【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達式為：；（2）解：由拋物線的表達式知，點，由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，設點，則點，則，∵，故有最大值，此時，則，即點；（3）解：存在，理由：設直線的表達式為，由點的坐標得，，解得：，∴直線的表達式為：，令，，故，過點作軸交軸于點，則，，則，即直線和關于直線對稱，故，設直線的表達式為，代入，，得，解得：，則直線的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式得：，解得：(舍去)或5，即點；設點，由的坐標得，，當時，則，解得：，即點或；當或時，同理可得：或，解得：或，即點或或；綜上，點或或或或．【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．【變式1-1】（2024·內蒙古通遼·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，D是第一象限拋物線上的一個動點，若點D的橫坐標為m，連接，，，．(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線的函數表達式．(2)當四邊形的面積有最大值時，求出m的值．(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點M，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，(2)當四邊形的面積最大時，m的值為2(3)存在，或或或【分析】（1）分別令和即可求出A，B，C三點的坐標，然后利用待定系數法即可求出直線的函數表達式；（2）過D作x軸的垂線交于P，設，則，根據題意表示出四邊形的面積，然后利用二次函數的性質求解即可；（3）首先根據勾股定理求出，設，表示出，根據求出或；然后根據時得到，過D作于E，證明出，得到，然后代數求解；然后當時，利用等腰三角形的性質求解即可．【詳解】（1）令，得，解得或，∴A?2,0，B令，得，∴C0,6設直線的解析式為，把B4,0，C0,6代入得解得，∴直線的解析式為；（2）如圖，過D作x軸的垂線交于P，設，則，∴四邊形的面積，∵，∴當時，四邊形的面積最大，∴當四邊形的面積最大時，m的值為2；（3）∵，∴，∴，設，∴，當，∴，解得或，∴或；當時，則點M在的垂直平分線上，作的垂直平分線交x軸于M，交于H，則，過D作于E，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；當時，∵∴∴點M的橫坐標為∴點M的坐標為綜上所述，或或或．【點睛】本題考查的是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數形結合思想、分類討論思想等數學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．【變式1-2】（2024·上海·模擬預測）如圖，直線交y軸于點A，交拋物線于點，拋物線經過點，交y軸于點D，點P是拋物線上的動點，作交DB所在直線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)當為等腰直角三角形時，求：P點坐標；(3)在（2）的條件下，連接，將沿直線AB翻折，直接寫出翻折后點E的對稱點坐標．【答案】(1)(2)或(3)的對稱點坐標為【分析】（1）把代入即可得到結論；（2）由求得，根據等腰直角三角形的性質得到，列方程即可得到結論；（3）分為①當點在直線的上方時，②當點在直線的下方時，根據勾股定理和銳角三角形解答即可．【詳解】（1）解：把代入得，，，∴拋物線的解析式為；（2）解：設，在中，當時，，∴，∵，∴軸，∵，∴，∴，或，∵為等腰直角三角形，且，∴，或，解得：（不合題意，舍去），或，∴或；（3）解：①當點在直線的上方時，如圖1，設點關于直線的對稱點為，過作于，由（2）知，此時，，，，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，，解得：，∴，在中，，即，解得：，故點的縱坐標為，橫坐標為，；②當點在直線的下方時，如圖2，設點關于直線的對稱點為，過作于，由（2）知，此時，，，，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，，解得：，∴，在中，，即，解得：，故點的縱坐標為，橫坐標為，∴，綜上所述，的對稱點坐標為．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性質，勾股定理，折疊的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．【變式1-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）在平面直角坐標系中，如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，且為等腰直角三角形．(1)求該拋物線的表達式；(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】(1)(2)的最大值為，此時點(3)點的坐標為，或或，見解析【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）先求出直線的表達式為：，過點作軸的平行線交于點，則，可得，設點，則點，由即可求解；（3）求出平移后的拋物線的表達式為：，則點，，設點，然后分、兩種情況，列出等式，即可求解．【詳解】（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）令，則或3，則點，由點、知，直線的表達式為：，過點作軸的平行線交于點，則，則，則，則，設點，則點，則，即的最大值為：，此時點；（3）平移后的拋物線的表達式為：，則點，，設點，則，，，當時，則，解得：，則點的坐標為；當時，則，解得：或，則點的坐標為：或；綜上，點的坐標為：或或．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與幾何綜合，一次函數的性質、等腰三角形的性質、解直角三角形等，其中（3）要注意分類求解，避免遺漏．【中考模擬即學即練】1．（2024·山西長治·模擬預測）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點C，與y軸交于點B0,3，點是拋物線上點與點之間的動點（不包括點，點）．備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)動點在拋物線上，且在直線上方，求面積的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，若是以為腰的等腰三角形，求出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)；(2)最大值為，；(3)或或．【分析】本題考查二次函數與幾何的綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象和性質，等腰三角形的性質，即可．（1）把點，的坐標代入函數解析式，即可；（2）設直線的解析式為，根據點，的坐標求出解析式，過點P作x軸的垂線交AB于點H，求出，根據，即可；（3）根據函數平移的性質，則平移的函數解析式：，根據點為點的對應點，求出點的坐標，平移后的拋物線與軸交于點，求出點的坐標，根據兩點間的距離公式，求出，，，分類討論等腰三角形的形狀，即可．【詳解】（1）∵拋物線經過，B0,3，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）設直線的解析式為，∵直線經過，0,3∴，解得：，∴直線的解析式為，過點作軸的垂線交于點，設，∴，∴，∵面積，∴，∴當時，面積最大值為，此時．（3）拋物線整理得：，∴平移后的拋物線表達式為：，∵點為點的對應點，，∴點，∵平移后的拋物線與軸交于點，∴當時，，∴點，設點，∴，，，當時，則，解得：，∴點的坐標為：；當時，則，解得：，∴點的坐標為：，檢驗得點，點，點三點不共線．綜上所述，點的坐標為：或或．2．