第第頁2022年廣東省中考數學復習第22章：二次函數2012-2021廣東省中考十年真題五年模擬一．選擇題（共25小題）1.（2021?廣東省）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若pA．5 B．4 C．25 D．52．（2020?廣東省）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝1，下列結論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2020?廣東省）把函數y＝（x﹣1）2+2圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+34．（2020?廣東省二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，以下結論：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3；⑤當x＜0時，y隨x的增大而增大．其中正確個數是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2020?廣東省一模）如圖，函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）經過點（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列結論：①abc＜0；②0＜-b③若點A（﹣2，y1），B（2，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中結論正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．46．（2020?廣東省一模）如圖在同一個坐標系中函數y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的圖象可能的是（）A． B． C． D．7．（2020?廣東省校級模擬）若將拋物線y＝5x2先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1 C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣18．（2020?廣東省模擬）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結論：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中結論正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2019?廣東省校級模擬）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）10．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝﹣2x2+1的對稱軸是（）A．直線x=12 B．直線x=-12 C．直線x＝211．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝2（x+3）2﹣5的頂點坐標是（）A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）12．（2017?廣東省三模）把拋物線y＝﹣x2向右平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+313．（2017?廣東省二模）把拋物線y＝x2+4先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+7 D．y＝（x+1）2+714．（2017?廣東省模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②b＞a+c；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個15．（2017?廣東省一模）在同一坐標系中，一次函數y＝ax+b與二次函數y＝bx2+a的圖象可能是（）A． B． C． D．16．（2017?廣東省二模）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于此二次函數的下列四個結論：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a2bA．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．（2016?廣東省校級三模）二次函數y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣618．（2016?廣東省校級一模）二次函數y＝ax2+bx+c與一次函數y＝ax+c的圖象大致可能是（）A． B． C． D．19．（2016?廣東省模擬）如圖，若a＜0，b＞0，c＜0，則拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象為（）A． B． C． D．20．（2015?廣東省校級一模）關于拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法錯誤的是（）A．頂點坐標為（1，﹣2） B．函數有最小值為﹣2 C．開口方向向上 D．當x＞1時，y隨x的增大而減小21．（2015?廣東省校級一模）二次函數y＝x2﹣6x+5配成頂點式正確的是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x+3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+1422．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝x2+2的對稱軸是（）A．直線x＝0 B．直線x＝1 C．直線x＝1 D．直線x＝223．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（1，﹣3） D．（1，3）24．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝3x2向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到的拋物線解析式為（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣325．（2015?廣東省校級一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b和二次函數y＝ax2+bx的圖象可能為（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）26．（2020?廣東省校級模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，當y＜0時，x的取值范圍是．27．（2020?廣東省一模）拋物線y＝2x2+8x+12的頂點坐標為．28．（2020?廣東省模擬）拋物線y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經過原點，則m＝．29．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點坐標是．30．（2018?廣東省一模）拋物線y＝x2+4的對稱軸是．三．解答題（共20小題）31．（2020?廣東省）如圖，拋物線y=3+36x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D，BC（1）求b，c的值；（2）求直線BD的函數解析式；（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上．當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．32．（2019?