泛涵分析考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.泛涵分析中，若對于任意開集U，有f(U)是開集，則稱函數f(x)為：

A.連續函數

B.拓撲連續函數

C.拓撲開函數

D.拓撲閉函數

2.設X、Y為拓撲空間，f:X→Y為映射，若對于X中的任意開集U，有f(U)是Y中的開集，則稱f為：

A.連續映射

B.拓撲連續映射

C.拓撲開映射

D.拓撲閉映射

3.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的閉包都是X的閉集，則稱X為：

A.第一可數拓撲空間

B.第二可數拓撲空間

C.第一不可數拓撲空間

D.第二不可數拓撲空間

4.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的交集都是X的鄰域，則稱X為：

A.第一可數拓撲空間

B.第二可數拓撲空間

C.第一不可數拓撲空間

D.第二不可數拓撲空間

5.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的補集都是X的鄰域，則稱X為：

A.第一可數拓撲空間

B.第二可數拓撲空間

C.第一不可數拓撲空間

D.第二不可數拓撲空間

二、填空題（每題2分，共10分）

1.設X為拓撲空間，若X的子集A的補集的閉包是A，則稱A為X的__________子集。

2.設X為拓撲空間，若X的子集A的閉包的補集是A，則稱A為X的__________子集。

3.設X為拓撲空間，若X的子集A的補集的閉包的補集是A，則稱A為X的__________子集。

4.設X為拓撲空間，若X的子集A的閉包的補集的閉包是A，則稱A為X的__________子集。

5.設X為拓撲空間，若X的子集A的閉包的補集的閉包的補集是A，則稱A為X的__________子集。

三、判斷題（每題2分，共10分）

1.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的閉包都是X的閉集，則X一定是第二可數拓撲空間。（）

2.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的交集都是X的鄰域，則X一定是第一可數拓撲空間。（）

3.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的補集都是X的鄰域，則X一定是第二不可數拓撲空間。（）

4.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的閉包的補集都是X的鄰域，則X一定是第一不可數拓撲空間。（）

5.設X為拓撲空間，若X中的任意一點x的鄰域的閉包的補集的閉包都是X的鄰域，則X一定是第二可數拓撲空間。（）

四、計算題（每題10分，共20分）

1.設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和閉區間[a,b]的并集構成。證明X是第二可數拓撲空間。

2.設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和半開區間[a,b]的并集構成。證明X不是第一可數拓撲空間。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.設X為拓撲空間，證明：若X是第一可數拓撲空間，則X的任意子集都是第一可數拓撲空間。

2.設X為拓撲空間，證明：若X是第二不可數拓撲空間，則X的任意子集都是第二不可數拓撲空間。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和閉區間[a,b]的并集構成。證明X中的連續映射f(x)一定是有界的。

2.設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和半開區間[a,b]的并集構成。證明X中的連續映射f(x)不一定是連續的。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.C.拓撲開函數

解析思路：根據泛涵分析的定義，若對于任意開集U，有f(U)是開集，則稱函數f(x)為拓撲開函數。

2.B.拓撲連續映射

解析思路：根據泛涵分析的定義，若對于X中的任意開集U，有f(U)是Y中的開集，則稱f為拓撲連續映射。

3.C.第一不可數拓撲空間

解析思路：根據第一不可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的閉包都是X的閉集。

4.A.第一可數拓撲空間

解析思路：根據第一可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的交集都是X的鄰域。

5.D.第二不可數拓撲空間

解析思路：根據第二不可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的補集都是X的鄰域。

二、填空題答案及解析思路：

1.閉

解析思路：根據閉包的定義，若X的子集A的補集的閉包是A，則稱A為閉集。

2.開

解析思路：根據開集的定義，若X的子集A的閉包的補集是A，則稱A為開集。

3.閉

解析思路：根據閉包的定義，若X的子集A的補集的閉包的補集是A，則稱A為閉集。

4.開

解析思路：根據開集的定義，若X的子集A的閉包的補集的閉包是A，則稱A為開集。

5.閉

解析思路：根據閉包的定義，若X的子集A的閉包的補集的閉包的補集是A，則稱A為閉集。

三、判斷題答案及解析思路：

1.×

解析思路：根據第二可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的閉包都是X的閉集，但這并不意味著X一定是第二可數拓撲空間。

2.×

解析思路：根據第一可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的交集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第一可數拓撲空間。

3.×

解析思路：根據第二不可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的補集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第二不可數拓撲空間。

4.×

解析思路：根據第一不可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的閉包的補集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第一不可數拓撲空間。

5.×

解析思路：根據第二可數拓撲空間的定義，X中的任意一點x的鄰域的閉包的補集的閉包都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第二可數拓撲空間。

四、計算題答案及解析思路：

1.證明：設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和閉區間[a,b]的并集構成。由于實數集R是第一可數空間，因此存在一個可數基{B_n}，其中B_n為開區間（a_n,b_n）。對于任意開集U，U可以表示為若干開區間（a,b）的并集，即U=∪(a,b)。因此，f(U)=∪(f(a,b))，其中f(a,b)為f在開區間（a,b）上的值。由于f是連續的，對于任意開區間（a,b），f(a,b)也是開集，因此f(U)是開集。所以X是第二可數拓撲空間。

2.證明：設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和半開區間[a,b]的并集構成。由于實數集R不是第一可數空間，因此不存在一個可數基{B_n}，使得對于任意開集U，U可以表示為若干開區間（a,b）的并集。因此，X不是第一可數拓撲空間。

五、證明題答案及解析思路：

1.證明：設X為拓撲空間，若X是第一可數拓撲空間，則X的任意子集都是第一可數拓撲空間。設A為X的任意子集，由于X是第一可數拓撲空間，存在一個可數基{B_n}，使得對于任意開集U，U可以表示為若干開區間（a,b）的并集。對于A中的任意一點x，存在一個開區間（a,b）包含x，因此A可以表示為若干開區間（a,b）的并集。所以A是第一可數拓撲空間。

2.證明：設X為拓撲空間，若X是第二不可數拓撲空間，則X的任意子集都是第二不可數拓撲空間。設A為X的任意子集，由于X是第二不可數拓撲空間，X中的任意一點x的鄰域的補集都是X的鄰域。對于A中的任意一點x，存在一個鄰域的補集包含x，因此A的補集也是X的鄰域。所以A的補集的閉包是X的閉集。因此A是第二不可數拓撲空間。

六、應用題答案及解析思路：

1.證明：設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a,b）和閉區間[a,b]的并集構成。由于實數集R是第一可數空間，因此存在一個可數基{B_n}，其中B_n為開區間（a_n,b_n）。對于任意連續映射f(x)，對于任意開集U，f(U)可以表示為若干開區間（a,b）的并集，即f(U)=∪(f(a,b))。由于f是連續的，對于任意開區間（a,b），f(a,b)也是開集，因此f(U)是開集。由于f(U)是開集，因此f(U)中的任意一點都有鄰域包含在該開集中。因此f(x)是有界的。

2.證明：設X為實數集R上的拓撲空間，其拓撲由開區間（a