專題18機械振動

目錄

題型一簡諧運動的基本特征及應用.................................................1

類型1簡諧運動基本物理量的分析.............................................1

類型2簡諧運動的周期性與對稱性.............................................5

類型3彈簧振子的動力學、能量特征分析.......................................8

題型二簡諧運動的表達式和圖像的理解和應用.....................................15

題型三單擺及其周期公式........................................................21

類型1單擺的受力特征及周期公式的應用......................................22

類型2單擺的振動圖像及運動學特征..........................................27

題型四受迫振動和共振..........................................................31

類型1受迫振動概念及規律的理解應用........................................31

類型2共振曲線的應用......................................................33

類型3“驅動擺”的分析.......................................................35

題型一簡諧運動的基本特征及應用

對簡諧運動的理解

受力特點回復力尸=—6，F(或。)的大小與x的大小成正比，方向相反

靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，

運動特點

V減小

振幅越大，能量越大.在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守

能量

恒

做簡諧運動的物體的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變

化周期就是簡諧運動的周期7;動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周

周期性

期為?

2

(1)如圖所示，做簡諧運動的物體經過關于平衡位置。對稱的兩點尸、P'(OP=

OP)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等

P'0P

(2)物體由尸到O所用的時間等于由。到P所用時間,即tpo^top'

