專題30解直角三角形模型之12345模型

初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數學的始終，無論是一次函數、平行四邊形、

特殊平行四邊形、反比例函數、二次函數、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點介紹的“12345”

模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復斷鉆研、領悟。現在帶領大家領略一下，“12345”模型的

獨特魅力。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................1

.............................................................................................................................................................3

.................................................................................................................................................14

模型1.“12345”模型及衍生模型

（19年北京市中考）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝°（點A，B，P是網格交點）。

該類問題解法很多，這里我們就根據現有的方格紙來構造一個等腰直角三角形。

如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數的觀點來看：

11

tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數據，為了便于記憶，總結為“12345”模型。

23

12345基礎模型模型還可變式為

1a

tan=tan=a

2；變式：b；變式：tan=ba。

451452btan

1baab

tantan45

3ab

證明：（基礎模型）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一點E使得BE=1，在DC

111

上取一點F使得DF=2，根據矩形性質得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

233

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

圖1

證明：（模型變式1）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一點E使得BE=a，在

DC上取一點F使得DF=b-a，根據矩形性質得：EC=b，CF=a，

baaa

故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，

abbb

易證：ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，

∵∠BA△E+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°

模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。

1143

注意：下面模型中，，2，3，，均為對應角的正切值。

2334

（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；

（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

上面的這些補充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學可借助網格圖或構造圖形自行進行證明。

切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來

解決相關的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，

但至少可以成為一種通性通法，可在短時間內快速破題。畢竟在考試的時候時間是非常寶貴的。

例1．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在RtABC中，C90，BC5，點D是AC上一點，連接

11

BD．若tanA，tanABD，則CD的長為（）

23

A．25B．3C．5D．2

【答案】C

11

【分析】法1：先根據tanA，tanABD，再由12345模型知：∠BDC＝45°，從而可求出CD．

23

法2：先根據銳角三角函數值求出AC25，再由勾股定理求出AB5,過點D作DEAB于點E，依據三角

113

函數值可得DEAE,DEBE,從而得BEAE，再由AEBE5得AE=2，DE=1，由勾股定理得

232

AD=5，從而可求出CD．

11

【詳解】法1：∵tanA，tanABD，∴根據12345模型知：∠BDC＝45°，

23

∵C90，∴三角形BCD為等腰直角三角形，∵BC5，∴CD=BC5

BC1

法2：在RtABC中，C90，BC5，∴tanA∴AC2BC25,

AC2

由勾股定理得,ABAC2BC2(25)2(5)25過點D作DEAB于點E，如圖，

11DE1DE1

∵tanA，tanABD，∴,,

23AE2BE3

11113

∴DEAE,DEBE,∴AEBE∴BEAE

23232

3

∵AEBE5,∴AEAE5∴AE2,∴DE1,

2

在RtADE中,AD2AE2DE2∴ADAE2DE222125

∵ADCDAC25,∴CDACAD2555,故選：C

【點睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關鍵．

例2．（2024·吉林長春·校考二模）如圖，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點．將ABG沿AG對折至

AFG，延長GF交DC于點E，則DE的長是（）△

△

48

A．B．2C．D．3

33

【答案】C

【分析】法1：連接AE，由折疊的性質可得AF=AB=AD，BG=GF，易證RtADE≌RtAFE，得到DE=EF，

設DE=x，在RtCEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GAE=△45°，再利用△12345模型的變式，

求解即可。△

【詳解】解：法1：如圖所示，連接AE，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90°∵G為BC的中點∴BG=GC=4

由折疊的性質可得AF=AB=8，BG=GF=4，在RtADE和RtAFE中，

∵AE=AE，AF=AD=8，∴RtADE≌RtAFE（H△L）∴DE=E△F

△△2228

設DE=EF=x，則EC=8-x在RtCEG中，GC2+EC2=GE2，即48x4x解得x故選：C．

3

△

法2：由法1知：RtADE≌RtAFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，

△△

1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中點，∴tanBAG，

2

18

由12345模型變式知：tanDAE，∵AD=8，∴DE，故選：C．

33

【點睛】本題考查正方形中的折疊問題，利用正方形的性質證明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解

