第六章多面體和旋轉體6.1多面體及其表面積6.2旋轉體及其表面積6.3多面體和旋轉體的體積6.1多面體及其表面積6.1.1多面體6.1.2棱柱6.1.3棱錐6.1.4棱臺6.1.5棱柱、棱錐、棱臺的直觀圖6.1.6直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積6.1.7正多面體6.1.1多面體由幾個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體．圍成多面體的各個平面多邊形叫作多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫作多面體的棱，棱和棱的公共點叫作多面體的頂點，連結不在同一個面內的兩個頂點的線段叫作多面體的對角線。請說出如圖各多面體的面數、棱數和頂點數．6.1.2棱柱棱柱的概念和性質有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的公共邊都互相平行的多面體叫作棱柱．這兩個互相平行的面叫作棱柱的底面，簡稱底．其余各面叫作棱柱的側面．相鄰側面的公共邊叫作棱柱的側棱．兩個底面間的公垂線段叫作棱柱的高．請指出圖中的棱柱的底面、側面、側棱和高．由棱柱的定義，容易得出棱柱具有下面的一些性質：（1）側棱都相等，側面都是平行四邊形．（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（圖甲）．（3）經過棱柱的不在同一個側面上的兩條側棱的截面叫作棱柱的對角面．棱柱的對角面都是平行四邊形（圖乙）．長方體的對角線有下面的性質：

定理長方體任意一條對角線長度的平方等于它的三度的

平方和．

推論長方體的四條對角線等長．6.1.3棱錐棱錐的概念和性質有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體叫作棱錐．這個多邊形叫作棱錐的底面，其余各面叫作棱錐的側面，相鄰側面的公共邊叫作棱錐的側棱，各側面的公共頂點叫作棱錐的頂點，從頂點到底面間的垂線段叫作棱錐的高.請指出圖中棱錐的底面、側面、側棱、頂點和高．棱錐截面的性質定理如果一個棱錐被平行于底面的一個平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比．6.1.3棱錐正棱錐如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底而上的正射影是底面的中心，那么這樣的棱錐叫作正棱錐．正棱錐有下面的一些性質：（1）正棱錐各側棱都相等，各個側面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底邊上的高都相等，它叫作正棱錐的斜高．（2）正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的正射影組成一個直角三角形；高、側棱和側棱在底面上的正射影也組成一個直角三角形.6.1.4棱臺棱臺的概念和性質用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫作棱臺．原棱錐的底面和截面分別叫作棱臺的下底面和上底面．其他各面叫作棱臺的側面，相鄰側面的公共邊叫作棱臺的側棱，上、下底面之間的公垂線段叫作棱臺的高．請指出圖6-16的棱臺的底面、側面、側棱和高．由棱臺的定義容易得出棱臺具有下面的一些性質：（1）棱臺的各條側棱延長后相交于一點．（2）棱臺的兩個底面是相似多邊形．（3）棱臺的各個側面都是梯形．6.1.4棱臺正棱臺由正棱錐截得的棱臺叫作正棱臺．如圖的棱臺就是一個正四棱臺．

正棱臺除具有棱臺的性質外，還有下面一些性質：（1）正棱臺的側棱都相等，側面是全等的等腰梯形．各等腰梯形的高都相等，它叫作正棱臺的斜高．（2）正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是相似的正多邊形．（3）正棱臺的兩底面中心連線（正棱臺的高）、側棱和兩底面相應的半徑組成一個直角梯形；兩底面中心連線、相應的邊心距和斜高也組成一個直角梯形．6.1.6直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積

直棱柱的表面積把棱柱的側面沿一條側棱剪開后展在一個平面上，所得到的圖形叫作棱柱的側面展開圖，展開圖的面積就是棱柱的側面積，直棱柱的側面展開圖是一個矩形（如圖），這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h，由此得到下面的定理：定理直棱柱的側面積等于它的底面周長和高的乘積，即S直棱柱側=ch其中，c和h分別表示直棱柱的底面周長和高．直棱柱的全面積等于它的側面積與兩個底面面積的和．6.1.6直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積正棱錐的表面積定理正棱錐的側面積等于它的底面周長和斜高的乘積的一半．即

