PAGE1-第一講空間幾何體的三視圖、表面積與體積及空間線面位置關系的判定1．(2024·淄博一模)已知直線l和兩個不同的平面α，β，則下列結論正確的是()A．若l∥α，l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βC．若l∥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：設m?α，且m∥l，由l⊥β，則m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即選項A正確，故選A.答案：A2．(2024·廣元模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．4π B.eq\f(14π,3)C.eq\f(4π,3) D.eq\f(8π,3)解析：依據幾何體的三視圖轉換為幾何體，該幾何體由eq\f(1,4)個半徑為2的球和eq\f(1,2)個底面半徑為2，高為3的圓錐構成．故V＝eq\f(1,4)·eq\f(4,3)·π·23＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·π·22·3＝eq\f(14π,3)，故選B.答案：B3.(2024·梅州一模)如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝3，AC＝4，以AC所在直線為軸旋轉一周，所得幾何體的表面積等于()A．24π B.12πC.eq\f(33π,2) D.eq\f(27π,2)解析：由題意可得旋轉體為圓錐，底面半徑為3，高為4，故它的母線長BC＝eq\r(32＋42)＝5，側面積為πrl＝π×3×5＝15π，則它的底面積為π·32＝9π，故它的表面積為15π＋9π＝24π，故選A.答案：A4.在《九章算術》中，將有三條棱相互平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”．現有一個羨除如圖所示，DA⊥平面ABFE，四邊形ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝4，EF＝8，E到面ABCD的距離為6，則這個羨除的體積是()A．96 B.72C．64 D.58解析：如圖，多面體切割為兩個三棱錐E-AGD，F-HBC和一個直三棱柱GAD-HBC，這個羨除體積為：V＝2×eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×4×6＋eq\f(1,2)×6×4×4＝64.故選C.答案：C5．(2024·興慶區校級一模)一個四棱錐的三視圖如圖所示，其正視圖和側視圖為全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為eq\r(2)的正方形，則該幾何體的表面積為()A．4 B.2eq\r(3)C．2eq\r(3)＋2 D.6解析：依據幾何體的三視圖，轉換為幾何體為：由于正視圖和側視圖為全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為eq\r(2)的正方形，故底面的對角線長為2.所以四棱錐的高為eq\f(1,2)×2＝1，故四棱錐的側面高為h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋12)＝eq\f(\r(6),2)，則四棱錐的表面積為S＝4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＋2＝2eq\r(3)＋2.故選C.答案：C6．(2024·聊城一模)數學名著《九章算術》中有如下問題：“今有芻甍(ménɡ)，下廣三丈，袤(mào)四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”．現將該楔體的三視圖給出，其中網格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(單位：立方丈)()A．5.5 B.5C．6 D.6.5解析：依據三視圖知，該幾何體是三棱柱，截去兩個三棱錐，如圖所示：結合圖中數據，計算該幾何體的體積為V＝V三棱柱－2V三棱錐＝eq\f(1,2)×3×1×4－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×1×1＝5(立方丈)．答案：B7．(2024·湛江一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C．4 D.eq\f(2\r(5),3)解析：依據三視圖知，該幾何體是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD，如圖所示：則該四棱錐的高為2，底面積為1×2＝2，所以該四棱錐的體積是V＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).故選B.答案：B8．(2024·南康區校級月考)已知球的直徑SC＝2，A，B是該球球面上的兩點，AB＝1，∠ASC＝∠BSC＝45°，則棱錐S-ABC的體積為()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),6)解析：∵AB＝1，∴△OAB為正三角形．又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC為直徑，∴△ASC與△BSC均為等腰直角三角形．∴BO⊥SC，AO⊥SC.又AO∩BO＝O，∴SC⊥面ABO.∴VS-ABC＝VC-OAB＋VS-OAB＝eq\f(1,3)·S△OAB·(SO＋OC)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\f(\r(3),6).故選D.答案：D9．(2024·揭陽一模)已知圓錐的頂點為S，底面圓周上的兩點A、B滿意△SAB為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，又知SA與圓錐底面所成的角為45°，則圓錐的表面積為()A．8eq\r(2)π B.4(eq\r(2)＋2)πC．8(eq\r(2)＋1)π D.8(eq\r(2)＋2)π解析：如圖所示，設圓錐母線長為l，由△SAB為等邊三角形，且面積為4eq\r(3)，得eq\f(\r(3),4)·l2＝4eq\r(3)，解得l＝4.