（2024·山東青島·一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點A?4,0，，交軸于點C0,6，在軸上有一點，連接．(1)求二次函數的表達式；(2)若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值及此時點的坐標；(3)拋物線對稱軸上是否存在點，使為以為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標即可；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達式為(2)面積的最大值為，此時D點坐標為(3)存在，點P的坐標為【分析】此題考查二次函數的圖象與性質，用待定系數法求函數表達式，等腰三角形的判定等知識，數形結合與分類討論數學思想是解題的關鍵．（1）直接用待定系數法求解即可；（2）可求得直線的表達式為過點D作軸于點G，交于點F，設則所以，則，即可求得面積的最大值是；（3）先求得拋物線的對稱軸為直線設，再根據為等腰三角形，且以為底邊，利用坐標兩點距離公式列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，，，解得∴二次函數的表達式為．（2）解：設直線的表達式為則解得∴直線的表達式為如圖1，過點D作軸于點G，交于點F，設則，，，∴當時，，此時，，面積的最大值是，此時D點坐標為；（3）解：存在，理由如下：，∴拋物線的對稱軸為直線，設，為等腰三角形，且以為底邊，，，A?4,0，解得，．題型二：直角三角形的存在性問題頂點確定法1.確定直角三角形頂點位置的常見方法已知點A.B和直線l,在l上找點P,使△PAB為直角三角形如圖①,分別過線段端點A,B作AB的垂線,與直線l的交點即為所求;(2)如圖②,以AB為直徑畫圓,與直線l的交點即為所求.2.求點坐標的常用方法(1)代數法分別表示出點A,B,P的坐標,再表示出AB2,BP2,AP2,分情況討論:①∠PAB=90°,即AB2+AP2=BP2;②∠ABP=90°,即AB2+BP2=AP2;③∠APB=90°,即AP2+BP2=AB2分別列方程求解即可;(2)幾何法過直角頂點作平行于坐標軸的輔助線構造“一線三垂直”模型,利用相似或全等三角形解題“一線三垂直”模型【中考母題學方法】【典例2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，點在拋物線上(3)存在，點的坐標為：或【分析】本題主要考查了求二次函數的解析式、二次函數與幾何的綜合、二次函數圖像的平移等知識點，靈活利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來成為解題的關鍵．（1）將點D的坐標代入拋物線表達式，求得a的值即可；（2）由題意得：，當x=1時，，即可判斷點是否在拋物線上；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質，進而確定點E的坐標，進而確定點P的坐標．【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，則拋物線的表達式為：．（2）解：由題意得：，當時，，故點在拋物線上．（3）解：存在，理由如下：①當為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴點，當時，，即點在拋物線上，∴點即為點；②當為直角時，如圖2，同理可得：，∴，，∴點，當時，，∴點在拋物線上，∴點即為點；③當為直角時，如圖3，設點Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴點，當時，，即點不在拋物線上；綜上，點的坐標為：或．【變式2-1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，已知拋物線（、為常數，且）與軸交于，兩點（點在點左側），與軸交于點，．拋物線的對稱軸與軸交于點，與經過點的直線交于點．(1)求拋物線的函數表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，點的坐標為或或【分析】本題考查待定系數法求函數表達式、坐標與圖形、等腰三角形的判定與性質、一次函數圖象的平移、直角三角形的性質等知識，正確求得拋物線的函數表達式是解答的關鍵．（1）先求點A坐標，再利用待定系數法求函數表達式即可；（2）先根據二次函數的性質求得，點的坐標為，進而可得；當時，則，可得，設點的坐標為，然后解方程求得t值即可；求直線的函數表達式，然后平移至經過點，此時直線與拋物線的交點分別為，，可得，再利用待定系數法求得直線的函數表達式，然后聯立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵點的坐標為，，點在點左側，∴點的坐標為，將，代入．，解得：，∴拋物線的函數表達式為；（2）解：在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形．理由如下：由得拋物線的對稱軸為直線，∴，∵拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，∴當時，，∴點的坐標為，則，∴當時，則，過點作于點，如圖．則是等腰直角三角形，∴，設點的坐標為，∴，解得：，（舍），當時，，點的坐標為；設直線的函數表達式為，將點，代入，得，解得，∴直線的函數表達式為．將直線平移至經過點，此時直線與拋物線的交點分別為，，則，可設直線的函數表達式為，將代入，得，解得，∴直線的函數表達式為．∴，解得：或．∴點的坐標為或．綜上可得，在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，點的坐標為或或．【變式2-2】（2024·寧夏銀川·模擬預測）小明為了參加學校舉辦的“趣味數學”作品展，用鐵絲擺成如圖①中拋物線的形狀，并提出以下三個問題，請你解答：(1)建立合適的平面直角坐標系，如圖②，可知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，求拋物線的解析式；(2)如圖②，鋼珠P可沿著鐵絲在點A到點C的位置任意滑動，點A，C，P構成，試求面積的最大值；(3)若沿拋物線的對稱軸再擺另一條鐵絲（足夠長），鋼珠Q可以沿著鐵絲上下滑動，點Q，A，C構成，是否存在某一時刻，使為直角三角形．若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大面積為(3)點的坐標為，，或【分析】（1）根據拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，待定系數法求解析式即可；（2）連接，先求得的解析式，設，過點作軸的垂線，交于點，則，根據列出關于的式子，進而根據配方法求得最值；（3）根據題意，設，分三種情況討論，分別以為直角頂點，根據勾股定理即可求解【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，設拋物線解析式為，將代入得：解得拋物線解析式為即（2）解：如圖，過點作軸的垂線，交于點，，則直線的解析式為設，則當時，最大，最大值為（3）解：存在，理由如下：，拋物線的對稱軸為設，則，①如圖，當時，，解得②如圖，當時，，解得③如圖，當時，，∴，解得綜上所述，點的坐標為，，或；【點睛】本題考查了二次函數的綜合，待定系數法求解析式，求二次函數的最值，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．【變式2-3】難點已知邊為斜邊的直角三角形存在性問題,可構造相似三角形求解（2024·湖北·模擬預測）若拋物線交x軸于交y軸于(1)請求出拋物線的解析式并直接寫出的解集．(2)在拋物線對稱軸上有一點P．當三角形為直角三角形時請求出P點的坐標．(3)以B為圓心2為半徑做圓，上有一點M，連接．請求出的最小值．