2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第五章圓

5.3與圓有關(guān)的計(jì)算

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算☆☆數(shù)學(xué)中考中，與圓有關(guān)計(jì)算部分，每年考查1

道題分值為分，通常以填空題的形式考察。

考點(diǎn)2圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算☆,3

需要學(xué)生熟練掌握弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算，

對(duì)圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算也不能忽視。不規(guī)則

考點(diǎn)3不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算☆

圖形的面積的計(jì)算問題基本思路就是轉(zhuǎn)化成

規(guī)則圖形的面積計(jì)算。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1.與弧長(zhǎng)相關(guān)的計(jì)算

扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為：l=nπr

180

注意：用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.

2.與扇形面積相關(guān)的計(jì)算

（1）扇形的定義：圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.

如圖，黃色部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.

nπr21

（2）扇形的面積公式為S==lr．扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān)。

3602

3.弓形的面積公式

S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1.圓柱側(cè)面展開圖可以求解圓柱的表面積

2

S表S側(cè)2S底=2rh2r

2.圓柱的體積：Vr2h

3.圓錐及相關(guān)概念

（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線．圓錐有無數(shù)

條母線，它們都相等．

（2）圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．

注意：如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長(zhǎng),l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l之

間數(shù)量關(guān)系是：r2+h2=l2

4.圓錐的側(cè)面展開圖

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。

（1）其側(cè)面展開圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l

（2）側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)C=2πr，

（3）圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式(r表示圓錐底面的半徑,l表示圓錐的母線長(zhǎng))

（4）圓錐的全面積計(jì)算公式

2

S圓錐全＝側(cè)面積＋底面圓面積=πrl＋πr．

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

求陰影部分面積的幾種常見方法：

（1）公式法；

（2）割補(bǔ)法；

（3）拼湊法；

（4）等積變形構(gòu)造方程法；

（5）去重法．

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

【例題1】（2024安徽省）若扇形AOB的半徑為6，AOB120，則AB的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

1206

由題意可得，AB的長(zhǎng)為4,故選：C．

180

【例題2】（2024甘肅威武）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級(jí)非物

質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形OBC和扇形

OAD有相同的圓心O，且圓心角O100，若OA120cm，OB60cm，則陰影部分的面積

是______cm2．（結(jié)果用π表示）

【答案】3000

【解析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)

鍵．

∵圓心角O100，OA120cm，OB60cm，

1001202100602

∴陰影部分的面積是

360360

3000cm2．

【變式練1】（2024大連一模）圓心角為90，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（）

31

A.2B.3C.D.π

22

【答案】C

nr

【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），由此計(jì)算即可．

180

nr9033

該扇形的弧長(zhǎng)l，故選：C．

1801802

nr

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），正

180

確記憶弧長(zhǎng)公式是解答此題的關(guān)鍵．

【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均

相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

23244

A.B.3C.23D.3

32333

【答案】B

【解析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．

如圖，過點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，

360

∵∠AOB=2×=60°，

12

∴OAB是等邊三角形，

1

∴∠△AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，

2

∴OD=AO2AD23，

602212

∴陰影部分的面積為233，故選：B．

36023

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)

算方法是正確解答的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

【例題3】（2024廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72的扇形，若扇形的半徑l是5，

則該圓錐的體積是（）

3111126

A.πB.πC.26πD.π

883

【答案】D

【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形

的弧長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長(zhǎng)為2r，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開

圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而得出r1，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．

設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長(zhǎng)為2r，

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72的扇形，且扇形的半徑l是5，

725

扇形的弧長(zhǎng)為2，

180

圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)相等，

2r2，

r1，

圓錐的高為521226，

126

圓錐的體積為1226，故選：D．

33

【變式練1】（2024廣安一模）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙

古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

A．圓柱的底面積為4πm2

B．圓柱的側(cè)面積為10πm2

C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m

D．圓錐的側(cè)面積為5πm2

【答案】C

【解析】∵底面圓半徑DE＝2m，

∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項(xiàng)不符合題意；

∵圓柱的高CD＝2.5m，

∴圓柱的側(cè)面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項(xiàng)不符合題意；

∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，

∴圓錐的母線長(zhǎng)AB＝＝2.5（m），所以C選項(xiàng)符合題意；

∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．

【變式練2】（2024河南一模）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積

是（）

175π175π

A.cm2B.cm2C.175πcm2D.350πcm2

32

【答案】C

【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=25cm，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的

弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則可根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出圓錐的側(cè)

面積．

【詳解】在Rt△AOC中，

AC7224225cm，

1

∴它側(cè)面展開圖的面積是2725175cm2．故選：C

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的

周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

【例題4】（2024山東威海）如圖，在扇形AOB中，AOB90，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作

CEAO交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EDOB，垂足為點(diǎn)D．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落

在陰影部分的概率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【答案】B

【解析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形OBE的面積，

即可求解．

∵AOB90，CEAO，EDOB

∴四邊形OCDE是矩形，

∴SOCESODE

∴S陰影部分SODESBDES扇形OBE

∵點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)

1

∴OCOEDE

2

ED1

∴sinEOD

OE2

∴EOD30

2222

∴30πAOπAO，90πAOπAO，

S陰影部分SSS扇形S扇形

ODEBDEOBE36012AOB3604

πAO2

S陰影部分1

點(diǎn)落在陰影部分的概率是12故選：．

P2B

S扇形AOBπAO3

4

【變式練1】（2024廣州一模）如圖，在中，∠，，，將

繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將R線t△段???繞點(diǎn)E逆??時(shí)?針=旋9轉(zhuǎn)0°??后=得2線段??=，1分別以RtO△，?E?為?

圓心，、長(zhǎng)為9半0°徑畫弧Rt△和??弧?，連接??，則圖中陰影部分9面0積°是（?）?

??????????

A．πB．C．D．

5?7?

【答案】C?+52?42?4

【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式為．作

2

???

于H，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)陰影部分面積的面積的面積?扇=形360

?的?面⊥積??扇形的面積、利用扇?形?面積公式計(jì)算即可．=△???+△???+???

【詳解】?作???于H，

??⊥??

∵∠，，，

∴???=90°??=2，??=1

22

由旋??轉(zhuǎn)=，得??+??≌=5，

∴∠△∠???，△???

∵∠???=∠???∠∠，

∴∠???+∠???，=???+???=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，，

∴???≌=???=90，°??=??

∴△???△??，?AAS

陰影??部=分?面?積=1的面積的面積扇形的面積扇形的面積

=△???+△???+???????

2

1190?×290?×5

=×3×1+×1×2+?

2故選2：C．360360

51

=2?4?

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1.（2024貴州省）如圖，在扇形紙扇中，若AOB150，OA24，則AB的長(zhǎng)為（）

A.30πB.25πC.20πD.10π

【答案】C

nπr

【解析】本題考查了弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式∶l求解即可．

180

∵AOB150，OA24，

150π24

∴AB的長(zhǎng)為20π，故選∶C．

180

2.（2024四川成都市）如圖，在扇形AOB中，OA6，AOB120，則AB的長(zhǎng)為______．

【答案】4π

【解析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

由題意得AB的長(zhǎng)為

nπr120π6

4π

180180

3.（2024河南省）如圖，O是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

8π16π

A.B.4πC.D.16π

33

【答案】C

【解析】過D作DEBC于E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出BDC120，

1

利用弧、弦的關(guān)系證明BDCD，利用三線合一性質(zhì)求出BEBC23，

2

1

BDEBDC60，在Rt△BDE中，利用正弦定義求出BD，最后利用扇形面積公式求解

2

即可．

【詳解】過D作DEBC于E，

∵O是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形ABC的外接圓，

∴BC43，A60，BDCA180，

∴BDC120，

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴BDCD，

∴BDCD，

11

∴BEBC23，BDEBDC60，

22

BE23

∴BD4，

sinBDEsin60

2

∴120π416π，故選：．

S陰影C

3603

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，

解直角三角形等知識(shí)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

4.（2024重慶市A）如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD4，則圖中陰影部分的面積為（）

A.328πB.1634π

C.324πD.1638π

【答案】D

【解析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)．根據(jù)題意可得AC2AD8，由勾股定理得

