專題35最值模型之費馬點模型

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數學家，有“業余數學家之王”的美譽，之所以叫業余并非段位不夠，

而是因為其主職是律師，兼職搞搞數學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費

馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內的點到三個頂點距離之

和最小的點。

模型1.費馬點模型

模型解讀

結論：如圖1,點M為AABC內任意一點，連接AM、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時,

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結論成立的條件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時費馬點就

是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120。）

模型證明

證明：如圖2,以AB為一邊向外作等邊三角形AABE,將8M繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NA/BN=60。，:./ABM=/EBN.

AB=BE

在與4ENB中，VJZABM=NEBN，AAMB%AENB（SAS）.

BM=BN

連接MN.由△AM20ZXEN8知，AM=EN.〈/MBN=60°,BM=BN,△BMN為等邊三角形.

；.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.二當E、N、M、C四點共線時，AM+8M+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZWB=120°；/AMB=/ENB=1800-NBNM=120°；

ZAMC=3600-ZBMC-ZAMB=120°.

費馬點的作法：如圖3,分另IJ以AABC的AB、AC為一邊向外作等邊"BE和等邊"CR連接CE、BF,設

交點為則點M即為AABC的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

模型運用

例1.（23-24九年級上廣東江門?階段練習）如圖，在AABC中，NBAC=90。,AB=5,AC=2道，點尸為AABC

內部一點，則點尸到AABC三個頂點之和的最小值是.

例2.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是AS的中點，尸是3C邊上一

動點，將△3EF沿著防翻折，使得點B落在點夕處，矩形內有一動點P,連接尸？,PC,尸。，則PE+PC+PZ）

的最小值為.

例3.（23-24九年級下?河南周口?階段練習）【問題背景】在已知"RC所在平面內求一點P,使它到三角形

的三個頂點的距離之和最小（如圖1）.這個問題是有著“業余數學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前

后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.解決方法如下：如圖2,把△APC繞

A點逆時針旋轉60°得到AAP'C'（點P,C的對應點分別為點P',C），連接PP，,則NF4P=60°,PC=PC.

為等邊三角形，：.AP^PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

...當8,P,P',C'四點在同一直線上時，R4+P3+PC的值最小，即點P是AABC的“費馬點

任務：（1）橫線處填寫的條件是；（2）當點尸是的“費馬點”時，ZAPB=ZBPC=ZAPC=；

（3）如圖3,AABC中，ZC4B=90°,AB^AC,E,尸為3c上的點，且ZEAF=45。，判斷BE,EF,FC

之間的數量關系并說明理由；

【實際應用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A,B,C為公園的出入口，ZA=75°,AB=2&km，

AC=4km,工人師傅準備在公園內修建一涼亭P,使該涼亭到三個出入口的距離最小，則PA+P3+PC的

最小值是.

例4.（2023春?重慶?九年級專題練習）背景資料：在已知AABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點

被人們稱為“費馬點”.如圖1,當AABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在"3C內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時,則B4+尸8+尸。取得最小值.

圖1圖2

（1）如圖2,等邊VLBC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求/4尸3的度數，為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉到△ACP處，此時這樣就可以利用旋轉變換，

將二條線段R4、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出44PB=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與"1BC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.（2）如圖3,從1BC三個內角均小于120。，在AABC外側作等邊三角形AABM,連接CB,求證：CB'過

AABC的費馬點.（3）如圖4,在RTkABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，點尸為445c的費馬點，

連接AP、BP、CP,求R4+P3+PC的值.（4）如圖5,在正方形ABCD中，點E為內部任意一點，連接AE、

BE、CE,且邊長鉆=2;求AE+3E+CE的最小值.

例5.（2024?江蘇?校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形A8CZ）的四個頂點上，AB=10公里，BC=15公里,

現在要設立兩個車站E,F,則取+￡B+砂+FC+FD的最小值為公里.

B

模型2.加權費馬點模型

模型解讀

結論：點P為銳角內任意一點，連接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加權費馬點）

模型證明

證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

,Y7

如：保持8P不變，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+-CP）,如圖，B、P、P2>4四點共線時，取得最小值。

yy

模型運用

例1.（2024?廣東廣州?一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,ABfAD,

AG=y/3AE.矩形AGFE繞著點A旋轉，連接8G,CF,AC,AF.

備用圖

⑴求證：^ABG^ACF-,⑵當CE的長度最大時，①求3G的長度；②在△Ab內是否存在一點尸，使得

CP+AP+石尸尸的值最小?若存在，求CP+AP+石尸產的最小值；若不存在，請說明理由.

例2.（2024?重慶?二模）已知AABC中AB=BC,點。和點E是平面內兩點，連接BD，DE和BE,ZBED=90°.