對稱性

(3)物體往復過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOp=tPo

(4)相隔,或2"7%為正整數)的兩個時刻，物體位置關于平衡位置對稱，

位移、速度、加速度大小相等，方向相反

類型1簡諧運動基本物理量的分析

【例1】如圖所示，質量為加的物塊放置在質量為M的木板上，木板與彈簧相連，它們一

起在光滑水平面上做簡諧運動，周期為T,振動過程中加、M之間無相對運動，設彈簧的勁

度系數為左，物塊和木板之間的動摩擦因數為〃，則下列說法正確的是（）

A.若t時刻和。+母）時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則人一定等于4的

整數倍

B.若加=工，則在f時刻和（f+Af）時刻彈簧的長度一定相同

2

C.研究木板的運動，彈簧彈力充當了木板做簡諧運動的回復力

D.當整體離開平衡位置的位移為x時，物塊與木板間的摩擦力大小等于二

m+M

【答案】D

【詳解】A.設位移為X,對整體受力分析，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據牛頓第二

定律，有

kx=[m+M^a

對物塊受力分析，受重力、支持力和靜摩擦力，靜摩擦力提供回復力，根據牛頓第二律，有

耳=ma

解得

M+m

若％時刻和。+發）時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則兩個時刻物塊的位移大

小相等，方向相反，位于相對平衡位置對稱的位置上，但4不一定等于二的整數倍，故A

錯誤；

B.若儀=4,則在t時刻和（/+△/）時刻物塊的位移大小相等，方向相反，位于相對平衡

2

位置對稱的位置上，彈簧的長度不一定相同，故B錯誤；

C.由開始時的分析可知，研究木板的運動，彈簧彈力與物塊對木板的摩擦力的合力提供回

復力，故C錯誤；

D.整體離開平衡位置的位移為x時，物塊與木板間摩擦力的大小等于Vy右，故D正確。

故選D。

【例2】.一根用絕緣材料制成的輕彈簧，勁度系數為上一端固定，另一端與質量為〃?、帶

電量為+0的小球相連，靜止在光滑絕緣的水平面上，當施加一水平向右的勻強電場E后（如

圖所示），小球開始作簡諧運動，關于小球運動有如下說法中正確的是（）

A.球的速度為零時，彈簧伸長隼

B.球做簡諧運動的振幅為軍

K

C.運動過程中，小球的機械能守恒

D.運動過程中，小球動能的改變量、彈性勢能的改變量、電勢能的改變量的代數和為零

【答案】D

【詳解】AB.小球做簡諧運動，在平衡位置，有

kA=qE

解得

k

小球到達最右端時，速度為零，此時彈簧的形變量為2倍a即

k

故AB錯誤；

C.由于電場力和彈力對小球做功，則小球的機械能不守恒，故C錯誤；

D.小球運動過程中有電場力和彈簧彈力做功，則對于彈簧和小球系統，電勢能和重力勢能

以及動能總量守恒，即小球動能的改變量、彈性勢能的改變量、電勢能的改變量的代數和為

零，故D正確。

故選D。

【例3】.（2023春?北京大興?高三統考期中）如圖所示，彈簧振子的平衡位置為。點，在B、

C兩點之間做簡諧運動。B、。相距10cm。小球經過O點開始計時并向右運動，經過0.5s

首次到達3點，下列說法正確的是（）

IwwwwwwO——-----1

COBX

A.彈簧振子的振幅是10cm

B.當振子運動到B時，位移大小是10cm

C.彈簧振子的周期是Is

D.振子由O運動到B的過程中速度減小

【答案】D

【詳解】A.彈簧振子的振幅是。8的距離，即5cm,故A錯誤；

B.當振子運動到B時，位移大小是5cm,故B錯誤；

C.小球經過。點開始計時并向右運動，經過0.5s首次到達2點，則

-T=0.5s

4

所以彈簧振子的周期是2s,故C錯誤；

D.振子由O運動到8的過程中位移增大，速度減小，故D正確；

故選D。

【例4】對于下面甲、乙、丙、丁四種情況，可認為是簡諧運動的是()

①甲：傾角為e的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距離，然后松開，空氣阻力可忽略不計

②乙：粗細均勻的木筷，下端繞幾圈鐵絲，豎直浮在較大的裝有水的杯中。把木筷往上提起

一段距離后放手，木筷就在水中上下振動

③丙：小球在半徑為R的光滑球面上的/、B(AB=R)之間來回運動

④丁：小球在光滑固定斜面上來回運動

A.只有①B.只有①②C.只有①②③D.都可以

【答案】C

【詳解】甲圖小球沿斜面方向受到的合力時彈力與重力的分力，當小球在平衡位置上方時，

合力方向沿斜面向下，當在平衡位置下方時合力沿斜面向上，彈力與重力的分力的合力與位

移成正比，其特點符合簡諧振動物體的動力學特征，小球做簡諧振動；乙圖木筷在水中受浮

力和重力作用，當木筷在平衡位置上方時，合力向下，當木筷在平衡位置下方時，合力向上,

重力和浮力的合力與位移成正比,其特點符合簡諧振動物體的動力學特征,木筷做簡諧振動;

丙圖小球離開最低點受到重力沿切線方向的分力與位移成正比，方向與小球位移方向相反,

為小球提供回復力，小球在最低點附近左右振動屬于簡諧振動；丙圖斜面光滑，重力沿斜面

的分力提供小球做機械振動的回復力，但該力大小不變，不與位移成正比，故小球的運動為

機械振動，不是簡諧振動，則可知①②③為簡諧振動。

故選Co

類型2簡諧運動的周期性與對稱性

【例1】彈簧振子以。點為平衡位置做簡諧振動。從O點起振開始計時，振子第一次到達

M點用了0.3秒，又經過0.2秒第二次通過M點，則振子第三次通過M點還要經過的時間

可能是（）

A.』秒B.；秒C.1.4秒D.1.6秒

32

【答案】AC

【詳解】由題意，共有以下兩種情況：

①如圖所示

43s:G.Q

------------1--------->—>

QoMPX

假設振子從。點向x正方向起振，P點為正向最大位移處，M位于。、尸之間，則振子從。

運動到“所用時間為

&=S3s

根據簡諧運動的對稱性可知,振子從M到尸和尸到M的時間相同，均為

tMP=；x0.2s=0.1s

設簡諧運動的周期為7,則

^T=tOM+tMP^0As

解得

7=1.6s

易知振子第二次通過M點再經過一個周期T剛好第四次通過加點，而第三次通過M點之

后需要再經過2/才能再次（即第四次）通過“點，因此振子第三次通過M點還要經過的時

間為

t=T-2tMp=L4s

②如圖所示

0.2s

<---—--\---------------------------------\

80.3s)