出AB43，用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論．

【詳解】解：連接AC，

根據(jù)題意可得AC2AD8，

∵矩形ABCD，∴ADBC4，ABC90，

在Rt△ABC中，ABAC2BC243，

9042

∴圖中陰影部分的面積44321638．故選：D．

360

5.（2024吉林省）某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖

所示，該場(chǎng)地由O和扇形OBC組成，OB,OC分別與O交于點(diǎn)A，D．OA1m，OB10m，

AOD40，則陰影部分的面積為______m2（結(jié)果保留π）．

【答案】11

【解析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解．

4010212

由題意得：，

S陰影11

360

6.（2024深圳）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，O為BC中點(diǎn)，OEAB4，則扇形EOF

的面積為________．

【答案】4

【解析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得BOE45，

COF45，得到EOF90，再利用扇形的面積公式即可求解．

【詳解】∵BC=2AB，AB4，

∴BC42，

∵O為BC中點(diǎn)，

1

∴OBOCBC22，

2

∵OE4，

OB222

在RtOBE中，cosBOE，

OE42

∴BOE45，

同理COF45，

∴EOF180454590，

9042

∴扇形EOF的面積為4，

360

7.（2024甘肅臨夏）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD，OM為折痕，以點(diǎn)O為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度為______（結(jié)果保留π）．

22

【答案】##π

33

【解析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知

正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

由對(duì)折可知，EOMFOM，過點(diǎn)E作OM的垂線，進(jìn)而可求出EOM的度數(shù)，則可得出

EOF的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問題．

【詳解】∵折疊，且四邊形ABCD是正方形

四邊形AOMD是矩形，EOMFOM，

1

則OMAD2，DMCD1．

2

過點(diǎn)E作EPOM于P，

1

則EPDMCD1，

2

OEOMAD2，CDAD2，

1

EPOE.

2

EP1

在RtEOP中，sinEOP，

OE2

EOP30，

則EOF30260，

6022

EF的長(zhǎng)度為：

1803

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1.（2024黑龍江大慶）如圖所示，一個(gè)球恰好放在一個(gè)圓柱形盒子里，記球的體積為V1，圓柱形盒

V

143

子的容積為V2，則______．（球體體積公式：Vπr，其中r為球體半徑）

V23

2

【答案】

3

【解析】題考查了圓柱的體積和球的體積，根據(jù)圓柱的體積和球的體積公式計(jì)算即可得出答案．

設(shè)球的半徑為r，則圓柱的高為2r，

4323

依題意，Vπr，V2πr2r2πr

13

4

πr3

V2

∴13，

3

V22πr3

2.（2024云南省）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長(zhǎng)為40

厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700π平方厘米B.900π平方厘米

C.1200π平方厘米D.1600π平方厘米

【答案】C

【解析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即

可求解，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

【詳解】圓錐的底面圓周長(zhǎng)為2π3060π厘米，

1

∴圓錐的側(cè)面積為60π401200π平方厘米，故選：C．

2

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐

的高為______cm．

【答案】15

【解析】本題考查了圓錐的計(jì)算．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形

90R

的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到21，然后解

180

方程即可得母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，

90R

根據(jù)題意得21，

180

解得：R4．

即圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，

∴圓錐的高421215cm，

4.（2024黑龍江綏化）用一個(gè)圓心角為126，半徑為10cm的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的

底面圓的半徑為______cm．

7

【答案】

2

【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解．

126

設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為Rcm，由題意得，10π2πR

180

7

解得：R

2

5.（2024江蘇鹽城）已知圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是______．

【答案】20

【解析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案．

∵圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5

∴圓錐的側(cè)面積S4520

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的性質(zhì)，從而完成求解．

6.（2024山東煙臺(tái)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正六邊形ABCDEF中，以點(diǎn)F為圓心，以FB的長(zhǎng)為半

徑作BD，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為________．

【答案】3

【解析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而求

出扇形的圓心角的度數(shù)，過點(diǎn)A作AG⊥BF，求出BF的長(zhǎng)，再利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的

