類型6方案設(shè)計(jì)題

1.方案設(shè)計(jì)型題是通過設(shè)置一個實(shí)際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求考生運(yùn)用學(xué)過的技

能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案.有時也給出幾個不同的解決方案，要求判斷哪個方案較優(yōu)，它主

要有經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)題，測量類方案設(shè)計(jì)題，分割與網(wǎng)格方案設(shè)計(jì)題.

2.方案設(shè)計(jì)題屬于應(yīng)用性開放問題.因?yàn)樗N近生活，具有較強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，解決此類問題時要慎于思考，

并能在實(shí)踐中對所有可能的方案進(jìn)行羅列與分析，得出符合要求的一種或幾種方案.

3.一般有多種供選擇的解決問題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類問題類似于求最大值或最小值的

問題，但解決的方法較多，一般與方程、不等式、函數(shù)的內(nèi)容有關(guān).

4.一般限定條件，限定測量工具，讓同學(xué)們設(shè)計(jì)一個可行的方案，對某一物體的長度進(jìn)行測量并計(jì)算，大多數(shù)

以利用直角三角形進(jìn)行求解，要注意的是設(shè)計(jì)出來的方案要有可操作性.

5才梟作類圖案設(shè)計(jì)題包含的內(nèi)容比較多，如擴(kuò)建方案設(shè)計(jì)、拼圖方案設(shè)計(jì)、分割方案設(shè)計(jì)、鑲嵌方案設(shè)計(jì)、面

積分割方案設(shè)計(jì)、分割與拼圖方案設(shè)計(jì)、鋪設(shè)方案設(shè)計(jì)、網(wǎng)格圖案設(shè)計(jì)等，它把作圖的技能考查放在一個實(shí)際生活

的大背景下，考查考生的綜合創(chuàng)新能一力，給考生的創(chuàng)造性思維提供了廣闊的空間與平臺，此類題常以某些規(guī)則的

圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形.

【例1】如圖是由小正方形組成的9x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).△ABC的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用

無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中,D,E分別是邊AB,AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn).先將點(diǎn)B繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)F,畫出點(diǎn)F,再在AC

上畫點(diǎn)G,使DG〃:BC;

⑵在圖2中，P是邊AB上一點(diǎn)/BAC=a.先將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段AH,畫出線段AH,

再畫點(diǎn)Q,使P,Q兩點(diǎn)關(guān)于直線AC對稱.

【解】(1)畫圖如圖1

菌1

注：圖1中BF可以不畫；點(diǎn)6可以用平行線生成分點(diǎn)的方法畫出.

[例2]2021年，“廣漢三星堆”又有新的文物出土，景區(qū)游客大幅度增長為了應(yīng)對暑期旅游旺季，方便更多的

游客在園區(qū)內(nèi)休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅.經(jīng)了解,該公司出售弧形椅和條形椅兩種類

型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍，用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元購買條形

椅的數(shù)量多10張.

(1)弧形椅和條形椅的單價分別是多少元？

(2)已知一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計(jì)劃共購進(jìn)300張休閑椅，并保證至少增加1200

個座位.請問：應(yīng)如何安排購買方案最節(jié)省費(fèi)用？最低費(fèi)用是多少元？

【解】⑴設(shè)弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元，

由題意得理=鬻+10

解得x=160

經(jīng)檢驗(yàn)，x=160是原分式方程的解，且符合題意.

；.0.75x=120(元).

答：弧形椅的單價為160元/張，條形椅的單價為120元/張.

(2)設(shè)購進(jìn)弧形椅m張，則購進(jìn)條形椅(300-m)張，

由題意得5m+3(300-m)>l200,

解得mN150.

設(shè)購買休閑椅所需的費(fèi)用為W元，

則W=160m+120(300-m),

即W=40m+36000.

VW隨m的增大而增大，

.?.當(dāng)m=150時,W有最小值,W最小=40x150+36000=42000(元).

答：購進(jìn)150張弧形椅，150張條形椅最節(jié)省費(fèi)用，最低費(fèi)用是42000元.

1.甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,B,C,D,E,每個包裹的

重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號I號產(chǎn)品重量/噸II號產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準(zhǔn)備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運(yùn)送到乙工廠.

