第二章方程與不等式

重難點02方程與不等式（組）有關的含參問題

（2種命題預測+17種題型匯總+專題訓練）

【題型匯總】

已知方程的解求參數

已知方程的解求代工的值

同解方程

■方百滿足的情況共

方的雌問題

方程有解、無解問題

.已知分式方程的增根求參數

利用方程解的范圍求參數的取值范圍

曝根的情況確定一歷程中字母的m/s;值范圍

不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值

根的判別式與韋達定理綜合

與含參方程有關的新定義問題

已知解集求物的值范圍

已知螃解的情況求參數的值或取值范圍

已知不等式有/無解求參數的取值范圍

不等式（組）含參問題（5種）

不等式與方稗s合求參數的取值范圍

與含參（組）有關的新定義問題

類型一方程含參問題

【命題預測】

1）.一次方程組的含參問題一是方程組與不等式的聯系時，產生的未知數的正數解或解的范圍，

解決這類問題是把所給的參數作為常數，利用二元一次方程組的解法代入消元法、加減消元法,

先求出二元一次方程組的解，再結合所給的條件轉化為對應的不等式問題;二是利用整體思想,

求代數式的值，結合所給的已知條件和所求問題，找到兩者之間的聯系，利用整體思想和轉化

思想加以解決

2）.分式方程的參數問題主要是分式方程無解、有正數解或負數解、整數解的問題，解決此類問

題的關鍵是化分式方程為整式方程，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程

中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的

解.

3）.一元二次方程的參數問題主要是含有參數的一元二次方程的解一元二次方程的解的情況、一

元二次方程的公共解，針對一元二次方程的參數，常利用韋達定理、根的判別式來解決，同時

注意二次項系數不能為零.若關于x的一元二次方程有兩個根分別為xi、X2,

則Xl+X2=-2,石工,=工注意運用根與系數關系的前提條件是△?（）,知一元二次方程，求關于方

aa

程兩根的代數式的值時，先把所求代數式變形為含有%+%,石々的式子，再運用根與系數的關

系求解.

題型01已知方程的解求參數

1.（2021?重慶?中考真題）若關于x的方程瞪+a=4的解是尤=2,則a的值為.

2

2.（2024?四川涼山?中考真題）若關于x的一元二次方程（a+2）/+x+a-4=0的一個根是％=0,則a的

值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

3.（2021.浙江金華?中考真題）已知?是方程3x+2y=10的一個解，則根的值是

4.（2024?江西九江?模擬預測）已知x=2是分式方程區=工的解，則根的值為______.

x-6x

5.（2023?河北?中考真題）根據下表中的數據，寫出。的值為.b的值為.

6.（2024.湖北.模擬預測）若關于了的一元二次方程%2+/7%一4=0有一個根是％=2,求b的值及方程的另

一個根.

題型02已知方程的解求代數式的值

7.（2024?云南怒江?一模）已知根是方程%2—3%+1=0的根，求代數式m3—8m+4的值（）

A.1B.3C.4D.7

8.（2022?四川雅安?中考真題）已知｛：［；是方程ax+by^3的解，則代數式2a+46-5的值為—.

9.（2024?廣東中山?模擬預測）已知片;2是方程組［/丁by=1的解，求代數式（a+b）（a-b）的值.

10.（2022?廣西?中考真題）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代數式6a-

2b-1的值.”可以這樣解：6a-2b-1=2（3a-6）—1=2x2—1=3.根據閱讀材料，解決問題：若尤=2

是關于x的一元一次方程＜2久+b=3的解，貝!|代數式4a2+4ab+人2+4a+2b-1的值是.

H.（2024?湖北十堰?三模）若九是一元二次方程式2-％—3=0的兩個實數根，多項式24一機九十2m的

值是.

題型03同解方程

12.（2024涼州區三模）已知關于x的方程三%=%+；與3%--1）=5的解相同，則m=.

13.（20241安順市模擬）關于x的兩個方程第2一久-6=0與二一=義有一個解相同，則m=.

14.（2020?河北邢臺?二模）已知關于x的方程5x-2=3%+16的解與方程4a+1=4（%+a）-5a的解相同，

則。=；若［m|表示不大于小的最大整數，那么g-1］=.

15.（2024?貴州畢節三模）已知關于x,y的二元一次方程組二字=笠的解也是方程3x-y=26的解，

則k的值為（）

A.-4B.-2C.2D.無法計算

題型04根據方程解滿足的情況求解

16.（2023?河北滄州?模擬預測）對于a、b定義a團6=義，已知分式方程比團（-1）=/的解滿足不等式

a—3—3x

（2-a）x-3>0,則a的取值范圍是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

17.（2023?江蘇無錫?二模）若關于久，y的二元一次方程組［二；5）2的解滿足x+y>0,則小的取值

范圍.

18.（2023金鄉縣一模）已知X］、&是方程——kx+-k（k+4）=。的兩個根,且滿足（勺—1）（%—1）=登，

424

則k=.

