內(nèi)蒙古赤峰市2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=^—i,W為z的共朝復(fù)數(shù)，z—5等于（）

A.2iB.-2iC.1D.T

2.若全集U=R,集合4={%￡Z\x2<25},B={xlx-2<0},則An（C》）=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{x\2<%<5}D.{x|2<x<5}

3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

i

A.y=sin2xB.y—\2X—1\C.y=了D.y=ln|x|

、1

4.已知實數(shù)a=5^,b=log3,c=log13,則a,b,c這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）

''55

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

5.已知直線八y=%+b,QO：x2+y2=4,貝U“網(wǎng)＜2”是“直線/與。。相交”的（）

A,充分必要條件B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知拋物線C：*=4%的焦點為F，點4的坐標(biāo)是（4,3）,P為C上一點，則|P*+|PF|的最小值為（）

A4<2B.2/3C.6D.5

7.為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

8.已知遞增的等比數(shù)列｛a"的前n項和為%,若=12,a2+1是為與CI3-1的等差中項，則S3=（）

A.21B.21或57C.21或75D.57

9.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方

形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此

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點取自陰影部分的概率為()

A2

BCD

A32-U1-看

10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的群解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角

垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個

球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛廝｝,貝布19+&2。=()

A380B.399C.400D.40*

11.在正方體ABCD—481C1D1中，點、E,F,G分別是棱2。，BC,的中點，則異面直線FG所成角

的余弦值為()

11

ABc

3-6-

12.過雙曲線C：馬—4=l(a>0*>0)的右頂點4作斜率為1的直線/,與C的兩條漸近線分別交于點P.Q,

ab

若方=；而，則雙曲線C的離心率為()

A2V3VTcVTn4VT

ABD.—C.—D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x—y>—1

13.若x,y滿足約束條件卜—3yW3,則z=3x—y的最小值為.

JC+y<—1

14.已知單位向量心1滿足知-瓦=1,則12d―耳=.

15.例'子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即2,5,

8,11,構(gòu)成數(shù)列｛a",記數(shù)列｛&J的前n項和為工,則竺1詈的最小值為.

16.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/''(>)+4/(%)>0,且/(0)=1,則下列說法正確的是.

①〃久)是奇函數(shù)

(2)3xG(0,+oo),f(x)>0

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③f(1)>去

④Vx>0時，/(%)<^

三、解答題：本題共7小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

為了營造濃厚的讀書氛圍，激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣，凈化學(xué)生的精神世界，赤峰市教育局組織了書香校園知

識大賽，全市共有500名學(xué)生參加知識大賽初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間［50,100］內(nèi)，組委會將初賽成績

分成5組：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試估計這500名學(xué)生初賽成績的平均數(shù)呈及中位數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作為代表)；(中位數(shù)

精確到0.01)

(2)組委會在成績?yōu)椋?0,80)的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機抽取5人，然后再從抽取的5人中任選取2人進行

調(diào)查，求選取的2人中恰有1人成績在［60,70)內(nèi)的概率.

18.(本小題12分)

在①cos4=標(biāo)②bcosC=(2a-c)cosB中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答.

問題：在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知.

(1)求B；

(2)若△ABC的外接圓半徑為2,且cosAcosC=|,求△ABC的面積.

O

注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.

19.(本小題12分)

如圖，在四棱柱4BCD中，底面ABCD是等腰梯形，Z.DAB=60°,AB=2CD=4,M是線段A8的

中點.

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(1)求證：〃平面占4。。1；

(2)若CD1，平面4BCD,S.CD1=273,求點名與平面Ci/M的距離

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/■(%)=eR).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間及最值；

(2)令八(%)=/(久)+g(x),若拉(乂)在區(qū)間(l,e2)上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12分)

已知橢圓E：胃+，=l(a>6>0)的左、右焦點分別為用(—1,0),馬(1,0),左、右頂點分別為力，B,P(x,y)

為橢圓E上一點，且J(X-1)2+y2+J(%+1)2+y2-4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過用的直線與橢圓E交于C,。兩點(其中點C位于x軸上方)，記直線AC,BD的斜率分別為k2,求的+專

的最小值.

22.(本小題10分)

(t2+l

X=-

在直角坐標(biāo)系XOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為|t￡l(t為參數(shù)).

(1)寫出曲線C的普通方程；

(2)設(shè)P為曲線C上的一點，將5?繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)彳得到的當(dāng)P運動時，設(shè)點Q的軌跡是E,求曲線E的直

角坐標(biāo)方程.

23.(本小題12分)

已知函數(shù)f(%)=|x-2|+|2x-1|.

(1)求不等式/(%)>6的解集；

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(2)已知對任意的xeR,都有f(x)2t,若a、b、c均為正實數(shù)，a+2b+2c=2t+2,在空間直角坐標(biāo)系

中，點(a,瓦c)在以點為球心的球上，求該球表面積的最小值.