⑴如果裝運(yùn)的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運(yùn)方案（寫出要裝運(yùn)包

裹的編號）；

⑵如果裝運(yùn)的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運(yùn)的II號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運(yùn)方案—

（寫出要裝運(yùn)包裹的編號）.

2.圖1,圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端

點(diǎn)均在格點(diǎn)上，分別按要求畫出圖形.

（1）在圖1中畫出等腰三角形ABC,且點(diǎn)C在格點(diǎn)上.（畫出一個即可）

⑵在圖2中畫出以AB為邊的菱形ABDE,且點(diǎn)D,E均在格點(diǎn)上.

3.為了提高廣大職工對消防知識的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動,

本次活動擬設(shè)一、二等獎若干名，并購買相應(yīng)獎品.現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購買獎品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎

獎品單價與二等獎獎品單價之比為4:3.當(dāng)用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件.

⑴求一、二等獎獎品的單價；

（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式?

4.如圖，在6x4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點(diǎn)線段(端點(diǎn)在格點(diǎn)上),且線段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)A,B,C,D

重合.

⑴在圖1中畫格點(diǎn)線段EF,GH各一條，使點(diǎn)E,F,G,H分別落在邊AB,BC,CD,DA上，且EF=GH,EF不平行GH.

(2)在圖2中畫格點(diǎn)線段MN,PQ各一條，使點(diǎn)M,N,P,Q分別落在邊AB,BC,CD,DA上，且PQ=小MN.

圖1圖2

5.如圖①，要在一條筆直的路邊1上建一個燃?xì)庹荆?同側(cè)的A,B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確

定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短.

-B

⑴如圖②作出點(diǎn)A關(guān)于1的對稱點(diǎn)A：線段AB與直線1的交點(diǎn)C的位置即為所求,即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?

所得路線ACB是最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C,連接AC,BC,證明AC+CB<AL+C'B..

請完成這個證明.

（生態(tài)保護(hù)區(qū)）5

圖④1

⑵如果在A,B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域.請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)

管道的方案（不需說明理由）.

①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

壓軸預(yù)測

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1,1）,B（4,2）,C（3,5）.

⑴請畫出4ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△AiBiCi;

⑵以。為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，目位似比為1;

⑶借助網(wǎng)格，利用無刻度直尺畫出線段CD,使CD平分△ABC的面積.（保留確定點(diǎn)D的痕跡）.

2.某公司在甲、乙工廠代工同一產(chǎn)品，表1是兩個工廠產(chǎn)品的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，表2是兩個工廠的代工記錄（a,b為

常數(shù)，m,n都為不大于10的正整數(shù)），代工費(fèi)用由加工費(fèi)和制版費(fèi)兩部分組成，制版費(fèi)與件數(shù)無關(guān).已知甲、乙兩

工廠第一次代工合計(jì)500件，且兩工廠收費(fèi)相同.

表1

收費(fèi)內(nèi)容

單件加工費(fèi)制版費(fèi)

工廠

甲10元2000元

乙25元0

表2

時間甲工廠代工記錄乙工廠代工記錄

第一次a件b件

第二次(a+100m)件(b+100n)件

⑴求a,b的值；

⑵若m+n=12,第二次分配到甲工廠的代工件數(shù)小于分配到乙工廠的代工件數(shù)的2倍，求甲、乙兩工廠第二次

代工總費(fèi)用的最小值；

(3)若甲工廠代工效率為20件每小時，乙工廠代工效率為40件每小時，第二次甲、乙兩工廠代工總費(fèi)用估計(jì)在

42000到44000元之間(包括42000,44000),求出所有滿足條件的代工分配方案，并指出哪種方案代工

總時長最短.

3.問題提出

⑴如圖1,在口ABCD中,/A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且DF=5.求四邊形ABFE的

面積.(結(jié)果保留根號)

問題解決

(2)某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公

園ABCDE.按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O、P、M、N分別在

邊BC、CD、AE、AB上,且滿足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五邊形ABCDE+,ZA=ZB=ZC=90°,AB=800

m,BC=l200m,CD=600m,AE=900m.為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小.

請問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN?若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時

點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離；若不存在，請說明理由.

