2025年中考數學總復習《圓與反比例函數》專項測試卷（附答案）

學校:班級：姓名:考號：

一'選擇題（每題3分，共24分）

1.如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=]（k>0）的圖象交于A,B兩點，點P在以C（-2,0）

已知OQ長的最大值為，則k的值為（）

C.32D

25-I

2.如圖，點A（1,2）在反比例函數y=4（x>。）上,B為反比例函數圖象上一點，不與A重合，當

以OB為直徑的圓經過A點，點B的坐標為（)

A.(2,1)B.(3,1)C.(4,0.5)D.(5,0.4)

3.如圖，P（%,y）（久>0）是反比例函數y=四的圖象上的一個動點，以點P為圓心，OP長為半徑的圓與x

JX

軸相交于點4延長OP交OP于點B,連結AB,則AOAB的面積為（）

B.2V3C.V3D.2

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數y=[（k>0,x>0）的圖象上，分別以A、B為圓心，1為

半徑作圓，當。A與x軸相切、OB與y軸相切時，連結AB,AB=4遮，則k的值為（)

y

A.3B.4V2C.4D.5

5.如圖，已知在平面直角坐標系元0y中，。為坐標原點，點P是反比例函數（x>0）圖象上的一個

動點，若以點P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點為A、B,當弦的長等于2b時，點P

的坐標為（）

A.（1,6）和（6,1）B.（2,3）和（3,2）

C.（V2,3V2）和（3V2,V2）D.（V3,2V3）和（2百，翼）

6.如圖，點PQ,/^0，（^是反比例函數了二堂的^^的圖象上的一個動點，以點P為圓心，0P為半徑

的圓與x軸交于點4延長0P交圓P于點B,連結AB,貝必。4B的面積是（）

A.3B.2V3C.V3D.亨

7.如圖，RtAOBC的斜邊08落在x軸上，A0CB=90°,CO=CB=2^2,以。為圓心.08長為半徑

作弧交OC的延長線于點D,過點C作CE||0B,交圓弧于點E.若反比例函數y=］（kA0,%>0）的圖像

經過點E,則k的值是（)

A.3A/3B.3A/5C.4^3D.4V5

8.如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于4、3兩點，分別以A、3兩點為圓心，畫與無軸相切

的兩個圓，若點A的坐標為（2,1）,則圖中兩個陰影部分面積的和是（）

A.；兀B./兀C.7iD.47r

二'填空題（每題3分，共15分）

9.如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數y=［圖象上的點點3為頂點，分別作菱形AOCD

和菱形。3斯，點。，E在x軸上，以點。為圓心，0A長為半徑作弧AC,連接BE則陰影部分面積之

和為?

10.如圖，點A（7/,7V2）,過A作AB，x軸于點B,C是反比例函數y=?圖像上一動點且在△AOB

內部，以C為圓心魚為半徑作。C,當。C與AAOB的邊相切時，點C的縱坐標是

11.如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=[(k>0)的圖象交于A,B兩點，點M在以C(4,0)為圓心，半

徑為2的0c上，N是BM的中點，已知0N長的最大值為3,則k的值是

12.如圖，0A在x軸上，0B在y軸上，0A=8,AB=10,點C在邊0A上，AC=2,OP的圓心P在線段

BC上，且。P與邊AB,A。都相切.若反比例函數y專傳0)的圖象經過圓心P,則k=--------------

13.在平面直角坐標系xOy中，直線y=血％+)1分別交y軸負半軸，反比例函數y=[(k>0,久〉0)的

圖象于點A,B,以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交平行于x軸的直線AE于點C,作CD垂直于x軸交

反比例函數y=-(fc>0,%>0)的圖象于點D.若累=|,ABCD的面積為2,則k的值等于_________.

XC//1乙

三'解答題(共7題，共61分)

14.如圖，已知一次函數以=kx+b的圖像與反比例函數為=2的圖像交于點4(-3,九)，且與y軸交于點

4X

B,第一象限內點C在反比例函數為=1的圖像上，且以點C為圓心的圓與x軸，y軸分別相切于點D,

B.

(2)求一次函數的表達式；

(3)當當<以時，直接寫出x的取值范圍.

15.如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，P是反比例函數y=烏(x>0)圖象上任意一點，以

X

P為圓心，P0為半徑的圓與X軸交于點A、與y軸交于點B,連接AB.

(1)求證：P為線段AB的中點；

(2)求小AOB的面積.

