PAGE1-第1講數學文化一、選擇題1．“干支紀年法”是中國自古以來就始終運用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支相互協作，配成六十組為一周，周而復始，依次循環．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支．如：公元1984年為農歷甲子年、公元1985年為農歷乙丑年，公元1986年為農歷丙寅年．則2049年為農歷()A．己亥年 B．己巳年C．己卯年 D．戊辰年解析：選B．法一：由公元1984年為農歷甲子年、公元1985年為農歷乙丑年，公元1986年為農歷丙寅年，可知以公元紀年的尾數在天干中找出對應當尾數的天干，再將公元紀年除以12，用除不盡的余數在地支中查出對應當余數的地支，這樣就得到了公元紀年的干支紀年.2049年對應的天干為“己”，因其除以12的余數為9，所以2049年對應的地支為“巳”，故2049年為農歷己巳年．故選B．法二：易知(年份－3)除以10所得的余數對應天干，則2049－3＝2046，2046除以10所得的余數是6，即對應的天干為“己”．(年份－3)除以12所得的余數對應地支，則2049－3＝2046，2046除以12所得的余數是6，即對應的地支為“巳”，所以2049年為農歷己巳年．故選B．2．北宋數學家沈括的主要成就之一為隙積術，所謂隙積，即“積之有隙”者，如累棋、層壇之類，這種長方臺形態的物體垛積．設隙積共n層，上底由a×b個物體組成，以下各層的長、寬依次增加一個物體，最下層(即下底)由c×d個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數的公式為s＝eq\f(n,6)[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋eq\f(n,6)(c－a)，其中a是上底長，b是上底寬，c是下底長，d是下底寬，n為層數．已知由若干個相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示，則該隙積中全部小球的個數為()A．83 B．84C．85 D．86解析：選C．由三視圖知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝eq\f(n,6)[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋eq\f(n,6)(c－a)得s＝85，故選C．3．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其意思為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達目的地．”若將此問題改為“第6天到達目的地”，則此人其次天至少走了()A．96里 B．48里C．72里 D．24里解析：選A．依據題意知，此人每天行走的路程構成了公比為eq\f(1,2)的等比數列．設第一天走a1里，則其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)],1－\f(1,2))≥378，則a1≥192.則其次天至少走96里．故選A．4．《數術記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數共14種計算方法．某探討性學習小組3人分工搜集整理該14種計算方法的相關資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的安排方法種數是()A．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2)) B．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3))C．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)) D．Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)解析：選A．先將14種計算方法分為三組，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))種，再安排給3個人，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)種．故選A．5．我國古代的天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是依據日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個節氣及晷長改變如圖所示，相鄰兩個節氣晷長的改變量相同，周而復始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節氣(小暑)晷長是()A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸解析：選B．設從夏至到冬至的晷長依次構成等差數列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸．故選B．6．《九章算術》是我國古代數學名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現從該三角形內隨機取一點，則此點取自內切圓的概率是()A．eq\f(π,15) B．eq\f(2π,5)C．eq\f(2π,15) D．eq\f(4π,15)解析：選C．因為該直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，所以其斜邊長為13步，設其內切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)×5×12＝eq\f(1,2)(5＋12＋13)r，解得r＝2.由幾何概型的概率公式，得此點取自內切圓內的概率P＝eq\f(4π,\f(1,2)×5×12)＝eq\f(2π,15).故選C．7．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸實的相識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數的思想方法．我們用近代術語說明為：把陽爻“”當作數字“1”，把陰爻“”當作數字“0”，則八卦所代表的數表示如下：卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤0000艮0011坎0102巽0113依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進制數是()A．33 B．34C．36 D．35解析：選B．由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數為100010，轉化為十進制數為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B．8．《九章算術》中有如下問題：“今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百，問牛、羊、豕價各幾何？”依上文，設牛、羊、豕每頭價格分別為x元、y元、z元，設計如圖所示的程序框圖，則輸出的x，y，z的值分別是()A．eq\f(1300,9)，600，eq\f(1120,3) B．1200，500，300C．1100，400，600 D．300，500，1200解析：選B．依據程序框圖得：①y＝300，z＝eq\f(460,3)，x＝eq\f(6400,9)，i＝1，滿意i<3；②y＝400，z＝eq\f(680,3)，x＝eq\f(8600,9)，i＝2，滿意i<3；③y＝500，z＝300，x＝1200，i＝3，不滿意i<3；故輸出的x＝1200，y＝500，z＝300.故選B．9．(2024·洛陽市統考)如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影)，設直角三角形有一個內角為30°，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒(大小忽視不計，取eq\r(3)≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內的米粒數大約為()A．20 B．27C．54 D．64解析：選B．設大正方形的邊長為2，則小正方形的邊長為eq\r(3)－1，所以向弦圖內隨機投擲一顆米粒，落入小正方形(陰影)內的概率為eq\f((\r(3)－1)2,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，向弦圖內隨機拋擲200顆米粒，落入小正方形(陰影)內的米粒數大約為200×(1－eq\f(\r(3),2))≈27，故選B．10．《算數書》竹簡于上世紀八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它事實上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(7,264)L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為()A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)解析：選A．依題意，設圓錐的底面半徑為r，則V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(7,264)L2h＝eq\f(7,264)(2πr)2h，化簡得π≈eq\f(22,7).故選A．11．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()A．eq\f(39,2) B．eq\f(75,2)C．39 D．eq\f(601,8)解析：選B．設下底面的長為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，則下底面的寬為eq\f(18－2x,2)＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故當x＝eq\f(9,2)時，體積取得最大值，最大值為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故選B．12．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖所示，鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數y＝f(x)的圖象大致是()解析：選A．如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.因為PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高．設AB＝BD＝CD＝1，則eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，故選A．二、填空題13．古希臘畢達哥拉斯學派的數學家探討過各種多邊形數．如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為eq\f(n(n＋1),2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形數N(n，4)＝n2；五邊形數N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六邊形數N(n，6)＝2n2－n；……可以推想N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝________．解析：易知n2前的系數為eq\f(1,2)(k－2)，而n前的系數為eq\f(1,2)(4－k)．則N(n，k)＝eq\f(1,2)(k－2)n2＋eq\f(1,2)(4－k)n，故N(10，24)＝eq\f(1,2)×(24－2)×102＋eq\f(1,2)×(4－24)×10＝1000.答案：100014.(2024·湖南師大附中模擬)莊子說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話描述的是一個數列問題，現用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個正整數n后，輸出的S∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)，\f(63,64)))，則輸入的n的值為________．解析：框圖中首先給累加變量S賦值0，給循環變量k賦值1，輸入n的值后，執行循環體，S＝eq\f(1,2)，k＝1＋1＝2.若2>n不成立，執行循環體，S＝eq\f(3,4)，k＝2＋1＝3.若3>n不成立，執行循環體，S＝eq\f(7,8)，k＝3＋1＝4.若4>n不成立，執行循環體，S＝eq\f(15,16)，k＝4＋1＝5.若5>n不成立，執行循環體，S＝eq\f(31,32)，k＝5＋1＝6.若6>n不成立，執行循環體，S＝eq\f(63,64)，k＝6＋1＝7.…由輸出的S∈(eq\f(15,16)，eq\f(63,64))，可得當S＝eq\f(31,32)，k＝6時，應當滿意條件6>n，所以5≤n<6，故輸入的正整數n的值為5.答案：515．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”依據上述的已知條件，可求得第________天時，蒲草和莞草的高度相同．(結果實行“只入不舍”的原則取整數，相關數據：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．解析：