【答案】(1)，(2)當的坐標為、、或時三角形為直角三角形(3)【分析】（1）將、、代入即可求解；由圖象可知當時，；據此即可求解；（2由題意得其對稱軸，設，分別求出直線、直線、直線的解析式，分類討論、、三種情況即可求解；（3）在上做一點，使，可證，推出，即可求解；【詳解】（1）解：拋物線過、、可得方程組解得由圖象可知：當時，；∴的解集為（2）解：∵拋物線的對稱軸為直線設，∵、∴，，當時，，即：解得；當時，有,即：解得；當時，有;即：解得、；當的坐標為、、或時三角形為直角三角形（3）解：在上做一點，使，連TC，TM，MB在與中，，，，，，的最小值為，的最小值為即【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，涉及了二次函數與不等式的關系、待定系數法、二次函數與特殊三角形綜合、相似三角形的判定與性質等知識點，掌握相關函數性質是解題關鍵.【中考模擬即學即練】1．（2024·廣東·模擬預測）綜合運用如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A．C(點A在點C的右側)．與y軸交于點B．直線經過點A，B．(1)求A，B，C三點的坐標及直線的表達式．(2)P是第二象限內拋物線上的一個動點，過點P作軸交直線于點Q，設點P的橫坐標為．的長為L．①求L與m的函數關系式，并寫出m的取值范圍；②若與交于點D，求m的值．(3)設拋物線的頂點為M，問在y軸上是否存在一點N，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①②(3)存在，或或或【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，進而得到的坐標，待定系數法求出直線的解析式即可；（2）①求出點坐標，根據兩點間的距離求出的解析式，根據點在第二象限，寫出m的取值范圍即可；②證明，得到，進行求解即可；（3）分別以為直角頂點，為直角頂點和為直角頂點三種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴當時，，當時，，解得：，∴，∵直線經過點A，B∴，解得：，∴；（2）①∵點P的橫坐標為，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵P是第二象限內拋物線上的一個動點，∴；∴；②∵軸，與交于點D，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴；（3）存在，設點，∵，∴，∵，∴；①當點為直角頂點時：，解得：，∴；②當點為直角頂點時，，解得：，∴；③當點為直角頂點時：，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及拋物線與坐標軸的交點問題，待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．2．（2024·廣東·模擬預測）綜合探究如圖（1）所示，在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點A在y軸正半軸上，頂點B，C，D在二次函數（a為常數，且）的圖象上，且軸，與y軸交于點E，．(1)求的長．(2)求a的值．(3)如圖（2）所示，F是射線上的一動點，點C，D同時繞點F按逆時針方向旋轉得點，當是直角三角形時，求的長．【答案】(1)1(2)1(3)或【分析】（1）由菱形可得，根據二次函數對稱性可得，再根據求解即可；（2）設則代入計算即可；（3）過點C作于點N，設直線交射線與點M，連接，根據菱形的性質及解三角形得出，再由旋轉的性質分三種情況討論：①當以為直角頂點時，②當以A為直角頂點時，③當以為直角頂點時，分別利用旋轉的性質，相似三角形的判定和性質及解一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵軸，∴，∵二次函數對稱軸為軸，B，C，D在二次函數的圖象上，，；（2）解：由（1）可得，，，設則代入得，解得，∴；（3）解：如圖2，過點C作于點N，設直線交射線與點M，連接，在菱形中，，，，，，∴在中，，，∵點C，D同時繞點F按逆時針方向旋轉得點，則繞點F逆時針旋轉得到，，∵，，，由是直角三角形，可知需分三種情況討論：①當以為直角頂點時，如圖，∵，∴點落在的延長線上，且與點M重合，∵，∴，∴點F與點N重合，∴，∴；②當以為直角頂點時，如圖，，∴點落在的延長線上，且與點M重合，，，，在中，，，；③當以A為直角頂點時，如圖，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，，，，，，，，，，，化簡得，，無解，不存在此種情況，不符合題意，綜上所述，當是直角三角形時，的長為或．【點睛】本題考查二次函數的性質，旋轉的性質，菱形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，三角形相似的判定與性質，解一元二次方程，解直角三角形等知識，利用分類討論和數形結合是解題的關鍵．3．（2024·湖南·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的表達式．(2)點是拋物線上位于線段下方的一個動點，連接，，求面積最大時點的坐標；(3)在拋物線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達式為(2)點的坐標為(3)存在，滿足條件的點的坐標為或或或【分析】（1）利用拋物線的交點式直接代值求解即可得到答案；（2）過點作軸的垂線，交于，如圖所示，由二次函數圖象與性質，利用平面直角坐標系中三角形的面積求法得到，進而由二次函數最值的求法即可得到答案；（3）當為直角三角形時，分三種情況：①；②；③；如圖所示，根據分類，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，設拋物線的交點式為，即拋物線的表達式為；（2）解：過點作軸的垂線，交于，如圖所示：由（1）知拋物線的表達式為，拋物線與軸交于點C0,?3，設直線，將、C0,?3代入得，解得，直線，點是拋物線上位于線段下方的一個動點，設，則，，，拋物線開口向下，當時，有最大值，此時點的坐標為；（3）解：存在，當為直角三角形時，分三種情況：①；②；③；如圖所示：設，、C0,?3，當時，即拋物線上的點（在第一象限，），由勾股定理可得，則，即，解得（舍去）或，；當時，即拋物線上的點（在第三象限，），由勾股定理可得，則，即，解得（舍去）或，；當時，即拋物線上的點，由勾股定理可得，則，即，解得（與重合，舍去）或（與重合，舍去）或或，、；綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或或．【點睛】本題考查二次函數綜合，涉及待定系數法確定函數解析式、二次函數圖象與性質、平面直角坐標系中求三角形面積、二次函數最值、二次函數與直角三角形綜合、兩點之間距離公式、解一元二次方程等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質、二次函數綜合問題的解法是解決問題的關鍵．題型三：相似三角形的存在性問題相似三角形問題的解題步驟第一步：找關鍵點根據拋物線的表達式求出拋物線上關鍵點的坐標，如與坐標軸的交點坐標，頂點坐標等第二步：找等角找到兩個三角形中相等的定角，通常定角為直角、對頂角、公共角同位角、內錯角，或通過互余(互補)進行轉化等方法得到的等角第三步：求點坐標根據相似三角形對應邊成比例列關系式【中考母題學方法】【典例3】易錯點相似三角形的對應邊不確定,需分情況討論（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①當時，有最大值為；②當P的坐標為或時，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標；（2）①根據P、D的坐標求出，然后根據二次函數的性質求解即可；②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數的解析式為，設直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當時，，∴；（2）解：①設，則，∴，∴當時，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當時，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標為；當時，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標為綜上，當P的坐標為或時，與相似．