題的關鍵．

例3．（23-24八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC4，AD3，

E是AB上一點，且DCE45，則DE的長度是（）

A．3.2B．3.4C．3.6D．4

【答案】B

【分析】法1：過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，利用12345模型變式求解即可。

法2：如圖，過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，CG⊥CD，交AB延長線于G，可證明四邊形ABCF

是正方形，可得DF的長，根據角的和差關系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可證明DCF≌△GCB，可得

CD=CG，BG=DF，根據∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可證明DCE≌△△GCE，可得DE=GE，

根據S正方形ABCF=SAED+2SGCE列方程可求出AE的長，進而求出GE的長△即可得答案．

△△

【詳解】法1：如圖，過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，

1

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴tanDCF，

4

a

由模型變式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

12817

∵BC=4，∴BE，AE，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE，故選：B．

555

法2：如圖，過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，CG⊥CD，交AB延長線于G，

∵AB90，ABBC4，AD3，∴四邊形ABCF是正方形，DF=1，

∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，

GBCCFD90

在DCF和GCB中，BCCF，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，

GCBDCF

△△

∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，

CDCG

在DCE和GCE中，DCEECG，∴△DCE≌△GCE，

CECE

△△

∴SGCE=SDCE，DE=GE，∴S正方形ABCF=SAED+2SGCE，

△△△△

111

∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故選：B．

222

【點睛】本題考查正方形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質及判定定理是解題

關鍵．

例4．（2023·山西晉城·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別為BC，AB的中點，連接AE，

點G是線段AE上一點，連接GF，延長FG交CD于點M，若AB4，AGF45，則CM的長為．

2

【答案】

3

【分析】．法1：過點作AH//FM，交DC于點H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的變式，求解即可。

法2：連接AC交MF于N，過點F作FHAE于H，由正方形的性質得DB=90°，ABBC4，AB∥CD，

AFAHFH

ACMBAC45，由勾股定理得22，再證明△AHF∽△ABE，得，

ACABBC42AEABBE

45252565210

從而求得AH，FH，繼而求得GHFH，AGAHGH，FGFH2GH2，

55555

AGFG65210

然后證明AGF∽NAF，得，即，從而求得AN32，繼而求得CNANAN2，

ANAF55

AN2

AFAN2322

最后證明ANF∽CNM，得∴，即，從而可求得CM．

CMCNCM23

【詳解】法1：過點作AH//FM，交DC于點H，

∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴四邊形AFMH為平行四邊形。∵AGF45，∴EAH45

1

∵點E，F分別為BC，AB的中點，AB4，∴BE=AF=HM=2，∴tanBAE，

2

142

∵EAH45，由12345模型變式知：tanDAH，∵AD=4，∴DH，∴CM，

333

法2：連接AC交MF于N，過點F作FHAE于H，如圖，

∵正方形ABCD，∴DB=90°，ABBC4，AB∥CD，ACMBAC45，

∴ACAB2BC242，∵點E，F分別為BC，AB的中點，

11

∴AFAB2，BEBC2，∴AEAB2BE225，

22

∵FHAE，AGF45，∴HFGAGF45，∴FHGH，

AFAHFH2AHFH

∵AHFB90，∴△AHF∽△ABE，∴，即，

AEABBE2542

45252565210

∴AH，FH，∴GHFH，∴AGAHGH，FGFH2GH2，

55555

AGFG65210

∵AGFFAN45，AFGNFA，∴AGF∽NAF，∴，即，

ANAF55

AN2

∴AN32，∴CNANAN42322，∵AF∥CM，∴ANF∽CNM，

AFAN23222

∴，即，∴CM，故答案為：．

CMCNCM233

【點睛】本題詞考查正方形的性質，勾股定理，相似三角形判定與性質，等腰直角三角形，熟練掌握相似

三角形判定與性質是解題的關鍵．

例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若

AE=5，∠EAF=45°，則AF的長為.