19.（2023?四川眉山?中考真題）已知關于的二元一次方程組｛?：；［（；廣；的解滿足x-y=4,則m

的值為（）

A.0B.1C.2D.3

20.（2024?廣東汕頭?一模）若關于x,y的方程組的解滿足％+y=—%則4皿+2"的值為

（）

A.8B.-C.6D.-6

8

題型05方程的整數解問題

21.（2022?廣東揭陽?模擬預測）如果關于工,y的方程組=黑的解是整數,那么整數zn的值為（）

J（6x+my—26

A.4,-4,-5,13B.4,-4,-5,-13

C.4,-4,5,13D.-4,5,-5,13

22.（19-20八年級上.重慶沙坪壩?期末）若二次根式7^二泥有意義，且關于無的分式方程2有正

1-xX-1

數解，則符合條件的整數機的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

23.（2024.河北保定.一模）若關于尤的方程7nx+x=4的解是整數,寫出一個滿足條件的正整數m的值:

24.（2024?遼寧?模擬預測）若關于x的一元二次方程（k-2）x2-2x+2=0無實數根，則整數k的最小值

為.

題型06方程有解、無解問題

25.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關于x的分式方程生-2無解，則上的值為（）

X-33-X

A.k=2或k=-1B.k=-2C.々=2或k=1D.k=-1

26.（2024?遼寧丹東?模擬預測）已知關于x的分式方程型i=a有解，則a的取值范圍是

X+1

27.（2024.四川綿陽.二模）若關于x的分式方程巳=1有解，且關于y的方程丫2一2丫+血=0有實數根，

則TH的范圍是.

28,（2021?上海?中考真題）若一元二次方程2%2一3%+。=0無解，則c的取值范圍為.

29.（2024?安徽六安?模擬預測）已知關于％的一元二次方程％2-kx+k2=3有解.

（1）當左=0時，方程的解為；

（2）若根是該一元二次方程的一個根，令y=-瓶2+々7n+憶2,則y的最大值和最小值的和為.

30.（2024九年級下?全國?專題練習）小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：—+3=

X-2

1

2-x'

（1）她把這個數“？”猜成5,請你幫小華解這個分式方程；

（2）小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x=2,原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”

代表的數是多少？

題型07已知分式方程的增根求參數

31.（2023?山東德州?模擬預測）已知關于x的分式方程二yt八=工時出現增根，則根的值可能是

A.-6B.-3C.-2D.1

32.（2023?四川巴中?中考真題）關于％的分式方程把;+m=3有增根，則租=.

X-22-X---------

33.（2023?四川樂山?模擬預測）已知關于無的分式方程上;+三=1.

x+2x2-4

（1）當ni=4時，解這個分式方程；

（2）若方程有增根，求機的值.

題型08利用方程解的范圍求參數的取值范圍

34.（2022?四川德陽?中考真題）如果關于久的方程號=1的解是正數，那么根的取值范圍是（）

X-1

A.m>—1B.m<—1且m—2C.m<—1D.m>—1且mH0

35.（2023?江蘇蘇州?三模）關于工的一元二次方程％2+（q+4）x+3a+3=0有一個大于一2的非正數根，那

么實數a的取值范圍是.

36.（2023?浙江杭州?一模）己知關于久的分式方程/+2=1的解是非負數,則m的取值范圍是,m=4

x-11-x

時，分式方程的解為.

37.（2023九年級?全國?專題練習）當初取何值時，關于x的方程|x—1=6m+5（x—爪）的解是非負數？

38.（2023?陜西西安?三模）已知關于x、y的二元一次方程組「：1j3七，它的解是正數.

（1）求相的取值范圍；

（2）化簡：|/n-2|—（Vm+I）2——1）2.

39.（22-23九年級上?北京東城?期末）已知關于x的一元二次方程/+（1—2小江+瓶2-7n=o.

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若此方程的兩個實數根都是正數，求小的取值范圍.

題型09根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

40.（2024?山東泰安?中考真題）關于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實數根,則實數k的取值范圍是（）

999Q

A.fc<—B.kW-C./c之一D./c<—

8888

41.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）關于％的一元二次方程（血-2）%2+4%+2=0有兩個實數根，則

用的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.m之一4且7nH2D.m44且znH2

42.（2024.吉林長春?中考真題）若拋物線y=%2-%+c（c是常數）與久軸沒有交點，貝k的取值范圍是.

43.（2024?四川遂寧?中考真題）已知關于x的一元二次方程/一（巾+2）x+m-1=0.

（1）求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數根；

（2）如果方程的兩個實數根為X1,久2，且以+以-久1久2=9,求m的值.

題型10不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值

44.（2024?四川樂山?中考真題）若關于x的一元二次方程/+2%+2=0兩根為/、%且已+2=3,則

p的值為（）

22

A.--B.-C.-6D.6

33

45.（2023?湖北黃岡?中考真題）已知一元二次方程——3x+k=0的兩個實數根為萬］,久2，若/久2+2/+

2X2=1,則實數k=.