!---------------?/

1?■>

x

QM。p

假設振子從O點向x正方向起振，。點為負向最大位移處，M位于。、。之間，則振子從

M運動到。所用時間為

tMO=T—（0.3+0.2）s=7—0.5s

根據簡諧運動的對稱性可知，振子從M到。和。到M的時間相同，均為

t.=—x0.2s=0.1s

QmM2

所以

T

~4+1MO=丁—0.4s

解得

15

易知振子第二次通過M點再經過一個周期7剛好第四次通過河點，而第三次通過M點之

后需要再經過2f才能再次（即第四次）通過〃點，因此振子第三次通過M點還要經過的時

間為

故選ACo

【例2】.（2023春?甘肅武威?高三武威第六中學校考期中）一質點做簡諧運動，先后以相同

的速度依次通過/、8兩點，歷時1s；質點通過8點后再經過Is又第二次通過3點。在這2s

內質點通過的總路程為12cm,則質點的振動周期和振幅分別是（）

A.3s,6cmB.4s,6cmC.4s,9cmD.2s,8cm

【答案】B

【詳解】質點運動的過程如圖：

?=ls%=lsL=ls

?--2--------------------->---------------------->\

<---------------?------------?------------?---------------->>

、---------------y-----------------e------------------y------------------------/

4%'=lsB

其中紅色實線為由4到B,綠色實線為第二次經過B,紅色、綠色虛線為補出的對稱運動，

從圖像中可以觀察到

紅色實線+綠色實線=2x振幅

則振幅為6cm。

紅色部分與綠色部分的運動時間之和為一個周期，故周期為4so

故選B。

【例3】如圖所示，傾角9=30。的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的

固定擋板，A、B兩物體固定于輕彈簧兩端，其中B的質量為機=2kg。對物體B施加一沿

斜面向下大小為20N的壓力廠，使B靜止于尸點。撤掉力尸，當B運動至最高點時，A恰好

要離開擋板。重力加速度g=10m/s2,彈簧始終處于彈性限度內。下列說法正確的是（）

A.彈簧恢復原長時B的速度達到最大B.物塊B運動過程中最大加速度為Sm/s?

