2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第六章圖形的變化

6.3圖形的相似

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1相似的有關概念與相似多邊形☆☆圖形相似部分，屬于初中數學難點，也

是中考重點，每年考查道題分值為

考點2相似三角形的性質與判定☆☆☆1~3,

3~19分，常以選擇題、填空題、解答題

考點3圖形的位似☆

的形式考察。特別是在壓軸題里體現圖

形相似的知識點多，如在解決圓的證明

與計算有的題用到相似、有的拋物線壓

考點4一線三等角問題☆☆☆

軸題體現相似、有的探索實踐類綜合題

也體現相似。其重要性不言而喻。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。

夯實基礎

考點1.相似的有關概念與相似多邊形

1.比例線段的相關概念

am

（1）如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是

bn

或寫成a：b=m：n

（2）在兩條線段的比a：b中，a叫做比的_____，b叫做比的_____。

（3）在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線

ac

段，簡稱______（4）若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例

bd

的項，線段a，d叫做_____，線段b，c叫做______，線段的d叫做a，b，c的第四比例項。

ab

（5）如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的

bc

_________。

2.比例的性質

（1）基本性質

①a：b=c：d______

②a：b=b：cb2ac

（2）更比性質（交換比例的內項或外項）

（3）反比性質（交換比的前項.后項）：

acbd

bdac

（4）合比性質：

acabcd

bdbd

（5）等比性質：

acemacema

(bdfn0)

bdfnbdfnb

3.黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB

51

黃金分割，點叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB

2

4.平行線分線段成比例定理

三條______截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

5.相似多邊形

相似多邊形定義1：_____相同的圖形叫做相似圖形。

相似多邊形定義2：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的____-分別相等，____成比例，那么這兩個

多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做______。

相似多邊形性質：相似多邊形的對應角_____，對應邊______。

注意：多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形．

考點2.相似三角形的性質與判定

1.相似三角形的判定定理

判定1：______于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。

判定2：三邊________的兩個三角形相似。

符號語言：

∴△ABC∽△A′B′C.

判定3：兩邊_______且____相等的兩個三角形相似。

符號語言：

判定4：_____分別相等的兩個三角形相似。

符號語言：

∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，

∴△ABC∽△A'B'C'.

判定直角三角形相似的方法：

推論1：有個銳角相等的兩個直角三角形相似.

推論2：斜邊和一直角邊______的兩個直角三角形相似.

【易錯點提示】

如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，

相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.

【思路方法總結】三角形相似的判定定理的使用：

（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定1；

（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾邊成比例；

（3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；

（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；

（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．

2.相似三角形的性質定理

（1）相似三角形定義：對應角_____，對應邊______的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應

邊的比叫做_______．

（2）相似三角形性質：

性質定理1：相似三角形的______相等；

性質定理2：相似三角形的________（邊、高、中線、角平分線）成比例；

性質定理3：相似三角形的周長比______相似比，面積比等于相似比的______．

注意1：相似三角形對應高的比等于相似比。相似三角形對應中線、角平分線的比也等于相似比。

注意2：由三角形面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可推出相似三角形面積的比等于相

似比的平方．

【思路方法總結】相似三角形的判定方法歸納總結（理解牢記）

(1)定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似。

（2）平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構成的三角形與原三角形相似。

（3）三邊成比例的兩個三角形相似。

（4）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

（5）兩角分別相等的兩個三角形相似。

（6）一組直角邊和斜邊成比例的兩個直角三角形相似。

3.相似三角形的應用

（1）利用相似三角形測量高度

1）測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.

2）測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.

（2）利用相似三角形測量寬度：測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構造相似三角形求解.

（3）利用相似解決有遮擋物問題

考點3.圖形的位似

1.位似圖形的概念

兩個相似多邊形，如果它們對應頂點所在的直線_____于一點，我們就把這樣的兩個圖形叫做位似圖

形，這個交點叫做______．

【易錯點提示】

（1）判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特

殊的位置關系，即每組對應點所在的直線都經過同一點．

（2）找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，

則該點即是位似中心．

2.位似圖形的性質

（1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質，即______相等，_____的比相等．

（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比____相似比．（位似圖形的相似比也叫做位

似比）

（3）對應線段_____或者在一條直線上．

3.畫位似圖形

畫位似圖形的一般步驟：

①確定__________；

②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的_____；

③根據_____，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；

④順次連接上述各點，得到______的圖形.

利用位似進行作圖的關鍵是確定位似中心和關鍵點．

位似分為內位似和外位似，內位似的位似中心在連接兩個對應點的線段上；外位似的位似中心在連接

兩個對應點的線段之外.