廣東省）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=38x2+334x-738與x軸交于點A、B（點A在點B右側），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉得到△（1）求點A、B、D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個？33．（2018?廣東省）如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．（1）求m的值；（2）求函數y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．34．（2013?廣東省）已知二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；（2）如圖，當m＝2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．35．（2020?廣東省一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；（2）若P是線段OB上一動點，過P作y軸的平行線交拋物線于點H，交BC于點N，設OP＝t時，△BCH的面積為S．求S關于t的函數關系式；若S有最大值，請求出S的最大值，若沒有，請說明理由．（3）若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A，P，Q，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．36．（2020?廣東省校級一模）已知，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交點為A（﹣1，0）和點B，與y軸交點為C（0，﹣3），直線L：y＝kx﹣1與拋物線的交點為點A和點D．（1）求拋物線和直線L的解析式；（2）如圖，點M為拋物線上一動點（不與A、D重合），當點M在直線L下方時，過點M作MN∥x軸交L于點N，求MN的最大值；（3）點M為拋物線上一動點（不與A、D重合），M'為直線AD上一動點，是否存在點M，使得以C、D、M、M′為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點M的坐標，如果不存在，請說明理由．37．（2020?廣東省校級二模）如圖，已知二次函數y＝ax2+32x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、（1）請直接寫出二次函數的表達式；（2）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；（3）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．38．（2020?廣東省一模）如圖，拋物線y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m為正的常數）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為F，CD∥AB交拋物線于點D．（1）當a＝1時，求點D的坐標．（2）若點E是第一象限拋物線上的點，過點E作EM⊥x軸于點M，當OM＝2CD時，求證：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的條件下，試探究：在x軸上是否存在點P，使得以PF，AD，AE為邊長構成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數式表示點P的橫坐標；如果不存在，請說明理由．39．（2020?廣東省一模）草莓是云南多地盛產的一種水果，今年某水果銷售店在草莓銷售旺季試銷售成本為每千克18元的草莓，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克40元．經試銷發現，銷售量y（kg）與銷售單價x（元/kg）符合一次函數關系，如圖是y與x的函數關系圖象．（1）求y與x的函數解析式；（2）設該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元，求W的最大值．40．（2019?廣東省一模）已知如圖1，拋物線y=-38x2-34x+3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，點D（1）求出直線AD的解析式；（2）如圖2，若在直線AC上方的拋物線上有一點F，當△ADF的面積最大時，有一線段MN=5（點M在點N的左側）在直線BD上移動，首尾順次連接點A、M、N、F構成四邊形AMNF，請求出四邊形AMNF的周長最小時點N（3）如圖3，將△DBC繞點D逆時針旋轉α°（0＜α°＜180°），記旋轉中的△DBC為△DB′C′，若直線B′C′與直線AC交于點P，直線B′C′與直線DC交于點Q，當△CPQ是等腰三角形時，求CP的值．41．（2020?廣東省模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最小．若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．42．（2018?廣東省三模）已知拋物線y=14x（1）填空：拋物線的頂點坐標是（，），對稱軸是；（2）如圖，已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）如圖，在第二問的基礎上，在拋物線有一點C（x，y），連接AC、OC、BC、PC，當△OAC的面積等于△BCP的面積時，求C的橫坐標．43．（2018?廣東省模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△AOC繞原點O逆時針旋轉90°得到△DOB，其中點A的坐標為（﹣1，0），CD＝2．（1）寫出C點的坐標，B點的坐標；（2）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，求該二次函數的解析式；（3）在（2）條件下，在二次函數的對稱軸l上是否存在一點P，使得PA+PC最小？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．44．（2018?廣東省二模）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，點P為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）求∠PAB的正弦值；（3）如圖2，四邊形MCDN為矩形，頂點C、D在x軸上，M、N在x軸上方的拋物線上，若MC＝8，求線段MN的長度．45．（2018?廣東省模擬）如圖，拋物線y=12x2-x﹣4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點（端點除外），過P作PD∥AC，交BC（1）直接寫出A、B、C的坐標；（2）求拋物線y=12（3）求△PCD面積的最大值，并判斷當△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．46．（2016?廣東省校級一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為P，連結AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求點D的坐標．47．（2016?廣東省校級三模）如圖，直線AB解析式為y＝2x+4，C（0，﹣4），AB交x軸于A，A為拋物線頂點，交y軸于C，（1）求拋物線解析式？（2）將拋物線沿AB平移，此時頂點即為E，如頂點始終在AB上，平移后拋物線交y軸于F，求當△BEF于△BAO相似時，求E點坐標．（3）記平移后拋物線與直線AB另一交點為G，則S△BFG與S△ACD是否存在8倍關系？若有，直接寫出F點坐標．48．（2016?廣東省校級一模）已知：二次函數y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的兩個根．（1）直接寫出點A、點B的坐標：A，B．