弧長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．

【詳解】∵正六邊形ABCDEF，

62180

∴BAFAFEE120，ABAFEFDE6，

6

11

∴AFBABF18012030，EFDEDF18012030，

22

∴BFD12023060，

3

過點(diǎn)A作AG⊥BF于點(diǎn)G，則：BF2FG2AFcos302663，

2

60

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則：2r63，

180

∴r3；

故答案為：3．

7.（2024廣東）綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗．

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．

【實(shí)踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．

（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留π）

1253

【答案】（1）能，見解析（2）cm3

24

【解析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

（1）利用圓錐的底面周長(zhǎng)＝側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

（2）利用圓錐的底面周長(zhǎng)＝側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定

理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．

【小問1詳解】

解：能，

理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為n，

nπ7

根據(jù)題意，得7π，

180

解得n=180°，

∴將圓形濾紙對(duì)折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；

【小問2詳解】

解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rcm，高為hcm，

180π5

根據(jù)題意，得2πr，

180

5

解得r，

2

2

255

∴h53，

22

2

121551253

∴圓錐的體積為rh33cm．

332224

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

1.（2024四川遂寧）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直

徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截

面的面積（）

1313211

A.πB.πC.π3D.π

6462364

【答案】A

【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過點(diǎn)O

113

作ODAB于D，由垂徑定理得ADBDABm，由勾股定理得ODm，又根據(jù)圓

222

的直徑為2米可得OAOBAB，得到AOB為等邊三角形，即得AOB60，再根據(jù)淤泥橫

截面的面積S扇形AOBSAOB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

11

【詳解】過點(diǎn)O作ODAB于D，則ADBDABm，ADO90，

22

∵圓的直徑為2米，

∴OAOB1m，

2

22213

∴在RtAOD中，ODOAAD1m，

22

∵OAOBAB，

∴AOB為等邊三角形，

∴AOB60，

60π121313

∴淤泥橫截面的面積2，故選：．

S扇形AOBSAOB1πmA

3602264

2.（2024黑龍江大慶）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等邊三角形ABC；分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB．三段弧所

圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為3π，則它的面積是______．

【答案】9π93

2

【解析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，

如果周長(zhǎng)為3π，則其中的一段弧長(zhǎng)就是π，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得ABACBC3，即正三角

形的邊長(zhǎng)為3．那么曲邊三角形的面積=三角形的面積+三個(gè)弓形的面積，從而可得答案．

曲邊三角形的周長(zhǎng)為3π，ABC為等邊三角形，

ABBCAC,ABBCAC,ABC60,

60πAB3π

π,

1803

ABBCAC3,

193

SABBCsinABC,

ABC24

60π32393

S弓形S扇形S==,

ABCABABC36024

933939π93

曲邊三角形的面積為：+3.

4242

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CDAB于點(diǎn)D，將

△CDB沿BC所在的直線翻折，得到CEB，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，延長(zhǎng)EC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：CF是O的切線；

2

（2）若sinCFB，AB8，求圖中陰影部分的面積．

2

【答案】（1）見解析（2）2π4

【解析】【分析】（1）連接OC，由折疊的性質(zhì)得DBCEBC，BECCDB90，再

證明OC∥BE，推出FC⊥OC，據(jù)此即可證明CF是O的切線；

（2）先求得CFB45，在RtCOD中，求得CDOD22，再利用扇形面積公式求解即可．

【小問1詳解】證明：連接OC，

∵CDAB，

∴CDB90，

∵△CDB沿直線BC翻折得到CEB，

∴DBCEBC，BECCDB90，

∵OB，OC是O的半徑，

∴OBOC，

∴OCBOBC，

∴EBCOCB，

∴OC∥BE，

∴FCOBEC90，

∴FC⊥OC于點(diǎn)C，

又∵OC為O的半徑，

∴CF是O的切線；

【小問2詳解】

2

解：∵sinCFB，

2

∴CFB45，

由（1）得FCO90，

∴FOC90CFB45，

∵CDAB，

∴CDO90，

∵AB8，

11

∴OCAB84，

22

在RtCOD中，AOC45，

2

∴CDODOCsinAOC422，

2

11

∴S△ODCD22224，

COD22

452

∴S扇形π42π，

AOC360

∴S陰影S扇形AOCS△COD2π4．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運(yùn)用圓的性質(zhì)，

綜合三角函數(shù)相關(guān)概念，求得線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．

4.（2024山東棗莊）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DAB60，ABBC2AD2．以

點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點(diǎn)F，

連接FD交EF于另一點(diǎn)G，連接CG．

（1）求證：CG為EF所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）

33

【答案】（1）見解析（2）

43

【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，證明四邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明BFBEADAECF，即可證明四邊形ABFD是平行四邊形，再