（1）如圖1,若BD=BA,ZABC^IZD,BE=2,求AC的長度；（2）如圖2,連接AD和C。，點F為AD中

點，點6為8中點，連接EF和8G,若EF=BG,求證：ZBAC=ZDBE；（3）若NABC=60。，AB=2,

當1A。+且BO+CD取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出ABDE的面積.

22

例3.（23-24九年級上?重慶?階段練習）在等邊VABC中，點。是邊BC上一點，連接AD,將線段AD繞點

A順時針旋轉120。得到線段AE,貝|ND4E=120°,AE=AD,連接3E交AD于點E交AC于點

（1）如圖1,當點。為BC中點時，且AD=3,求AABE的面積；（2）如圖2,猜想線段A3、BD、之間的

數量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3,若A3=8,在VABC內部有一個動點P,連接上4、PB、PC,直

接寫出3PA+4PB+5PC的最小值.

習題練模型

1.（2023春?湖北武漢?九年級校考階段練習）如圖，點M是矩形ABCD內一點，且"=5,AD=8,N為邊

3C上一點，連接Att、MD、MN,則版1+MD+MN的最小值為.

2.（2023?廣東深圳?二模）如圖，AABE是等邊三角形，M是正方形ABC。對角線BD（不含2點）上任意

一點，BM=BN,ZABN=15°（點N在A3的左側），當AM+8M+CM的最小值為6+1時，正方形的邊長

為.

3.（24-25九年級上?湖南長沙?階段練習）法國數學家費馬提出：在4人臺。內存在一點P,使它到三角形頂點

的距離之和最小.人們稱這個點為費馬點，此時出+P8+PC的值為費馬距離.經研究發現：在銳角AA8C

中，費馬點尸滿足NAP3=/BPC=/CE4=120。，如圖，點尸為銳角AABC的費馬點，且以=3,PC=4,

ZABC^60°,則費馬距離為.

4.（2023?四川成都?二模）如圖，矩形ABCD中，AB=2,3C=3,點E是A3的中點，點尸是8c邊上一動

點.將印沿著E尸翻折，使得點B落在點3,處，若點尸是矩形內一動點，連接P3、PC、PD,則

PB'+A/2PC+PD的最小值為.

5.（2023?四川?校聯考模擬預測）如圖，在AABC中，P為平面內的一點，連接”、PB、PC,若

ZACB=30°,AC=8,BC=10,則4PA+2PB+2石尸C的最小值是（）

A.4789B.36C.4碗+2岔+6療D.16A/10-10

6.（23-24九年級上?重慶渝中?自主招生）如圖，E是邊長為8的正方形ABCD的邊AD上的動點，DFLEC

于點RG在EC上，且PG=FD,P是平面內一動點，”是5c上的動點，則10（E4+PG+尸〃）+58〃+2有GB

的最小值為______________

7.（2024?湖北?模擬預測）閱讀以下材料并完成問題

材料一：數形結合是一種重要的數學思想如行不可看做是圖一中A5的長，庖了不可看做是的

長.

材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題.費馬點即在VABC中有一點尸使得PA+PB+PC的值最小.著

名法學家費馬給出的證明方法如下：

將AAB尸繞8點向外旋轉60。得到△A4C，并連接易得△尸々2是等邊三角形、PA=PA，貝|尸8=<[,

貝PA+尸8+PC=《A+2I+PC,所以R4+P3+PC的值最小為AC.

請結合以上兩材料求出+7%2+/+I-2%+&+9+12一4島的最小值

8.（2023上?廣東珠海?八年級校考期中）綜合與實踐：

［問題情境】學完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個問題并證明了：如圖1,等邊AABD與等邊“BMN

共一個頂點時，無論怎么擺放可通過SAS恒有于是提出了如下問題.

圖1圖2

【問題證明】（1）如圖2,M是等腰RtZ\A3C內一點，N是等邊△ABD內一點，且滿足△ABM/△￡?V.求

證：ABMN是等邊三角形.

【遷移應用】（2）在（1）的基礎上，知點M是等腰Rt^ABC內一點，當點M到三角形3個頂點的距離之

和，即M4+MB+MC最小時，我們把M點稱為等腰Rt/XABC的“紫荊點”.若M是等腰Rt/XABC的紫荊點，

求/AMC.

完成以下推導過程：（①填理由；②填線段；③與④填關系式）

解：如圖3,令"，N'分別是等腰R￡ABC,等邊△AB。內一點，且滿足AAfiMNaBN'MA=DN'

,/4BMN是等邊三角形MrB=M'N',ZM'N'B=ZN'BM'=ZBM'N'=60°

由一①一可知：的最小值=DN'+MM+M'C的最小值一②一

如圖4,當。、N、M、C在一條直線上時.M是等腰Rt^ABC的紫荊點

AZAMB=@=120°；NBMC=④=120°ZAMC=360°-ZAMB-ZBMC=120°

圖5

【拓展提升】（3）甲同學發現等腰AABC“紫荊點”的作法：如圖5,已知AB=3C,在AB的左側作等邊

△ABD.連接。，與/ABC的角平分線3E交于點M,點M就是“紫荊點”，甲同學發現是否正確？請說

明理由.