【答案】410

3

1

【解析】根據AB=2，AE=5，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，

2

∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，

14

根據12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，

33

再根據勾股定理求得：AF=410，故答案為：410

33

例6．（23-24九年級上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線yxm分別交x軸，y軸于A，B

兩點，已知點C2，0，點P為線段OB的中點，連結PA，PC，若CPAABO，則m的值為．

【答案】12

【分析】法1：由12345模型求解；法2：構造相似三角形PCD∽APB，對m的取值分析進行討

論，在m0時，點A在x軸的負半軸，而此時，APCOBA45，不合題意；故m0．由相似比求

得邊的相應關系．

【詳解】法1：∵一次函數yxm的圖像分別交x、y軸于點A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設∠PAO=α，∠OPC=β，

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵點P為線段OB的中點，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根據12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．

3

法2：作ODOC2，連接CD．則PDC45，CD22,如圖，

由yxm可得A(m,0)，B(0，m)．∴OAOB，AB2m∴OBAOAB45．

當m0時，APCOBA45，

所以，此時CPA45，故不合題意．∴m0．

∵CPAABO45，∴BPAOPCBAPBPA135，即OPCBAP，∴PCD∽APB，

1

m2

11PDCD222

∵點P為線段OB的中點，∴OPBPm，PDm2∴，即解得m12．

1

22ABPB2mm

2

故答案是：12．

【點睛】本題考查了一次函數圖象的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是構造相似三角形．

例7.（2023·龍華區九年級上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點，將ABE沿直

△

線AE折疊后，點B落在點F處，AF交對角線BD于點G，則FG的長是________．

【答案】12

7

11

【解析】∵E為BC的中點，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，

22

3

根據12345模型知：tan∠GAD=，過點G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH

4

設AH=4x，則GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。

∵AB=6，∴7x=6，x=6，GH=12，故答案為：12。

777

8．（2024九年級上·浙江·專題練習）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使點B落在AD

上，記為B，折痕為CE；再將CD邊斜向下對折，使點D落在BC邊上，記為D￠，折痕為CF，BD2，

1

BEBC．則矩形紙片ABCD的面積為．

3

AB′FD

ED′

BC

【答案】15

【分析】根據折疊性質和勾股定理求得BC和AB的長，或者利用相似三角形的判定與性質求出相應線段長，

再由勾股定理解方程，然后根據矩形的面積公式代值求解即可得到答案．

【詳解】解：方法1：由題意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．

∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．

1113

∵BE＝BC，∴tan∠BCE＝，由12345模型變式知∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．

3324

3

∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，

4

33

∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，

42

∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．

解：方法2：設BEa，則BC3a，由題意可得CBCB，CDCD，BEBEa，

BD2，CD3a2，CD3a2，AE3a2a2a2，

DBCB2CD2(3a)2(3a2)212a423a1，AB3a23a1，

2

2225

BA2AE2BE2，3a23a1(2a2)a，解得a或a，

33

22

當a時，BC2，ABCD3a20，a時不符合題意，舍去；

33

5

當a時，BC5，ABCD3a23，矩形紙片ABCD的面積為5315，故答案為：15；

3

ABEB

方法3：設CDx，則CDx，CBx2，CBx2，由題意可得ABE∽ΔDCB，，

DCBC

1EB1AB111△2

BEBC，，，ABx，BDx2xx2，

3BC3x3333

在RtCDB中，由勾股定理可得BD2CD2BC2，

2

222

即x2x(x2)，解得x13，x20（舍去），矩形紙片ABCD的面積為5315，故答案：15．

3

【點睛】本題考查翻折變化、矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，解答本題的關鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用翻折的性質和矩形的面積公式解答．