【點睛】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數、一次函數解析式，二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．【變式3-1】（2024·山東濟南·模擬預測）如圖，已知拋物線上點的坐標分別為0,2，，拋物線與軸負半軸交于點，連接，點為拋物線上的點．(1)求拋物線的解析式及點的坐標．(2)拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由．(3)點為軸負半軸上的點，且，點是線段（包含點）上的動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點，交直線于點．若以點為頂點的三角形與相似，請求出點的坐標．【答案】(1)，(2)存在，(3)或【分析】本題主要考查了運用待定系數法求函數解析式、二次函數與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質等知識定，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．（1）運用待定系數法即可求得拋物線的解析式；然后令，求得x的值，即可確定點B的坐標；（2）如圖：取的中點，可確定；如圖：過點作的平行線，與拋物線的交點即為點．然后運用待定系數法分別求得直線的表達式為，直線的表達式為，然后將直線的表達式與拋物線聯立即可解得；（3）先說明，即點與點不是對應點．然后分和兩種情況分別運用相似三角形的性質及正切函數即可解答．【詳解】（1）解：拋物線過點，，，解得,拋物線的解析式為．令，得，解得，，．（2）解：如圖：取的中點，則，．如圖：過點作的平行線，與拋物線的交點即為點．設直線的表達式為，將代入，得．將代入，得，解得：，直線的表達式為．設直線的表達式為，將代入，得．直線的表達式為．由，得．（3）解：，以點為頂點的三角形與相似，以點為頂點的三角形也是直角三角形．軸，直線交直線于點，，即點與點不是對應點．①如圖：當時，點與點重合，則點的坐標即點的坐標，點的坐標為．②如圖：當時，，，．設點的橫坐標為，則，，．解得，（舍去），點的坐標為．綜上，點的坐標是或．【變式3-2】（2023·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點B．(1)求該拋物線的解析式以及頂點坐標；(2)若點D是拋物線上的一個動點，滿足與的面積相等．求出點D的坐標；(3)若點E在第一象限內拋物線上，過點E作軸于點F，交于點P，且滿足與相似，求出點E的橫坐標．【答案】(1)，頂點坐標為(2)(3)點E的橫坐標為2或【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函數解析數，將拋物線解析式化為頂點式，即可得出頂點坐標；（2）根據點是拋物線上的一個動點，與的面積相等，于是得到，求得點的縱坐標為4，解方程即可得到；（3）設直線的解析式為，解方程得到直線的解析式為，設，則，，根據已知條件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①當時，②當時，根據相似三角形的性質解方程即可得到結論．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線解析式為，∵，∴頂點坐標為；（2）解：拋物線與軸交于點，，設在上的高為，在上的高為，∵與的面積相等，∴，，點的縱坐標為，當時，即，解得（舍去），，；（3）解：設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設，則，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，當時，則，，解得或，且，，當時，則，，解得或不合題意舍去，點的橫坐標為或．【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，待定系數法求函數的解析式，三角形的面積公式，分類討論是解題的關鍵．【變式3-3】（2024·重慶·模擬預測）如圖，二次函數頂點D1,4，與x軸交A，B兩點，交y軸于點C，點，

(1)求二次函數的解析式；(2)如圖，連接，點P為線段上方拋物線上一動點，過點P作直線分別交y軸于點E，x軸于點F，求的最大值以及此時點P的坐標(3)連接，將拋物線沿射線平移個單位長度得到新拋物線的頂點為H，過點H作軸于點N，連接，在新拋物線對稱軸右側平面內是否存在點Q，使得與相似，若存在，請直接寫出所有符合題意點Q的坐標，若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)的最大值為，此時點P的坐標為2,3(3)存在；或或或【分析】（1）求出點B的坐標，可得拋物線解析式為，再把D1,4代入，求出a的值，即可求解；（2）過點C作軸交于點G，證明是等腰直角三角形，可得到是等腰直角三角形，從而得到，進而得到當點P與點G重合時，最大，最大值為的長，然后求出直線的解析式，即可求解；（3）分四種情況討論，結合相似三角形的判定和性質，即可求解．【詳解】（1）解：是頂點，是拋物線與軸的交點設拋物線為：是拋物線與軸的交點，將D1,4代入得：解得：二次函數的解析式（2）解：如圖，過點C作軸交于點G，

由（1）得：點，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴當點P與點G重合時，最大，最大值為的長，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設直線的解析式為，∵軸，點，拋物線的對稱軸為直線，∴點P的坐標為2,3，把2,3代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，∴點，∴，∴，綜上所述，的最大值為，此時點P的坐標為2,3；（3）解：∵點D1,4，，∴，∵將拋物線沿射線平移個單位長度得到新拋物線，∴將拋物線沿x軸向右平移4個單位，再向上平移8個單位得到新拋物線，∴新拋物的頂點坐標為，對稱軸為直線，∵軸，∴，∴，∵，D1,4，∴，∴，∴，設點Q的坐標為，如圖，若，，即，分別過點D，Q作軸，軸，垂足分別為M，K，則，，此時，∴，

∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點Q的坐標為；如圖，若，，即分別過點D，Q作軸，軸，垂足分別為M，K，則，，此時，

∴，∴，∴，∴，，同理點Q的坐標為；如圖，若，，即過點D作直線軸于點M，過點Q作于點L，此時，，

同理，∴，∴，解得：，∴點Q的坐標為；如圖，若，，即過點Q作直線軸于點K，過點D作于點P，此時，，

同理，∴，∴，解得：，∴點Q的坐標為；綜上所述，點Q的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及了求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，相似三角形的判定和性質，，利用數形結合思想和分類討論思想解答是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】1．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖，二次函數的圖象與x軸交于、兩點，與y軸交于點C．(1)求這個二次函數的表達式；(2)作直線，分別交x軸、線段、拋物線于D、E、F三點，連接，若以B、D、E為頂點的三角形與以C、E、F為頂點的三角形相似，求t的值；(3)點M為y軸負半軸上一點，且，將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點B的對應點為點，點C的對應點為點，與交于點N．在拋物線平移過程中，當的值最小時，試求的面積．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）待定系數法求出拋物線的解析式即可；（2）分兩種情況：當時，當時，分別畫出圖形，求出結果即可；（3）設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位長度得到點，證明，，說明當取最小值時，的值最小，作出點B關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接，根據兩點之間線段最短，得出此時最小，即取得最小值，求出直線的解析式是：，求出，得出平移的距離是，根據平行四邊形面積公式和平行四邊形的性質得出結果即可．