C.物塊A的質量為2kgD.物塊A受擋板支持力的最大值為30N

【答案】C

【詳解】A.當彈簧彈力等于B重力沿斜面向下的分力時，B的速度達到最大，此時彈簧處

于壓縮狀態，故A錯誤；

B.撤去力/后，物塊B做簡諧振動，處于尸點時振幅最大，加速度最大，最大加速度為

22

amax=-^―=—m/s=10m/s

mB2

故B錯誤；

C.物塊B處于尸點時回復力大小

%士=20N

根據做簡諧振動的對稱性，運動至最高點時回復力大小

/叫=20N

又

4H=冽Bgsin。+左?Ax

mAgsin。=左?Ax

代入數據聯立得

叫=2kg

故C正確；

D.B處于尸點時物塊A受擋板支持力最大。對B受力分析

F+mBgsin6=4

得此時彈簧彈力大小

心=3ON

對A受力分析，物塊A受擋板支持力

N=F^+mAgsin0=40N

故D錯誤。

故選Co

【例4].如圖所示。將質量為優的小球懸掛在一輕質彈簧下端，靜止后小球所在的位置為

。點（圖中未標出）。現將小球從。點向下拉至彈簧對小球的彈力大小為2"7g（g為重力加

速度），然后釋放，已知小球在運動過程中彈簧始終在彈性限度內，不計空氣阻力。則小球

位于最高1點時彈簧的彈力大小為（）

1

6

1

A.2mgB.0C.mgD.~mg

【答案】B

【詳解】小球處于最低點時彈簧的伸長量為為，則有

kx、=2mg

釋放瞬間對小球由牛頓第二定律可得

kX[-mg=ma、

解得

%=g

小球運動到最高點時彈簧的形變量的大小馬,加速度大小為出，根據對稱性可得

a2=%

在最高點對小球由牛頓第二定律可得

kx2+mg=ma2

解得

x2=0

故小球位于最高點時彈簧的彈力大小為0。

故選Bo

類型3彈簧振子的動力學、能量特征分析

【例動量P隨位移X變化的圖像稱作相軌，它在理論物理、近代數學分析的發展中扮

演了重要的角色。如圖甲所示，光滑水平面上有一彈簧振子。現以彈簧原長時物塊的位置為

坐標原點。，取向右為正方向，建立Ox坐標系。當物塊偏離。點的位移為x時，彈簧振子

的彈性勢能為1依2,其中左為彈簧的勁度系數。當彈簧振子的機械能為￡時，該彈簧振子

的部分P-x圖像如圖乙中曲線所示，”和N分別為曲線與x軸和〃軸的交點。下列說法正

確的是（）

A.曲線兒W是拋物線的一部分

B.曲線MN對應物塊從。點向最左側運動的過程

C.該彈簧振子的振幅為、但

V2k

D.當物塊運動到振幅的e處，其動量大小為其動量最大值的e

22

【答案】D

【詳解】A.對彈簧和振子組成的系統機械能守恒，設振子速度為V,則滿足

整理可得

2Ek2

p=mv=-----—-X

VV

若將。視為因變量，X視為自變量，該表達式符合拋物線要求，但式子中V為變量，故曲線

兒W不是拋物線的一部分，故A錯誤；

B.圖中曲線c動量為正，則振子速度方向為正方向，向右運動，速度由零變為最大，可知

曲線血W對應物塊從最左側向O點運動的過程，故B錯誤；

C.振子在最大振幅處時，速度為零，根據

E=-kx2

2

可得

即振幅為欄，故C錯誤；

D.當物塊運動到振幅的g處時

當動量最大時，即振子速度最大時，振幅為零，有

七二冽41ax二H

22

其中

V了x

聯立可得

2

族=絲吟

2

所以

即

故D正確。

故選Do

【例2】.輕彈簧上端連接在箱子頂部中點，下端固定一小球，整個裝置靜止在水平地面上

方。現將箱子和小球由靜止釋放，箱子豎直下落〃后落地，箱子落地后瞬間速度減為零且不

會反彈。此后小球運動過程中，箱子對地面的壓力最小值恰好為零。整個過程小球未碰到箱

底，彈簧勁度系數為后，箱子和小球的質量均為相，重力加速度為g。忽略空氣阻力，彈簧

的形變始終在彈性限度內。下列說法正確的是（）

A.箱子下落過程中，箱子機械能守恒

B.箱子落地后，彈簧彈力的最大值為3%g

C.箱子落地后，小球運動的最大速度為2gr

D.箱子與地面碰撞損失的機械能為'工

k

【答案】BCD

【詳解】A.箱子靜止時，對小球分析有

對箱子分析有

mg+F^=T

當箱子由靜止釋放瞬間，彈簧彈力不發生突變，小球在這瞬間仍然平衡，加速度為0,而箱

子釋放瞬間固定箱子的力T消失，箱子所受合力為

F=mg+與=2mg=ma

可得該瞬間箱子的加速度

a=2g

此后彈簧會恢復原長，在彈簧恢復原長的過程中，彈簧彈力對箱子做正功，若此過程中箱子

落地，則此過程中箱子的機械能增加；若在彈簧恢復原長時箱子還未落地，由于箱子的速度

大于小球的速度，彈簧將被壓縮，彈簧彈力將對箱子做負功，箱子的機械能又會減小，但無

論何種情況，箱子在運動過程中除了重力做功外，彈簧彈力也在做功，因此箱子下落過程中，