46.（2023?湖北?中考真題）已知關于尤的一元二次方程產一（2m+l）x+機？+7n=0.

（1）求證：無論相取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；

⑵設該方程的兩個實數根為a,b,若（2a+6）（a+2b）=20,求相的值.

題型11根的判別式與韋達定理綜合

47.（2024?四川眉山?二模）已知關于光的一元二次方程/-3x=1-3nl有實數根.

（1）求7?1的取值范圍；

（2）設方程兩實數根分別為修、久2,且滿足“12+與2-久1久2W15,求小的取值范圍.

48.（2024?湖北隨州?一模）已知關于尤的一元二次方程/+a久+a—1=0.

（1）求證：該方程總有實數根；

（2）設該方程的兩個實數根分別為%,x2,若均>0,x2<0,求。的取值范圍.

49.（2024?山東濰坊?二模）小亮和小剛對關于x的一元二次方程a/+版一a一工=0進行了如下分析：

a

小亮：“對于任意實數a,b,該方程總有兩個不相等的實數根.”

小剛：“該方程的兩個實數根的符號不相同.”

請判斷小亮和小剛的說法是否正確并說明理由.

題型12與含參方程有關的新定義問題

50.（2023?廣東江門?一模）定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程

為該不等式組的相伴方程.若方程8-x=x、7+x=3（x+J都是關于尤的不等式組的相伴

方程，則相的取值范圍為.

51.（2024?江蘇連云港?二模）定義新運算“a*b”：對于任意實數a,b,都有a*b=ab+l,其中等式右邊是

通常的加法和乘法運算.例如：3*4=3x4+1=13.若關于x的方程x*（kx+1）=0有兩個實數根，則

實數k的取值范圍是—.

52.（2024?四川瀘州二模）對于a、b定義a*公六,己知分式方程x*（-1）=&的解滿足不等式

（2-a）x-3>0,則a的取值范圍為.

類型二不等式（組）含參問題

【命題預測】

1）.不等式、不等式組的參數問題主要涉及不等式（組）有解問題、無解問題、解的范圍問題，解

決此類問題，要掌握不等式組的解法口訣以及在數軸上熟練表示出解集的范圍，已知不等式

（組）的解售情況，求字母系數時，一般先視字母系數為常數，再逆用不等式（組）解集的定義，

反推出含字母的方程，最后求出字母的值.

題型01已知解集求參數的值或取值范圍

53.（2024.浙江?中考真題）關于x的一元一次不等式組｛［二的解為x>2,則根的取值范圍為.

X>a

X+11々丫的解集為X>-1,貝b的取值范圍____.

｛~~1<X

55.（2024?湖北恩施?一模）關于x的一元一次不等式組｛個二：/；的兩個不等式的解集在數軸上表示如圖，

則a-b的值為.

—?——J?1―?A

-2-102

rx+2_x

56.（2023?湖北黃石?模擬預測）若數a使關于久的不等式組32）］的解集為刀<一2,則符合條件的數

12（%—a）<0

a的取值范圍為.

題型02已知整數解的情況求參數的值或取值范圍

57.（2024?四川達州?模擬預測）若關于尤的不等式組的整數解共有三個,則a的取值范圍是（）

A.-3Va<-2B.2<a<3C.-3<aV—2D.54a46

58.（2022?江蘇南通?一模）若關于尤的不等式組｛?1：：：的最大整數解是2,則實數a的取值范圍是（）

A.1<a<2B.1<a<2C.2<a<3D.2<a<3

「4-2,xN0

59.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）關于x的不等式組卜丁恰有3個整數解，則。的取值范圍

\~x—a>u

12

是.

x—2x—1

?。ㄘ∮星抑挥腥齻€整數解，則機的取值范

｛2x—m<2—x

圍是.

題型03已知不等式有/無解求參數的取值范圍

61.（2023?山東泰安?二模）若關于x的不等式組。言，工1有解，貝必的取值范圍為.

62.（2024?江蘇宿遷?一模）若不等式組成;有解，則a的取值范圍是.

（x-a<0

63.（2024?江蘇南通?一模）若關于x的不等式組1丁無解，則。的取值范圍為

l3X-2-6

P+1v'_1

64.（2023?黑龍江綏化?模擬預測）若不等式組亍-2-1無解，則m的取值范圍為______.

Ix<4m

題型04不等式與方程綜合求參數的取值范圍

65.（2022?云南昆明?三模）若整數a使關于x的方程x+2a=1的解為負數，且使關于的不等式組

（----（%—CL）>0

22x+i無解，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）

（"TN丁

A.6B.7C.9D.10

5汽23（x+2）

（—x+3=a有且只有2個整數解，且關于y的方程5+即=

2y-7的解是負整數，則符合條件的所有整數a的和是（）

A.33B.28C.27D.22

67.（2023?廣東廣州?二模）定義：不大于實數尤的最大整數稱為x的整數部分，記作[燈，例如[3.6]=3,

[-V3]=-2,按此規定,若1,則x的取值范圍為