設圓錐底面半徑為r，由SA與圓錐底面所成的角為45°，得r＝4×cos45°＝2eq\r(2)；所以圓錐的表面積為S表＝πrl＋πr2＝8(eq\r(2)＋1)π.答案：C10．(2024·信州區校級月考)在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點，則異面直線AC與EF所成角為()A．30° B.45°C．60° D.90°解析：取AD，BD的中點分別為G，H，連接GF，EG，AH，CH，易證AH⊥BD，CH⊥BD，∴BD⊥平面ACH，從而BD⊥AC，又EG∥BD，FG∥AC，∴EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，依據EG＝eq\f(1,2)BD，FG＝eq\f(1,2)AC，且BD＝AC，所以EG＝FG，∴∠GFE＝45°，∴異面直線AC與EF所成角為45°.答案：B11．在三棱錐S-ABC中，已知SA＝4，AB＝AC＝1，∠BAC＝eq\f(2π,3)，若S，A，B，C四點均在球O的球面上，且SA恰為球O的直徑，則三棱錐S-ABC的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：∵在三棱錐S-ABC中，SA＝4，AB＝AC＝1，∠BAC＝eq\f(2π,3)，S，A，B，C四點均在球O的球面上，且SA恰為球O的直徑，∴∠ABS＝∠ACS＝90°，SB＝SC＝eq\r(15)，BC＝eq\r(1＋1－2×1×1×cos\f(2π,3))＝eq\r(3)，取BC中點O，連接SO，AO(圖略)，則SO⊥BC，AO⊥BC，AO＝eq\f(1,2)，BO＝eq\f(\r(3),2)，SO＝eq\r(15－\f(3,4))＝eq\f(\r(57),2)，∴cos∠SAO＝eq\f(SA2＋AO2－SO2,2×SA×AO)＝eq\f(16＋\f(1,4)－\f(57,4),2×4×\f(1,2))＝eq\f(1,2)，∴∠SAO＝60°，∴S到平面ABC的距離d＝SA×sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴三棱錐S-ABC的體積：V＝eq\f(1,3)×S△ABC×d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\f(1,2).故選C.答案：C12．(2024·東莞市一模)三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝30°，△APC的面積為2，則三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為()A．4π B.eq\f(4π,3)C．64π D.eq\f(32π,3)解析：設AC＝x，由于PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，則△APC的面積為S△APC＝eq\f(1,2)AC·PA＝2，則PA＝eq\f(4,x)，由正弦定理知，△ABC的外接圓直徑為2r＝eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(x,sin30°)＝2x，所以，三棱錐P-ABC的外接球直徑為2R＝eq\r(PA2＋2r2)＝eq\r(\f(16,x2)＋4x2)≥eq\r(2\r(\f(16,x2)·4x2))＝4，當且僅當eq\f(16,x2)＝4x2，即當x＝eq\r(2)時，等號成立，則R≥2.所以，該三棱錐P-ABC的外接球的體積為eq\f(4,3)πR3≥eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.因此，三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為eq\f(32,3)π.故選D.答案：D13．(2024·吉安期末測試)某圓錐的母線和底面半徑分別為eq\r(5)，1，則此圓錐的體積是________．解析：圓錐的底面半徑為r＝1，母線長為l＝eq\r(5)，則高為h＝eq\r(5－1)＝2，所以圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·12·2＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)14．(2024·常熟市校級月考)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，E分別是棱BC，A1C1的中點．設三棱錐E-ABD的體積為V1，斜三棱柱的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC的面積為S，高為h，則三棱柱的體積為V2＝Sh.∵D是棱BC的中點，E是棱A1C1上的點，∴S△ABD＝eq\f(1,2)S，則V1＝VE-ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh，∴eq\f(V1,V2)的值是eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)15．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．解析：如圖，過點P作PO⊥平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離．再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO為∠ACB的平分線，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)16．(2024·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形態是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的全部頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為________．解析：先求面數，有如下兩種方法．法一：由“半正多面體”的結構特征及棱數為48可知，其上部分有9個面，中間部分有8個面，下部分有9個面，共有2×9＋8＝26(個)面．法二：一般地，對于凸多面體，頂點數(V)＋面數(F)－棱數(E)＝2(歐拉公式)．由圖形知，棱數為48的半正多面體的頂點數為24，故由V＋F－E＝2，得