2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第一章數(shù)與式

1.4二次根式

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1二次根式的有關(guān)概數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)二次根式的部分，每年考查1~2道

☆☆

念及性質(zhì)題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題

的形式考查。二次根式的運(yùn)算的考查多是體現(xiàn)在其他

考點(diǎn)2二次根式的運(yùn)算☆☆☆

解答題里。二次根式的估值雖然不常見，但屬于能力

考點(diǎn)3二次根式的估值☆

亮點(diǎn)問題，估計(jì)會成為今后高頻考點(diǎn)。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.二次根式的概念

我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)

叫做被開方數(shù)．注意：a可以是數(shù)，也可以是式.

2.二次根式有意義的條件

要使二次根式a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)a≥0，列不等式求解即可.若二次根式

為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零。

3.最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根

式，叫做最簡二次根式．

4.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．

5．二次根式的性質(zhì)

（1）a≥0（a≥0）(二次根式雙重非負(fù)性)；

【解讀】二次根式a中,a≥0且a≥0,即為二次根式的雙重非負(fù)性。

1）正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù)．常見的非負(fù)數(shù)有|a|，a2，a(a≥0)．

2）若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都為零．

如：若a2+|b|+c=0，則a2=0，|b|=0，c=0，可得a=b=c=0．中考經(jīng)常出現(xiàn)利用這個性質(zhì)來解決

問題。

（2）(a)2a(a0)；

a(a0)

（3）a2a0(a0)；

a(a0)

（4）abab(a0,b0)；

aa

（5）(a0,b0)．

bb

【方法總結(jié)】歸納總結(jié)二次根式問題考點(diǎn)類型及解題方法（十分重要）

【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下

條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

【類型2】根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保

證分母不為零．

【類型3】利用二次根式的非負(fù)性求解。二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這

幾個非負(fù)數(shù)都為0.

【類型4】和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和

數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的加減

（1）二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開方數(shù)相

同的根式進(jìn)行合并。

（2）二次根式的混合運(yùn)算

1)明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；

2)整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用。

2.二次根式的乘除

乘法法則：abab(a0,b0)；

aa

除法法則：(a0,b0)．

bb

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)

的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．

【補(bǔ)充拓展】分母有理化

1.分母有理化的概念：

把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

2.常見類型：

bbaba

常見類型一：．

aaaa

cc(ab)c(ab)

常見類型二：．

ab(ab)(ab)ab

其中，我們稱nan1是na的“有理化因子”，ab是ab的“有理化因子”．分母有理化

的關(guān)鍵是找到分母的“有理化因子”．

3.有理化因式的概念：

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數(shù)。

4.熟記一些常見的有理化因式：

a的有理化因式是a；

anb的有理化因式是anb；

ab的有理化因式是ab；

manb的有理化因式是manb；

3a3b的有理化因式是3a23ab3b2。

5.分母有理化十法

分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應(yīng)用于根式的計(jì)算和化簡，除掌握基本方法外，

需根據(jù)不同題的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用解法，講求技巧，以達(dá)化難為易，化繁為簡的目的。

通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。

【二次根式加減乘除運(yùn)算方法總結(jié)】

【類型1】被開方數(shù)相同的最簡二次根式。根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時，應(yīng)該根據(jù)同

類二次根式的概念建立方程或方程組求解．

【類型2】二次根式的加減運(yùn)算。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被

開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時系數(shù)相加減，根式不變．

【類型3】二次根式的化簡求值。化簡求值時一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡

時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解．

【類型4】二次根式加減運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用。利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認(rèn)真分

析題意，注意計(jì)算的正確性與結(jié)果的要求．

【二次根式的乘法類型題及解題方法總結(jié)】

【類型1】二次根式的乘法法則成立的條件。運(yùn)用二次根式的乘法法則：a·b＝ab(a≥0，b≥

0)，必須注意被開方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件．

【類型2】二次根式的乘法運(yùn)算。在運(yùn)算過程中要注意根號前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，必須化成假分?jǐn)?shù)，

如果被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．

【類型3】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡．

主要運(yùn)用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)對二次根式進(jìn)行化簡．

【類型4】二次根式乘法的綜合應(yīng)用。把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化思想．

【二次根式的除法問題類型及解題方法總結(jié)】

【類型1】二次根式的除法運(yùn)算。利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算時，可以用“除以一個不為零

的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡．

【類型2】二次根式的乘除混合運(yùn)算。二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相

同，在運(yùn)算時要注意運(yùn)算符號和運(yùn)算順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù)．

b

【類型3】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍。運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝

a

b

(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件．

a

【類型4】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方

數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式．

【類型5】最簡二次根式。解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個

條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．

【類型6】二次根式除法的綜合運(yùn)用。解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式．用二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算，

解這類問題時要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一．

考點(diǎn)3.二次根式的估值

1．比較二次根式的大小方法

比較兩個二次根式大小的方法：可轉(zhuǎn)化為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移

到根號內(nèi)，計(jì)算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采

用平方法.