4.基本模型

5.平面直角坐標系中的位似

（1）平面直角坐標系中的位似變換

1）在平面直角坐標系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個．

2）當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，其對應頂點

的坐標的比為－k．

3）當k＞1時，圖形擴大為原來的k倍；當0＜k＜1時，圖形縮小為原來的k倍．

（2）性質：1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對

應點的坐標的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相

似比．

考點4.一線三等角問題

1.一線三等角基本含義：一線三等角就是指兩個三角形中相等的兩個角落在______一條直線上，另

外兩條邊所構成的角與這兩個角______且落在同一條直線上，故稱一線三等角。如圖所示，一線三等

角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角。

2.一線三等角基本類型及特點與結論

（1）同側型一線三等角

銳角一線三等角鈍角一線三等角直角一線三等角

【特點】∠1＝∠2＝∠3

【結論】1.△CAP∽△PBD

2．當AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時，△CAP≌△PBD

（2）異側型一線三等角

銳角一線三等角鈍角一線三等角直角一線三等角

【特點】點P在線段BA的延長線上，∠1＝∠2＝∠3

【結論】1.△CAP∽△PBD；

2．當AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時，△CAP≌△PBD

考點1.相似的有關概念與相似多邊形

【例題1】（2024江蘇連云港）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、

乙、丙、丁，其中是相似形的為（）

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【變式練1】（2024湖北一模）如圖，將圖形用放大鏡放大，應該屬于()

A．平移變換B．相似變換C．旋轉變換D．對稱變換

【變式練2】（2024內蒙古赤峰一模）如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和

EH的長度x.

考點2.相似三角形的性質與判定

【例題2】（2024湖南省）如圖，在ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點．下列結論中，

錯誤的是（）

1

A.DE∥BCB.△ADE∽△ABCC.BC2DED.SS

ADE2ABC

【變式練1】（2024河北一模）如圖，已知DABCAE，那么添加下列一個條件后，仍然無法

判定△ABC∽△ADE的是（）

ABACABBC

A．B．C．BDD．CAED

ADAEADDE

【變式練2】（2024湖南一模）如圖，在ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，請添加一

個條件_________，使△ADE∽△ABC．

【變式練3】（2024河南一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交

BE

AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）

EG

1123

A．B．C．D．

2334

【變式練4】（2024浙江湖州一模）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，DE∥BC，

AD1

．若DE＝2，則BC的長是______．

AB3

考點3.圖形的位似

【例題3】（2024黑龍江綏化）如圖，矩形OABC各頂點的坐標分別為O0,0，A3,0，B3,2，

1

C0,2，以原點O為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點B在第一象限對應點的坐標

3

是（）

32

A.9,4B.4,9C.1,D.1,

23

【變式練1】（2024深圳一模）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′

B′C′，以下說法中錯誤的是（）

A．△ABC∽△A′B′C′

B．點C、點O、點C′三點在同一直線上

C．AO：AA′=1：2

D．AB∥A′B′

【變式練2】（2024云南一模）如圖，△ABC與△A'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若

點A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），則△A'B'C'的面積為．

【變式練3】（2024長沙一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABO三個頂點的坐標分別為A(－2，

4)，B(－2，0)，O(0，0).以原點O為位似中心，畫出一個三角形使它與△ABO的相似比為3:

2.

考點4.一線三等角問題

【例題4】（2024廣州）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE3，EC6，

CF2．求證：△ABE∽△ECF．

【變式練1】（2024武漢一模）如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，連接AD，

DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的長．

【變式練2】（2024海南一模）如圖，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于點E，

BD⊥AE于點D，若DE＝4AD，求cos∠ABD的值．

考點1.相似的有關概念與相似多邊形

1.（2024江蘇鹽城）兩個相似多邊形的相似比為1∶2，則它們的周長的比為______．

考點2.相似三角形的性質與判定

1.（2024重慶市B）若兩個相似三角形的相似比為1:4，則這兩個三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

2.（2024陜西省）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點

H，若AB6，CE2，則DH的長為（）

58

A.2B.3C.D.

23

3.（2024四川內江）已知ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1:3，則ABC與△A1B1C1的周長

比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

S△ABD1

4.（2024四川樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，若，

S△BCD3

S△AOD

則______．

S△BOC

5.（2024遼寧）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，且AOB與△DOC的面積比是1:4，

若AB6，則CD的長為______．

OAOCAC1

6.（2024云南省）如圖，AB與CD交于點O，且AC∥BD．若，則

OBODBD2

AC

__________．

BD

7.（2024山東濱州）如圖，在ABC中，點D，E分別在邊AB,AC上．添加一個條件使ADE∽ACB，

則這個條件可以是____________．（寫出一種情況即可）

8.（2024吉林省）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，點F

EF

是OD上一點．連接EF．若FEO45，則的值為______．

BC

9.（2024江蘇揚州）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影

的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）AB經小孔O在屏幕（豎直放置）上成像AB．設AB36cm，