箱子機械能不守恒，故A錯誤；

B.根據題意，此后小球運動過程中，箱子對地面的壓力最小值恰好為零，則對箱子有

%=mg

彈簧處于壓縮狀態，且為壓縮最短位置處，可知小球做簡諧振動，此時彈簧的壓縮量與小球

合力為零時彈簧的伸長量之和即為小球做簡諧振動的振幅，根據簡諧振動的對稱性可知，在

最低點

F合=Fk-mS

在最高點

F^=F^+mg=2mg

聯立解得

琮=3mg

而當小球運動至最低點時彈簧彈力有最大值，即為3"g,故B正確；

C.小球做簡諧振動，在平衡位置時有

F弊=kx=nig

解得

里

A-

k

即彈簧被拉伸X時小球受力平衡，處于簡諧振動的平衡位置，此處小球的速度有最大值，而

根據以上分析可知，小球在最高點時彈簧的彈力和在平衡位置時彈簧的彈力大小相同，只不

過在最高位置時彈簧處于被壓縮狀態，在平衡位置時彈簧處于被拉伸狀態，顯然壓縮量和伸

長量相同，則小球從最高點到達平衡位置下落的高度

k

而彈簧壓縮量和伸長量相同時所具有的彈性勢能相同，即小球zai最高點和在平衡位置時彈

簧的彈性勢能相同，則對小球由最高點到平衡位置根據動能定理可得

mg-2x=-m^x

故C正確；

D.箱子損失的機械能即為箱子、彈簧、小球所構成的系統損失的機械能，小球在平衡位置

時彈簧所具有的彈性勢能和在箱子未落下時彈簧所具有的彈性勢能相同，由能量守恒可得

2mg力=—mv^+NE

解得箱子損失的機械能

AE=2mgh------殳

故D正確。

故選BCD?

【例3】.如圖，一傾角為45。的光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一勁度系數為人的

輕質彈簧，自然狀態下彈簧上端距斜面頂端距離為將質量為機的物塊（可視為質點）從

斜面頂端由靜止釋放，經時間:彈簧的最大壓縮量為誓。已知彈簧彈性勢能表達式為

2k

丸=；履2,其中X是彈簧形變量，左為彈簧勁度系數，則下列說法正確的是（）

A.物塊速度為零時的壓縮量為走空

（昌\22

B.物塊的最大動能為機g與+等-三

、22kJ4K

C.物塊運動過程中的最大加速度為亞g

D.物塊自開始壓縮彈簧到分離前，做簡諧振動

【答案】BCD

【詳解】A.根據題意可知物塊速度為零時的壓縮量為迤追，故A錯誤;

B.物塊速度最大時，根據平衡條件

mgsin45°=Ax

從靜止釋放到物塊的動能最大過程，根據系統機械能守恒可得

mg^l+x)sin45°=^-ki+凰

解得物塊的最大動能為

22

1+gm

￡陣=mg，旦回

\22k/4k

故B正確;

C.彈簧壓縮量最大時，根據牛頓第二定律可得

h3"咫一加gsin45。=心。

2k

解得物塊的最大加速度為

故c正確;

D.根據簡諧運動的定義可知物塊開始壓縮彈簧后，到分離前做簡諧振動，故D正確。

故選BCD。

【例4］如圖甲，"笑臉彈簧小人”由頭部、彈簧及底部組成，將彈簧小人靜置于桌面上,

輕壓頭部后靜止釋放，小人不停上下振動，非常有趣.可將其抽象成如圖乙所示的模型，頭

部的質量為加,彈簧質量不計,勁度系數為上，底部的質量為已知當彈簧形變量為x時,

其彈性勢能丸=；丘,不計一切摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g,彈簧始終在彈性

限度內，下列說法中正確的是（)

頭部

彈簧

底部

甲

A.將彈簧小人靜置于桌面上,輕壓頭部后由靜止釋放，底部不離開桌面，下壓的最大

距離為登

B.將彈簧小人靜置于桌面上,輕壓頭部后由靜止釋放，底部不離開桌面，壓力做功的

最大值為管

C.若彈簧小人在振動過程中底部恰好不離開桌面，則彈簧的最大彈性勢能為平

D.若剛釋放時頭部的加速度大小為g,則小人在運動過程中頭部的最大速度為

【答案】ABC

【詳解】A.靜置于桌面的彈簧小人，彈簧壓縮量為％,則

kx0=mg

輕壓頭部后做簡諧運動，底部不離開桌面，彈簧的最大伸長量為毛，則

kxi

最大振幅為

4=%+再

則

/二返

2k

故下壓的最大距離為矍，故A正確；

B.從平衡位置緩慢下壓/時最大壓力為R有

F+mg=左（X。+4）

解得

「3

F=~mg

壓力做功的最大值為

.=叱/=9加2g2

28左

故B正確;

C.彈簧的最大壓縮量為

Ax=/+4

則彈簧的最大彈性勢能為

3*3=25腎

故C正確；

D.若剛釋放時頭部的加速度大小為g,設彈簧的壓縮量為工，則

kx；-mg=mg

解得

，—2mg

xo~~

k

頭部往上運動至彈簧壓縮量為％時頭部速度最大，則

2

|A；（X；-X0）="用

解得

故D錯誤。

故選ABC?