例9.（2023·湖北黃岡·統考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB3,BC4，以點B為圓心，適當長為半

1

徑畫弧，分別交BC，BD于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF長為半徑畫弧交于點P，作射線

2

BP，過點C作BP的垂線分別交BD,AD于點M，N，則CN的長為（）

A．10B．11C．23D．4

【答案】A

110

【簡證】易知tan，故CN10NDCD10

33

【詳解】解：如圖，設BP與CN交于點O，與CD交于點R，作RQBD于點Q，

矩形ABCD中，AB3，BC4，CDAB3，BDBC2CD25．

由作圖過程可知，BP平分CBD，四邊形ABCD是矩形，CDBC，

RQRC

又RQBD，RQRC，在RtBCR和RtBQR中，，RtBCRRtBQRHL，

BRBR

BCBQ4，QDBDBQ541，設RQRCx，則DRCDCR3x，

2

在RtDQR中，由勾股定理得DR2DQ2RQ2，即3x12x2，

444

解得x，CR．BRBC2CR210．

333

4

4

11，CRBC32．

SBCRCRBCBROCOC10

224

BR105

3

CORCDN90，OCRDCN，OCR∽DCN，

24

10

OCCR

，即53，解得CN10．

DCCN3CN

例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為25，點E是CD的中點，BE與AC交于點

M，F是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且BFAE，連接MH，則AH，

MH．

【答案】2213

3

14

【簡證】易知AF5，AH2FH2，接下來對AME分析，如圖易知tanA,tanE，過M作

33

△

213

AE的垂線段，設EM=5x，則AE15x5，12x22，則MH

3

【常規法思路】如圖，證明△AFB≌△DEA，得到AFDE，勾股定理求出BF的長，等積法求出AH的長，

∽∽

證明AGFCGB，相似比求出AG的長，證明AMBCME，求出AM的長，證明AHGANM，求

出HN,MN的長，再利用勾股定理求出MH的長．

【常規法】解：∵正方形ABCD的邊長為25，點E是CD的中點，

1

∴BADCDA90,ABADCD25,DECD5，ABCD,ADBC，∴AC2AD210，

2

∵BFAH，∴AHF90BAD，∴DAEBAF90AFH，

∴△AFB≌△DEA，∴AFDE5，∴BFAB2AF25，

11

SABFABAFBFAH

∵22，∴2555AH，∴AH2；

AGAF1AMAB

∵ABCD,ADBC，∴AGFCGB，AMBCME，∴,2，

CGBC2CMCE

121024102

∴AGAC,AMAC，∴GHAG2AH2，

33333

∽

故點M作MNAE，則：GHMN，∴AHGANM，

AHGHAG14

∴，∴AN2AH4,MN2GH，

ANMNAM23

213

∴HN2，∴MHNM2NH2

3

1．（23-24廣東汕頭·模擬預測）如圖，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中點．將ABG沿AG對折至

AFG，延長GF交DC于點E，則GE的長是（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】A

【分析】法1：連接AE，根據正方形與軸對稱的性質證明RtAFE≌RtADE，得出EF＝DE，設DE＝FE

＝x，在RtECG中應用勾股定理求出x，進而求解．法2：先△求出∠GA△E=45°，再利用12345模型的變式，

求解即可。△

【詳解】如圖，連接AE，由題意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，

AEAE

在RtAFE和RtADE中，，∴RtAFE≌RtADE（HL），∴EF＝DE，

AFAD

△△△△

設DE＝FE＝x，則EC＝6﹣x，∵G為BC中點，BC＝6，∴CG＝3，

在RtECG中，由勾股定理，得：(6x)29(x3)2，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故選A．