（2）求出該二次函數的解析式及對稱軸；（3）若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，d＝|BP﹣CP|，探究：是否存在一點P，使得d的值最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．49．（2016?廣東省二模）如圖，已知直線y=12x+72與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，拋物線y＝ax2+bx+c經過A、（1）求A、B兩點的坐標，并求拋物線的解析式；（2）若點P以1個單位/秒的速度從點B沿x軸向點O運動，過點P作y軸的平行線交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P運動的時間為t，MN的長度為s，求s與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，s取得最大值？50．（2016?廣東省一模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣1，0），點C的坐標是（0，﹣3）（1）求拋物線的函數表達式；（2）求直線BC的函數表達式；（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB＝∠PAB，求△PAB的面積．

2022年廣東省中考數學復習第22章：二次函數2012-2021廣東省中考十年真題五年模擬參考答案與試題解析一．選擇題（共25小題）1．（2021?廣東省）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若pA．5 B．4 C．25 D．5【解答】解：∵p=a+b+c2，p＝5，∴5=a+b+4∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S==5(5-a)(5-b)(5-4)=5(5-a)(5-b)=5ab-25=5b(6-b)-25=-5=-5(b-3當b＝3時，S有最大值為20=25故選：C．2．（2020?廣東省）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝1，下列結論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，根據拋物線的對稱軸在y軸右邊可得：a，b異號，所以b＞0，根據拋物線與y軸的交點在正半軸可得：c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故②正確；∵直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，所以-b2a=1，可得b由圖象可知，當x＝﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正確；由圖象可知，當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，兩式相加得，5a+b+2c＞0，故④正確；∴結論正確的是②③④3個，故選：B．3．（2020?廣東省）把函數y＝（x﹣1）2+2圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3【解答】解：二次函數y＝（x﹣1）2+2的圖象的頂點坐標為（1，2），∴向右平移1個單位長度后的函數圖象的頂點坐標為（2，2），∴所得的圖象解析式為y＝（x﹣2）2+2．故選：C．4．（2020?廣東省二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，以下結論：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3；⑤當x＜0時，y隨x的增大而增大．其中正確個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸的右側，∴-b∴b＞0，∵拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，∴abc＜b2，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，而點（﹣1，0）關于直線x＝1的對稱點的坐標為（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正確；∵x=-b2a=1，即b而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③錯誤；由②得，方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（3，0），又拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，∴當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3，故④正確；當x＜1時，y隨x的增大而增大，故⑤錯誤；因此正確的結論有3個．故選：B．5．（2020?廣東省一模）如圖，函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）經過點（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列結論：①abc＜0；②0＜-b③若點A（﹣2，y1），B（2，y2）在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中結論正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的結論錯誤；∵拋物線過點（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜-b2a＜∵點A（﹣2，y1）到對稱軸的距離比點B（2，y2）到對稱軸的距離遠，∴y1＞y2，∴③的結論錯誤；∵拋物線過點（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的結論正確；故選：B．6．（2020?廣東省一模）如圖在同一個坐標系中函數y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的圖象可能的是（）A． B． C． D．【解答】解：當k＞0時，函數y＝kx﹣2的圖象經過一、三、四象限；函數y＝kx2的開口向上，對稱軸在y軸上；當k＜0時，函數y＝kx﹣2的圖象經過二、三、四象限；函數y＝kx2的開口向下，對稱軸在y軸上，故C正確．故選：C．7．（2020?廣東省校級模擬）若將拋物線y＝5x2先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1 C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1【解答】解：y＝5x2先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為y＝5（x﹣2）2+1，故選：A．8．（2020?廣東省模擬）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結論：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中結論正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①∵拋物線開口向下，∴a＜0，結論①正確；②∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，∴-b∴b＝2a＜0，結論②錯誤；③∵拋物線與x軸有兩個交點，∴△＝b2﹣4ac＞0，結論③正確；④∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，結論④正確．故選：C．9．（2019?廣東省校級模擬）拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝﹣2（x﹣1）2+3，∴其頂點坐標為（1，3）．