第06講估算和用計算器開方（3種題型）

【知識梳理】

一.實數大小比較

實數大小比較

（1）任意兩個實數都可以比較大小.正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實

數比大小，絕對值大的反而小.

（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原

點左側，絕對值大的反而小.

二.估算無理數的大小

估算無理數大小要用逼近法.

思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值.

三.計算器一數的開方

正數。的算術平方根a與被開方數a的變化規律是：

當被開方數。的小數點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數點也相應向左或向右平移1位，

即a每擴大（或縮?。?00倍，a相應擴大（或縮?。?0倍.

號【考點剖析】

實數大小比較（共16小題）

1.（2023?福鼎市模擬）在實數TT,0,-1中，最小的數是（）

A.-1B.0C.A/3D.TT

2.（2023春?梁山縣期中）比較下列各組數中兩個數的大小，正確的是（）

A.-3>-V3B.C.D.78>272

234

3.（2023?邦州區校級模擬）同表示不超過a的最大整數.若實數a滿足方程工^^工，則同=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022秋??？谄谀┍容^2&,3,的大小，正確的是（）

A.夜<3<2&B.272<^7<3C.夜<2&<3D.2衣<3<V?

5.（2022秋?和平區校級期末）已知a=-5我，b=-2遙，則a與b的大小關系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.無法確定

6.（2023?光山縣三模）寫出一個大于5小于6的無理數：.

7.（2023春?富川縣期中）比較大?。?遍+1-返（填或“=”）

2

8.（2023春?龍子湖區期中）比較大?。翰?1工（填

33

9.（2023?雁塔區校級模擬）比較大?。?734（填“〈”或“=

10.（2023?臨沐縣一模）比較大小3一遍______1.

22

11.（2022秋?宜陽縣期末）將下列各數按從小到大的順序排列，并用號連接起來：

2&,娓,,0,-1.7.

2

12.（2022秋?晉州市期中）已知如下信息：

①實數。有兩個不同的平方根，分別是x-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反數是-5.

請解決以下問題：

（1）求出a,b,c的值；

（2）比較匹工與c的大小，直接寫出結果.

13.（2021秋?山亭區期末）數學課上，老師出了一道題：比較，五一2與2的大小.

33

小華的方法是:

因為內>4,所以JiG-2_______2,所以_______2（填“>”或“<”）；

33

小英的方法是：

返工.-2=逅二￡因為19>42=16,所以標-40,所以U0,所以'歷一2

33333

2（填或

3

（1）根據上述材料填空；

（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較返二1與」的大小.

42

14.（2022春?濟北區期末）觀察表格，回答問題:

a???0.00010.01110010000???

???.??

0.01X1y100

（1）表格中x=

（2）從表格中探究。與右數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題：

①已知"75^3.16,則A/IOOO弋；

②已知｛=8.973,若企=897.3,用含機的代數式表示b,貝U6=；

（3）試比較4與。的大小.

當時，y>a；當時，\Ta-a；當時，

15.（2022秋?方城縣月考）⑴用或“="填空：M日，炳遍；

（2）由以上可知：①|A/16-VT?I=，②IVn-l-VnI

（3）計算：11-V21+IV2-V31+IV3-V41+……+I.（結果保留根號）

16.（2021秋?正定縣期中）已知我+1在兩個連續的自然數a和4+1之間，1是b的一個平方根.

（1）求a,b的值;

（2）比較a+6的算術平方根與?的大小.

二.估算無理數的大小（共19小題）

17.（2023春?鼓樓區校級期末）比通大且比、/五小的整數是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2023春?梁子湖區期末）一個正方形的面積是60,那么它的邊長在哪兩個相鄰的整數之間（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

19.（2023?臺兒莊區模擬）正整數a、b分別滿足病強，V2<b<V7,則〃=（）

A.16B.9C.8D.4

20.（2023春?合江縣期中）絕對值小于，庖的所有正整數的和是.

21.（2023春?浦東新區校級期末）代在兩個連續的整數。和b之間Ca<b）,則〃=.

22.（2022秋?長安區校級期末）近的小數部分為。，則a（a+4）=.

23.（2022秋?永興縣期末）定義國為不大于x的最大整數，如［2］=2,R巧］=1，［4.1］=4,則滿足［4］=5,

則n的最大整數為.