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象與x軸交于、兩點，∴，解得：，∴這個二次函數的表達式為；（2）解：以B、D、E為頂點的三角形與以C、E、F為頂點的三角形相似，則存在或為直角，當時，如圖所示：∵，∴，∴，把代入得：，∴，∴點F的縱坐標為2，把代入得：，解得：，，∴的橫坐標為，此時；當時，過點F作軸于點G，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，設，則，解得：或（舍去），此時；綜上，或；（3）解：設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：由平移的性質可知，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，同理得：，∴當取最小值時，的值最小，顯然點在直線上運動，作出點B關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接，∵兩點之間線段最短，∴此時最小，即取得最小值，∵點B關于直線對稱的對稱的點是點，B4,0，∴，設直線的解析式是：，將點，代入得，解得，∴直線的解析式是：，令，解得：，∴，∴平移的距離是，∴，根據平移可知：，，∴四邊形為平行四邊形，∵N是對角線與的交點，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，求一次函數解析式，解題的關鍵是數形結合，注意分類討論．2．（2024·青海西寧·三模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為點D，連接與拋物線的對稱軸交于點E．(1)求點A，B，C的坐標．(2)若點P是第四象限內拋物線上一動點，當三角形的面積為60時，求點P的坐標．(3)若點Q是對稱軸右側拋物線上的動點，試探究在射線上是否存在一點H，使以H，Q，E為頂點的三角形與相似．若存在，直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點的坐標為，點的坐標為．點的坐標為；(2)或(3)在射線上存在一點，使以，，為頂點的三角形與相似，點的坐標為或或【分析】（1）令，則，得出點的坐標為，點的坐標為．令，得．得出點的坐標為；（2）根據A?2,0，，可得，設點的坐標為，根據三角形的面積為60列出方程，即可求解；（3）設，．分三種情況：①當，時，，根據點與點的縱坐標相同，為．②當，時，，過點作于點．③當，時，，分別求得點的坐標．【詳解】（1）令，則，解得，．點在點的左側，點的坐標為，點的坐標為．令，得．點的坐標為；（2），，，設點的坐標為，．，．當時，，當時，，點的坐標為或；（3）在射線上存在一點，使以，，為頂點的三角形與相似．點的坐標為或或．理由如下：，，．，是等腰直角三角形．拋物線的對稱軸為直線．設直線的表達式為．將，代入，得解得．直線的表達式為．將代入，得．．點在射線上，點的橫坐標為3．設，．分三種情況：①當，時，，如圖2．則軸，點與點的縱坐標相同，為，，解得（不合題意，舍去），．點的坐標為．②當，時，，如圖3，過點作于點．由①得點的坐標為，，．，，．點的坐標為．③當，時，，如圖4．則軸，點與點的縱坐標相同，為，，解得，（不合題意，舍去），，，點的坐標為，綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題考查了二次函數綜合應用，二次函數圖象與坐標軸交點問題，相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．3．（2024·內蒙古通遼·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點點和點，與y軸交于點C，點P是拋物線上點A與點C之間的動點（不包括點A，點C）．(1)求此二次函數的解析式；(2)如圖1，連結，，求的面積的最大值；(3)如圖2，過點P作x軸的垂線交于點D，與交于點Q．探究是否存在點P，使得以點P、C、Q為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數法依次解答即可；（2）過點P作軸，交直線于點E，結合拋物線，直線解析式，設，則，則，表示出，利用二次函數的最值解答即可．（3）根據點，點，得到，繼而得到，分和兩種情況解答，設，則列出比例式計算即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，點，∴，解得，∴拋物線解析式為．（2）解：過點P作軸，交直線于點E，設直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為：．設，則，則，∴，∴當，的面積最大，且最大值為．故當，的面積取得最大值，且最大值為．（3）點、、為頂點的三角形與相似，且或．理由如下：當時，得，∴，∵點，，∴點是拋物線上的一對對稱點，設，則，解得，此時；當時，∵點，點，∴，∴，∵∴，∴，設，則，∴，∴，解得（舍去），或（舍去），（舍去），此時；綜上所述，點、、為頂點的三角形與相似，且或．【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，構造二次函數，配方法求最值；兩點間距離公式；三角形相似的判定和性質，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數法，構造二次函數求最值，準確解方程是解題的關鍵．4．（2024·安徽·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（點在點左側），與y軸交于點，連接．(1)如圖1，求的值及直線的解析式；(2)如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接，設直線交線段于點．當時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，在坐標軸上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)點坐標為或(3)存在，理由見解析【分析】（1）由待定系數法求解即可得到答案；（2）證明，得到，即可求解；（3）當點在軸時，以、、為頂點的三角形與相似，存在、兩種情況，利用解直角三角形的方法即可求解；當點在軸上時，同理可解．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，把代入得，即拋物線的解析式為；拋物線與軸交于點（點在點左側），，當時，，解得或，直線過、，設直線，將、代入得：，解得：，直線的解析式為；（2）解：分別過點、點作軸的平行線，交直線于點和點，如圖所示：設點，，則，當時，，，，，，，，則，，解得，，點坐標為或；（3）解：存在，理由如下：由題意得，點；由點、、的坐標得，，，∴則，則，，，當點在軸時，如圖所示：以、、為頂點的三角形與相似，當時，則，得，則點；當時，此時，點、重合且符合題意，故點；當點在軸上時，只有，則，則點，綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及待定系數法確定函數解析式、二次函數圖象與性質、三角形相似的判定與性質、解直角三角形、面積的計算等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質、二次函數綜合題型解法，尤其注意分類求解是解題的關鍵．題型四：平行四邊形的存在性問題頂點確定法1.確定平行四邊形中動頂點的位置,常見方法如下(1)三定頂點、一動頂點:如圖①,分別過A,B,C三個定點作對邊的平行線,所作三條直線兩兩的交點即為所求動點;(2)兩定頂點、兩動頂點:①如圖②,若AB為平行四邊形的邊,平移AB,確定另外兩點位置:②)如圖③,若AB為平行四邊形的對角線,取AB中點,作過中點的直線確定另外兩點的位置.2.