故選：B．10．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝﹣2x2+1的對稱軸是（）A．直線x=12 B．直線x=-12 C．直線x＝2【解答】解：∵y＝﹣2x2+1，∴b＝0，∴其圖象關于y軸對稱，故選：D．11．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝2（x+3）2﹣5的頂點坐標是（）A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）【解答】解：∵拋物線y＝2（x+3）2﹣5，∴頂點坐標為：（﹣3，﹣5）．故選：A．12．（2017?廣東省三模）把拋物線y＝﹣x2向右平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3【解答】解：y＝﹣x2向右平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+3，故選：C．13．（2017?廣東省二模）把拋物線y＝x2+4先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+7 D．y＝（x+1）2+7【解答】解：將拋物線y＝x2+4向左平移1個單位所得直線解析式為：y＝（x+1）2+4；再向下平移3個單位為：y＝（x+1）2+4﹣3，即y＝（x+1）2+1．故選：A．14．（2017?廣東省模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②b＞a+c；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵-b∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴結論①錯誤；∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，∴結論②正確；∵當x＝﹣1和x＝3時，函數值相等，均小于0，∴y＝9a+3b+c＜0，∴結論③錯誤；∵x=-b∴b＝﹣2a，由x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0得a+2a+c＜0，即c＜﹣3a，∴④正確；由圖象知當x＝1時函數取得最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正確；故選：B．15．（2017?廣東省一模）在同一坐標系中，一次函數y＝ax+b與二次函數y＝bx2+a的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由拋物線可知，圖象與y軸交在負半軸a＜0，由直線可知，圖象過一，三象限，a＞0，故此選項錯誤；B、由拋物線可知，圖象與y軸交在正半軸a＞0，二次項系數b為負數，與一次函數y＝ax+b中b＞0矛盾，故此選項錯誤；C、由拋物線可知，圖象與y軸交在負半軸a＜0，由直線可知，圖象過二，四象限a＜0，故此選項正確；D、由直線可知，圖象與y軸交于負半軸，b＜0，由拋物線可知，開口向上，b＞0矛盾，故此選項錯誤；故選：C．16．（2017?廣東省二模）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于此二次函數的下列四個結論：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a2bA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①∵圖象開口向下，∴a＜0；故本選項正確；②∵該二次函數的圖象與y軸交于正半軸，∴c＞0；故本選項正確；③∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不相同交點，∴根的判別式△＝b2﹣4ac＞0；故本選項正確；④∵對稱軸x=-b2a＞綜上所述，正確的結論有4個．故選：D．17．（2016?廣東省校級三模）二次函數y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴當x＝﹣1時，二次函數由最小值﹣6．故選：D．18．（2016?廣東省校級一模）二次函數y＝ax2+bx+c與一次函數y＝ax+c的圖象大致可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、當a＜0時，二次函數開口向下，一次函數經過二、四象限，故A選項錯誤；B、當a＞0時，二次函數開口向上，一次函數經過一、三象限，故B選項錯誤；C、當a＜0時，二次函數開口向下，一次函數經過二、四象限，且兩個函數圖象交于y軸上的同一點，故C選項正確；D、∵一次函數和二次函數都經過y軸上的（0，c），∴兩個函數圖象交于y軸上的同一點，故D選項錯誤；故選：C．19．（2016?廣東省模擬）如圖，若a＜0，b＞0，c＜0，則拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象為（）A． B． C． D．【解答】解：∵a＜0，∴拋物線的開口方向向下，故第三個選項錯誤；∵c＜0，∴拋物線與y軸的交點為在y軸的負半軸上，故第一個選項錯誤；∵a＜0、b＞0，對稱軸為x=-b∴對稱軸在y軸右側，故第四個選項錯誤．故選：B．20．（2015?廣東省校級一模）關于拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法錯誤的是（）A．頂點坐標為（1，﹣2） B．函數有最小值為﹣2 C．開口方向向上 D．當x＞1時，y隨x的增大而減小【解答】解：由拋物線y＝（x﹣1）2﹣2可知，頂點坐標為（1，﹣2），拋物線開口向上，函數有最小值為﹣2，x＞1時y隨x增大而增大，∴A、B、C判斷正確，D錯誤．故選：D．21．（2015?廣東省校級一模）二次函數y＝x2﹣6x+5配成頂點式正確的是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x+3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+14【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．故選：A．22．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝x2+2的對稱軸是（）A．直線x＝0 B．直線x＝1 C．直線x＝1 D．直線x＝2【解答】解：∵拋物線y＝x2+2中a＝1，b＝0，∴對稱軸為x=-b故選：A．23．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（1，﹣3） D．（1，3）【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝2（x﹣3）2+1，∴其頂點坐標為（3，1）．故選：A．24．（2015?廣東省校級一模）拋物線y＝3x2向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到的拋物線解析式為（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3【解答】解：∵拋物線y＝3x2向下平移3個單位，向左平移2個單位，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣3），∴平移得到的拋物線的解析式為y＝3（x+2）2﹣3．故選：C．25．（2015?廣東省校級一模）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b和二次函數y＝ax2+bx的圖象可能為（）A． B． C． D．【解答】解：根據題意可知二次函數y＝ax2+bx的圖象經過原點O（0，0），故B選項錯誤；當a＜0時，二次函數y＝ax2+bx的圖象開口向下，一次函數y＝ax+b的斜率a為負值，故D選項錯誤；當a＜0、b＞0時，二次函數y＝ax2+bx的對稱軸x=-b2a＞0，一次函數y＝ax+b與y軸的交點（0，b）應該在y當a＞0、b＜0時，二次函數y＝ax2+bx的對稱軸x=-b2a＞0，一次函數y＝ax+b與y軸的交點（0，b）應該在y故選：A．