24.（2023嗨淀區校級三模）已知a、b為兩個連續整數，且貝Ua+6=.

25.（2023春?孝昌縣期中）若，石的整數部分為a,小數部分為6,求a2+b-x國的值______-

26.（2023春?臨潁縣期中）若6-的整數部分為x,小數部分為》則（2尤+，石）>的值為

27.（2022秋?綏寧縣期末）己知近的整數部分是a,小數部分是b,則a-工的值為.

b

28.（2023春?忠縣期末）已知實數a的平方根為2x+l,1-7尤，的整數部分為從

（1）求a,b的值；

（2）若的小數部分為c,求25a-（b+c）2的平方根.

29.（2023春?常州期末）如圖1,已知紙片A是邊長為所的正方形，紙片B是相鄰兩邊長分別為皿、

的長方形，且紙片A、8的周長相等.

B

X

Q

（圖1）（圖3）

（1）當a=5時.

①若x>6,求y的取值范圍;

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長分別向外作正方形C、D,若紙片B的面積比紙片A的面積小

10cm2,求C、。的面積之和;

（2）如圖3,將紙片A、B疊合在一起，記陰影部分的周長為

（DM=（用含x、。的代數式表示）;

②若關于x的不等式M<12恰有3個正整數解，則a的取值范圍是

30.（2023春?固始縣期末）下面是小李同學探索百方的近似數的過程:

;面積為107的正方形邊長是聲而，且10<。而<11,

.,?設JI57=10+x,其中0<x<l,畫出如圖示意圖，

;圖中5正方形=102+2X10?X+X2,s正方形=107

/.lO^XWx+^^lO7

當/較小時，省略一,得20x+100^107,得到尤仁0.35,即。而Q10.35.

（1）J花的整數部分是;

（2）仿照上述方法，探究標的近似值.（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）

10

10

X

31.（2023春?鶴峰縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道&是無理數，而無理數是無限不循環小

數，因此近的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用丁5-1來表示近的小數部分，你同意小

明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1,將這個數減去其整數

部分，差就是小數部分.又例如：???22＜（V7）2＜32,即2〈近＜3,.?.4的整數部分為2,小數部

分為（夜-2）.

請解答：

（1）百3的整數部分是，小數部分是

（2）如果旄的小數部分為a,J3的整數部分為6,求a+b-芯的值.

32.（2023春?前郭縣期中）已知a-4的立方根是1,3a-6-2的算術平方根是3,W3的整數部分是c,

求2〃-3Z?+c的平方根.

33.（2023春?無為市期中）根據表格解答下列問題:

X1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914

X2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196

（1）190.44的平方根是

（2）《176.9K，718769=

（3）若13.5＜曰＜13.6,求滿足條件的整數〃的值.

34.（2023?章貢區校級模擬）已知5a-2的立方根是-3,2a+b-1的算術平方根是4,c是的整數部

分，求3“+6+c的平方根.

35.（2023春?仙游縣期中）觀察：?../4＜丁7＜。§,即2〈。年＜3,，板的整數部分為2,小數部分為

V7-2,請你觀察上述式子規律后解決下面問題.

（1）規定用符號[相表示實數機的整數部分，例如：[9]=0,㈤=3,填空：[JI6+2]=______；[5-

5

7131=.

（2）如果5+的小數部分為a,5-Jj與的小數部分為6,求/-序的值.

三.計算器一數的開方（共8小題）

36.（2021秋?鄭縣期中）利用計算器求“0.059的值,正確的按鍵順序為（）

A.

RSEDESE

c.EDHEHEH

D.SEDEQHH

37.（2020?安丘市二模）用計算器求35值時，需相繼按“3”，“嚴，“5”，“=”鍵，若小穎相繼按

“4”，“尸'"3”，"=”鍵，則輸出結果是（）

A.6B.8C.16D.48

38.（2022秋?商水縣月考）甲同學利用計算器探索一個數x的平方，并將數據記錄如表：

X16.216.316.416.516.616.716.816.917.0

X2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根據表求得282.24的平方根是.

39.（2021秋?杏花嶺區校級期中）求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如有些數則不能

直接求得，如病，但可以通過計算器求得，還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得,

請同學們觀察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所給的信息中，能發現規律：被開方數的小數點每向左或向右移動2位則它的算術平方根的小

數點就向移動位；

（2）運用你發現的規律，探究下列問題：

①若#3.65公1.910,V36.5^6.042,則由3650002；

②已知/弋0.000365,則x-.

