累的運算（6個知識點+9類題型）

01思維導圖

同底數幕的乘法同底數鬲的除法

幕的乘方靠的運算零指數幕、負指數幕

積的乘方科學記數法

02知識速記

知識點01同底數幕的乘法

1.同底數塞的乘法性質：儲"""=。"""（其中機，〃都是正整數）.即同底數幕相乘，底數不變，指數相

加.

要點詮釋：（1）同底數塞是指底數相同的暴，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.

（2）三個或三個以上同底數塞相乘時，也具有這一性質，即。叫d-。°=優"+"0（m,n,p

都是正整數）.

2.同底數塞的乘法的逆用公式：把一個幕分解成兩個或多個同底數幕的積，其中它們的底數與原來的底數

相同,它們的指數之和等于原來的幕的指數.即。加+"=。叫優（根,〃都是正整數）.

知識點02幕的乘方

1.塞的乘方法則：（屋）"=a"（其中機，〃都是正整數）.即幕的乘方，底數不變，指數相乘.

要點詮釋：公式的推廣：（iamyy=amnp（aHO,%〃，P均為正整數）

2.塞的乘方法則逆用公式：a""根據題目的需要常常逆用事的乘方運算能將某些幕變

形，

從而解決問題.

知識點03積的乘方

1.積的乘方法則：｛ab）n=an-bn（其中〃是正整數）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再

把所得的募相乘.

要點詮釋：公式的推廣：（abc）"=a","-c"（〃為正整數）.

2.積的乘方法則逆用公式：屋5"=（ab）"逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數

時，

計算更簡便.如：X210=QX2^|=1.

知識點04同底數幕的除法

陵+a"（其中私〃都是正整數是即同底數幕相除,底數不變,指數相減.

要點詮釋：（1）同底數塞是指底數相同的幕，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.

（2）逆用公式:即a"'f=a"；a"（相，〃都是正整數）.

知識點05零指數幕：a°=1（a#0）負指數幕：ap=^~（a#0,p是正整數）

0P

知識點06科學記數法

我們曾用科學記數法表示一些絕對值較大的數，即利用10的正整數指數累，把一個絕對值較大的數表

示成"10”的形式,其中〃是正整數，l<|a|<10；

類似地，我們可以利用10的負整數指數幕，用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成

ax”的形式，其中〃是正整數,l<|a|<10.

03題型歸納

題型一同底數塞的運算與逆運算

例題：（23-24八年級上?全國?課堂例題）計算:

（l）108xl02;

⑵（r）2.（一工戶；

（3）優+2."，+5.°；

(4)(y-l)2-(y-1)：

⑸S+2)3.(b+2)5.(6+2).

鞏固訓練

1.(2024七年級下?江蘇?專題練習)計算:

(l)x2-x5；

(2)°-a6;

(3)H)X(I)4X(1)3;

(4)d.

2.(23-24八年級上?全國?課后作業)計算:

⑴(a+3)2.(a+3"a+3)5；

(2)(x-2y『.(2y-x)3；

(3)(x-j)3-(y-x)5.

3.（23-24八年級上?廣東東莞?期末）計算：已知10"=2,10=3,求100的值;

4.（23-24八年級上?河南南陽?階段練習）回答下列問題:

（1）已知2尤+5y一4=0,求4、-32,的值；

（2）已知2X8'X16=223,求x的值.

題型二募的乘方運算及逆運算

例題：（24-25七年級上?上海閔行?階段練習）計算：,為丫.（尤3『-2（/廣.

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?山東德州?期中）計算:

（l）x2-x2-x+x4-X；

2.（24-25八年級上?安徽蕪湖?階段練習）計算:

（1）若優'=2,。"=3,求的值.

（2）若3x9*x27*=326,求-的值.

3.（24-25八年級上?河北廊坊?階段練習）將幕的運算逆向思維可以得到比"+"叫a",建”=（優1）",a"b”=（明,

在解題過程中，根據算式的結構特征，逆向運用幕的運算法則，常可化繁為簡，化難為易，使問題巧妙

獲解.

⑴若°加=2,。"=3,求產+2.的值.

（2）若2x4"x8'=2",求x的值.

題型三積的乘方運算及逆運算

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）計算:

⑴-（。紗）"；

⑵（-4/）2-［（2x）21

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?山東濱州?期中)計算:

(2)(-X3)2+X2(-2X2)2.

2.(24-25八年級上?福建福州?階段練習)計算:

⑴*4+Q叫2；

(2)(-2X2)3+X2-X4-(-3X3)2.

3

3.(24-25八年級上?河南周口?階段練習)閱讀下列各式：3):(^)=xy,3)4=X>4

(1)發現規律：(肛)”=，(xyz)"=.

(2)應用規律：

①填空：5looxO.2loo=,Qjx57xQj=j

②計算：(-0.25廣4乂0.52必乂82°23.