S正棱錐側=ch’/2

其中，c和h'分別表示正棱錐的底面周長和斜高，正棱錐的全面積等于它的側面積與底面積的和．正棱臺的表面積定理正棱臺的側面積等于它的兩個底面周長的和與斜高的乘積的一半．即其中，c、c'和h'分別表示正棱臺的兩個底面周長和斜高．正棱臺的全面積等于它的側面積與兩個底面積的和．

6.1.7正多面體在正多面體里，所有的棱都相等，所有的二面角都相等．正多邊形有無數多種，但作為正多面體的面，只可能是正三角形、正方形和正五邊形三種．以正三角形作面，可以圍成正四面體、正八面體和正二十面體三種；以正方形作面，只能圍成正六面體；以正五邊形作面，只能圍成正十二面體．可以證明，正多面體只有以上這五種.6.2旋轉體及其表面積6.2.1旋轉體6.2.2圓柱、圓錐、圓臺的直觀圖6.2.3圓柱、圓錐、圓臺的表面積6.2.4球6.2.1旋轉體旋轉體一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所成的曲面叫作旋轉面，這條定直線叫作旋轉軸，無論旋轉到什么位置，這條曲線都叫作旋轉面的母線．圖中，直線a是旋轉軸，曲線l（不論旋轉到什么位置）是母線．由旋轉面或旋轉面和平面所圍成的封閉的幾何體叫作旋轉體，生活中常見的圓鋼、鉛錘、糧囤、救生圈等都是旋轉體(如圖).6.2.1旋轉體圓柱、圓錐、圓臺的概念和性質分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形的垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體，分別叫作圓柱、圓錐、圓臺．旋轉軸叫作它們的軸，在軸上的這條邊叫作它們的高，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫作它們的底面，不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫作它們的側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫作側面的母線（簡稱母線）．圓柱、圓錐、圓臺有下面的性質：（1）平行于底面的截面都是圓．（2）過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形和等腰梯形．（3）圓臺的各條母線的延長線相交于一點．6.2.3圓柱、圓錐、圓臺的表面積定理如果圓柱的底面半徑是r，周長是c，母線長為l，那么它的側面積是定理如果圓錐底面半徑是r，周長是c，母線長為l，那么它的側面積是定理如果圓臺的上、下底面半徑分別是r'、r，周長分別是c'、c，母線長是l，那么它的側面積是圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系可表示如圖6.2.4球球的概念和性質半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周所圍成的曲面叫作球面．球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球．旋轉出球面的半圓的圓心叫作球心．連結球心和球面上任意一點的線段叫作球的半徑，連結球面上任意兩點并且經過球心的線段叫作球的直徑．圖中的球中，指出球心、半徑、直徑各是什么？球可以用表示它的球心的字母來表示，例如球O．用一個平面去截一個球，截面是圓面，球的截面有下面的一些性質：（1）球心和截面（不過球心）的圓心的連線垂直于截面（2）球心和截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r，有下面的關系：

r=6.2.4球球的表面積

定理球面面積等于它的大圓面積的4倍．即其中，R是球的半徑．6.3多面體和旋轉體的體積6.3.1體積的概念和祖暅原理6.3.2棱柱、圓柱的體積6.3.3棱錐、圓錐的體積6.3.4棱臺、圓臺的體積6.3.5球的體積6.3.1體積的概念和祖暅原理幾何體占有空間部分的大小叫作它的體積．祖暅原理夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．