根據平移法或坐標公式法求點坐標,具體如下:(1)平移法:如圖④,由點B平移到點A的規律即可得到點C平移到,的規律(點C到點,同理);(2)平行四邊形頂點坐標公式法設平行四邊形ABCD的頂點坐標分別為則【中考母題學方法】【典例4】（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數表達式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接交AB于點D，求的最大值及此時點C的坐標；(3)作拋物線F關于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線AB上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標為；(3)點G的坐標為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數法解拋物線分析式，根據題意將點坐標分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據題意證明，再設的解析式為，求出的解析式，再設，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據題意求出，再分情況討論當為對角線時，當為邊時繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數表達式為．（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．∴軸，∴，∴，設的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設，則，∴，∵，，∴當時，最大，最大值為．∴的最大值為，此時點C的坐標為．（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點坐標為，∴拋物線的頂點坐標為，∴拋物線的對稱軸為直線．如圖2，當為對角線時，由題知，∴，∴．如圖3，當為邊時，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點G的坐標為，，．【變式4-1】（2024·寧夏·中考真題）拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是第四象限內拋物線上的一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，過作軸于點，交直線于點．設點的橫坐標為，當時，求的值；(3)如圖點F1,0，連接并延長交直線于點，點是軸上方拋物線上的一點，在（2）的條件下，軸上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】（1）將點代入拋物線解析式，可得關于的一元一次方程，解方程即可求出的值，進而得出拋物線的解析式；（2）令，可得B4,0，令，可得，則，利用待定系數法可求得的解析式為，根據題意可知點的坐標為，，把分別代入拋物線和直線的解析式，可得，，進而可得，，由軸可得軸，據此可證得，于是可得，即，則，由已知條件可得，由此可建立關于m的方程，解之即可；（3）由C、F的坐標可求得直線的解析式為，進而可得，當時，，解方程即可求得點的坐標為?2,3或，然后分情況討論：當時，；當時，；分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：把點代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：令，則，解得：，，點的坐標為，當時，，點的坐標為，，，，根據題意得，點的坐標為，則，把代入，得：，點的坐標為，設直線的解析式為y=kx+bk≠0，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為：，當時，，點的坐標為，，，又軸，∴軸，，，，，又，，解得：，（不合題意，故舍去），∴的值為；（3）解：存在，點的坐標為或或或，理由如下：設直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，的解析式為：，當時，，點的坐標為，又點是軸上方拋物線上的一點，當時，，解得：，，點的坐標為?2,3或，分情況討論：當點的坐標為?2,3時，，點的坐標為或；當點的坐標為時，，點的坐標為或；綜上所述，點的坐標為或或或．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，求二次函數與坐標軸的交點坐標，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵．【變式4-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知，對稱軸為直線(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（不與直線重合）與拋物線交于G，H兩點，直線分別交x軸于點M，N，畫出圖形，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)點P的坐標為或或(3)是定值，定值為【分析】（1）根據題意可得點B的坐標為，進而得拋物線的表達式為：，即可求解；（2）設點P的坐標為：，點，分類討論當或或為對角線三種情況即可求解；（3）設直線的表達式為：，點G、H的坐標分別為，；聯立和可得；由點G、D的坐標得，直線的表達式為：，據此即可求解；【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，，對稱軸為直線點B的橫坐標為點B的坐標為，拋物線的表達式為：，即∴，則拋物線的表達式為：；（2）解：由題意得：設點P的坐標為：，點，當或為對角線時，由中點坐標公式得解得（舍去）或2，則點；當為對角線時，同理可得：解得：則點P的坐標為：或綜上所述，點P的坐標為或或（3）解：是定值，理由：直線過點，故設直線的表達式為：設點G、H的坐標分別為，聯立和并整理得：則由點G、D的坐標得，直線的表達式為：令，則，即點，則,同理可得，則【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，涉及了二次函數的解析式求解、二次函數與特殊四邊形問題、二次函數與一次函數綜合問題等知識點，掌握函數的性質是解題關鍵．【變式4-3】難點平行四邊形的頂點順序不確定,需分情況討論（2024·四川南充·模擬預測）如圖1，拋物線與直線相交于點B和C，點B在x軸上，點C在y軸上，拋物線與x軸的另一個交點為A．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，將直線繞點B逆時針旋轉交y軸于點D，在直線上有一點P，求周長的最小值及此時點P的坐標；(3)如圖3，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，在新拋物線上有一點N，在x軸上有一點M，試問是否存在以點B、M、C、N為頂點的平行四邊形？若存在，寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；或或或【分析】（1）求出點和，利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）在直線上取一點，使，連接交于點P，證明，則當A、、P三點共線時，有最小值為．求出，得到的最小值為，求出直線的解析式為，進一步得到，求出直線解析式為，聯立直線與直線即可求出交點P的坐標；（3）求出平移后新拋物線為，設點M的坐標為，要使點M與以上三點圍成平行四邊形，可能有以下三種情形：①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時，分別畫出圖形進行解答即可；【詳解】（1）解：在中，令，得，，令，得，，