4.(24-25八年級上?江蘇南通?階段練習)下圖是東東同學完成的一道作業題，請你參考東東的方法解答下

列問題.

東東的作業

計算：45x(-0.25)5.

解：原式=(-4x0.25)5

⑴計算:

082022X(-0.125)2022；

(2)若3x9"x81"=3”,請求出〃的值.

題型四利用募的乘方比較大小

例題：(24-25八年級上?湖南?階段練習)在學習了“累的運算法則”后，經常遇到比較累的大小的問題，

對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將幕化為底數相同的形式，另一種是將塞化為指數相同的

形式，請閱讀下列材料：若6?=2,/=3,則。、6的大小關系是。b(填“〈”或)

解：=25=32,獷=.)3=33=27,且32>27,

：.a15>b15,：.a>b,

類比閱讀材料的方法，解答下列問題：

(1)上述求解過程中，逆用了哪一條幕的運算性質：;

A.同底數基的乘法B.同底數幕的除法C.暴的乘方D.積的乘方

(2)比較815,27:911的大小;

⑶比較2洶與375的大小；

(4)已知5"=324,5〃=4,50=9.求。也。之間的等量關系.

鞏固訓練

1.（24-25七年級上?上海楊浦?期中）比較大小：33驍（填“>”、“<”或“="）.

2.（2024七年級上?全國?專題練習）閱讀下列兩則材料，解決問題.

材料一：比較322和4”的大小.

解：因為4"=（22）"=222,3>2,

所以322>222,即332>4”.

小結：指數相同的情況下，通過比較底數（底數大于1）的大小，來確定兩個嘉的大小.

材料二：比較28和82的大小.

解：因為82=Q3）2=26,8>6,

所以2'>26,§P28>83.

小結：底數相同（底數大于1）的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個幕的大小.

（1）比較344,433,522的大小;

（2）比較8產,27型,961的大小；

（3）已知。2=2,"=3,比較。,6的大小（。,6均為大于1的數）.

題型五同底數塞的除法及逆運算

例題：(23-24八年級上?全國?課后作業)計算:

(1)(-GZ>)7；

⑵(〃/)-5-7M3;

鞏固訓練

1.(23-24八年級上?全國?課堂例題)計算:

(1)那一/4-fl3；

⑵/./十45.

(3)(x2y)5；

(4)(。-4+(夕-pF-(p-q)2.

2.(23-24七年級下?江蘇鎮江?期中)(1)已知4x16"，=421,求(-/丫+(加3./)的值;

(2)已知9向一32"=72,求”的值.

3.(24-25八年級上?湖南長沙?期中)已知5”=4,5"=6,25。=9.

⑴求父+"的值；

(2)求的值；

(3)寫出加，"，。之間的數量關系.

題型六塞的混合運算

例題：(23-24八年級上?全國?課后作業)計算:

(l)xV.(x/)3；

⑵⑹3.(叫"X叫5.

鞏固訓練

1.（24-25七年級上?上海楊浦?期中）計算：（-3陵）2-°川.曖一+2N"）2+〃.

2.（23-24七年級下?安徽亳州?期末）先化簡，再求值：（-?2）3-?3+（-?）2-?7-5（a3）3+（-1j-其中”=-1.

3.（22-23七年級下?江蘇?周測）先化簡，再求值：

（1）5。,+（“2）十（—2。2）,其中q=_5

⑵/卜⑹？+1_；加）,其中a=_2,6=l

題型七已知代數式的值，利用同底數塞的運算求式子的值

例題：（24-25八年級上?四川巴中?期中）已知：?=3,2〃=5,2c=75.

⑴求24"的值；

（2）證明：c=a+2b.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?全國?單元測試）（1）若26=/=?,求0+6的值;

（2）已知06戶（。％2y=（/6廠,求以一8一+9的值;

（3）若2x+5y-3=0,3-252+2=153”,求4*32，'2T的值.

2.（23-24八年級上?全國?單元測試）閱讀下列材料：

若屋=。"（。＞0且如"是整數），由于兩個幕相等，且底數相同，因此它們的指數相等，即有

m=".根據這一結論我們可以解簡單的方程：

若3工x27,+9"=3。，求x的值.

解：根據指數運算法則有：

3,x27*+9*=3,?3）'+（3?）'=3'-33XH-32X=32x,

32%=312,.-.2x=12,.-.x=6.

利用上面知識解決下面的問題：

（1）已知V+1.2*-312川=631,求x的值；

（2）如果（3，/+92=市，求x的值.

題型八零指數■、負整數指數幕

例題：（24-25九年級上?湖北十堰?階段練習）計算：卜5|+（-1）的-（5兀-3）°+]

鞏固訓練

1.（24-25八年級上?湖北省直轄縣級單位?階段練習）如果（2。-1）0=1成立，貝.

2.（2024八年級上?全國?專題練習）如（x-￡|無意義,則（x-l/=.

3.（24-25七年級上?上海?期中）若。=（-2r2,6=（-2）°