題型二簡諧運動的表達式和圖像的理解和應用

1.由圖像可獲取的信息

(1)振幅/、周期7(或頻率力和初相位班(如圖所示)。

(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。

(3)某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質

點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。

(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方

向相同。

(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。

2.簡諧運動的對稱性(如圖)

(1)相隔。=〃7(〃=1,2,3...)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同。

(2)相隔加=(〃+g)7(〃=0,1,2...)的兩個時刻，彈簧振子的位置關于平衡位置對稱，位移等

大反向(或都為零)，速度也等大反向(或都為零)。

【例1】如圖所示，是一個質點的振動圖像，根據圖像回答下列問題：

⑴振動的振幅；

⑵振動的頻率；

(3)在1=0.1s、0.3s、0.5s、0.7s時質點的振動方向;

(4)質點速度首次具有負方向最大值的時刻和位置；

(5)質點運動的加速度首次具有負方向最大值的時刻和位置；

(6)在0.6s至0.8s這段時間內質點的運動情況。

(7)振動質點離開平衡位置的最大距離；

(8)寫出此振動質點的運動表達式；

(9)振動質點在0~0.6s的時間內通過的路程；

(10)振動質點在，=0.1s、0.3s、0.5s、0.7s時的振動方向;

(11)振動質點在0.6?0.8s這段時間內速度和加速度是怎樣變化的？

(12)振動質點在0.4?0.8s這段時間內的動能變化是多少？

【答案】見解析

【解析】(1)振幅為最大位移的絕對值，從圖像可知振幅

A=5cm。

(2)從圖像可知周期T=0.8s,則振動的頻率

Hz=1.25Hz。

T0.8

(3)由各時刻的位移變化過程可判斷7=0.1s、0.7s時，質點的振動方向沿x軸正方向；f=0.3

s、0.5s時，質點的振動方向沿x軸負方向。

(4)質點在0.4s通過平衡位置時，首次具有負方向的速度最大值。

(5)質點在0.2s時處于正向最大位移處時，首次加速度具有負方向的最大值。

(6)在0.6s至0.8s這段時間內，從圖像上可以看出，質點沿負方向的位移不斷減小，說明質

點正沿著正方向由負向最大位移處向著平衡位置運動，所以質點做加速度減小的加速運動。

(7)由振動圖像可以看出，質點振動的振幅為5cm,即為質點離開平衡位置的最大距離。

(8)由此質點的振動圖像可知N=5cm,7=0.8s,(p=0,所以x=/sin(0f+9)=/sin(71=

5sin10.8Jcm=5sin(2.57r/)cmo

(9)由振動圖像可以看出，質點振動的周期為7=0.8s,0.6s=3x?,振動質點是從平衡位置

4

開始振動的，故在0~0.6s的時間內質點通過的路程為s=3x/=3x5cm=15cm。

(10)在?=0,1s時，振動質點處在位移為正值的某一位置上，但若從t=QAs起取一段極短的

時間間隔-0)的話，從圖像中可以看出振動質點的正方向的位移將會越來越大，由此可

以判斷得出質點在f=0.1s時的振動方向是沿題中所設的正方向。同理可以判斷得出質點在

f=0.3s、0.5s、0.7s時的振動方向分別是沿題中所設的負方向、負方向和正方向。

(11)由振動圖像可以看出，在0.6?0.8s這段時間內，振動質點從最大位移處向平衡位置運

動，故其速度是越來越大的；而質點所受的回復力是指向平衡位置的，并且逐漸減小的，故

其加速度的方向指向平衡位置且越來越小。

