專題四平行四邊形存在性問題

問題與方法

問題1(三定點一動點)：如圖3-4-1,已知平面直角坐標系內的三個點A(1,2),B(6,1),C(3,5),D為同一坐標

平面內一點，若以A,B,C,D四個點為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標為

【簡析】先作出滿足條件的圖形，確定點的位置，再求點的坐標.

A,B,C,D四個點中有三個定點一個動點.

如圖342,連接AB,BC,CA,分別過A,B,C三點作BC,AC,AB的平行線，三條直線兩兩相交于點DiDR,則點

即是所求的點D的位置.

5c

當四邊形ABC。是平行四邊形時，ABWCDr.AB=CD”CDi可看成是由AB平移得到的.'寸下:---?

B(6,1),C(3,5),把AB向左平移3個單位，再向上平移4個單位可得(CD1.4―：

圖3-4-2

：A(1,2),.?.點A的對應點Di的坐標為((-2,6).

當四邊形ABD?。,四邊形力CB￡)3是平行四邊形時，同理可得。2(8,4),。3(4,-2)綜上,符合條件的點D的坐標

為(8,4)或(-2,6)或(4,-2).

拓展：上述解法是根據平移的性質求解的，同學們也可以根據直線.。以2平行于AB，且過點C求得其解析式，

同理求出直線的解析式，兩兩聯立構造方程組求得點D的坐標.

問題2(兩定點兩動點)：如圖3-4-3,在平面直角坐標系中，點A(4,2),B(-l,-3),P是x軸上的一點，Q是y軸上的一

點，若以A,B,P,Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則點P,Q的坐標分別為.

一

5(7,T)I

圖3-4-3

【簡析】A,B,C,D四個點中有兩個定點兩個動點.A(4,2),B(-l,-3).

設P(Xp,O),Q(O,y0).如圖3-4-4所示:

①當AB為邊時,平移線段AB，使其兩端點分別落在x軸、y軸上，有兩種可能.當四邊形ABP3Q3是平行四邊

形時，對角線AP3的中點與BQ3的中點重合"號入卡，=變，解得杷=-5,%=5,此時，

P3(-5,0)Q(0,5);當四邊形ABQiPi是平行四邊形時,對角線AQ1的中點與BP】的中點重合...出=匚±1竺也=±±9,

解得%=5,九=-5,此時,Pi(5,0),Q1(0,-5);

②當AB為對角線時，對角線P2Q2的中點與AB的中點重合，二寧=中，寧=號，

解得xP2=3,yQ2=—1,此時,P2(3.0),Q2(O--1).

綜上,符合題意的點RQ的坐標分別為:P(-5,0),Q(0,5)或P(5,0),Q(0,-5)或P(3,O),Q(O,-1).圖3-4-4

平行四邊形存在性問題常見處理策略

1.定性分析，確定位置一幾何法

(1)三個定點一個動點的情況(平行相交法)

如圖3-4-5①，A,B,C為三個定點，分別過這三點作三角形ABC三條邊的平行線，找到其交點，可得3個平

彳亍四邊形：［oABCDr,UABD2C,UACBD3.

①②③

圖3-4-5

(2)兩個定點兩個動點的情況(平移法+對角線法)

設兩定點為A,B.

①如圖②，當AB為平行四邊形的邊時(平移法)：平移AB,即可確定另外兩動點的位置(原理：平行四邊形的

對邊平行且相等).需要注意的是可能有兩種平移方式.

②如圖③，當AB為平行四邊形的對角線時(對角線法):取AB的中點，作過中點的直線，并在上面截取OC=OD,

可得口ACBD.

2.定量分析，確定數值——代數法

(1)利用平移的性質求未知點的坐標

如圖3-4-6①，坐標平面內把線段AB平移得線段CD,則兩定點A,B移動的水平距離和鉛垂距離分別相等，

據此可構造方程二『：及］『即：我：:‘此時△BDMgAACN.

Unyc-yBy。，(以十y。一十y。，

圖3-4-6

(2)利用中點坐標公式求未知點的坐標

fXA+XB_

如圖②，根據平行四邊形的對角線互相平分，構造方程一二匚

22

事實上，(1)⑵中構造的兩個方程組是一致的，可統一為：對角線兩端點的橫坐標之和相等，且縱坐標之和相

等.

3.“斜化正”策略一數形結合

如圖③，如果A,B是兩個定點，線段AB是一條“斜線段"通過平移，把AB平移至(JCD的位置構成平行四

邊形時，常常令"AM=CN”或"BM=DN”構造方程求解.

