電磁場與電磁波電子工程學院陳其科第四講電磁場位函數1/28什么是電磁場位函數？為何要引入位函數？怎樣引入位函數？位函數有何物理意義？怎樣計算位函數？本講擬討論問題2/28問題一：什么是電磁場位函數？電磁場位函數是求解電磁場邊值問題過程中，為了便于求解，依據電磁場性質引入輔助函數。電磁場位函數特征與電磁場性質相關。3/28引入位函數是為了簡化電磁場邊值問題求解。qε介質球ε0a矢量積分，計算較難問題二：為何要引入電磁場位函數？4/28問題三：怎樣引入電磁場位函數？依據電磁場性質引入。靜態電場：有散無旋場靜態磁場：無散有旋場時變電磁場：標量電位矢量磁位動態標量位動態矢量位5/28動態標量位動態矢量位標量電位函數靜態電場——無旋場靜態磁場——無散場時變電磁場：一、電磁場位函數引入矢量磁位函數6/28一、電磁場位函數引入對于恒定磁場中矢量磁位，則通常采取庫侖規范條件，即在電磁理論中，通常采取洛侖茲規范條件，即位函數規范條件在前述定義中，磁位函數散度未要求，造成位函數解不確定性。經過恰當地要求散度可簡化位函數滿足方程。7/28電場力做功P、Q兩點間電位差二、位函數物理意義標量電位函數物理意義矢量磁位函數物理意義？動態位物理意義？8/28三、位函數求解1、標量電位函數求解靜電位參考點——電位零點選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值為使空間各點電位含有確定值，須選定空間某一點作為參考點（電位零點）。因為空間各點與參考點電位差為確定值，所以該點電位也就含有確定值，即電位參考點選取標準應使電位表示式有意義。應使電位表示式最簡單。若電荷分布在有限區域，通常取無限遠處作電位參考點。同一個問題只能有一個參考點。9/28三、位函數求解1、標量電位函數求解電位差由電位函數引出經典物理量電壓（電位差）A、B兩點間電位差電場力對單位正電荷做功由場點與電位參考點電位差即可描述場點電位。10/28三、位函數求解思考在什么情況下可選無限遠處為電位參考點？導體接地與導體電位為零（選為電位參考點）是相同嗎？不一樣電位參考點問題能否疊加？1、標量電位函數求解11/28三、位函數求解1、標量電位函數求解幾個經典電荷靜電位點電荷電位選取Q點為電位參考點，遵照最簡單標準，Q應在無窮遠處點電荷在空間中產生電位

說明：若電荷分布在有限區域，普通選擇無窮遠點為電位參考點12/28三、位函數求解1、標量電位函數求解無限長線電荷電位電位參考點Q不能位于無窮遠點，不然表示式無意義。依據表示式最簡單標準，選取ρ=1柱面為電位參考面，則無限長線電流在空間中產生電位

幾個經典電荷靜電位13/28三、位函數求解1、標量電位函數求解體分布電荷電位面電荷：線電荷：式中：幾個經典電荷靜電位14/28三、位函數求解1、標量電位函數求解電位方程及電位邊界條件在無源區域()電位泊松方程電位拉普拉斯方程電位方程電位邊界條件理想介質介質2介質1n電荷區15/28三、位函數求解2、矢量磁位函數求解無限大均勻電介質中矢量磁位式中：面電流：線電流：16/28三、位函數求解2、矢量磁位函數求解矢量磁位方程及其邊界條件無源區：磁位方程磁位邊界條件17/28三、位函數求解3、動態位函數求解動態位函數方程達朗貝爾方程洛倫茲條件18/28三、位函數求解4、恒定磁場標量磁位恒定磁場中，在無傳導電流（J＝0）空間有標量磁位或磁標位在線性、各向同性均勻媒質中，媒質均勻磁化，即有等效磁荷體密度——磁標位方程：19/28解：在球外：

滿足拉普拉斯方程

邊界條件：

導體球電位球面對稱：

電位滿足拉普拉斯方程：

(無窮遠為電位參考點)

四、經典例題【例1】半徑為a導體球電位為U(無窮遠處電位為0)，求球外電位函數。由邊界條件：

20/28四、經典例題【例2】求電偶極子電位和電場。+q電偶極子zod－q

解：在球坐標系中因為r>>d——電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。21/28四、經典例題（續前）電偶極子電場強度等位線電場線電偶極子場圖+q電偶極子zod－q22/28四、經典例題【例3】兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間x=b處有一面密度為

均勻電荷分布，如圖所表示。求兩導體平板之間電位和電場。obaxy兩塊無限大平行板解：在兩塊無限大接地導體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數滿足一維拉普拉斯方程方程解為23/28四、經典例題（續前）利用邊界條件，有處，處，處，故得到問題：此題能否用高斯定理求解？24/28四、經典例題【例4】求均勻帶電圓環標量電位。圓環半徑為a,電荷密度為ρl。均勻帶電圓環axzyrRθPO解：如圖所表示，因為含有軸對稱性，標量電位與

無關，計算xOz平面上標量電位與電場強度即可。25/28四、經典例題均勻帶電圓環axzyrRθPO(續前)在z軸上

，對于遠區，有r>>a，所以于是得到26/28四、經典例題【例5】求無限長線電流I磁矢位，設電流沿+z方向流動