40.（2021秋?通川區校級期中）利用計算器計算出的下表中各數的算術平方根如下:

??????

VO.0625Vo.625V6.25462.5V625A/6250^62500

???0.250.79062.57.9062579.06250???

根據以上規律，若J1.69=1.30,V16.9=4.11,則41690=

41.（2023春?興寧區校級期末）閱讀下面材料，解答問題:

【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們開展“運用規律求一個正數的算術平方根”的實踐活動.

【實踐探究】同學們利用計算器計算出下表中的算術平方根，整理數據如下：

.??V0.0625VO.625A/6.25&2.5V625A/6250162500???

???0.250.7912.57.912579.1250.??

(1)根據上述探究，可以得到被開方數和它的算術平方根之間小數點的變化規律是：若被開方數的小數

點向右或向左移動______位，則它的算術平方根的小數點就相應地向右或向左移動_______位：

(2)已知=732，請運用上述規律直接寫出各式的值：Vo.03，

7300^.

(3)你能根據?的值說出何的值是多少嗎？請說明理由.

42.(2022?惠陽區校級開學)(1)用計算器計算：Vll-2=

71111-22=

7111111-222=

711111111-2222=

(2)觀察題(1)中各式的計算結果，你能發現什么規律？

(3)試運用發現的規律猜想：Vllllllllll-22222=，并通過計算器驗證你的猜想.

43.(2022?惠陽區校級開學)用計算器求下列各式的近似值(精確到0.01)：

⑴巨+軻-兀；⑵yyX亞

【過關檢測】

一、單選題

1.（2022秋?江蘇?八年級專題練習）已知。為整數，且滿足而＜a〈/，則。等于（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022秋?河南平頂山?八年級統考期中）用計算器求唬的按鍵順序是（）.

A.V08=S0DB.x28V?=S0D

C.=SEIDD.8x2=S0D

3.（2023?全國?八年級假期作業）估計12的算術平方根介于（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

4.（2022秋?全國?八年級階段練習）如果整數。滿足近＜.＜而，則。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2023春?廣東韶關?八年級統考期中）張華是初三的一名男生，今年三月，他參加了招飛體檢測評，他

的身高、體重和視力等各項指標均達到了合格標準，你認為他的身高和下面哪一個數值最接近？（）

A.拒米B.G米C.6米D.（若-1）米

6.（2023春?河南安陽?八年級統考期中）一個正方形的面積是21,把此正方形的邊長增加1,則新的正方

形的邊長范圍是（）

A.4與5之間B.5與6之間C.6與7之間D.7與8之間

7.（2022秋?廣東梅州?八年級?？茧A段練習）估計0+3的值（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

8.（2023秋?福建寧德?八年級統考期末）面積為20的正方形的邊長為加，則加的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

9.（2022秋?江蘇?八年級專題練習）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則

大正方形的邊長最接近的整數是（）

10.（2023春?安徽亳州?八年級統考期末）滿足-忘〈君的整數尤可以是（）

A.—3B.-2C.2D.3

二、填空題

11.（2023春?重慶九龍坡,八年級統考期末）已知有＜〃＜遍，且w為正整數，貝!]〃=.

12.（2022秋?北京昌平?八年級統考期末）若。和b為兩個連續整數，且那么。=

,b=.

13.（2022秋?河南周口?八年級?？茧A段練習）若△ABC的底A8為4,底邊A8上的高為5,面積為S,則

4s4（填“＜"、"="或"＞"）.

14.（2022秋?八年級課時練習）若°＜而＜6,且a、b為兩個連續的整數，c為這四個數;，兀，招，

&中的唯一有理數，則abc=.

15.（2023春?黑龍江綏化?八年級統考期中）已知a,b分別是6-舊的整數部分和小數部分，那么2a-6

的值為.

16.（2021春?廣東江門?八年級江門市第一中學校考期中）設S'的小數部分為。，則Y的值是.

三、解答題

17.（2022秋,八年級課時練習）已知^/5而■=0.1,a=1，V100=10,710000=100,......

⑴填空：Vo.oooi=；

（2）已知y=1.414,6=141.4用含X的代數式表示y,貝!]＞=；

⑶根據規律寫出&與a的大小情況.