2.用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍

用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍時,一般采用“相鄰平方比較”法,即用兩個相鄰數(shù)的平方與被

開方數(shù)比較,若被開方數(shù)介于這兩個相鄰數(shù)的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數(shù)之間,

估算的精確度可由相鄰數(shù)的精確度來確定.

3.二次根式估值一般步驟

（1）一般先對根式進(jìn)行平方，如(5)25；

（2）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個完全平方數(shù)，如4<5<9；

（3）對以上兩個整數(shù)開方，如42，93；

（4）這個根式的值在這兩個相鄰整數(shù)之間，如2＜5＜3．

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

【例題1】（2024黑龍江綏化）若式子2m3有意義，則m的取值范圍是（）

2332

A.mB.mC.mD.m

3223

【答案】C

【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得2m30，即可求解．

∵式子2m3有意義，

∴2m30，

3

解得：m，故選：C．

2

【對點(diǎn)變式練1】（2024內(nèi)蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

311

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)13；(5)－；

56

(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．

【答案】見解析。

【解析】判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；

(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

111

因?yàn)?1，（－7）2，－＝，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指

5630

3

數(shù)都是2，且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.13的根指數(shù)不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5

的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式．

【對點(diǎn)變式練2】（2024哈爾濱一模）若式子42x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

【答案】C

【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數(shù)大于等于0．

根據(jù)二次根式里面被開方數(shù)42x≥0即可求解．

由題意知：被開方數(shù)42x≥0，解得：x2．

【對點(diǎn)變式練3】（2024吉林長春一模）若a2|b1|0，則(a+b)2025=．

【答案】1

【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義，求出a、b的值，代入計(jì)算即可．

∵a2|b1|0，

∴a-2=0且b+1=0，

解得，a=2，b=-1，

∴(a+b)2020=(2-1)2025=1

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

3

【例題2】（2024甘肅威武）計(jì)算：1812．

2

【答案】0

【解析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

33

1812181218180．

22

【對點(diǎn)變式練1】（2024哈爾濱二模）計(jì)算﹣2的結(jié)果是．

【答案】2．

【解析】直接化簡二次根式，再合并得出答案．

【解答】解：原式＝3﹣2×

＝3﹣

＝2．

【對點(diǎn)變式練2】（2024沈陽一模）計(jì)算18a·2a的結(jié)果是________．

【答案】6a

【解析】18a·2a＝36a2＝6a.

【對點(diǎn)變式練3】（2024湖南一模）化簡：

3c3

(a＞0，b＞0，c＞0)．

4a4b2

【答案】見解析。

【解析】運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根．

3c33c3c

＝＝3c.

4a4b24a4b22a2b

考點(diǎn)3.二次根式的估值

【例題3】（2024河北省）已知a，b，n均為正整數(shù)．

（1）若n10n1，則n______；

（2）若n1an,nbn1，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少______個．

【答案】①.3②.2

【解析】本題考查的是無理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；

（1）由3104即可得到答案；

（2）由n1，n，n1為連續(xù)的三個自然數(shù)，n1an,nbn1，可得

22

n1an2，n2bn1，再利用完全平方數(shù)之間的數(shù)據(jù)個數(shù)的特點(diǎn)探究規(guī)

律即可得到答案．

【詳解】解：（1）∵3104，而n10n1，

∴n3；

故答案為：3；

（2）∵a，b，n均為正整數(shù)．

∴n1，n，n1為連續(xù)的三個自然數(shù)，而n1an,nbn1，

22

∴n1an2，n2bn1，

觀察0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，

而020，121，224，329，4216，

2

∴n1與n2之間的整數(shù)有2n2個，

2

n2與n1之間的整數(shù)有2n個，

∴滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少2n2n22n2n22（個）．

【對點(diǎn)變式練1】（2024遼寧一模）估計(jì)的值在（）

A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間

【答案】B

【解析】先寫出21的范圍，再寫出的范圍．

∵16＜21＜25，

∴4＜＜5．

【對點(diǎn)變式練2】（2024廣州一模）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（）

10

A．10B．17C．3.1D．

3

【答案】A．

【解析】因?yàn)?＜10＜16，所以3＜10＜4，且10是無理數(shù)，故選項(xiàng)A正確．

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

2

1.（2024四川德陽）化簡：3＝__________．

【答案】3

【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)“a2a”進(jìn)行計(jì)算即可得．

2

333．

【點(diǎn)睛】本題考查了化簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．

2.（2024江蘇連云港）若式子x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．

【答案】x2

【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，

要使x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須x20，

∴x2．

3.（2024上海市）已知2x11，則x___________．

【答案】1

【解析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)

鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知2x10，則可得出2x11，求出x即可．

根據(jù)題意可知：2x10，

∴2x11，

解得：x1．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1.（2024湖南省）計(jì)算27的結(jié)果是（）

A.27B.72C.14D.14

【答案】D

【解析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．

直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．

【詳解】2714，故選：D

2

2.（2024四川樂山）已知1x2，化簡x1x2的結(jié)果為（）

A.1B.1C.2x3D.32x

【答案】B

【解析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)a2a化簡二次根式，然后再根據(jù)1x2去絕對值即可．

2

x1x2x1x2，

∵1x2，

∴x10,x20，

∴x1+x2x1+2x1，

2

∴x1x21，故選：B．

3.（2024山東威海）計(jì)算：1286________．

【答案】23

【解析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求

解．

1286234323．

4.（2024貴州省）計(jì)算23的結(jié)果是________．

【答案】6

【解析】利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．

原式=23=6．

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算，掌握二次根式乘法的運(yùn)算法則abab（a≥0，b＞0）

是解題關(guān)鍵．

5.（2024天津市）計(jì)算111111的結(jié)果為___．

【答案】10

【解析】利用平方差公式計(jì)算后再加減即可．

原式11110．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵．

0

6.（2024河南省）計(jì)算：25013；

【答案】9

【解析】利用二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪的意義化簡計(jì)算即可；

原式1001

101

9

11

7.（2024上海市）計(jì)算：|13|242(13)0．

23

【答案】26

【解析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對值，

二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．

11

【詳解】|13|242(13)0

23

23

31261

(23)(23)

3126231

26．

考點(diǎn)3.二次根式的估值

1.（2024重慶市A）已知m273，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）

A.2m3B.3m4C.4m5D.5m6

【答案】B

【解析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運(yùn)算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的

方法是解決此題的關(guān)鍵．先求出m27312，即可求出m的范圍．

∵m2733332312，

∵3124，

∴3m4，故選：B．

2.（2024四川資陽）若5m10，則整數(shù)m的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】此題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的估算方法．首先確定5和10

的范圍，然后求出整數(shù)m的值的值即可．

∵4<5<9，即2<5<3，9<10<16，即3<10<4，

又∵5m10，

∴整數(shù)m的值為：3，故選：B．

3.（2024重慶市B）估計(jì)1223的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【解析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即

可．

∵1223266，

而424265，

∴1026611

4.（2024江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設(shè)其面積為Scm2，則S在哪兩個連

續(xù)整數(shù)之間（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【解析】本題主要考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計(jì)算出矩形的面積S，再利用放縮法估算

無理數(shù)大小即可．

S2510，

91016，

91016，

3104，

即S在3和4之間，故選：C．

5.（2024內(nèi)蒙古赤峰）請寫出一個比5小的整數(shù)_____________

【答案】1（或2）

【解析】先估算出5在哪兩個整數(shù)之間，即可得到結(jié)果．

24593，

滿足條件的數(shù)為小于或等于2的整數(shù)均可.

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數(shù)是常用的估算無理數(shù)的方法．

6.（2024深圳）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD10，

S正方形GHIJ1，則正方形DEFG的邊長可以是________．（寫出一個答案即可）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算．利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求得ABCD10，

GHGJ1，再根據(jù)無理數(shù)的估算結(jié)合GHDECD，即可求解．

∵S正方形ABCD10，

∴ABCD10，

∵S正方形GHIJ1，

∴GHGJ1，

∵3104，即3CD4，

∴正方形DEFG的邊長GHDECD，即1DE3，

∴正方形DEFG的邊長可以是2．

考點(diǎn)1.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.若x8在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______．

【答案】x≥8

【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x-8≥0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【詳解】解：由題意得：

x-8≥0，

解得：x≥8．

故答案為：x≥8．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式a(a0)是解題的關(guān)鍵．

2.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．

【答案】x＞3．

【解析】由題意得：2x﹣6＞0，

解得：x＞3，

【點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件可得2x﹣6＞0，再解即可．

考點(diǎn)2.二次根式的運(yùn)算

1．下列各式是最簡二次根式的是（）

A．B．C．D．

35

【答案13】A12a3

【解析】A.是最簡二次根式，符合題意；

B.2，13不是最簡二次根式，不符合題意；

C.12=|a|3，不是最簡二次根式，不符合題意；

3

D.a=，不a是最簡二次根式，不符合題意．

515

【點(diǎn)3撥=】3利用最簡二次根式定義判斷即可．

135

2.把下列式子（的1）分母有；理（化2：）；

22232

【答案】見解析。

【解析】把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不

含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如2與2，553

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