D

C

類型6方案設(shè)計(jì)題

l.（l）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD或ACE,本題答案不唯一，寫出一組即可）；（2）ACE【解析】本題

考查方案的選擇.由題意，選擇ABC時，裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為5+3+2=10（噸），總重6+5+5=16<19.5（噸），符合要求；

選擇ABE時,裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸）.符合要求;選擇AD時,裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重

量為5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸）,符合要求；選擇ACD時,裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為5+2+4=11（噸），總

重6+5+7=18<19.5（噸），符合要求；選擇BCD時，裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為3+2+4=9（噸），總重5+5+7=17<19.5（噸），符合

要求:選擇DCE時,裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為4+2+3=9（噸），總重7+5+8=2019.5（噸）,不符合要求;選擇BDE時,裝運(yùn)的I

號產(chǎn)品重量為3+4+3=10（噸），總重5+7+8=2019.5（噸）,不符合要求;選擇ACE時,裝運(yùn)的I號產(chǎn)品重量為5+2+3=10

（噸）總重6+5+8=19<19.5（噸）,符合要求.綜上，滿足條件的裝運(yùn)方案不唯一，可能是ABC或ABE或AD或AC

D或BCD或ACE;⑵選擇ABC時,裝運(yùn)的II號產(chǎn)品重量為1+2+3=6（噸）;選擇ABE時,裝運(yùn)的II號產(chǎn)品重量為1+2+

5=8（噸）;選擇AD時,裝運(yùn)的II號產(chǎn)品重量為1+3=4（噸）;選擇ACD時,裝運(yùn)的II號產(chǎn)品重量為1+3+3=7（噸）;選擇BC

D時,裝運(yùn)的II號產(chǎn)品重量為2+3+3=8（噸）;選擇ACE時,裝運(yùn)的U號產(chǎn)品重量為1+3+5=9（噸）.綜上，滿足條件的裝

運(yùn)方案為ACE.

2.⑴略⑵略

（1）結(jié)合所給直線及等腰三角形的判定即可作圖；（2）結(jié)合所給直線及菱形的判定即可作圖.

解：⑴答案不唯一.

BB

CC

⑵

3.⑴一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元⑵共有三種方案：一等獎獎品4件,二等獎獎品23

件；一等獎獎品7件，二等獎獎品19件；一等獎獎品10件，二等獎獎品15件.

(1)設(shè)一等獎獎品單價為4a元，二等獎獎品單價為3a元，根據(jù)相等關(guān)系列分式方程求解，注意要對方程的解

進(jìn)行檢驗(yàn)；⑵設(shè)購買一等獎獎品為x件，二等獎獎品為y件，根據(jù)題意列出二元一次方程，根據(jù)4<x<10及二元一

次方程的整數(shù)解得出購買方案.

解：⑴設(shè)一等獎獎品單價為4a元，二等獎獎品單價為3a元，

根據(jù)題意：羅+宇=25化簡得。"1,

4a3aaa

解得a=15，經(jīng)檢驗(yàn)a=15為所列方程的根.

答：一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元.

⑵設(shè)購買一等獎獎品為x件，二等獎獎品為y件.

由題意得,60x+45y=1275,即4x+3y=85,

V4<x<10,

,符合條件的為：x=4,y=23;

x=7,y=19;x=10,y=15.

..?共有三種方案：

一等獎獎品4件，二等獎獎品23件；

一等獎獎品7件，二等獎獎品19件；

一等獎獎品10件，二等獎獎品15件.

4.⑴略⑵略

⑴利用勾股定理可確定四個點(diǎn)的位置，但需保證兩直線不平行；⑵先計(jì)算兩條線段的長度，再在方格紙上作

圖.

解：⑴畫法不唯一，如圖1或圖2等.

⑵畫法不唯一，如圖3或圖4等.

5.(1)略⑵略

（1）連接AC,可得（CA=C4,,可得AC+CB=AB,同理可得AC+C'B=A'C+C'B,,利用三角形三邊的關(guān)系即

可得證；（2）①首先確定鋪設(shè)的管道經(jīng)過點(diǎn)D,再利用⑴的方法作圖即可得最短線路；②先分別過點(diǎn)B和點(diǎn)A，作

圓的切線，確定切點(diǎn)為管道經(jīng)過的點(diǎn)，再利用兩切點(diǎn)之間的圓弧和⑴的結(jié)論可得最短線路.