鏈接：我國古代數學家祖暅（是我國南北朝時代著名的數學家）早在公元五世紀，就在實踐的基礎上，總結出這個原理，并首先使用這個原理巧妙地證明了球的體積公式，這是我國古代數學研究的燦爛成果．為了紀念祖暅的這一偉大功績，我們把這個公理叫作祖暅原理，在國外，直到十七世紀，才由意大利數學家卡發雷利（1598～1647）提出這一事實．6.3.2棱柱、圓柱的體積設有底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱和圓柱，取一個與它們底面積相等、高也相等的長方體，把它們的下底放在同一個平面上，因為它們的上底和下底平行，并且高都相等，所以它們的上底都在和平面平行的同一個平面內（如圖）.定理柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h的乘積，即推論圓柱的底面半徑是r，高是h，它的體積是6.3.3棱錐、圓錐的體積定理等底面積等高的兩個錐體的體積相等．定理三棱錐的體積等于它的底面積S與高h的乘積的三分之一定理任意錐體（棱錐、圓錐）的體積都等于它的底面積S與高h的乘積的三分之一．推論如果圓錐的底面半徑是r，高是h，那么它的體積是6.3.4棱臺、圓臺的體積定理如果臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面的面積分別是S'、S，高是h，那么它的體積是推論如果圓臺的上、下底面半徑分別是r'、r，高是h，那么它的體積是柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系，可用下圖表示：6.3.5球的體積定理球的體積等于它的半徑R的立方與的乘積的三分之四．即推論球的體積等于它的直徑D的立方與的乘積的六分之一，即本章小結本章的主要內容是多面體和旋轉體中常見的柱、錐、臺、球的概念、性質、直觀圖的畫法以及面積、體積的計算，重點研究了應用比較廣泛的直棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球．這些幾何體的性質主要指它們的元素及特殊位置的截面的形狀、大小和位置關系．這些性質都可以在第五章線面關系的基礎上由定義推出來．具體包括：它們的棱、面的性質；平行于底面的截面的性質；經過側棱（或軸線）的截面（或它的一部分）的性質，通過對這些性質的研究，我們對這些幾何體就有了一個比較全面深刻的認識．本章介紹了立體圖形兩種直觀圖的畫法：斜二測畫法和正等測畫法．畫圖時，可以根據情況任選一種，畫多面體時，常用斜二測畫法．畫旋轉體時，常用正等測畫法．畫多面體和旋轉體組合圖形時，多用正等測畫法．這時，要注意不要兩種方法混用．直棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的側面都可以展成平面圖形，我們可以通過展開圖求出這些多面體和旋轉體的側面積和表面積．利用展開圖還可以做出這些幾何體的模型．球面不能展成平面圖形．本章中有關多面體和旋轉體的體積公式，都是經過邏輯推理得到的．推理的基礎是祖暅原理和長方體的體積定理．其中長方體的體積定理是推導其他體積公式的基礎，而祖暅原理起著轉化的作用，它把求未知幾何體體積的問題轉化為已知幾何體的體積問題，推導三棱錐的體積公式時，使用了對幾何體割補的方法，這種方法用途廣泛，應該注意理解和體會．由于柱體、錐體可以看作臺體的特殊形式，所以它們的側面積公式和體積公式可以分別用臺體的側面積公式和體積公式來概括，幾何體之間的側面積公式和體積公式的這種關系，反映了這些幾何體之間的辯證關系．各個面都是全等的正多邊形，并且從每個頂點出發的棱數都相等的多面體叫作正多面體，正多面體只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．本章幾何體的體積與其表面積的公式較多，為了便于記憶和應用，把它們列成下面的公式表．圖形側面積公式體積公式多面體旋轉體本章內容與第五章直線與平面的知識及初中平面幾何的內容有密切的聯系．在解題時，常通過適當的方法（如借助于正棱錐、正棱臺中的一些直角三角形和直角梯形，通過平移、投影和作截面等），把立體問題轉化為平面問題來解決．練習題填空（1）正方體的對角線長為l，則它的全面是_______．（2）圓柱的一個底面積與它的軸截面面積之比是:4，則這軸截面的兩條對角線的交角是________度．（3）三棱錐的三條側棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的_______心．（4）等邊圓錐的母線長為a，它的側面面積是_________，體積是____．（5）圓臺的兩底面半徑和母線長的比為1:4:5，高是8cm，它的體積是________．（6）過球半徑的中點作一個垂直于這半徑的截面，則這個截面圓的面積與大圓面積的比是___________．選擇題（1）球、球的外切圓柱、球的外切等邊圓錐的體積的比為____．A.6:4