證明BFG是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果．

（2）先求出平行四邊形的高DH，根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即

可．

【小問1詳解】

解：連接BG如圖，

根據(jù)題意可知：ADAE，BEBF

又∵ABBC，

∴CFAEAD，

∵BC2AD，

∴BFBEADAECF，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，

∴BFDDAB60，

∵BGBF，

∴BFG是等邊三角形，

∴GFBF，

∴GFBFFC，

∴G在以BC為直徑的圓上，

∴BGC90，

∴CG為EF所在圓的切線．

【小問2詳解】

過D作DHAB于點(diǎn)H，

由圖可得：S陰影SABFDS扇AEDS扇BEGSBFG，

在Rt△AHD中，AD1，DAB60，

33

∴DHADsinDAB1，

22

3

∴SABDH23，

ABFD2

由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，

222

∴nr60AD601，

S扇S扇

AEDBGE3603603606

1133

等邊三角形BFG的面積為：GFDH1，

2224

∴333

S陰影SS扇S扇S3

ABFDAEDBEGBFG66443

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1．某小區(qū)內(nèi)的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，

點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，

則彎道外邊緣的長(zhǎng)為（）

A．8mB．4mC．mD．m

ππππ

【答案】C

【解析】根據(jù)線段的和差得到OA＝OC+AC，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．

∵OC＝12m，AC＝4m，

∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），

∵∠AOB＝120°，

∴彎道外邊緣的長(zhǎng)為：＝（m）．

2.某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半

徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長(zhǎng)是（）

117

A.11cmB.cmC.7cmD.cm

22

【答案】A

【解析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得PAOPBO90，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得AOB的角度，

進(jìn)而可得AMB所對(duì)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．如圖，

PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．

PAOPBO90，

∠P＝40°，

AOB360909040140，

該圓半徑是9cm，

360140

AMB911cm．

180

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．

3.中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓

曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過點(diǎn)A,B的兩條切線相交于

點(diǎn)C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角為60．若圓曲線的半徑OA1.5km，則這段圓曲線AB

的長(zhǎng)為（）．

33

A.kmB.kmC.kmD.km

4248

【答案】B

【解析】由轉(zhuǎn)角為60可得ACB120，由切線的性質(zhì)可得OACOBC90，根據(jù)四

邊形的內(nèi)角和定理可得AOB360ACBOACOBC60，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即

可．

如圖：

∵60，

∴ACB120，

∵過點(diǎn)A,B的兩條切線相交于點(diǎn)C，

∴OACOBC90,

∴AOB360ACBOACOBC60,

6021.5

∴km．故選B．

3602

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得AOB60是解答

本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（）

A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2

【答案】C

【解析】在RtAOC中，AC＝＝25（cm），

所以圓錐的側(cè)面△展開圖的面積＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故選：C．

2．如圖，圓錐的高是4，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果

保留）．

π

【答案】6．

【解析】設(shè)π圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，

根據(jù)題意得：2r＝，

π

解得：l＝3r，

∵高為4，

∴r2+42＝（3r）2，

解得：r＝，

∴母線長(zhǎng)為3，

∴圓錐的側(cè)面積為rl＝××3＝6．

3.如圖，圓錐形煙π囪帽的π底面半徑為30cmπ，母線長(zhǎng)為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為_______cm2．（結(jié)

果保留π）

【答案】1500π

1

【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，由扇形面積公式Slr代值求解即可得到答案．

2

圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長(zhǎng)為50cm，

11

煙囪帽的側(cè)面積Slr2π30501500π（cm2），

22

故答案為：1500π．

1

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖及扇形面積公式Slr，熟記扇形面積公式是解決問題的關(guān)鍵．

2

4．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若母線長(zhǎng)l為8cm，扇形的圓心角

90，則圓錐的底面圓半徑r為__________cm．

【答案】2

【解析】結(jié)合題意，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得圓錐的底面圓周長(zhǎng)；再根據(jù)圓形周長(zhǎng)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答

案．

∵母線長(zhǎng)l為8cm，扇形的圓心角90

l908

∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)4cm

180180

4

∴圓錐的底面圓半徑r2cm

2

5．如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為

20cm，側(cè)面積為240cm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是度．

ππ

【答案】150

【解析】根據(jù)扇形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，扇形的圓心角為n°，

∵圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20cm，

∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的π弧長(zhǎng)為20cm，

由題意得：×20×l＝240，