22ZZ2

附：空間中4(X141/1),8(%2，%*2)兩點間距公式為：\^B\=7(%1-X2)+(yi-y2)+(1-2)

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1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】—7

14.【答案】73

15.【答案】19

16.【答案】②③

17.【答案】解：（1）平均數(shù)1=55X0.1+65X0.2+75X0.3+85x0.3+95X0,1=76,

因為0.1+0.2=0.3<0.5,0.1+0.2+0.3=0,6>0.5,

所以中位數(shù)位于［70,80）內(nèi)，設(shè)其為小，

則0.3+（m-70）X0.03=0.5,

解得m?76.67,

即中位數(shù)約為76.67；

（2）由頻率分布直方圖可知，抽取的5人中成績在［60,70）的學(xué)生有|義5=2人，記為4B,成績在［70,80）的

學(xué)生有,x5=3人，記為a,b,c,

從5人中任選取2人，樣本空間為{4B,4a,a6,ac,Ba,B6,Bc,ab,ac,bc},共10個樣本點，

其中選取的2人中恰有1人成績在［60,70）內(nèi)的有{Aa,Ab,Ac,8a,B6,Be},共6個樣本點，

所以所求概率為k

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18.【答案】解：(1)若選①，則由正弦定理可得cosZ=缶;丁,

可得2s譏BcosZ=2sinC-sinA=2sinBcosA+IcosBsinA-sinA,

可得s譏4=2sinAcosB,

又在△ABC中，sinA0,

可得COSB=I，G(0,7T),

解得B=f;

若選②，則由正弦定理可得：sinBcosC=(2sinA—sinC)cosB=2sinAcosBsinCcosB,

所以s加BcosC+sinCcosB=2sinAcosB,

所以sin(8+C)=2sinAcosB,

SflsinA=2sinAcosB,

又在△ABC中，sinAW0,

-1

可得cosB=-^BE(0,71),

解得B=f；

i

(2)由(1)可得cosB=—cos(i4+C)=—cosAcosC4-sinAsinC=

又因為cos/cosC=

o

所VXsinAsinC=1+1=L

Zoo

設(shè)△力BC的外接圓的半徑為R,由正弦定理可得號二-^二年二？/?：2*2=4,

sinAsinBsinC

即。=4sinA,c=4sinC,

所以△ABC的面積S=:acsinB=:x16sinAsinCx^=1xl6x^x^=-

2LLLoZ

19.【答案】(1)證明：如圖所示，連接4。1，

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■M為2B的中點,AB=2CD

1

AM=^AB=CD,又CD=C1％

AM=C1D1,又在四棱柱4BCDB]GA中，AM//DC//DrCr,

.?.四邊形力MC1nl是平行四邊形，

CrM//ADv又U平面AiADDi，4D】u平面41力。￡\,

CM/平面

(2)解:如圖，連接BiM、8也,

底面4BCD是等腰梯形，Z.DAB=60,AB=2CD=4,

易知&C1=C]D]—2,Z.B1C1D1=120°,

'^△B1C1D1=2，sinl20°=>J~3,

=唯-CiD1M,CD]_L面4BCD,且CD】=2y/~3>

=3-V"3-2-\/-3=2,

22

JM=ADr=2<6,DrM=J(2V^)+2=4，

'''Ci。=2,S^qD1M=715,

設(shè)點占到平面C/iM的距離為/i,貝%-/15-h=2,

解得h=彎.

20.【答案】解：(1)((久)=與弊，且定義域為(0,+8),

令/'(%)>0,解得0<x<e,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)；

令廣(久)<0,解得%>e,即/'(久)的單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8),

所以y(x)max=/(e)=[,無最小值.

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(2)因為h(x)=等，+/(1<久<e2),

匚匚、1—Znx,12a2x—xtnx—2a

所以"(%)=-—+=-----z,

令(p(x)=2x—xlnx—2a,則(//(%)=2—Inx—1=1—Inx,

令(p’(x)>0,得0<%Ve；令(//(%)V0,得x>e；又久￡(1,，)，

所以9(%)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,?2)上單調(diào)遞減，

所以◎(%)7n位=g(e)=e—2a,R(1)=2—2a,(p(e?)=-2a,

若八⑸在(l,e2)上存在極值點，則｛;二:黑；或｛：屋刃00,

解得1<a<|或。<aV|,

所以實數(shù)Q的取值范圍為(0,今.

21.【答案】解：(1)因為J(%—1)2+y2+「(久+1)2+y2=4,由橢圓的定義可得2a=4,c=l,

即a=2,b2=a2—c2=4—1=3,

所以橢圓E的方程為：9+9=1；

(2)由題意可知直線CD的斜率不為0,設(shè)直線CD的方程為％=my-1,設(shè)CQi，%),Z)(x2,y2),%>0,則

'%=my—1

聯(lián)立％22,整理可得：(4+3租2)丫2一6y-9=0,

—Iy=17n

(43

則％+為=溪浮為'2=一高，

3

可得月%=一詬(%+為)，

由題意及⑴可知2(—2,0),8(2,0),因為C點在x軸上方，所以的>0,

.1393

因為"=_丫心2-2)=當(dāng)0巧-3)=?叮仍_3丫1__萬。1+巧)-3當(dāng)=-/廣/2=3

m

、上一表一巧(巧+2)一〉2(叩1+1)-yiy2+y2~加?京(X+丫2)+丫2―一白「聶一，

即七=3k2>o,即附>0,

所以3%+看22J3k2=2，1,當(dāng)且僅當(dāng)3k2=*，即的=苧時取等號.

所以々1+5的最小值為

左2

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(_/+1

22.【答案】解：(1)根據(jù)題意，曲線C的參數(shù)方程為「一萬(t為參數(shù))，

后/、/、tZ+l+2tt2+l_2t(t+1)(t—1)

則有(久+y)(久一y)=t2_1x2T=(j2=L

即/—y2=1;

(2)根據(jù)題意，以坐標(biāo)原點。為極點，式軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

設(shè)Q的坐標(biāo)為(P，8),

將而繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)3得到麗，貝”的坐標(biāo)為(p,8+3)，

44

又由P為曲線C：X2—y2=l上的一點，

則有p2cos2(6+—p2sin2(0+7)=1,

變形可得p21cos2(6+