法2：△由法1知：RtAFE≌RtADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝GB，

△△1

∵∠DAB=90°，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中點，∴BG=3，tanBAG，

2

1

由12345模型變式知：tanDAE，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故選：A．

3

【點睛】本題考查正方形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，證明RtAFE≌

RtADE是解題的關鍵．△

2．△（2024·山東淄博·校考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為9，點E，F分別在邊AB，AD上，若E是

AB中點，且∠ECF=45°，則CF的長為（）

A．12B．3C．310D．35

【答案】C

【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。

法2：將CDF逆時針旋轉90到CBM的位置，易證CEF與CEM全等，設DFx，表示出EF，AF長

度，解直△角三角形即可求解x，再△通過勾股定理求算C△F．△

1

【詳解】法1：∵BC=8，E是AB中點，∴BE=4，∴tanBCE，

2

1

∵∠ECF=45°，由12345模型變式知：tanDCF，

3

∵DC=9，∴DF=3，∴CF9232310，故選：C．

法2：將CDF逆時針旋轉90到CBM

∵∠ECF△=45°，四邊形ABCD是正△方形∴ECM45∴CEF≌CEM∴EFEM

9△△9

設DFx，E是AB中點∴AF9x,AEEB,BMx∴EFEMx

22

22

299

在直角三角形AEF中：9xx解得：x3∴CF9232310故答案選：C．

22

【點睛】本題考查正方形與旋轉、勾股定理綜合．轉化相關的線段建立等量關系是解題關鍵．

3．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，ABBC8，AD6，

E是邊AB上一點，且DCE45，則DE的長度是（）

A．8B．7.4C．7D．6.8

【答案】D

【分析】法1：利用12345模型的變式，求解即可。

法2：本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，作CGAD于G，延長DG

至F，使GFBE，證明四邊形ABCG為正方形，得出AGBC8，BCG90，BCCG，證明

EBC≌FGCSAS以及ECD≌FCDSAS，得出EDDF，設EDx，則EBFGDFDGx2，

再由勾股定理計算即可得出答案．

【詳解】法1：如圖，過點C作CF⊥AD，交AD延長線于F，

1

∵AB90，ABBC8，AD6，∴四邊形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴tanDCF，

4

a

由模型變式即：tan=ba知：3

12345(btan)tanBCE

ab5

45

241634

∵BC=8，∴BE，AE，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE，故選：D．

555

法2：解：如圖，作CGAD于G，延長DG至F，使GFBE，

∵ABCGA90，ABBC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AGBC8，BCG90，BCCG，

∵AD6，∴DGAGAD862，∵BCCG，BCGF，BEFG，

∴EBC≌FGCSAS，∴CECF，ECBFCG，∵DCE45，

∴BCEDCGDCGFCG45，∴DCEDCF，

∵CECF，DCFDCE，DCDC，∴ECD≌FCDSAS，∴EDDF，

設EDx，則EBFGDFDGx2，∴AEABBE8x210x，

222

在Rt△AED中，AE2AD2DE2，∴10x6x，解得：x6.8，∴DE6.8，故選：D．

4．（23-24九年級上·貴州銅仁·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x＋m（m≠0）分別交x

軸，y軸于A，B兩點，已知點C（3，0）．點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的

值是．

【答案】18

【分析】法1：由12345模型求解；法2：構造相似三角形PCD∽△APB，對m的取值分析進行討

論，在m＜0時，點A在x軸的負半軸，而此時，∠APC＞∠OBA=△45°，不合題意；故m＞0．由相似比求

得邊的相應關系．

【詳解】法1：∵一次函數y＝﹣x＋m的圖像分別交x、y軸于點A、B。

∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，

∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC

∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，

mm1

∵點P為線段OB的中點，∴P（0，），PO=，可得tanα=，

222

1

根據12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．

3

法2：作OD=OC=3，連接CD．則∠PDC=45°，如圖，

由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．

當m＜0時，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．

∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，

1

m3

PDCD32

∴△PCD∽△APB，∴，即2解得m=18．故答案是：18．

1