18.（2022秋?陜西榆林?八年級統考期中）觀察：因為"＜行〈百，即2＜如＜3,所以君的整數部分為

2,小數部分為百-2.

請你觀察上述規律后解決下面的問題：

⑴規定用符號[司表示實數加的整數部分，例如：[1]=0,[n]=2.按此規定，那么[、/而+1]的值為

（2）若的整數部分為“，小數部分為6,忖=而，求c（a-b-6）+12的值.

19.（2022秋?陜西渭南?八年級統考期末）已知根-〃是-27的立方根，利+”是萬的整數部分，求a+3”的

平方根.

20.（2023?全國?八年級假期作業）如圖，把兩個面積均為18cm2的小正方形分別沿對角線裁剪后拼成一個

大的正方形.

⑴求大正方形的邊長.

（2）若沿此大正方形邊的方向裁剪出一個長方形，能否使裁剪出的長方形紙片的長寬之比為3:1,且面積為

24cm2.若能，試求剪出的長方形紙片的長寬；若不能，試說明理由.

21.（2023春?山東聊城?八年級統考期中）已知5a+2的立方根是3,3a+b-l的算術平方根是4,。是歷

的整數部分.

（1）求a,b,c的值；

⑵求2a+6-c的平方根.

22.(2023?江蘇?八年級假期作業)用計算器求下列各式的值(精確到0.001)；

(1)->/843；

(2)17557；

(3)^045;

(4)04012.

23.(2023春?山東濰坊?八年級高密市立新中學?？茧A段練習)如圖圖形，每個小正方形的邊長為1.

⑴求圖中陰影部分的面積和邊長；

(2)已知x為陰影正方形邊長的小數部分，y為止的整數部分，求：

①x,丁的值；

②(尤+y)2的算術平方根.

24.(2022秋?湖南常德,八年級統考期末)閱讀下面的文字，解答問題.

現規定：分別用［司和⑺表示實數x的整數部分和小數部分，如實數3.14的整數部分是［3.14］=3,小數部

分是(3.14)=0.14；實數近的整數部分是［占］=2,小數部分是無限不循環小數，無法寫完整，但是把它

的整數部分減去，就等于它的小數部分，即"-2就是近的小數部分，所以3'=不-2.

(1)［回=;［而］=

(2汝口果求a+6-君的立方根.

25.(2023?江蘇?八年級假期作業)材料1：2.5的整數部分是2,小數部分是0.5,小數部分可以看成是

2.5-2得來的，類比來看，血是無理數，而1〈萬＜2,所以血的整數部分是1，于是可用&-1來表示

V2的小數部分.

料2：若10-《虛=。+6應，則有理數部分相等，無理數部分也相等，即。，b要滿足。=10,b=-}-.

根據以上材料，完成下列問題：

(1)炳的整數部分是，小數部分是;

(2)3+后也是夾在相鄰兩個整數之間的，可以表示為。＜3+用＜6,求的算術平方根.

26.（2022秋?八年級課前預習）設面積為5冗的圓的半徑為a.

（1）。是有理數嗎？說說你的理由；

⑵估計。的值（結果精確到0.1）,并利用計算器驗證你的估計;

⑶如果結果精確到0.01呢？

27.（2023春?全國?八年級期末）數學張老師在課堂上提出一個問題："通過探究知道：應。1.414…，它是

個無限不循環小數，也叫無理數，它的整數部分是1,那么有誰能說出它的小數部分是多少"，小明舉手回

答：它的小數部分我們無法全部寫出來，但可以用血-1來表示它的小數部分，張老師夸獎小明真聰明，

肯定了他的說法.現請你根據小明的說法解答：

⑴石的小數部分是多少，請表示出來；

（2）。為g的小數部分，Z?為石的整數部分，求道的值.

⑶已知8+^=x+y,其中x是一個正整數，求2x+（y-招廣的值.

第06講估算和用計算器開方（3種題型）

【知識梳理】

一.實數大小比較

實數大小比較

（1）任意兩個實數都可以比較大小.正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實

數比大小，絕對值大的反而小.

（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原

點左側，絕對值大的反而小.

二.估算無理數的大小

估算無理數大小要用逼近法.

思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值.

三.計算器一數的開方

正數。的算術平方根a與被開方數a的變化規律是：

當被開方數。的小數點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數點也相應向左或向右平移1位，

即a每擴大（或縮小）100倍，a相應擴大（或縮?。?0倍.

