2025年中考數(shù)學總復(fù)習《手拉手相似模型》專項測試卷（附答案）

學校:_班級:___________姓名：___________考號：___________

閱卷人

-一、選擇題

得分_________

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是對角線AC上的動點，連接DP,將直線DP繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于NDAC,且DGLPG即NDPG=NDAC.連接CG,則CG最小值為（）

C-D—

525

2.如圖，點D是等腰直角三角形ABC的重心，ZACB=90°,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得

到線段CE,連結(jié)DE.若△ABC的周長為6/，則ADCE的周長為

3.如圖，在RtAABC和RtzXyWE中，^ABC=^ADE=90°,sinzXFD=sm^ACB=7,連結(jié)BD,CE,延

長CE交BD于點F.

（1）若BD=3,則CE的長為

(2)cosZ-BFC—

閱卷人

三、解答題

得分

4.在RtAABC中，ZC=9O。，分別取BC、AC的中點并且同時將這兩個中點繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)依

次得到點。、E,記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接ZE、CD、BD,如圖所示.

(2)若BC=4C=4,當B、D、E三點共線時，求線段BE的長；

(3)當乙4BC=30。時，延長BC交2E于點”，連接CH,探究線段BH,AH,CH之間的數(shù)量關(guān)系并說

明理由.

5.在R3ABC中，NA=90。，AB=V3AC,BC=6.

D

(1)如圖①，D是AB上的一點，DE〃:BC,交AC于點E,貝UBD,CE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖②，將(1)中AADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(a<0。<a<90。)連結(jié)CE,

BD.請問：(1)中BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由.

(3)如圖③，將(1)中AADE沿DE對折，點A的對應(yīng)點M在BC下方，△MDE與R3ABC重

疊部分的面積記為y,BD的長記為x.求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求y的最大值.

6.如圖1,在XABC中，乙4BC=45°,AD1BC于點D,在DA上取點E,使DE=DC,連

結(jié)BE,CE.

（2）如圖2,將ABED繞點D旋轉(zhuǎn),得到AB'E'D（點B,E分別與點B,E對應(yīng)），連

結(jié)CE',AB',在△BE。旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與Z9的位置關(guān)系與（1）中CE與48的位置關(guān)系是

否一致？請說明理由.

（3）如圖3,當XBED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE'與AD,AB'分別交于點G,F,

若CG=FG,DC=V3,求AB'的長.

7如圖,矩形斷F和矩形力BCD共頂點，且繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，滿足第=箓=奈

（1）如圖1,當D,E,B三點共線，且AB=8,BE=4,求空的比值；

AE

（2）如圖2,器的比值是否發(fā)生變化，若不變，說明理由；若變化，求出相應(yīng)的值，并說明理由；

AE

（3）如圖3,若點F為CD的中點，且48=8,AD=6,連結(jié)CG,求AFCG的面積.

8.【模型呈現(xiàn)：材料閱讀】

如圖1,點3,C,E在同一直線上，點A,。在直線CE的同側(cè)，△ABC和△CDE均為等邊三角形,

AE,BD交于點F,對于上述問題，存在結(jié)論（不用證明）:

（DABCD^AACE.

⑵△ACE可以看作是由△BCD繞點、C旋轉(zhuǎn)而成.

（1）【模型改編：問題解決］

點A,。在直線CE的同側(cè)，AB=AC,ED=EC,NBAC=NDEC=50。,直線AE,BD交于F,如圖1：

點3在直線CE上，

①求證：ZBCDSXACE.

②求/AFB的度數(shù).

③如圖2：將△A8C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度.

補全圖形，則/AF3的度數(shù)為▲.

④若將“NBAC=N。EC=50。”改為“NBAC=N￡>EC=〃嚴，則NAq的度數(shù)為▲.（直接寫

結(jié)論）

（2）【模型拓廣：問題延伸】

如圖3：在矩形ABCD和矩形。EFG中，AB=2,AD=ED=2/，DG=6,連接AG,BF,求黑的值.