(12)由圖像可看出，在0.4?0.8s這段時間內質點從平衡位置經過半個周期又回到了平衡位

置，盡管初、末兩個時刻的速度方向相反，但大小是相等的，故這段時間內質點的動能變化

為零。

【例2】"五一"的大明湖波光粼粼，吸引了很多游客。湖面上一點O以0.1m振幅上下振動,

形成圓形水波（不考慮水波傳播過程中的振幅衰減），如圖所示，同一直線上/、。、8三點,

OA間距離為2.1m,OB間距離為1.5m。某時亥|。點處在波峰位置，觀察發現1.4s后此波

峰傳到/點，此時。點正通過平衡位置向上運動，04間還有一個波峰。將水波近似為簡諧

波。

（1）求此水波的傳播速度、周期和波長。

（2）以。點處在平衡位置向下振動為0時刻（此時各點已經起振），請畫出3點的振動圖

像。并判斷此時刻之后8.1s時B點的位移。

A0B

【答案】（1）v=1.5m/s,T=0.8s,2=1.2m；(2)y=-m

220

【詳解】（1）由題意可知

t()A=1?4s

x0A=2.Im

此水波的傳播速度為

V=^-

tOA

得

v=1.5m/s

此時OA間波形如圖所示

可得

XOA

得

2=1.2m

7-

V

得

7=0.8s

（2）可得

%8=：力

y=0.1cos—%(m)

得此時B點位移

［例3】一彈簧振子A的位移尤隨時間t變化的關系式為尤=0.1sin2.5/rt,位移x的單位為m,

時間，的單位為s,則（）

A.彈簧振子的振幅為0.2m

B.彈簧振子的周期為1.25s

C.在r=0.2s時，振子的運動速度為0

D.若另一彈簧振子B的位移x隨時間變化的關系式為x=0.2sin（2.5加+生），則B的振幅和

4

周期分別是A的振幅和周期的2倍

【答案】C

【詳解】AB.根據

x=0.1sin2.5^?

可知彈簧振子A的振幅為0.1m,周期為

則AB錯誤；

C.在/=0.2s時，振子的位移為

x=0.1sin2.5^-x0.2(m)=0.1m

可知此時振子處于最大位移位置，振子的運動速度為0,故C正確;

D.若另一彈簧振子B的位移x隨時間變化的關系式為x=°.2sm(2.5R+力’則B的振幅為

0.2m,周期為

則B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D錯誤。

故選Co

【例4】一個在x軸方向做簡諧運動的質點其部分振動圖像如圖所示，振動周期為7,則該

A.3AB.^2+V?jAC.(4-D.3----A

\7

【答案】c

【詳解】設質點振動方程為

x=4sin(d+eo)

當％=0時

V2...

—A=Asm(p0

解得

，時

、/y3

%=4sin(@三+。0)=—40~的路程

24+A--Ax2=4A—也A

<2?

故選Co

【例5】.一個小球與輕彈簧連接套在光滑水平細桿上，在4、5間做簡諧運動，0點為4B

的中點。以。點為坐標原點，水平向右為正方向建立坐標系，得到小球振動圖像如圖所示。

下列結論正確的是()

wwwv?—

III

III

III

III

AOB

A.小球振動的頻率是2HzB./=0.5s時，小球在/位置

C.f=1s時，小球經過O點向右運動D.小球的振動方程是x=10sin/rt(cm)

【答案】D

【詳解】A.小球的振動周期為2s,頻率

/=-Hz=0.5Hz

2

故A錯誤；

B.因為水平向右為正方向，f=0.5s時，小球在3位置。故B錯誤；

C.f=ls時，小球經過。點向負方向運動，即向左運動。故C錯誤；

D.由圖可得小球的振動方程

27r

x=lOsin-^-t(cm)=10sin(cm)

故D正確。

故選D。

【例6】.如圖甲所示質量為優的B木板放在水平面上，質量為2根的物塊A通過一輕彈簧

與其連接。給A一豎直方向上的初速度，當A運動到最高點時，B與水平面間的作用力剛好

為零。從某時刻開始計時，A的位移隨時間變化規律如圖乙，已知重力加速度為g,空氣阻

力不計，下列說法正確的是()