9.（2024?陜西西安?二模）問題提出

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,在等邊VABC內部有一點P,PA=3,PB=4,PC=5,貝I]/4pB=

問題解決（2）如圖2,五邊形ABCr電是某公園局部平面圖，BCYCD,ED±CD,ZABC=165°,AB=30072m，

CD=400m,BC=ED=50m.現需要在該五邊形內部修建一條人工小溪，并建造一座觀賞橋梁尸。和三條

觀光路AP,CQ,DQ,且尸。=3C,PQ//BC.已知觀賞橋梁修建費用每米2a元和觀光路修建費用每米a

元.是否存在點P,使得修建橋梁和觀光路總費用最低？若存在，請用含有a的代數式表示出總費用最小值;

若不存在，請說明理由.

10.（2024?陜西咸陽?模擬預測）（1）如圖①，在VABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,尸為VA3C內一點，

求24+尸3+PC的最小值.為了求R4+PB+PC的最小值，小明是這樣做的：將繞點A順時針旋轉

60。得到△PAB,則=連接PP.此時小明發現/B4P=60。，且AP=AP,則4P為等邊三角

形，于是PA=PP.試著根據小明的思路，求出B4+PS+尸C的最小值.

（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地ABCD,其中AD=200米，48=1004米，點E在AD邊上且AE=50

米，廠為A3邊上任意一點，點A關于所的對稱點為4.牧場主欲在四邊形AE4'尸的四條邊上裝上柵欄飼

養土雞，并將8點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABC￡＞內一點尸處打一口井，并修建地

下管道PA,PB,PC.請問：是否存在一點P,使B4'+P3+PC的值最小？如果存在，請求出B4'+PB+PC

的最小值及此時8尸的長；如果不存在，請說明理由.

11.（23-24八年級下?陜西?階段練習）課本再現:

圖1圖2圖3

遷移應用：（2）如圖2,在正方形ABCD中，E是C。邊上一點（不與點C、D重合），連接BE,將8E繞點

E順時針旋轉90。至FE,作射線FD交BC的延長線于點G,求證：CG=BC；

拓展延伸：（3）如圖3,在菱形ABCD中，ZA=120°,E是CD邊上一點（不與點C、。重合），連接BE,

將BE繞點E順時針旋轉120°至FE，作射線FD交BC的延長線于點G.

①線段CG與BC的數量關系是②連接AG,點尸為AABG內一點，連接外,PB,PG.^AB=6,

則AP+3尸+PG的最小值為.

12.（23-24九年級上.重慶江津?階段練習）如圖，在"RC中，4c=90。，AB=AC=2&,AQ18C于

點。.點G是射線A。上一點，過G作GELGF分別交AB、AC于點E、F：

A

⑴如圖①所示，若點E,尸分別在線段AB,AC上，當點G與點。重合時，求證：AE+AF=-J2AD;

（2）如圖②所示，當點G在線段外，且點E與點B重合時，猜想AE,AF與AG之間存在的數量關系并說

明理由；（3）當點G在線段AD上時，請直接寫出AG+3G+CG的最小值.

參考公式：（后+6）=a+b+2y[ab

13.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業余數學家之王的

皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利的私人

信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費馬

的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A,B,C距離之和最小的點稱為△ABC的費馬-托里

拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將"PC繞點8順時針

旋轉60。得到ABOE,連接尸口，可得ABPO為等邊三角形，故尸口=尸8,由旋轉可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由一可知，E4+P2+PC的最小值與線段一的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形ABC內部有一動點P,ZBAC=90°,ZACB=30°,連接必，PB,PC,若A8=2,

求出+PB+PC的最小值；（3）如圖3,菱形ABC。的邊長為4,ZABC=60°,平面內有一動點E,在點E運

動過程中，始終有/2EC=90。，連接AE、DE,在AADE內部是否存在一點P,使得B4+PD+PE最小，若存

在，請直接寫出B4+PO+PE的最小值；若不存在，請說明理由.

14.（23-24九年級上?湖北襄陽咱主招生）（1）如圖在“BC內部有一點尸，△ABD是正三角形，連接出、

PB、PC,將線段相繞A順時針反向旋轉60。至AE,①求證：PA+PB=DE+EP-,②調整P點的位置，使

上4+尸3+尸。最小，求此時NAPB和ZAPC的大小.（2）如圖在直角三角形&RQTRQ±QT,RQ=QT=2,

在其內部任取一點"，求MR+MQ+MT的最小值.

15.(2023?湖北隨州?統考中考真題)1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一

條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家

托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當ULBC的三個內角均