一【考點剖析】

實數大小比較（共16小題）

1.（2023?福鼎市模擬）在實數n,0,-1中，最小的數是（）

A.-1B.0C.V3D.TT

【分析】正數＞0＞負數，據此進行判斷即可.

【解答】解：由題意可得TT＞百＞0＞-1,

則最小的數是-1,

故選：A.

【點評】本題考查實數的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

2.（2023春?梁山縣期中）比較下列各組數中兩個數的大小，正確的是（）

A.-3＞-V3B.C.D.78＞272

234

【分析】根據實數比較大小的方法，平方法，負數的絕對值大的反而小，逐一進行判斷即可.

【解答】解：A,,A3>V3,A-3<-V3,選項錯誤，不符合題意；

B、|-=1+1>1，選項錯誤，不符合題意；

c、選項正確，符合題意；

3434

D、78=2^2,選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查實數比較大小.熟練掌握比較實數大小的方法是解題的關鍵.

3.（2023?鄲州區校級模擬）[甸表示不超過。的最大整數.若實數a滿足方程a小=小=，則⑷=

（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據二次根式的非負性解決此題.

【解答】解：由題意得，1-—^0,a-o20.

aa

A[a]=l.

故選：A.

【點評】本題主要考查二次根式的非負性，熟練掌握二次根式的非負性是解決本題的關鍵.

4.（2022秋??？谄谀┍容^2&,3,夜的大小，正確的是（）

A.47<3<242B.2\^2<V7<3C.V7<2A/2<3D.2強〈VW

【分析】分別算出2&,V7,3的平方，即可比較大小.

【解答】解：（27^）2=）,32=9,（77）2=7,

V7<8<9,

/.V7<2V2<3,

故選：C.

【點評】本題考查了實數大小比較，解決本題的關鍵是先算出3個數的平方，即可比較大小.

5.（2022秋?和平區校級期末）已知a=-5、歷，b=-2遙，則a與b的大小關系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.無法確定

【分析】把根號外面的數移到里面，再根據負數比較大小的法則進行比較即可.

【解答】解：a=-5^2=-V50,b=-2A/5=-V20,

V50>20,

AV50>V20,

-V50v-V20,

???-5V2<-2、石,

:?a〈b.

故選：A.

【點評】本題考查實數的大小比較，掌握正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數是關鍵.

6.（2023?光山縣三模）寫出一個大于5小于6的無理數：_/26_.

【分析】根據5=每，6=736,寫出一個大于5小于6的無理數可以是技，注意答案不唯一.

【解答】解：寫出一個大于5小于6的無理數：V26.

故答案為：V26.

【點評】此題主要考查了無理數的特征和應用，以及實數大小比較的方法，注意答案不唯一.

7.（2023春?富川縣期中）比較大小：一灰+1<一近（填或“=”）

2

【分析】應用放縮法，判斷出-75+1與-近的大小關系即可.

2

【解答】解：：-'兀+1<-2+1=-1,-^->-1,

2

-V5+l<-

2

故答案為：<.

【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，注意放縮法的應用.

8.（2023春?龍子湖區期中）比較大?。悍倒?gt;1（填

33

【分析】首先確定-1與1的大小，進行比較即可求解.

【解答】解：：4<5<9,

/.2<V5<3,

：.l<4s-1<2,

-3"

故答案是：>.

【點評】此題主要考查了無理數的估算能力，此題把它們的減數變成和被減數相同的形式，然后只需比

較被減數的大小.分母相同時，分子大的大.

9.（2023?雁塔區校級模擬）比較大小：273<4（填或"=

【分析】先估算2?的值，然后判斷即可.

【解答】解：???：!<?<2,

.?.2<2A/3<4,

，2遙<4.

故答案為：<.

【點評】本題考查了實數的大小比較，算術平方根，熟練準確估算無理數的大小是解題的關鍵.

10.（2023?臨沐縣一模）比較大小3一遍<

22

【分析】先估算出泥的范圍，再求出之二區的范圍，再得出答案即可.

2

【解答】解：

A-2>-V5>-3,

.\1>3-遍>0,

一遙>0,

22

即生返，

2

故答案為：<.

【點評】本題考查了估算無理數的大小和實數的大小比較，能估算出泥的大小是解此題的關鍵.