A.物塊A做簡諧運動，回復力由彈簧提供

B.物體B在4時刻對地面的壓力大小為mg

C.物體A在運動過程中機械能守恒

D.物體A的振動方程為＞=01sin|2兀/+

【答案】D

【詳解】A.物塊A做簡諧運動，回復力由彈簧的彈力和重力的合力來提供，A錯誤；

B.匕時刻物塊A在平衡位置，此時彈簧處于壓縮狀態，彈力為

F=2mg

對物體B受力分析有

然=F+mg

則可得外=3"g,由牛頓第三定律得物體B在4時刻對地面的壓力大小為3mg,B錯誤；

C.物體A在運動過程中除了受重力外，還受彈簧的彈力，彈力對物體A做功，故機械能不

守恒，C錯誤；

D.由圖乙可知振幅為

Z=10cm

周期為

T=1.0s

角速度為

0=牛=2〃rad/s

規定向上為正方向，打0時刻位移為0.05m,表示振子由平衡位置上方0.05m處開始運動，

所以初相為

n

%="o7

則振子的振動方程為

y=0.1sin(2^^+—)m

故D正確。

故選D。

題型三單擺及其周期公式

1.單擺的受力特征

7

(1)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，T0=—mgsin9=-^x=~kx,負號表示

回復力尸回與位移x的方向相反。

(2)向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，

尸向=尸1-冽geos仇

⑶兩點說明

2

①當擺球在最高點時，方向=如==0，FT=mgcosdo

②當擺球在最低點時，尸向=加學，尸向最大，尸r=mg+油彳。

2.周期公式7=2兀，的兩點說明

(1)/為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。

(2)g為當地重力加速度。

類型1單擺的受力特征及周期公式的應用

【例1】圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器

連接的計算機屏幕所顯示的尸一圖像，其中歹的最大值「axnLOZN,已知擺球質量

m=10Qg,重力加速度取9.8m/s2,兀2取9.8,不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的

是()

0.91.7t/s

O

甲乙

A.單擺周期為0.8s

B.單擺擺長為1.0m

C.尸的最小值%M=0-96N

D.若僅將擺球質量變為200g,單擺周期不變

【答案】CD

【詳解】A.由圖可知，單擺周期為T=L6s,選項A錯誤;

B.根據

T=2兀

g

可得

——7=0.64m

4/

單擺擺長為0.64m,選項B錯誤;

C.擺到最低點時

12

mgl(l-cos0)=—mv

可得

192

cose=—

1.96

則F最小值

Fmin=mgcos6=0.96N

選項C正確；

D.單擺周期與擺球的質量無關，若僅將擺球質量變為200g,單擺周期不變，選項D正確。

故選CDo

【例2】如圖，半徑為R光滑圓弧面上有一個質量為？小球，把它從最低點移開一小段距

離，放手后，小球以最低點為平衡位置左右擺動，且可近似認為其運動為簡諧振動。

（1）求小球做簡諧振動的周期T;

（2）已知做簡諧振動的物體，所受的回復力與其偏離平衡位置的位移存在正比例關系。求

小球做簡諧振動時回復力與偏離平衡位置位移的比例系數人是多少。（空氣阻力可忽略，

重力加速度為g,當偏離角度。很小時，可認為sinO=tand%,且可認為小球偏離平衡位置的

位移與小球到圓弧圓心的連線垂直）

【詳解】（1）小球做類單擺簡諧運動，則周期為

（2）對小球進行受力分析，如圖所示

重力沿切線方向的分力提供回復力

Fs=-/Mgsine

用X表示小球偏離平衡位置的位移，因。很小，所以

sin0?—

R

即

X

L^=-mg-

FK

回復力與其偏離平衡位置的位移存在正比例關系，所以小球做簡諧振動時回復力與偏離平衡

位置位移的比例系數為

R

【例3].如圖所示，已知該單擺的擺長為2.0m,擺球的質量為0.10