應用舉例

例1如圖3-4-7，在平面直角坐標系中，拋物線y=收+6乂—4佰邦)與x軸交于點A(-l,0),B(4,0),與y軸交于

點C.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵直線1為該拋物線的對稱軸點D與點C關于直線1對稱點P為直線AD下方拋物線上一動點連接PA,

PD,求APAD面積的最大值；

(3)在⑵的條件下，在平面直角坐標系內確定一點M,使得以點A,D,M,P為頂點的四邊形是平行四邊形.

寫出所有符合條件的點M的坐標，寫出求解過程.

圖3-4-7

【問題分析】

第⑵問中，A,D為定點，設出點P的坐標，建立APAD的面積關于點P的橫坐標的二次函數，求最值即可；

第(3)問中，在(2)的條件下，則P點為確定的點，故已確定了三個點A,D,P,屬于“三定點一動點”的平行四

邊形存在性問題，可以運用過三個定點作平行線確定M的位置，再運用中點坐標公式求出點M的坐標.

例2如圖348,已知拋物線y=ax2+bx+4經過A(-l,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C.

⑴求拋物線的解析式.

(2)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A,C,M,N四點為頂點的四邊形是平行四邊

形？若存在，求出點N和對應的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖3-4-8

【問題分析】

第⑵問屬于，兩定點兩動點'的平行四邊形的存在性問題.A,C為兩定點，需分AC為對角線，AC為邊(或

AC,AM,AN為對角線)分類討論.

例3如圖3-4-9,拋物線y^ax2+bx-5(a*0)經過x軸上的點A(l,0)和點B及y軸上的點C,經過B,C兩點

的直線為y=x+n.

⑴求拋物線的解析式；

(2)過點A作AMLBC于點M,過拋物線上一動點N(不與點B,C重合)作直線AM的平行線交直線BC于點

Q.若以A,M,N,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標.

【問題分析】

第⑵問中,A點和M點為定點，AM的長度和方向均確定，屬于“兩定點兩動點”的平行四邊形存在性問題,

其中NQ//AM,則AM為平行四邊形的一條邊，可采用平移法確定N的位置.

進階訓練

1.如圖3410,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y-ax2-2x+c與直線y=kx+b都經過A(0,-3),B(3,0)兩

點，該拋物線的頂點為C.

⑴求此拋物線和直線AB的解析式.

⑵設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E,在射線EB上是否存在一點M,過M作x軸的垂線交拋物線

于點N,使點M,N,C,E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖3411拋物線y=aK2+6x+c(aH0)與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，AC=V10,OB=

OC=30A.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在第二象限內的拋物線上確定一點P,使四邊形PBAC的面積最大，求出點P的坐標.

(3)在(2)的結論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q,使以P,B,M,Q為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖3412拋物線y^x2+bx+c的頂點為D(-1,-4),與y軸交于點C(0,-3),與x軸交于A,B兩點(點A在

點B的左側).

(1)求拋物線的表達式.

⑵若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F,使以A,C,E,F為頂點的四邊形為平行四邊形？若

存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖3413,已知拋物線:g=-好—2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側)與y軸交于點C.

(1)直接寫出點A,B,C的坐標.

⑵將拋物線yi經過向右與向下平移，使得到的拋物線y2與x軸交于B》兩點@在8的右側），頂點D的

對應點為點D1,若乙BDE=90。,求點B，的坐標及拋物線yz的解析式.

⑶在⑵的條件下，若點Q在x軸上，則在拋物線yi或y2上是否存在點P,使以B；C,Q,P為頂點的四邊形

是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

答案

I應用舉例I

例1解：(1)拋物線的解析式為y=%2-3%-4.

⑵易得C(0,-4)直線1為x=|.

???點D與點C關于直線1對稱，

；.D(3,-4).

：A(-l,0),；.直線AD的函數解析式為y=-x-l.設m2-3m-4),

如圖①，過點P作PE〃y軸交直線AD于點E,

???PE=—m—1—(m2—3m—4)=—m2+2m+3.

22

???^APD=|xPEx4=-2m+4m+6=—2(m—l)+8

V-2<0,.\SAAPD有最大值.

???當m=l時,4PAD的面積最大，最大值為8.

①②

⑶解法1:由⑵知，當AAPD的面積最大時，點P(l,-6)為定點且A(-l,0),D(3,-4)也為定點.如圖②，分別過點A,D,P

作乂W2歸口,\1加3口H乂2乂3忸口,三條直線分別相交于點Ml,M2,M3,則Ml,M2,M3就是符合條件的點M的位置.

直接利用中點坐標公式才巴A(-l,0),D(3,-4),P(l,-6)分別代入方程組

fXA+j-p=XD+xMi,用工”+工產Hp+%，

1%+yr=+y”,，?>p*'yb—、翔；

可分別求得Mi(l,2),M2(-3,-2),M3(5,-l0).