把兩點的坐標代入中得，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：在直線上取一點，使，連接交于點P，垂直平分，，，為定值，當A、、P三點共線時，有最小值為．點B為的中點，在中，令，得（舍），，，的最小值為，設直線解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，，，，，設直線解析式為，則，解得，直線解析式為，直線與直線的交點P的坐標滿足方程組：，解得，點P的坐標為．（3）解：將拋物線沿射線CB方向平移個單位長度，，相當于將拋物線先向右平移1個單位，再向下平移1個單位，∴平移后新拋物線為設點M的坐標為，，要使點M與以上三點圍成平行四邊形，可能有以下三種情形：①當為對角線時，點N的坐標為；此時若點N在拋物線上，則，解得，，②當為對角線時，點N的坐標為，此時若點N在拋物線上，則，解得，，③當為對角線時，點N的坐標為；此時若點N在拋物線上，則，解得，當時，得到，當時，得到綜上，點M的坐標為或或或．【點睛】此題是二次函數和幾何綜合題，考查了待定系數法、平行四邊形的性質、二次函數的圖象和性質、二次函數的平移、勾股定理等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】1．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，，等腰直角三角形的頂點A的坐標為，點B在第四象限，邊與x軸交于點C，點M，R分別是線段的中點，過點M的拋物線（m，n為常數）的頂點為P．(1)點M的坐標為___________，用含m的代數式表示n為___________；(2)如圖2，點N為中點，拋物線經過點N，E，點F在線段上，當以和為對邊的四邊形是平行四邊形時，求點E的坐標；(3)當點P在等腰直角三角形的邊上或內部，且拋物線與有且只有一個公共點時，求出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)點的坐標為或(3)或或【分析】本題考查了待定系數法求解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質，平移的性質，分類討論思是解題的關鍵.（1）根據中點坐標公式解答即可；把代入解析式變形解答即可.（2）根據，，是等腰直角三角形，得到，，，得到,，結合點為中點，得到，代入解析式，結合計算即可得到函數解析式，根據，得到的解析式為；根據點點為中點，得到，設，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，分點向左平移1的單位和向右平移1個單位，計算即可.（3）分拋物線經過原點，拋物線的頂點在M處和拋物線在中點的右側和得左側或上面求解即可.【詳解】（1）∵，等腰直角三角形的頂點的坐標為，點分別是線段的中點，∴，∴，解得，故答案為：；.（2）∵，，是等腰直角三角形，∴，，，∴,，∵點為中點，∴，代入解析式得，∵，解得，故拋物線的解析式為.設的解析式為；把代入解析式為，得，解得，故的解析式為；∵點為中點，，，∴，∵，，點F在線段上，設，當點R向左平移1個單位長度得到M時，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，只需將點F向左平移1個單位長度，得到,此時四邊形是平行四邊形；∵點E在拋物線上，∴，解得(舍去),故點；當點M向右平移1個單位長度得到R時，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，只需將點F向右平移1個單位長度，得到,此時四邊形是平行四邊形；∵點E在拋物線上，∴，解得(舍去),故點；綜上所述，符合條件的點E的坐標為或.（3）當經過原點時，，∵，∴，此時頂點為原點，也在拋物線上，符合題意；故；∵，∴拋物線的頂點，當拋物線的頂點在M上時，也是符合題意的，此時即；∵，，∴它們的中點，∵點在等腰直角三角形的邊上或內部，且拋物線與有且只有一個公共點，∴拋物線的對稱軸，∴，解得；綜上所述，符合題意的m取值為或或.2．（2024·山西·模擬預測）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為，連接．(1)求拋物線的函數表達式及點C的坐標．(2)當的面積等于的面積的時，求m的值．(3)在（2）的條件下，若M為x軸上一動點，N是拋物線上一動點，是否存在以點C，P，M，N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，點C的坐標為(2)1(3)點M的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式，令，可得點C的坐標．（2）過點P作x軸的垂線，交于點E．利用待定系數求出直線的函數表達式，設點P的坐標為，則點E的坐標為，用含m的式子表示出，再根據點的坐標計算出，即可求解．（3）分兩種情況：①當為邊時，點向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到點，同樣點向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到點，由此列方程組；當為對角線時，由中點公式列方程組．【詳解】（1）解：拋物線經過兩點，解得拋物線的函數表達式為令，則．點C的坐標為．（2）解：如圖，過點P作x軸的垂線，交于點E．設直線的函數表達式為，將代入，得，解得，直線的函數表達式為．設點P的坐標為，則點E的坐標為，．，．的面積等于的面積的，，解得或（舍去），的值為1．（3）解：存在，點M的坐標為或或或．當時，點，設點，點①當為邊時，點向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到點，同樣點向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到點，故或，解得或或或，故點M的坐標為或或或．當為對角線時，由中點公式得，方程無解．綜上所述，點M的坐標為或或或．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖像中的面積問題，平行四邊形的存在性問題等，熟練運用數形結合與及分類討論思想是解題的關鍵．3．（2024·甘肅嘉峪關·二模）如圖所示，在的頂點、在軸上，點在軸上正半軸上，且，，．(1)求過A，B，C三點的拋物線解析式．(2)設拋物線的對稱軸與邊交于點，若是對稱軸上的點，且滿足以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；(3)在對稱軸和拋物線上是否分別存在點、，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點、點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)點的坐標為或；(3)，或，或，．【分析】（1）設拋物線的解析式為．將點的坐標代入函數解析式求得系數的值即可；（2）分類討論和，結合相似三角形的性質求得相關線段的長度，從而求得點的坐標；（3）存在．假設直線上存在點，拋物線上存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．分類討論：平行四邊形是平行四邊形、平行四邊形是平行四邊形、四邊形為平行四邊形．由平行線的性質和坐標與圖形的性質求得符合條件的點、點的坐標．【詳解】（1）解：拋物線過點，因此可設拋物線的解析式為將代入得，即拋物線的解析式為；（2）解：，對稱軸為直線，如圖2，當時，，則，當時，，，∴，，，∴，因此點的坐標為或；（3）解：存在．假設直線上存在點，拋物線上存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．如圖3，當平行四邊形是平行四邊形時，此時，的橫坐標為，∴，∴，，當平行四邊形是平行四邊形時，同理，，如圖4，當四邊形為平行四邊形時，與互相平分，此時可設，則，點在拋物線上，此時，，綜上所述，，或，或，．【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行四邊形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識．在（1）中求得是解題的關鍵，在（2）、（3）中都需要用到數形結合和分類討論的數學思想．題型五：特殊平行四邊形的存在性問題頂點確定法1.確定矩形的頂點位置A,B為兩個定點,點C為直線l上的一動點,D為平面內一點,以A,B,C,D為頂點作矩形(1)若AB為矩形的邊,如圖①,分別過點A,B作⊥AB,,⊥AB確定點C,再利用矩形對邊平行的性質確定點D(2)若AB為矩形的對角線,如圖②,以AB為直徑構造輔助圓,圓與直線l的交點即為所求的點C,過點A,B分別作BC,AC的平行線確定點D.2.