11.（2022秋?宜陽縣期末）將下列各數按從小到大的順序排列，并用號連接起來：

2近,通，,0,-1.7.

2

【分析】利用TT的近似值可比較上和-1.7,再根據無理數的估算方法可得出遍進而得出

2

-1.7<0<V5<2V2?

【解答】解：???旦生<工，

22

.jn

??一1.7<-

又：(“)2=5<(2加產=8，

:.炳<啦,

-1.7<0<泥<2V2?

【點評】本題考查實數的大小比較.將無理數的大小比較轉化為整數大小的比較是解題關鍵.

12.(2022秋?晉州市期中)已知如下信息：

①實數。有兩個不同的平方根，分別是彳-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反數是-5.

請解決以下問題：

(1)求出a,b,c的值；

(2)比較匹工與c的大小，直接寫出結果.

【分析】(1)根據平方根、立方根和相反數的定義即可得到a,b,c的值；

(2)先求出/「工，再與c比較大小即可求解.

【解答】解：(1).??實數a有兩個不同的平方根，分別是尤-1和7-3x,

.'.X-1+7-3x=0,

解得尤=3,

則a=(3-1)2=4；

'：a+b的立方根是3,

???4+6=27,

解得人=23；

,?Z的相反數是-5,

??c==5；

(2)vVb7a==V19,c=5,V19<5,

【點評】本題考查了實數大小比較，平方根、算術平方根、立方根和相反數，關鍵是求出。，b,C的值.

13.（2021秋?山亭區期末）數學課上，老師出了一道題：比較'誦一2與2的大小.

33

小華的方法是：

因為任>4,所以小歷-2>2,所以“一2>2（填或“<”）；

------3------3

小英的方法是：

義亙二2-2='魚吆，因為19>42=16,所以-4>0,所以義魚吆>0,所以義亙二2

33333

>2（填或

一3

（1）根據上述材料填空；

（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較返二1與工的大小.

42

【分析】（1）根據不等式的性質即可解答；

（2）仿照例題的方法進行計算即可解答.

【解答】解：（1）小華的方法是：

因為WS>4,所以J石-2>2,所以、19.2>2,

33

小英的方法是：

義四二2-2=迎§_型，因為19>42=16,:生，因為19>42=16,所以W5-4

333333

>0,所以'誦一4>0,所以.2>2,

333

故答案為：>,>,>,>,>;

（2）如果選擇小華的方法，

,:娓<3,

:.娓-142,

.76-1^1

??-------------,

42

如果選擇小英的方法，

氓-1_l_V6-l-2_V6-3

42-~4~~4

V6<9,

.?.遍<3,

:.娓-3<0,

.遍-3<0,

4

?近]

【點評】本題考查了實數大小比較，熟練掌握作差法比較大小的方法是解題的關鍵.

14.(2022春?跳北區期末)觀察表格，回答問題：

a???0.00010.01110010000

???

0.01X1y100

(1)表格中x=0.1,y=10；

(2)從表格中探究a與遍數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題：

①已知心3.16,則“1000-31.6；

②已知傷=8.973,若加=897.3,用含機的代數式表示6,貝Ub=10000〃z；

(3)試比較4與。的大小.

當0<a<l時,Va>a；當a=l或0時,Va=a；當a>l時,Va<a.

【分析】(1)由表格得出規律，求出尤與y的值即可；

(2)根據得出的規律確定出所求即可；

(3)分類討論。的范圍，比較大小即可.

【解答】解：(1)%=Vo.01=0.1,y=^/ioo=io.

故答案為：0.1；10；

(2)①根據題意得：71000^31.6.

②結果擴大100倍，則被開方數擴大1OOOO倍，

/./?=10000m.

故答案為：31.6；10000m；

(3)當〃=0或1時，Va=a；

當OVaVl時，Va>a；

當。=1或。時，Va=a；

當a>\時，Va<a,

故答案為：a=l或0,a>l.

【點評】此題考查了實數的比較，弄清題中的規律是解本題的關鍵.

15.（2022秋?方城縣月考）（1）用或“="填空：F<日,炳〈娓;

（2）由以上可知：①b/16-Vl7l=_Vi7^V16_②IOn-1-^JnI=_Vn^Vn-1—；

⑶計算：11-我i+i近-百i+i百-yi+……+i.（結果保留根號）

【分析】（1）根據被開方數越大，它的算術平方根就越大比較即可；

（2）根據絕對值的性質去掉絕對值符號即可；

（3）先去掉絕對值符號，再算加減即可.