16.如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，P是反比例函數y=^.(%>0)圖象上任意一點，以P

為圓心，PO為半徑的圓與X軸交于點A、與y軸交于點B,連接AB.

(1)求證：P為線段AB的中點；

(2)求仆AOB的面積.

17.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x與雙曲線y=1交于A,B兩點，其中A的坐標為(1,a),P

是以點C(-2,2)為圓心，半徑長為1的圓上一動點，連接AP,Q為AP的中點.

(1)求雙曲線的解析式：

(2)將直線y=x向上平移m(m>0)個單位長度，若平移后的直線與。C相切，求m的值

(3)求線段OQ長度的最大值.

18.若一個圓的圓心P(久，y)落在反比例函數y=［在第一象限的圖象上，則稱這個圓為“比心圓

(1)當比心圓同時與x軸和y軸相切時，求圓心P的坐標和。P半徑；

(2)若比心圓以OP為半徑，交%軸和y軸分別為點A和點B,判斷△OAB的面積是否為定值？如

果是定值請求出，如果不是請說明理由；

(3)若比心圓的半徑為1,請直接寫出當比心圓與%軸或y軸相交時的圓心P的橫坐標%的取值范

圍.

19.小靜發現希臘數學家曾利用反比例函數圖象將一個角三等分，具體方法如下：

第一步：建立平面直角坐標系，將已知銳角/A08的頂點與原點。重合，角的一邊與x軸正方向

重合.在平面直角坐標系里，繪制函數曠=工的圖象，圖象與已知角的另一邊0A交于點尸.

JX

第二步：以尸為圓心、以20P為半徑作弧，交函數y=」的圖象于點R.

JX

第三步：分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩線相交于點連接OM,得到(如圖1).

1

這時ZMOB="AOB.

為什么NMOB=/乙40B?小靜想要證明這個結論卻沒有思路，便詢問老師.

老師進行了指導：分別過點尸和R作y軸和x軸的平行線，兩線交于點Q(如圖2),解答這道題的關

鍵就是證明O,Q,M三點共線，在平面直角坐標系中，證明三點共線最直接的做法是先用兩點確定一條

直線的表達式,再證明第三點在這條直線上.

老師指導后,小靜若有所思.請你和小靜一起,

(1)已知C(—1,0),以0,2),F(l,4),請說明C、D、E三點共線.

(2)在“三等分角”的作圖中(如圖2),請證明O,Q,M三點共線.

(3)在⑵的基礎上，請證明NMOB=*40B.

20.如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=](k>0)的圖象交于A、B兩點，點P在以C(-2,0)為圓心,

1為半徑的圓上，Q是AP的中點

(1)若AO=V5,求k的值；

(2)若OQ長的最大值為f,求k的值；

(3)若過點C的二次函數y=ax?+bx+c同時滿足以下兩個條件：①a+b+c=O；②當aWxWa+1時，函數

y的最大值為4a,求二次項系數a的值.

參考答案

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】3聲—學

10.【答案】4或2四

11?【答案】嘿

12.【答案】-5

13.【答案】|

14.【答案】（1）解：在當=[中，當久=—3時，丫？=[=—3,

An=-3；

（2）解：如圖所示，連接CB,CD,

:以點C為圓心的圓與x軸，y軸分別相切于點O,B，

CB=CD,CB1y軸，CD1久軸,

二可設點C的坐標為（m,m）,

.9

??m=一，

m

Am=3或m=-3（負值舍去），

...點B的坐標為（0,3）,

將點4（一3,—3）、B（0,3）代入y1=kx+b中,

?（—3k+b=-3

7b=39

.（k=2

F=3，

???一次函數解析式為%=2%+3；

（3）x的取值范圍為：一3<久<0和x>|.

15.【答案】（1）證明：?.?點A、0、B在。P上，且NAOB=90。,

AAB為。P直徑，

即P為AB中點；

（2）解：:P為、=工（x>0）上的點，

設點P的坐標為（m,n）,則mn=12,

?.?點A、0、B在。P上，

；.M為0A中點，0A=2m；

N為OB中點，OB=2n,

**.SAAOB=；0A?0B=2mn=24.

16.【答案】（1）證明：?.?點A、0、B在。P上，且NAOB=90。,

；.AB為。P直徑，即P為AB中點

（2）解：...p為y=工（x>0）上的點，

JX

設點P的坐標為（m,n）,則mn=12,過點P作PM，x軸于M,PN，y軸于N,

的坐標為（m,0）,N的坐標為（0,n）,且OM=m,ON=n,\?點A、O、B在。P上，

為OA中點，OA=2m；N為OB中點，OB=2n,.*.SAAOB=10A，0B=2mn=24.