AB24cm．小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到AB的距離為_____cm．

10.（2024湖南長沙）如圖，在菱形ABCD中，AB6，B30，點E是BC邊上的動點，連

接AE，DE，過點A作AFDE于點F．設DEx，AFy，則y與x之間的函數解析式為（不

考慮自變量x的取值范圍）（）

9121836

A.yB.yC.yD.y

xxxx

11.（2024內蒙古赤峰）如圖，ABC中，ABBC1，C72．將ABC繞點A順時針旋

轉得到△ABC，點B'與點B是對應點，點C與點C是對應點．若點C恰好落在BC邊上，下列

1ABBB

結論：①點B在旋轉過程中經過的路徑長是；②BA∥BC；③BDCD；④．其

5ACBD

中正確的結論是（）

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

12.（2024山東棗莊）如圖，點E為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，AC5，CE1，連

接DE并延長至點F，使得EFDE，連接BF，則BF為（）

57

A.B.3C.D.4

22

13.（2024江蘇常州）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、

F．若AD8，BE10，則tanABD________．

14.（2024四川德陽）如圖，在菱形ABCD中，ABC60，對角線AC與BD相交于點O，點

F為BC的中點，連接AF與BD相交于點E，連接CE并延長交AB于點G．

（1）證明：BEF∽BCO；

（2）證明：△BEG≌△AEG．

15.（2024內蒙古赤峰）數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題．如

圖1，在ABC中，ABAC，點D是AC上的一個動點，過點D作DEBC于點E，延長ED

交BA延長線于點F．

請你解決下面各組提出的問題：

（1）求證：ADAF；

DFAD

（2）探究與的關系；

DEDC

AD1DF2AD4DF8

某小組探究發現，當時，；當時，．

DC3DE3DC5DE5

請你繼續探究：

AD7DF

①當時，直接寫出的值；

DC6DE

ADmDF

②當時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；

DCnDE

（3）拓展應用：在圖1中，過點F作FPAC，垂足為點P，連接CF，得到圖2，當點D運動到

ADmAP

使ACFACB時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．

DCnAD

考點3.圖形的位似

2

1.（2024四川涼山）如圖，一塊面積為60cm的三角形硬紙板（記為ABC）平行于投影面時，在點

光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:BB12:3，則△A1B1C1的面積是（）

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

2.（2024重慶）如圖，ABC與DEF位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則ABC

與DEF的周長之比是（）

A.1∶2B.1∶4C.1∶3D.1∶9

考點4.一線三等角問題1.（2024甘肅威武）【模型建立】

（1）如圖1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，AEBD．用等式寫

出線段AE，DE，CD的數量關系，并說明理由．

【模型應用】

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在對角線BD和邊CD上，AEEF，AEEF．用

等式寫出線段BE，AD，DF的數量關系，并說明理由．

【模型遷移】

（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AEEF，

AEEF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數量關系，并說明理由．

2.（2024山東煙臺）在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，D為直線BC上任意一點，

連接AD．將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90得線段ED，連接BE．

【嘗試發現】

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，線段BE與CD的數量關系為________；

【類比探究】

（2）當點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與CD的數量關系并

證明；

【聯系拓廣】

（3）若ACBC1，CD2，請直接寫出sinECD的值．

考點1.相似的有關概念與相似多邊形

1.在如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長度和角的大小．

考點2.相似三角形的性質與判定

1.如圖，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由.

2.如圖，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求證：△ABC∽△DEF.

3.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則

BC等于（）

A．5B．6C．7D．8

AD2

4.如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC

DB3

的長為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

5.如圖，在ABC中，D是AB邊上的點，BACD，AC:AB1:2，則ADC與△ACB的

周長比是（）

A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4

1

6．如圖，在ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點．若ADE的面積為．則四邊形DBCE

2

的面積為_______．

7.如圖，AB∥CD,AC,BD相交于點E，AE1,EC2,DE3，則BD的長為（）

39

A.B.4C.D.6

22

如圖，在中，，則的值是（）

8.ABCDE∥BC，DE2，BC5SADE:SABC

3423

A.B.C.D.

252555

9.如圖，在ABC中，D是AB邊上的點，BACD，AC:AB1:2，則ADC與△ACB的

周長比是（）

A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線

BE

于點G，若AF＝2FD，則的值為（）

EG

1123

A．B．C．D．

2334

1

11.如圖，已知F是ABC內的一點，FD∥BC，FE∥AB，若BDFE的面積為2，BDBA，

3

1

BEBC，則ABC的面積是________．

4

12.已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延

長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．

（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．

13.如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．

（1）求證：△DFC∽△AED；

（2）若CD＝AC，求的值．

13.如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D

（1）求證：△ABC∽△DEC；

（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長．

考點3.圖形的位似

1．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（1，0），以點C為位似中心，

在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設點B的橫坐標

是a，則點B的對應點B′的橫坐標是（）

A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2

2.如圖，在平面直角坐標系中，將△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D

（0，3），則△OAB與△OCD的相似比是（）

A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3

3.