【解答】解：（1）V3<4,5<6,

???

故答案為：V,V;

（2）*.*V16-VTz0,Vn-1

①IV16-V17I=717-V16；

11②1IVn-l~\[nI=Vn-Vn-l；

故答案為：，Vn-Vn-1；

（3）原式=&-l+Vs-^2+V4-V3+--+Vn+l-Vn

="n+l-1.

【點評】本題考查了算術平方根，絕對值和二次根式的加減，能正確去掉絕對值符號是解（2）（3）的關

鍵.

16.（2021秋?正定縣期中）已知我+1在兩個連續的自然數。和。+1之間，1是。的一個平方根.

(1)求a,b的值;

（2）比較a+b的算術平方根與我的大小.

【分析】（1）利用“夾逼法”求得a的值，由平方根的定義求得b的值，代入計算即可；

（2）利用（1）的結果進行比較即可.

【解答】解：（1）V4<8<9,

/.2<V8<3.

又我+1在兩個連續的自然數。和a+1之間，1是6的一個平方根，

??。=3,b=l；

（2）由（1）知，a=3,b=l

〃+/?=3+1=4,

*'?a+b的算術平方根是：2.

V4<5,

【點評】本題主要考查的是估算無理數的大小，掌握估算無理數大小的方法是解題的關鍵.

二.估算無理數的大小（共19小題）

17.（2023春?鼓樓區校級期末）比,幾大且比JTI小的整數是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別判斷和近1在哪兩個連續整數之間，繼而得出答案.

【解答】解：：4<5<9<11<16

.\2<V5<3<V11<4,

比遍大且比小五小的整數是3,

故選：C.

【點評】本題考查無理數的估算，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

18.（2023春?梁子湖區期末）一個正方形的面積是60,那么它的邊長在哪兩個相鄰的整數之間（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【分析】先求出正方形的邊長，再估算出鬧的范圍，即可得出選項.

【解答】解：正方形的邊長為洞,

V7<V60<8,

.?.正方形的邊長在7和8之間，

故選：C.

【點評】本題考查了估算無理數的大小和算術平方根，能估算出標的范圍是解此題的關鍵.

19.（2023?臺兒莊區模擬）正整數a、b分別滿足殯<病，V2<b<V7,則〃=（）

A.16B.9C.8D.4

【分析】結合已知條件，利用無理數的估算分別求得。，6的值，然后代入〃中計算即可.

【解答】解：；53<64<98,2<4<7,

^53<4<^98,V2<2<V7,

??〃=4,Z7=2,

.".ba=24=16,

故選：A.

【點評】本題考查無理數的估算，結合已知條件求得。，6的值是解題的關鍵.

20.（2023春?合江縣期中）絕對值小于亞的所有正整數的和是10.

【分析】根據無理數的估算方法得到4<亞<5,即亞的整數部分是4,由此得到正整數值，得到

答案.

【解答】解：：16<21<25,

4<V21<5,

.?.絕對值小于歷的所有正整數有1,2,3,4,

和為10,

故答案為：10.

【點評】此題考查了無理數的估算，正確掌握無理數的估算方法是解題的關鍵.

21.（2023春?浦東新區校級期末）返在兩個連續的整數。和。之間Ca<b）,則」=9.

【分析】先估算出通的值的范圍，從而求出。，6的值，然后把a,b的值代入式子中，進行計算即可解

答.

【解答】解：V4<5<9,

/.2<V5<3,

:低在兩個連續的整數a和b之間(a<b),

.\a=2,b=3,

：.ba=32=9,

故答案為：9.

【點評】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握完全平方數是解題的關鍵.

22.(2022秋?長安區校級期末)的小數部分為a,則a(a+4)=3.

【分析】先根據的范圍求出。的值，代入后進行計算即可.

【解答】解；：2<J7<3,

=W-2,

.\a(〃+4)

=(V7-2)(V7-2+2)

=(V7-2)(V7+2)

=7-4

=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了估算無理數的大小，二次根式的混合運算，平方差公式的應用，解此題的關鍵是求

出a的值.

23.(2022秋?永興縣期末)定義國為不大于尤的最大整數,如⑵=2,