福建省2025屆高三下學期2月開學聯考數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025春·高三·福建·開學考試聯考]設集合，，則()A. B. C. D.1．答案：C解析：因為，，所以.2．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]的展開式中的系數為()A. B. C.6 D.2．答案：B解析：的展開式中的系數為.3．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]在平行四邊形中,E為線段的中點,且,則()A.F為線段的中點 B.F為線段的中點C.F為線段的中點 D.F為線段的中點3．答案：C解析：如圖,在平行四邊形中,由向量的減法法則得,因為,所以,因為E為線段的中點,所以,由平行四邊形性質得,故,則為線段的中點,故C正確.故選:C4．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]若,則()A.z為實數 B. C.z為純虛數 D.4．答案：A解析：因為,所以,所以z為實數,,.5．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知a,b為常數,且非常數函數是定義在R上的奇函數,則()A. B. C. D.45．答案：A解析：依題意可得,得,由,得或5,當時,為常數函數,不符合題意,則,易證此函數為奇函數,所以.6．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]若函數的值域為,則的取值范圍是()A. B. C. D.6．答案：D解析：因為的值域為,所以,得.7．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]拋物線的頂點到拋物線的準線的距離為()A.3 B. C.5 D.7．答案：D解析：因為,所以拋物線的頂點為,由,得,所以拋物線的準線方程為,故拋物線的頂點到拋物線的準線的距離為.8．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]下面四個繩結中,可以無損傷地變為右圖中的繩結的個數是()A.1 B.2 C.3 D.48．答案：A解析：題圖中的繩結是兩個相扣的圓環,而(1)與(3)中的繩結由一根繩子扭成,(4)中的繩結由兩個沒有相扣的圓環構成,都不可能扭成題圖中的繩結,(2)中的繩結可以無損傷地變為題圖中的繩結.故這四個繩結中,可以無損傷地變為題圖中的繩結的個數是1.二、多項選擇題9．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知曲線與圓,則()A.曲線C為半個圓B.當時,曲線C與圓D有兩個公共點C.當曲線C與圓D相切時,D.當時,曲線C在圓D的內部9．答案：ACD解析：由,得,所以曲線表示圓的上半部分,A正確.易知圓的圓心為坐標原點O,半徑為1,圓的圓心為,半徑為R.當時,曲線C與圓D只有1個公共點,B錯誤.因為曲線C與圓D相切,所以,則,得,C正確.因為在曲線C的所有點中,離圓心A最遠的是點,,所以當時,曲線C在圓D的內部,D正確,10．[2025春·高三·福建寧德·開學考試聯考]在棱長為2的正方體中，E，F，G分別為棱，，上一點，且，則()A.平面B.正方體的外接球的表面積為C.四面體的體積的最大值為D.當與平面所成角的正切值為2時，10．答案：AC解析：因為，所以，連接，可得.又平面，平面，所以平面，A正確.因為正方體外接球的直徑，所以外接球的表面積為，B錯誤.設，則，四面體的體積，當且僅當，即時，等號成立，C正確.因為平面，所以為直線與平面所成的角，則，所以，所以，，D錯誤.11．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]若函數滿足對任意x,恒成立,且,則()A.B.C.可能為對數函數D.存在,使得為常數函數11．答案：BCD解析：令,得,則,A錯誤.令,得,則,B正確.取,得,,C正確.令,得,即,即,故存在,使得為常數函數,D正確.三、填空題12．[2025春·高三·福建·開學考試聯考]已知角的終邊經過點，則________.12．答案：解析：因為，所以，則，解得，又，所以.13．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]在正方形ABCD中,,,則以點E,F為焦點且經過點A的橢圓的離心率為_________.13．答案：解析：如圖,過點F作,垂足為G,連接FA,FE.設,則,,所以,,則所求橢圓的離心率為.四、雙空題14．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]若數據,,,的極差為3,方差為4,則數據,,,,的極差為_________,方差為_________.14．答案：6;16解析：因為,,,的極差為3,方差為4,所以數據,,,,的極差為,方差為.五、解答題15．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知福建某地生產的罐裝巖茶的凈含量的均值為250克,且每罐巖茶的凈含量M（單位：克）服從正態分布,.(1)求,;(2)若甲從該地生產的罐裝巖茶中隨機購買7罐,求恰有3罐的凈含量不大于250克的概率;(3)若乙從該地生產的罐裝巖茶中隨機購買100罐,設這100罐巖茶中凈含量在內的罐數為X,求X的數學期望.15．答案：(1)0.92(2)(3)92解析：(1)因為M服從正態分布,且,.(2)因為,所以恰有3罐的凈含量不大于250克的概率為（或0.2734375）,(3)依題意可得所以.16．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知數列中,.(1)若,,依次成等差數列,求;(2)若,證明數列為等比數列;(3)若,求的前n項和.16．答案：(1)(2)見解析(3)解析：(1),.因為,,,依次成等差數列,所以即,解得.(2)證明：因為,且,所以是首項為1,公比為2的等比數列.(3)由(2)可得,則..17．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知雙曲線C的漸近線方程為,左、右焦點分別為,.(1)求C的方程;(2)若直線與C交于A,B兩個不同的點,求;(3)已知點,且直線與C只有一個公共點N,求點N的橫坐標.17．答案：(1)(2)(3)解析：(1)依題意設C的方程為,則,,解得,,所以C的方程為.(2)設,聯立得,則,.(3)直線的方程為,即,當時,,方程有兩個解,不符合題意.當,即時,方程即,方程只有一個解,符合題意.故點N的橫坐標為.18．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]如圖,在三棱錐中,平面PBC,且,,.(1)求PB,PC.(2)若的面積為,且,證明：平面APC.(3)過點P作底面ABC的垂線,垂足在的內部,且,E,F分別為AB,AC的中點,平面PBC與平面PEF所成的角為,求.18．答案：(1)(2)見解析(3)解析：(1)因為平面PBC,且,平面PBC,所以,所以,.(2)證明：因為,所以,因為,所以,由余弦定理得,所以.注意到,因此.因為,所以平面APC.(3)連接,,,依題意可得平面ABC,則與,,均垂直.因為,所以,,.則,,,由余弦定理得,由(2)知,,則PA,PB,PC兩兩垂直.以P為坐標原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,,,.設平面PEF的法向量為,則令,得.則.19．[2025春·高三·福建龍巖·開學考試校考]已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)若,,求a的值;(3)若函數恰有8個零點,求m的取值范圍.參考數據：.19．答案：(1)(2)(3)解析：(1),,,所以曲線在點處的切線方程為.(2)因為,,所以,.令