9.問題提出

如圖（1）,在AABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,點E在AABC內(nèi)部,

直線AD與BE交于點F.線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

A

（2）C聲（3）

（1）問題探究：

①先將問題特殊化如圖（2）,當點D,F重合時，易證AACD義ABCE（SAS）,請利用全等探究AF,

BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不要求寫出理由）；

②再探究一般情形如圖（1）,當點D,F不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

（2）問題拓展：如圖（3）,在AABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（k

是常數(shù)），點E在AABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F.直接寫出一個等式，表示線段AF,BF,CF之間

的數(shù)量關(guān)系.

10.綜合與實踐

“手拉手”模型是初中幾何圖形的一種全等變形的重要模型，可以借助旋轉(zhuǎn)和全等形的相關(guān)知識結(jié)合勾股

定理等，來解決有關(guān)線段的長、角的度數(shù)等問題，在學習和生活中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的地位和作用.

某校數(shù)學活動小組進行了有關(guān)旋轉(zhuǎn)的系列探究：

如圖①，已知XABC和AADE均是等腰直角三角形，Z.BAC=Z.DAE=90°，且AB=AC,AD=

AE,易證：BD=CE,BDICE.

（1）深入探究：

如圖②，將圖①中AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,連接BD、CE,并延長CE分

別與AB、BD相交于點G、F,求證：BD=CE,BD1CE.

（2）解決問題：

如圖③，將圖①中4ABe繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，使AE與AB重合,其他條件不變，若AB=6,

AD=3,貝！JCE=,DF=.

（3）拓展應(yīng)用：

如圖④，將圖①中XABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（90。<a<180。），連接BD、CE，若AB=4四，

BE=3,^ABE=45°,則JBD=,AD=.（提示：求AD時，可過點E作EH1

AB于點H）

11.如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，AABC=Z.DBE=90。，ABAC=乙BDE=30。，BC=

3,BE=2.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當點D,E分別在AB,BC上時，可以得出結(jié)論：震=,

直線AD與直線EC的位置關(guān)系是

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC

上，連結(jié)EC,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展運用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(19。<a<60。)，連結(jié)

AD,EC,它們的延長線交于點F,當=時，求tan(60。—a)的值.

參考答案

1.【答案】C

2.【答案】4

3.【答案】(1)4

⑵34

4.【答案】(1)證明：???BC=AC,D、E分別是BC和AC的中點，

：.CD=AE=^BC=^AC,

又,:ZDCE=ZBCA=90°,BPZBCD+ZACD=ZACD+ZACE=90°,

.\ZBCD=ZACE,

BCD^AACE(SAS),

.\ZDBC=ZEAC.

(2)解：①如圖，當點D在△ABC內(nèi)時，過點C作CFLDE,

A

由（1）可知，若BC=AC,則△CDE為等腰直角三角形，其中CD=：BC=24C=2,

當B、D、E三點共線時，

ZBDC=180°-ZCDE=135°,

.,.ZBFC=90°,DF=EF=CF=2,

在RtABFC中，BF=VBC2-CF2=V42-22=V14.

止匕時BE=BF+EF=V14+2;

②如圖，當點D在△ABC外時，過點C作CF_LDE,

同理可得，BE=BF-EF=V14-2.

(3)解：如圖，過點C作CGLCH,交BD于點G,

又,：CD=^1BC,CE=^1AC,

.*.△BCD^AACE,

；.NCBD=NCAE,

由/BCA=NGCH=90。，同理可得，ZBCG=ZACH,

；.△BCGS/XACH,

.CG_BG_BC

""CH~AH~AC，

又,：乙ABC=30°,

?._?ACV3HRBCpj

??tanZ-ABC=—"3',即冠=^3,

ACG=WCH,BG=WAH，

在RtAGCH中，

GH=7cH2+CG2=2CH,

：-BH=BG+GH=y/3AH+2cH.