解法2:分別求出MIM2,MIM3,M2M3的解析式，再兩兩聯立，求出點M1(l,2),M2(-3,-2),M3(5,-10).

例2解：(1)拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

⑵解法1：存在.①當AC為平行四邊形的一條邊時，由于點M,A都在x軸上，故只需將AC平移，使得其中

一個端點仍在x軸上，另一個端點在拋物線上即可.如圖①，先把AC沿著x軸方向平移到MiNi的位置，也可以將

AC平移到M2N2或M3N3的位置

根據平移的性質，滿足條件的點N的縱坐標為4或-4,對于拋物線y=-f+3x+4,當y=4時，%2-3x=0,

解得x=0或3,.6式3,4).

作NiD_Lx軸于點D,易證ACAO0ANiMiD,則AO=DM1=1,

當y=-4時.%2一3%一8=0,解得x=3±*,

???必呼-4).(手一4)

過點Nz作N?E，x軸于點E,易證△CAOgAN2M2區則2。=EM2=1,

...0M2=M+l=W

z22

過點N3作N31X軸于點F,易證△CAO^^N3M3F,則AO=FM3=1,

八3—?5—V41.(5—V41

???B

..OM3=+1=工一.?M3(工一，

②當AC為平行四邊形的對角線時過點C作CN4||X軸交拋物線于點N4(3,4)(與電重合)，易得AC的中點坐標

(-卬

設M4(m,0)，代入中點坐標公式，即等=一點解得m=-4,；.M4(-4,0).

綜上,滿足條件的點N,M的坐標分別為N(3,4),M(2,0)或N(注色，-4),Mg盧,0)或N(上/)

-4),M0)或N(3,4),M(-4,0).

解法2：存在.

由題意可設M(m,0),/V(n--n2+3n+4),易得C(0,4),①當AC為對角線時，如圖②所示：

連接MN，?二四邊形ANCM是平行四邊形，，根據中點坐標公式可得‘：?，即

1%十y。一"M十YN,

o+H瑞蒙+4解得巴二'或憶力舍去)，，N34),M(4。).

②當AM為對角線時,同理可得：｛；：葭葭;竟即|o+：2*'+4,

3+V41(3-V41

n=n=

解得2

5+V41)5-V41

m=-------m=-------

.?力(帶乳。)，%(言列-4)或M(亨)0)"(手，一4).

③當AN為對角線時，同理可得：出工：二;，費即二麓；+。解得或｛；二匕(舍去),

N(3,4),M(2,0).

綜上,滿足條件的點N,M的坐標分別為N(3,4),M(2,0)或N(注亙，-4),M(土/,0)或N(書

-4),M(零亂0)或N(3,4),M(-4,0).

例3解:⑴：點B,C在直線y=x+n上,

->.B(-n,O),C(O,n).

,/點A(l,O),B(-n,O),C(O,n)在拋物線上,

a+Z)-5=0,

???an2—bn—5=0,

、n=-5,

a=-l,b=6,

..?拋物線的解析式為y=-x2+6x-5.

(2)由⑴知,AB=4,BC所在直線為y=x-5,B(5,0),C(0,-5),.\ZABC=45°.

VAM±BC,.,.AM=2/如圖，過點A作x軸的垂線交直線BC于點D,貝必ADM為等腰直角三角形，且

平移線段AD,使得點A落在拋物線上的點NI處，則點D落在直線BC上的點HI處；或者使得點A落在

直線BC上的點H2或七處，點D落在拋物線上的點Nz或用處，此時再分別過點Ni,NzN作BC的垂線，垂

足分別為Q1Q,Q3,則四邊形AMQINI,AMNZQ2,AMN3Q3均為滿足條件的平行四邊彩

若設N(nv—m2+6m—5)廁H(m,m-5),HN=4,即|一+67n—5—(m—5)|=4.

當--+6m-5-(m-5)=4時，解得7nl=4,m2=1(舍)，即N1的橫坐標為4;

當一—+6m-5-(m-5)=-4時，解得m3=巴/，m4=三/，即N2的橫坐標為土盧,刈的橫坐標為

5-V41

2,

綜上，若以A,M,N,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，則點N的橫坐標為4或手或咨竺

【解法反思】求解本題的關鍵有兩點：一是抓住NQ〃AM的特性；二是運用“斜化正”的策略.注意合理利用

ABOC是等腰直角三角形這個隱含條件，把斜線段AM=NQ轉化為鉛垂線段AD=NH,構造方程求解.

進階訓練I

1.解：(1)拋物線的解析式為y=x2-2%-3,直線AB的解析式為y=x-3.

⑵存在.易知C(1,-4),E(1,-2),，CE=2.

由于MN〃CE，點M,N,C,E是平行四邊形的四個頂點，故MN和CE必為平行四邊形的對邊，即MN=EC.