確定菱形的頂點位置A,B為定點,C為直線l上一動點,D為平面內一點,以A.B.C,D為頂點作菱形(1)若AB為菱形的邊,如圖①,以點B為圓心,AB長為半徑作⊙B交直線l于點C,再分別過點A,C作BC,AB的平行線交于點D;如圖②,以點A為圓心,AB長為半徑作⊙A交l于點C,再分別過點B,C作AC,AB的平行線交于點D;(2)若AB為菱形的對角線,如圖③,作AB的垂直平分線交直線l于點C,交AB于點0.再以點0為圓心,以0C長為半徑作0,與垂直平分線另一端交于點D.3.確定正方形的頂點位置已知兩個定點A,B,在平面內找點C,D,使得以A,B,C,D為頂點的四邊形為正方形.(1)若AB為正方形的邊,如圖①,過點A.B分別作垂直于AB的直線,再利用正方形的邊長相等,確定另兩點的位置:(2)若AB為正方形的對角線,如圖②.可作AB的垂直平分線,再利用正方形的對角線相等且互相垂直平分,確定另兩點的位置。【中考母題學方法】【典例5】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2【分析】本題考查二次函數的綜合應用，菱形的性質，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）分和，兩種情況，結合二次函數的增減性進行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數值越小，∵時，，①當時，則：當時，函數有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當時，則：當時，函數有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當時，解得：，當時，，∴，B0,3，設直線的解析式為，把代入，得：，∴，設，則：，∴，，，當B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：①當為邊時，則：，即，解得：（舍去）或，此時菱形的邊長為；②當為對角線時，則：，即：，解得：或（舍去）此時菱形的邊長為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．【變式5-1】（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數的圖象經過點和點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)若點，都在該二次函數的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；(3)點在直線上，點在該二次函數圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)時，；時，；時，(3)存在，或或或或或【分析】（1）將點A和點B的坐標代入，求出a和c的值，即可得出這個二次函數的表達式；（2）根據題意得出，，再用作差法得出，進行分類討論即可；（3）求出直線的函數解析式為，然后進行分類討論：當為正方形的邊時；當為正方對角線時，結合正方形的性質和三角形全等的判定和性質，即可解答．【詳解】（1）解：把，B2,1代入得：，解得：，∴這個二次函數的表達式為；（2）解：∵，都在該二次函數的圖象上，∴，，∴，當時，即時，；當時，即時，；當時，即時，；（3）解：設直線的函數解析式為，把，B2,1代入得：，解得：，∴直線的函數解析式為，當為正方形的邊時，①∵B2,1∴，過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作的垂線，垂足為點H，∵軸，∴，∴，則，設，則，∴，∴點N的縱坐標為，即，∵以，，，為頂點的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當為正方形對角線時，⑤如圖：構造矩形，過點P作于點K，易得，∴，設，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構造，同理可得：，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：或或或或或．【點睛】本題考查了二次函數綜合，解直角三角形，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理，正確作出輔助線，構造全等三角形解答．【變式5-2】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中存在兩條拋物線，拋物線交軸于點，，頂點坐標為．拋物線交軸于點，，頂點坐標為，（）．(1)求線段的長；(2)若點在拋物線上，點在拋物線上．試討論和大小；(3)若點，在拋物線上，且滿足，求的取值范圍；(4)若S、T分別為、上的動點，當為菱形時，是否存在S和T，使得以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出S和T的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或(4)不存在，理由見解析【分析】本題考查二次函數的綜合應用：（1）根據對稱性，求出兩個函數的對稱軸，求出的橫坐標，進而求出線段的長即可；（2）兩點式設出兩個拋物線的解析式，根據兩個頂點的縱坐標相同，求出兩個函數的二次項的系數之間的關系，進而求出，比較大小即可；（3）根據增減性，得到點距離對稱軸近，列出不等式進行求解即可；（4）根據菱形的性質，求出的坐標，進而求出兩條拋物線的解析式，分為矩形的邊和矩形的對角線兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：拋物線的對稱軸為直線，拋物線的對稱軸為直線，∴，，∴；（2）設拋物線的解析式為：，拋物線的解析式為：，∵，，∴，∴，∴拋物線的解析式為：，∵點在拋物線上，點在拋物線上，∴，，∵兩條拋物線的開口向上，∴，∴；（3）∵拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，∵點，在拋物線上，且滿足，∴點距離對稱軸近，∴，∴，∴，∴，∴，當時，解得：或，∵拋物線的開口向下，∴當時，或；∴當或時，；（4）不存在，理由如下：∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，∵，，∴，∴，由圖象可知：，∴，∴，，把，，分別代入和，得：，∴拋物線的解析式為，拋物線的解析式為當以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形時，分兩種情況：①當為邊時，不存在S和T，使得以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形；②當為對角線時，則的中點也是的中點，∵，設的中點為，則：，以為圓心，的長為半徑畫圓，當以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形時，則：都在圓上，且也為圓的直徑，如圖：

由圖可知，不存在點分別在兩條拋物線上且為圓的直徑，故不存在以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形；綜上：不存在S和T，使得以A、D、S、T為頂點的四邊形為矩形．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，二次函數的圖象和性質，利用二次函數求不等式的解集，圓周角定理，等知識點，綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】1．（2024·山西·模擬預測）綜合與探究如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與x軸交于點A和點，與y軸交于點C0,?3．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，點P為直線下方拋物線上的點，過點P作軸交于點M，求的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點D，坐標平面內有一點E，使得以點B，C，D，E為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標．【答案】(1)(2)，(3)存在點或或或【分析】（1）把和C0,?3代入求解即可．（2）先解得直線的解析式為，設，，得到的的值，當時，最大即可解答．（3）分情況討論，當為矩形一邊時