5.【答案】(1)BD=V3CE

(2)解：成立.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZDAB=Z.EAC=a,

??奴-歿-收

???△ADE~△ABC,

BDAB后

CE=XC=V3,

BD=y/SCE-

(3)解：如圖，連接AM,

M

由折疊的性質(zhì)可得4M1DE,AN=MN,AD=DM,

-：NA=90。，AB=y/3AC,BC=6,

AC=3,AB=3亞Z-B=30°,

BD-x,

AD=DM-3>/3—x，

■■■DE||BC,

???^ADE=(B=30°,AM1BC,

「廠2e5r2A/3“n1373仆rnm130一工

.??DE=-^-AD=6--5—%，AP=yAB4r>=-y-?AN=MN=yAD4=——，

jJ乙乙乙乙

???DE||BC,

BDAB

^NP=AP=2n,

.?.NP=/，

MP=MN-NP=3遮產(chǎn),

???FG=-^-FM=~^-MP=6——r%，

.y_(FG+DE〉NP_(6-竽，+6-竽久__勺%_+3通,

二當久=舊時，y=

6.【答案】(1)解：CELAB

(2)解：在ABED旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與AB'的位置關(guān)系與(1)中CE與的位置關(guān)系是一致

的，理由如下：

如圖2,延長CE'交AB'于H,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得CD=DE',B'D=AD,AADC=Z-E'DB'=90°,

^ADC+乙ADE'=乙ADE'+乙E'DB',

???^CDE'=AADB',

CDDE'

■■而=而

：.hADB'-△CDE',

/.DAB'=ADCE',

■：乙GDC=90°,

???Z.DCE'+Z.DGC=90°,

乙AGH=乙DGC,

/_DAB'+^AGH=90°,

^AHC=90°,

CE'1AB'y

(3)解：如圖3,過點D作DH1AB'于點H,

???ABED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°,

???乙BDB'=30°,B'D=BD=AD,

乙ADB'=120°,

ADAB'=AAB'D=30°,

???DH1AB',

：-AD=2DH,AH=V3DH=B'H,AB'=2AH,

：.AB'=WAD,

由(2)可知，AADB'S^CDE',

：.ADCE'=ADAB'=30°,

AD±BC,CD=V3>

DG=1,CG=2DG=2,

???CG=FG,

：.CG=FG=2,

???^DAB'=30°,CE'14B',

AG=2FG=4,

:.AD=AG+DG=4+1=5,

AB'=aAD=5V3.

7.【答案】（1）解：如圖，連接。尸，BF,AE.

???四邊形ZBCD是矩形，

Z.DAB=90°,AD=BC.

???BC：AB=3：4,

AD：AB=3：4,

設(shè)4。=3k,AB=4k,貝=^AD2+AB2=5k,

???AD：AB：BD=3：4：5,

同法可證EF：BE：BF=3：4：5,

???△ABDEBF,

???^ABD=乙EBF,第=第，

DCDr

：.^ABE=乙DBF,線=嘉，

DL)tir

ABE—△DBF,

DFDB5

-'-AE=AB=4'

(2)解：不變，理由是：

如圖，連接BD,BF.

???四邊形力BCD是矩形，

???Z.DAB=90°,AD=BC.

BC：AB=3：4,

???AD：AB=3：4,

設(shè)4。=3k,AB=4k,貝=y/AD2+AB2=5k，

AD：AB：BD=3：4：5,

同法可證EF：BE：BF=3：4：5,

???△ABDEBF,

???^ABD=乙EBF,第=第,

DCDr

：.乙ABE=/.DBF,線=嘉,

DUDr

???AABEDBF,

DFDB5

,,AE=AB=V

(3)解：如圖，連接BF,AE,過點G作GT1DC交OC的延長線于點T.