設M(m,m-3),則N(m，m2—2m—3).

①如圖①，若點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形,CE=MN.

MN=m—3—(m2—2m-3)=~m2+3m.

2

-m+3m=2.解得mr=2,m2=1(舍去).，M(2,-1).

②如圖②，若點M在x軸上方，四邊形CENM為平行四邊形,CE=MN.

MN=m2—2m—3—(m-3)=m2—3m.

2

???m-3m=2.解得：m3=^^,m4=上盧(舍去)，二”(壁盧'三生).

綜上,M點的坐標為(2,—1)或(言亞)誓4

【解法反思】抓住NM〃EC這一確定的位置關系判定EC和MN必為平行四邊形的一組對邊，再根據NM=EC

列方程求解是解決本題的關鍵.

2.解:((1)???0C=30A,AC=V10,AAOC=90。，

2

OA2+OC2=即0〃+(304)2=(也),

解得0人=1(負值已舍),；.0?=3.二人(1,0)。(0,3).

VOB=OC=3,.*.B(-3,0).

設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-l),

將C(0,3)的坐標代入，得-3a=3,解得a=-l,

???y=-(%+3)(久—1)=—X2-2x+3,

即拋物線的解析式為y=-%2-2%+3.

⑵如圖①，連接BC過點P作PK〃y軸交BC于點K,設直線BC解析式為y=kx+n,將B(-3,0),C(0,3)的坐標代

入，

得1一33nT°,解得J二'

(n=3,(n=3,

，直線BC解析式為y=x+3.

設PS—產-2t+3),貝！JK(t,t+3),

**?PK=—產—2t+3—(t+3)=—產—3t.

■■■SPBC=-PK-OB=-(-t2-3t\S=-XB-OC=-x4x3=6.

ABC22

,3(一,3\2,75

.32

??S四邊形=S4PBC+S△/收=~2(-I-3/)+6=--(t+-J+--

-|<0,..?.當t=—I時，四邊形PBAC的面積最大，此時點P的坐標為

4y

/TTJ

①②

(3)存在.Q點的坐標為(2'4)或(2，43或(萼一/).［解析］由⑵知P(-|,》,則PB為定點,

M,Q為動點.易得拋物線對稱軸為直線x=-l.如圖②,

①當PB為平行四邊形的一邊時，平移線段PB至點P或點B落在拋物線上，另一點落在x軸上，得到四邊

形PBMiQi,四邊形PM2Q2B,四邊形PM3Q3B.

當四邊形PBMiQi是平行四邊形時，

VPQdlxffl,P（一|吟）,

..?點Qi與點P關于拋物線的對稱軸x=-l對稱.

,\Qi(-*)

當四邊形PM2Q2B,四邊形PM3Q3B是平行四邊形時易得點Q與點P的縱坐標互為相反數，

由一/-2%+3=-冬

缶”7日A/31+2VsT—2

斛得%1=----1，%2=

??"耍T)《(-曾一詈

②當PB為平行四邊形的一條對角線時，四邊形PQiBM4是平行四邊形，此時Q點的坐標為

綜上，Q點的坐標為(/號或(一第'一?或("二'一9

【解法反思】本題第⑶問在第⑵問的前提下，確定了點P的位置，問題轉化為“兩定點兩動點'型問題，此時

題目條件與例2類似，參考例2求解即可.

3.解：(1)拋物線的表達式為y=乂2+2口-3.

⑵存在.

令好+2%—3=0,解得%1=1,比2=-3,

所以點A的坐標為(-3,0)點B的坐標為(1,0).

由點F在拋物線上可設點F的坐標為((加6？+2爪-3).

解法1：①如圖①、圖②，當AC為平行四邊形的邊時，

過點F作FP垂直于拋物線的對稱軸，垂足為P.

易證△PEF0Z\OCA.

所以PF=AO=3.

從而點F的坐標為(2,5)或(-4,5).

②如圖③，當AC為平行四邊形的對角線時,

過點F作FPLy軸于點P,設拋物線的對稱軸父x軸于點Q,易證APCF^^QEA.

所以PF=AQ=2.從而點F的坐標為(-2,-3),

此時點F與點C縱坐標相同，所以點E在x軸上.

綜上,滿足條件的點F的坐標為(2,5)或(-4,5)或(-2,-3).

解法2:點E在拋物線的對稱軸上，設

①當AC,EF為平行四邊形的對角線時，可得

解得=一2,r-i+m=-3+o,

IVo=°,+(62+2m—3)=0+(—3),

此時點F的坐標為(-2,-3);

②當AE,CF為平行四邊形的對角線時，可得仁:二.3)解得｛y;此時，點F的坐標為(-4,5)

③當AF,CE為平行四邊形的對角線時，可得|-3+m