二．填空題（共5小題）26．（2020?廣東省校級模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，當y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．【解答】解：由圖象可得，該拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點為（﹣1，0），故拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），故當y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．27．（2020?廣東省一模）拋物線y＝2x2+8x+12的頂點坐標為（﹣2，4）．【解答】解：x=-8把x＝﹣2代入得：y＝8﹣16+12＝4．則頂點的坐標是（﹣2，4）．故答案是：（﹣2，4）．28．（2020?廣東省模擬）拋物線y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經過原點，則m＝﹣2．【解答】解：∵拋物線y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的圖象經過原點，∴0＝m2﹣4，∴m＝±2，當m＝2時，m﹣2＝0，∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．29．（2018?廣東省模擬）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點坐標是（2，﹣3）．【解答】解：∵拋物線y＝（x﹣2）2﹣3∴該拋物線的頂點坐標為：（2，﹣3），故答案為：（2，﹣3）．30．（2018?廣東省一模）拋物線y＝x2+4的對稱軸是y軸．【解答】解：拋物線y＝x2+4的對稱軸是y軸．故答案為：y軸；三．解答題（共20小題）31．（2020?廣東省）如圖，拋物線y=3+36x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D，BC（1）求b，c的值；（2）求直線BD的函數解析式；（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上．當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴點B（3，0），點A（﹣1，0），∴拋物線解析式為：y=3+36（x+1）（x﹣3）=3+36∴b=-3+33，（2）如圖1，過點D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴BCCD∵BC=3CD，BO∴3=∴OE=3∴點D橫坐標為-3∴點D坐標為（-3，3設直線BD的函數解析式為：y＝kx+b，由題意可得：3+1=-解得：k=-3∴直線BD的函數解析式為y=-33x（3）∵點B（3，0），點A（﹣1，0），點D（-3，3∴AB＝4，AD＝22，BD＝23+2，對稱軸為直線x∵直線BD：y=-33x+3與y∴點C（0，3），∴OC=3∵tan∠CBO=CO∴∠CBO＝30°，如圖2，過點A作AK⊥BD于K，∴AK=12∴DK=AD∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如圖，設對稱軸與x軸的交點為N，即點N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN=3PN＝2，BP＝2PN∴PN=233，當△BAD∽△BPQ，∴BPBA∴BQ=433∴點Q（1-2當△BAD∽△BQP，∴BPBD∴BQ=433∴點Q（﹣1+4若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP=2BN＝22當△DAB∽△BPQ，∴BPAD∴22∴BQ＝23+∴點Q（1﹣23，0）；當△BAD∽△PQB，∴BPBD∴BQ=22×2∴點Q（5﹣23，0）；綜上所述：滿足條件的點Q的坐標為（1-233，0）或（﹣1+4332．（2019?廣東省）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=38x2+334x-738與x軸交于點A、B（點A在點B右側），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉得到△（1）求點A、B、D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個？【解答】解：（1）令38x2+33解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y=38x2+334x-738=38（2）證明：∵DD1⊥x軸于點D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴D1∵D（﹣3，﹣23），∴D1D＝23，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴23∴OC=3∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等邊三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD繞點C順時針旋轉得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC=3∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（3）∵點P是拋物線上一動點，∴設P點（x，38x2+33①當點P在B點的左側時，∵△PAM與△DD1A相似，∴DD1PM∴2338解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合題意舍去）x2=-37當點P在A點的右側時，∵△PAM與△DD1A相似，∴PMAM=D∴38x2解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣3（不合題意舍去）或x1＝1（不合題意舍去），x2=-5當點P在AB之間時，∵△PAM與△DD1A相似，∴PMAM=D∴38x2解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣3（不合題意舍去）或x1＝1（不合題意舍去），x2=-5綜上所述，點P的橫坐標為﹣11或-373或②由①得，這樣的點P共有3個．33．（2018?廣東省）如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．（1）求m的值；（2）求函數y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）將y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以點B的坐標為（3，0），將（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：b=-39a+b=0解得：a=1所以二次函數的解析式為：y=13x（3）存在，分以下兩種情況：①若M在B上方，設MC交x軸于點D，則∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC?tan30°=3設DC為y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k=3聯立兩個方程可得：y=3解得：x1所以M1（33，6）；②若M在B下方，設MC交x軸于點E，則∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC?tan60°＝33，設EC為y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k=3聯立兩個方程可得：y=3解得：x1所以M2（3，﹣2），綜上所述M的坐標為（33，6）或（3，﹣2）．34．（2013?