???四邊形4BCD是矩形,

??.AB=CD=8,

???DF=CF=4,DF：AE=5：4,

4廠16

?*-AE=-g-,

???cABC=2EBG=90°,

???Z-ABE=Z-CBG,

VCB=5G=3'

ABEs'CBG?

aEB4

c-=---

Gc3

CG=

???乙BCF=乙BGF=90°,

??.C,F,B,G四點共圓,

???乙GCT=(FBG,

???ZT=乙BGF=90°,

CTGs\BGF,

CT：GT：CG=BG：GF：BF=3：4：5,

??.△CFG的面積=y-CF.GT=^x4xS=^p

8.【答案】(1)解：①：AB=AC,ED=EC,ZBAC=ZDEC=50°,

AZABC=ZACB=(180°-50°)+2=65°,ZEDC=ZECD=(180°-50°)+2=65°,

.*.△ABC^AEDC,

.AC_BC

''EC=DC'

?/ZACE=180°-ZACB=115°,ZBCD=180°-ZECD=115°,

BCD^AACE；

②由①知，ABCDsaACE,

.\ZDBC=ZEAC,

ZAFB=ZDBC+ZCEA=ZEAC+ZCEA=ZACB=65°；

③補圖如下:

;115°；

④90。號

:在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=1,AD=ED=g,DG=3,

.AB_FG_43

??而=麗一丁

又：ZBAD=ZDGF=90°,

ADB^AGDF,

.-.ZADB=ZGDF,拼爆,

ZADG=ZGDF+ZADF,ZBDF=ZADB+ZADF,

.\ZADG=ZBDF,

；.△BDFS/XADG,

.BF_BD

"AG~AD!

VAD=V3,AB=1,

；?BD=VXB2+XD2=2，

.BF_BD_2^2/3

??福=一而=一丹=一丁’

9.【答案】(1)①如圖(2),由△ACD/Z\BCE,

；.BE=AD,ZEBC=ZCAD,

?點D、F重合，

；.BE=AD=AF,

VACDE為等腰直角三角形，

.\DE=EF=V2CF,

；.BF=BD=BE+ED=AF+&CF,

即BF-AF=V2CF

②如圖(1),過點C作CGJ_CF交BF于點G,

由(1)知，△ACD絲△BCE(SAS),

；./CAF=/CBE,BE=AD,

VZACF+ZACG=90°,ZACG+ZGCB=90°,

ZACF=ZBCG,

VZCAF=ZCBE,BC=AC,

.*.△BCG^AACF(ASA),

；.GC=FC,BG=AF,

故小GCF為等腰直角三角形，則GF=V2CF,

則BF=BG+GF=AF+V2CF,即BF-AF=V2CF；

(2)解：BF-kAF=7k%2+1-FC,理由如下

如圖(2),過點C作CGLCF交BF于點G,

同理，ZACD=ZBCF?

又,:BC=kAC,EC=kDC,

日/CCE,

.*.△ACD^ABCE,

.\ZCAF=ZCBE,

VZACF+ZACG=90°,ZACG+ZGCB=90°,

??.NACF=NBCG,

VZCAF=ZCBE,

.*.△BCG^AACF,

.GC_BG_BC_.

tuCF=AF=AC=k，

???CG=kCF,BG=kAF,

在RtAFCG中，

AGF=VCF2+GC2=JCF2+(/cCF)2=V/c2+1CF,

貝UBF=BG+GF=kAF+〃2+研,即BF-kAF幻k%2+「FC.

10.【答案】(1)證明：*：￡.BAC=^DAE=90°,

：.Z,BAD+/.BAE=乙CAE+乙BAE=90°,

C./LBAD=LCAE,

U：AB=AC,AD=AE,

：.AABDACE(SAS),

：.BD=CE,^ABD=LACE,

■:乙BFG=180°-乙ABD-乙BGF,ABAC=180°-^ACE-AAGC,且乙BGF=Z-AGC

：.^BFG=2LBAC,

U：^BAC=90°,

?"BFG=90°,

：.BD1CE,

即BD=CE,BDICE.

⑵3倔竽

(3)V73;V17

".【答案】(1)V3;AD1EC

(2)解：結(jié)論成立，理由如下:

^ABC=乙DBE