17.【答案】（1）解：:?點A（1,a）在直線y=x上，

/.a=l,

???點A的坐標為（1,1）,

把點A坐標代入到反比例函數解析式得1=

:?k—1,

反比例函數解析式為y=5

（2）解：由題意得平移后的直線解析式為y=%+m,

如圖所示，設直線y=x+巾與圓C的切點為D,與y軸的交點為H,連接OC,過點C作CE±x軸于E,

.?.點H的坐標為(0,m)

；.OH=m,

?.?點C(-2,2),

；.CE=OE=2,OC=J(—2)2+22=2版

.\ZCOE=45°,

；.NDOH=45°,

同理可證NBOE=45。，

AZBOC=90°,即OC_LAB,

直線y=x+TH與直線AB平行，

；.OC與直線y=久+加垂直，

又,直線y=x+與圓C相切于點C,

/.CD與直線y=x+m垂直，

；.C、O、D三點共線，

?.?圓C的半徑為1,

：.0D=0C-CD=2A/2-1,

VZODH=90o,NDOH=45。，

；./DHO=45°,

-,-DH=OD=2V2-1,

OH=<DH2+OD2=4一四,

"?m—4—V2

同理當切點D在圓O上方時可以求得m=4+魚，

綜上所述，若平移后的直線與。C相切，m=4—/或m=4+/;

(3)解：如圖所示，連接PB,PC,BC,

由對稱性可知A、B關于原點對稱，即O是AB的中點,

...點B的坐標為(-1,-1),

：Q是AP的中點，

；.0Q是△APB的中位線，

1

-"-0Q=

要想OQ最大，則PB最大，

?:PB<PC+BC,

...當P、B、C三點共線，且P在C點上方時，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC,

?.?點C(-2,2),點B(-1,-1),

：.BC=V(-l+2)2+(-l-2)2=V10,

,PB謖大=舊+1,

二…啜

18.【答案】(1)解：如圖所示，連接OP、PA、PB

二,比心圓同時與x軸和y軸相切

???PA_Ly軸，PB_Lx軸,且PA=PB,

二?點P處y=%，

(y—x/

???{y=；解得真Q

VP(%,y)落在反比例函數y=［在第一象限的圖象上

圓心P(2,2),半徑PA=2

(2)解：如圖2,在y=［的圖像上任取一點P,設P點坐標為(尤1，%),過P作PELy軸，PF,軸,

PE=x、,PF=y1，

?1111

??S^AOB=S4AOP+S"op=2°力,PR+?PE=2。4?丫1+/B-x1，

??,由圓的性質可知OA=OP=OB,

**?OA-OB—2yl，

.11

,*^LAOB=2x2x1y1+x2y1x1=2x1y1，

VP在y=i的圖像上，

，X

4

?'?SAAOB=2%i?—=8，

X1

；.△OAB的面積是為定值，且S“OB=8；

(3)解：如圖3,比心圓的半徑為1,且與%軸或y軸相交，

情況一：與y軸相交，P距離y軸的距離，即橫坐標大于零，小于1,此時x的取值范圍：0<x<l；

情況二：與x軸相交，P距離x軸的距離，即縱坐標大于零，小于1,此時0<±<1，解得x>4,即此

X

時X的取值范圍：x>4,

綜上：x的取值范圍：0<x<l或x>4.

19.【答案】(1)解：設直線CE解析式為、=kx+b,將C(—l,0),F(l,4)代入得

[°.=-母，解得｛￡=|

4=k+b3=2

???y=2%+2

將％=。代入得，y=2

???D在直線CE上，???C、D、E三點共線

(2)解：PM||x軸，MR||y軸，設P(a,》，R(b,1)

11

?,"(4五)，Q(a，萬)

設OM的解析式為y=kx,

11

：

*a,?—=bk.,?ak.b=-

二直線OM的解析式為：y=

當久=a時，y=J,

???Q(a,》，???點Q在直線OM上；

(3)解：設PR交QM于點D,

:過P,R作x,y軸的平行線，二四邊形PORM為矩形，

DQ=DR

???乙DOR=乙DRQ,

?