廣東省）已知二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；（2）如圖，當m＝2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），∴代入二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1＝0，解得：m＝±1，∴二次函數的解析式為：y＝x2﹣2x或y＝x2+2x；（2）∵m＝2，∴二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣1得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點為：D（2，﹣1），當x＝0時，y＝3，∴C點坐標為：（0，3），∴C（0，3）、D（2，﹣1）；（3）當P、C、D共線時PC+PD最短，過點D作DE⊥y軸于點E，∵PO∥DE，∴PODE∴PO2解得：PO=3∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（3235．（2020?廣東省一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；（2）若P是線段OB上一動點，過P作y軸的平行線交拋物線于點H，交BC于點N，設OP＝t時，△BCH的面積為S．求S關于t的函數關系式；若S有最大值，請求出S的最大值，若沒有，請說明理由．（3）若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A，P，Q，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把點A（﹣1，0），點C（0，﹣3）代入拋物線的解析式為y＝x2+bx+c中得：1-b+c=0c=-3解得：b=-2c=-3∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點的坐標為（1，﹣4）；（2）如圖1，設直線BC的解析式為y＝kx+d（k≠0），當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：3k+d=0d=-3，解得：k=1∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∵OP＝t，設點P的坐標為（t，0），則點N的坐標為（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH=12NH?OB=3∵0≤t≤3，-3∴當t=32時，S取最大值，最大值為（3）分兩種情況：①當Q在x軸的上方時，如圖2和圖4，四邊形ACPQ是平行四邊形，根據A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：點Q的縱坐標為3，當y＝3時，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+7，x2＝1-∴P（2+7，0）或（2-②當Q在x軸的下方時，如圖3，四邊形ACQP是平行四邊形，當y＝﹣3時，由對稱得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；綜上，P點的坐標為（2+7，0）或（2-36．（2020?廣東省校級一模）已知，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交點為A（﹣1，0）和點B，與y軸交點為C（0，﹣3），直線L：y＝kx﹣1與拋物線的交點為點A和點D．（1）求拋物線和直線L的解析式；（2）如圖，點M為拋物線上一動點（不與A、D重合），當點M在直線L下方時，過點M作MN∥x軸交L于點N，求MN的最大值；（3）點M為拋物線上一動點（不與A、D重合），M'為直線AD上一動點，是否存在點M，使得以C、D、M、M′為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點M的坐標，如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點A、C的坐標代入拋物線表達式得1-b+c=0c=-3，解得：b=-2故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3①，將點A的坐標代入直線L的表達式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直線L的表達式為：y＝﹣x﹣1②；（2）設點M的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），點N的縱坐標與點M的縱坐標相同，將點N的縱坐標代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故點N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），則MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，當m=-b2a=12（3）設點M（m，n），則n＝m2﹣2m﹣3③，點M′（s，﹣s﹣1），①當CD為邊時，點C向右平移2個單位得到D，同樣點M（M′）向右平移2個單位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，聯立③④并解得：m＝0（舍去）或1或1±17故點M的坐標為（1，﹣4）或（1+172，1-172）或（②當CD為對角線時，由中點公式得：12（0+2）=12（m+s）且12（﹣3﹣3）=12（聯立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故點M（1，﹣4）；綜上，點M的坐標為（1，﹣4）或（1+172，1-172）或（37．（2020?廣東省校級二模）如圖，已知二次函數y＝ax2+32x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、（1）請直接寫出二次函數的表達式；（2）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；（3）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．【解答】解：（1）∵二次函數y＝ax2+32x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點∴0=64a+12+cc=4∴a=-1∴二次函數的表達式為：y=-14x2+（2））∵A（0，4），C（8，0），∴AC=(0-4)2+(8-0)①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（﹣8，0），②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8﹣45，0）或（8+45，0）③作AC的垂直平分線，交x軸于N，∴AN＝NC，∵AN2＝AO2+NO2，∴AN2＝16+（8﹣AN）2，∴AN＝5，∴ON＝3，∴N的坐標為（3，0），綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（﹣8，0）或（8﹣45，0）或（3，0）或（8+45，0）；（3）∵拋物線y=-14x2+32x+4與x軸交于∴0=-14x2+∴x1＝﹣2，x2＝8，∴點B（﹣2，0），∴BO＝2，設點N的坐標為（n，0），則BN＝n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴BMBA∵MN∥AC，∴BMBA∴MDOA∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，∴MD=25（∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN=12BN?OA-12BN?MD=12（n+2）×4-12×2∴當n＝3時，△AMN面積最大，∴N點坐標為（3，0）．38．（2020?