一、變力沿直線所作的功二、液體的壓力定積分在物理上的應用

利用元素法求總量U的步驟：第二步在[a,b]內任取一個典型小區間[x,x+dx]，U的元素（微元）第三步的近似值第一步選取積分變量（如x），確定積分區間（如[a,b]）“以常代變”計算相應于[x,x+dx]上部分量

一、變力沿直線所作的功設物體在連續變力F(x)作用下沿x軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區間上所作的功為

例1.一端固定，的力，解:（1）從100cm長壓縮為90cm長求外力各做多少功。壓縮另一端，設有一彈簧，原長100cm。今欲將彈簧（2）從70cm長壓縮為60cm長由虎克定律，彈性力為（l為壓縮量，k為倔強系數）由題目條件：彈性力：如果每壓縮1cm需要0.05牛頓

（1）建立如圖所示坐標系壓縮方向0.10.1取x為積分變量，則積分區間為[0,0.1]任取力：距離：功的元素：（焦耳）如果取彈簧上固定端為坐標原點

又解將坐標原點取在固定端處建立坐標系壓縮方向取x為積分變量，則積分區間為任取力：距離：功的元素：（焦耳）注意：隨著坐標系建立的不同，微元的形式也不同，但結果是相同的，恰當地建立坐標系

（2）建立如圖所示坐標系壓縮方向0.3取x為積分變量，則積分區間為[0.3,0.4]任取力：距離：功的元素：（焦耳）兩種情況下同樣是壓縮10cm，0.40.30.4，導致所做的功是7倍的關系但由于力的大小不同

解決變力做功問題的分析方法：選取x為積分變量，確定積分區間（2）在所考慮的區間內任取x位置下的力移動的距離功的微元（1）建立坐標系，，在原題的背景下找出（3）將功的微元作積分

例2.定量的氣體,求移動過程中氣體壓力所作的功。解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a處移動到點b

處(如圖),建立坐標系如圖.壓強p與體積V成反比,即作用在活塞上的力：所求功為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一活塞移動的距離：

例3.（2）要把容器中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐標系如圖重力一容器是由拋物線y=x2繞其軸旋轉一周而成，（1）容器的容積0.4（1）（2）任取，針對一薄層水力：距離：已知容器深為0.4m，求

面積為A的平板二、液體的壓力設液體密度為

深為h處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決.平板一側所受的壓力為??求壓力的關鍵是：求深度和面積

例4.密度為

的液體,

解:建立坐標系如圖.所論半圓的壓力元素：方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內盛半桶求桶的一個端面所受的壓力.任取，考慮小塊受的壓力液面下的深度：面積：R0

解決壓力問題的分析方法：（x軸正向向下，y軸的確定積分區間（2）在所考慮的區間內任取x位置在液面下的深度小塊薄片的面積壓力的微元（1）建立坐標系，在原題的背景下找出（3）將壓力的微元作積分選取x為積分變量，選取使原點在圖形的對稱中心），

例5.如例4，當桶內充滿液體時,奇函數求桶的一個端面所受的壓力.解:建立坐標系如圖.圓的方程為任取液面下的深度：面積：RR

例6.一塊高為b，底為a的三角形薄片垂直沉沒在密度為求薄片一側所受的壓力。解:建立坐標系如圖.任取液面下的深度：面積：的液體中，已知頂在下，底與液面平行且相距h，設小矩形一邊長為k，則由相似三角形關系，所以b0b0

思考與練習提示:作x軸如圖.

為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由抓起污x提升dx所作的功為米重50N,

提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度