解:⑴證明:如圖①，連接AC

圖①

點(diǎn)A,A，關(guān)于1對稱，點(diǎn)C在1上,

.,.CA=CA'.

AC+CB=A'C+CB=A'B.

同理AC+C'B=A'C+C'B.

???A'B<A'C+C'B,

???AC+CB<AC+C'B.

(2)①在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是ACDB(如圖②，其中D是正方形的頂點(diǎn)).

圖②

②在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是ACD+^DE+E8如圖③，其中CD,BE都與圓相切）.

1.⑴略(2)略(3)略

解:(1)AAiBxCi即為所求.

(2)AA2B2C2即為所求.

(3)連接格點(diǎn)MN,交AB于點(diǎn)D,連接CD.根據(jù)矩形性質(zhì)可得D即為AB的中點(diǎn)，；.CD即為所求

2.(l)a=300,b=200(2)28000⑶當(dāng)fn=丹，時，代工總時長最短，為80小時

(1)根據(jù)題意列出方程組，求解即可；⑵設(shè)第二次代工總費(fèi)用為w元，列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一

次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合m的取值范圍即可求出最小值；⑶根據(jù)題意列出不等式，得出m和n的值，結(jié)合代工效率可

求出代工總時長最短時的方案.

解,⑴由題章得［a+b=500,解得(a=300,

用牛,怔芭5倚boa+2000=256,1m守匕=200.

(2)設(shè)第二次代工總費(fèi)用為W元.

*.*m+n=12,

AW=10(300+100m)+2000+25(200+100n)

=10000+1000m+2500n

=40000-1500m.

300+100m<2(200+1OOn),

,25

???m<——.

3

V-1500<0,

；.W隨m的增大而減小.

又???m為正整數(shù)，

.?.當(dāng)m=8時,W有最小值,W%團(tuán)=28000.

(3)由題意得10(300+100m)+2000+25(200+100n)=10000+1000m+2500n.

：.42000<10000+1000m+2500n<44000,

64<2m+5n<68.

???m,n均為不大于10的正整數(shù)，

產(chǎn)=10.產(chǎn)=10.伊=10.j〃=9,

|m=7,|m=8,Im=9,lm=10.

代工時長3。。；；。0m+200^00n=20+5m+|n,

當(dāng)[n=川’時，代工總時長最短，為80小時.

3.(1)手⑵存在，四邊形OPMN面積的最小值為470000m?,此時點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離為350m

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得平行四邊形在AB邊上的高，再用平行四邊形ABCD的面積減去ADEF與

ABCF的形面積之和即可求解；(2)構(gòu)造矩形ABCF,設(shè)AN=x,用x表示相關(guān)線段長度，再利用含x的代數(shù)式表示

四邊形OPMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最小值.

解:⑴解法一：在口ABCD中，設(shè)AB邊上的高為h.

AD=6,ZA=45°,h=ADsin45°=3V2

：EA=ED,.?.點(diǎn)E到DC的距離為h/2.

,四邊形ABFE=SABCD一(SDEF+SBC，F(xiàn))

AB■h-DFFC-h]

\222)

=24V2-(^V2+|V2)

_63A/2

一41

解法二：如圖，在口ABCD中，設(shè)AB邊上的高為h.

VAD=6,ZDAB=45°,

h=4Dsin45°=3V2.

連接AEF的高FG.

由已知得DC〃AB.

ZGDF=ZDAB=45°.

FG=FDsin45°=—.

2

",四邊形ABFE—^ABF+^AEF

=-AB-h+-AE-FG

22

1八nr.165V2

=一x8x3ov24—x-x—

2222

63V2

4

(2)解法一：存在.如答案圖,分別延長AE與CD,交于點(diǎn)F,

則四邊形ABCF是矩形.

設(shè)AN=x,

則PC=x,BO=2x,BN=800-x,

AM=OC=1200-2x.

由題意,易知MF=BO,PF=BN.

Sg邊甯OPMN=St：彩AWF—S/VM-—S/\CF()-S&Q<P

=800x1200-1-x(1200-2x)--2x(800-x)-|?x(1200-2x)-1-2x(800-x)

=