廣東省一模）如圖，拋物線y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m為正的常數）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為F，CD∥AB交拋物線于點D．（1）當a＝1時，求點D的坐標．（2）若點E是第一象限拋物線上的點，過點E作EM⊥x軸于點M，當OM＝2CD時，求證：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的條件下，試探究：在x軸上是否存在點P，使得以PF，AD，AE為邊長構成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數式表示點P的橫坐標；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當a＝1時，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，∵與y軸交于點C（0，﹣3），∴﹣3m2＝﹣3，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵CD∥AB，∴C，D關于直線x＝1對稱，∴D點坐標為：（2，﹣3）；（2）如圖，過點A作AN⊥CD交CD的延長線于N，對于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），當y＝0，則0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1＝﹣m，x2＝3m，當x＝0，y＝﹣3am2，可得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），∵點C，點D關于對稱軸直線x＝m對稱，∴點D（2m，﹣3am2）∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴點E橫坐標為4m，∴點E坐標（4m，5am2），∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），點E坐標（4m，5am2），點D（2m，﹣3am2），∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB=EMAM=am，tan∠ADC∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；（3）存在，理由：當x＝m時，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2，∴F（m，﹣4am2），∵A（﹣m，0），點E的坐標為（4m，5am2），點D的坐標為（2m，﹣3am2），設P（b，0），∴PF2＝（m﹣b）2+16（am2）2，AD2＝9m2+9（am2）2，AE2＝25m2+25（am2）2，∴（m﹣b）2+9m2＝25m2，解得：b1＝﹣3m，b2＝5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．39．（2020?廣東省一模）草莓是云南多地盛產的一種水果，今年某水果銷售店在草莓銷售旺季試銷售成本為每千克18元的草莓，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克40元．經試銷發現，銷售量y（kg）與銷售單價x（元/kg）符合一次函數關系，如圖是y與x的函數關系圖象．（1）求y與x的函數解析式；（2）設該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元，求W的最大值．【解答】解：（1）設y＝kx+b，將x＝20、y＝300和x＝30、y＝280代入，得：20k+b=30030k+b=280解得：k=-2b=340∴y＝﹣2x+340（18≤x≤40）；（2）根據題意，得：W＝（x﹣18）（﹣2x+340）＝﹣2x2+376x﹣6120＝﹣2（x﹣94）2+11552，∵a＝﹣2＜0，∴當x＜94時，W隨x的增大而增大，∴在18≤x≤40中，當x＝40時，W取得最大值，最大值為5720．40．（2019?廣東省一模）已知如圖1，拋物線y=-38x2-34x+3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，點D（1）求出直線AD的解析式；（2）如圖2，若在直線AC上方的拋物線上有一點F，當△ADF的面積最大時，有一線段MN=5（點M在點N的左側）在直線BD上移動，首尾順次連接點A、M、N、F構成四邊形AMNF，請求出四邊形AMNF的周長最小時點N（3）如圖3，將△DBC繞點D逆時針旋轉α°（0＜α°＜180°），記旋轉中的△DBC為△DB′C′，若直線B′C′與直線AC交于點P，直線B′C′與直線DC交于點Q，當△CPQ是等腰三角形時，求CP的值．【解答】解：（1）∵拋物線y=-38x2-34x+3與x軸交于∴0=-38x2-∴x＝2或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵D（0，﹣1），∴直線AD解析式為y=-14（2）如圖1，過點F作FH⊥x軸，交AD于H，設F（m，-38m2-34m+3），H（m∴FH=-38m2-34m+3﹣（-14m﹣1）∴S△ADF＝S△AFH+S△DFH=12FH×|xD﹣xA|＝2FH＝2（-38m2-12m+4）=-34m2﹣m+8當m=-23時，S△∴F（-23，如圖2，作點A關于直線BD的對稱點A1，把A1沿平行直線BD方向平移到A2，且A1A2=5連接A2F，交直線BD于點N，把點N沿直線BD向左平移5得點M，此時四邊形AMNF的周長最小．∵OB＝2，OD＝1，∴tan∠OBD=1∵AB＝6，∴AK=6∴AA1＝2AK=12在Rt△ABK中，AH=125，A1H∴OH＝OA﹣AH=8∴A1（-85，過A2作A2P⊥A2H，∴∠A1A2P＝∠ABK，∵A1A2=5∴A2P＝2，A1P＝1，∴A2（25，-∵F（-23，∴A2F的解析式為y=-10716x-∵B（2，0），D（0，﹣1），∴直線BD解析式為y=12x﹣1聯立①②得，x=-2∴N點的橫坐標為：-2（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD＝4，BC=13，OBBC邊上的高為DH，根據等面積法得，12BC×DH=12CD∴DH=CD×OB∵A（﹣4，0），C（0，3），∴OA＝4，OC＝3，∴tan∠ACD=OA①當PC＝PQ時，簡圖如圖1，過點P作PG⊥CD，過點D作DH⊥PQ，∵tan∠ACD=∴設CG＝3a，則QG＝3a，PG＝4a，PQ＝PC＝5a，∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣6a∵△PGQ∽△DHQ，∴PGDH∴4a8∴a=2∴PC＝5a=10②當PC＝CQ時，簡圖如圖2，過點P作PG⊥CD，∵tan∠ACD=∴設CG＝3a，則PG＝4a，∴CQ＝PC＝5a，∴QG＝CQ﹣CG＝2a，∴PQ＝25a，∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣5a∵△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC＝4-4③當QC＝PQ時，簡圖如圖1過點Q作QG⊥PC，過點C作CN⊥PQ，設CG＝3a，則QG＝4a，PQ＝CQ＝5a，∴PG＝3a，∴PC＝6a∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣5a，利用等面積法得，CN×PQ＝PC×QG，∴CN=245∵△CQN∽△DQH同①的方法得出PC=④當PC＝CQ時，簡圖如圖4，過點P作PG⊥CD，過H作HD⊥PQ，設CG＝3a，則PG＝4a，CQ＝PC＝5a，∴QD＝4+5a，PQ＝45，∵△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP=綜上所述，PC的值為：103-251339；4-41．（2020?廣東省模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最小．若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0-4-2b+c=3，解得：b=-2∴拋物線的函數關系式為y＝﹣x2﹣2x+3；設直線AC的函數關系式為y＝mx+n（m≠0），將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：m+n=0-2m+n=3，解得：m=-1∴直線AC的函數關系式為y＝﹣x+1．（2）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，如圖1所示．設點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點Q的坐標為（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC=12AQ?PF=-32x2-32x+3=-3∵-3∴當x=-12時，△APC的面積取最大值，最大值為278，此時點P的坐標為（-（3）當x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴點N的坐標為（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點C，N關于拋物線的對稱軸對稱．令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖2所示．∵點C，N關于拋物線的對稱軸對稱，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此時△ANM周長取最小值．當x＝﹣1時，y＝﹣x+1＝2，∴此時點M的坐標為（﹣1，2）．∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（﹣2，3），點N的坐標為（0，3），∴AC=32+32=∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+∴在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為32+42．（2018?廣東省三模）已知拋物線y=14x（1）填空：拋物線的頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或直線x＝0）；（2）如圖，已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）如圖，在第二問的基礎上，在拋物線有一點C（x，y），連接AC、OC、BC、PC，當△OAC的面積等于△BCP的面積時，求C的橫坐標．【解答】解：（1）∵拋物線的表達式為：y=14x∴頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x＝0）．故答案是：0，1；y軸（或直線x＝0）．（2）∵△PAB是等邊三角形，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．∴AB＝20A＝4．∴PB＝4．把y＝4代入y=14x得x＝±23，∴P（23，4）；（3）x＝2（23-x解得x=4∴C的橫坐標是4343．（2018?廣東省模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△AOC繞原點O逆時針旋轉90°得到△DOB，其中點A的坐標為（﹣1，0），CD＝2．（1）寫出C點的坐標（0，﹣3），B點的坐標（3，0）；（2）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，求該二次函數的解析式；（3）在（2）條件下，在二次函數的對稱軸l上是否存在一點P，使得PA+PC最小？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵△AOC繞原點O逆時針旋轉90°得到△DOB，點A的坐標為（﹣1，0），CD＝2，∴OD＝OA＝1，∴OC＝OB＝3，∴點C的坐標為（0，﹣3），點B的坐標為（3，0）．故答案為：（0，﹣3）；（3，0）．（2）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+c，得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得：∴該二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（3）由拋物線的對稱性可以得出點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，∴連接BC交對稱軸于點P，則點P是所求的點．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸為直線x＝1，∴P點的橫坐標為1．設直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=-3，解得：m=1∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴當x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，∴點P的坐標為（1，﹣2）．44．（2018?廣東省二模）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，點P為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）求∠PAB的正弦值；（3）如圖2，四邊形MCDN為矩形，頂點C、D在x軸上，M、N在x軸上方的拋物線上，若MC＝8，求線段MN的長度．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、（5，0）兩點分別代入y＝﹣x2+bx+c得：-1-b+c=0-25+5b+c=0解之得：b=4c=5∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5；（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），如圖1，過點P作PQ⊥x軸，連接AP，則AQ＝3，PQ＝9∴AP=32+∴sin∠PAB=9（3）當y＝8時，﹣x2+4x+5＝8，解之得：x1＝1，x2＝8，∴M（1，8），N（3，8），∴MN＝3﹣1＝2．45．（2018?廣東省模擬）如圖，拋物線y=12x2-x﹣4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點（端點除外），過P作PD∥AC，交BC（1）直接寫出A、B、C的坐標；（2）求拋物線y=12（3）求△PCD面積的最大值，并判斷當△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．【解答】解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）拋物線：y=1∴拋物線的對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是（1，-9（3）設P（x，0）（﹣2＜x＜4），∵PD∥AC，∴PDAC解得：PD=2∵C到PD的距離（即P到AC的距離）：d=PA×sin45∴△PCD的面積S=1∴S=-1∴△PCD面積的最大值為3，當△PCD的面積取最大值時，x＝1，PA＝4﹣x＝3，PD=2因為PA≠PD，所以以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．46．（2016?廣東省校級一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為P，連結AC．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q，求點D的坐標．【解答】（1）設此拋物線的解析式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）∵拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，∴y＝a（x﹣1）（x+3）∵拋物線與y軸交于點C（0，3）∴a（0﹣1）（0+3）