專題07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）構等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各

大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

一‘一二一^~~..........................................................................................................................................2

模型1.平分平行（射影）構等腰模型....................................................2

模型2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型7

習題練模型

14

例題講模型］

模型1.平分平行（射影）構等腰模型

角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構造

等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后

還會遇到很多類似總結）。

角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對頂角相等構造等腰。

1）角平分線加平行線必出等腰三角形.

條件：如圖1,。。'平分NVON,過。的一點尸作尸結論：AOP。是等腰三角形。

證明：\'PQ//ON,.,.Z1=Z3,平分NM9N,

?.Z2=Z3,AOQ=PQ,.?.△OP。是等腰三角形。

條件：如圖2,ZUBC中，5。是//3C的角平分線，DE//BC。結論：△8DE是等腰三角形。

證明：■:DE//BC,:./BDE=/DBC,是N/8C的角平分線，；.NDBE=/DBC,

:./DBE=NBDE,：.BE=DE,是等腰三角形。

條件：如圖3,在中，BO平分/ABC,CO平分2/C3,過點。作的平行線與4B,/C分別相

交于點N.結論：XBOM、ACON都是等腰三角形。

證明：由題意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,「BO是N/BC的角平分線，AZOBM=ZOBC,

：.ZBOM=ZMBO,：.BM=OM,△RW是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形.

B

圖4

條件：如圖4,BE平分NCBA,ZACB=ZCDA=90°.結論：三角形CM是等腰三角形。

證明：?:BE平分/CB4,：.NCBE=NABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=9Q°,

'：ZCDA=90°,AZABE+ZBFD=90°,VZBFD=ZCFE,：.ZABE+ZCFE=90°,

:.NCEB=NCFE,：.CF=CE,三角形CE尸是等腰三角形。

模型運用

例1.（2024?四川成者B?中考真題）如圖，在Y/BCO中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半

徑作弧，分別交8/,8c于點W,N；②分別以W,N為圓心，以大于《〃乂的長為半徑作弧,兩弧在/48C

內交于點。；③作射線30,交AD于點、E,交CD延長線于點尸.若CD=3,DE=2,下列結論錯誤的是

BE5

A.ZABE=ZCBEB.5c=5C.DE=DF

EF3

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定的綜

合.先由作圖得到5/為//8C的角平分，利用平行線證明/AEB=NABE,從而得到=CD=3,

RF3

再利用平行四邊形的性質得到8C=4D=/E+ED=3+2=5,再證明△/EBS/XDE/，分別求出一=-,

EF2

DF=2,則各選項可以判定.

【詳解】解：由作圖可知，8尸為的角平分，=故A正確；

四邊形為平行四邊形，；.AD=BC,AB=CD,AD^BC,

,?AD〃BCNAEB=ZCBE,；.ZAEB=ZABE,

:.AE=AB=CD=3,：.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確；

AB=CD,：.ZABE=ZF,?:NAEB=NDEF,:.AAEBs^DEF,

.BEAB_AE.BE_3_3.BE_3

DF=2,故D錯誤;

''EF~DF~ED'"EF~DF~1'"EF~1

DE=2,：.DE=DF,故C正確，故選：D.

例2.（2024?貴州貴陽?模擬預測）如圖，在VN8C中，BC=J,/48C和NNC3的平分線相交于點。，過

點。作8c的平行線交48于點E,交NC于點尸，若△/￡尸的周長為14,則V/BC的周長是（）

A.14B.19C.21D.23

【答案】C

［分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線定義.由角平分線的定義得到ZEBD=NCBD,

由平行線的性質得到=mi^ZEDB=ZEBD,推出切=￡8,同理：FD=FC,于是得到

BE+CF=DE+DF=EF,由△/￡1廠的周長=/E+/F+FE=4B+4c=14,即可求出V48c的周長

=/C+/B+BC=14+7=21.

【詳解】解：QBD平分ZABC,：.ZEBD=ZCBD,

EF//BC,:.NEDB=NDBC,ZEDB=AEBD,ED=EB,

同理：FD=FC,:.BE+CF=DE+DF=EF,

AAEF=AE+AF+FE=AE+AF+BE+CF=AB+AC=14,

.1A/BC的周長=/C+4B+BC=14+7=21.故選：C.

例3.（2023?廣東?八年級期末）如圖，°ABCDAB=3cm,BC=5cm,BE平分/ABC交AD于E點、,

CF平分ZBCD交4D于尸點，則E尸的長為cm.

【答案】1

【分析】根據角平分線的概念、平行線的性質及等腰三角形的性質，可分別推出AE=AB,DF=DC,進而推

出EF=AE+DF-AD.

【詳解】：四邊形/2CO是平行四邊形，.??N/E8=NE8C,AD=BC=5cm,

:BE平濟/ABC,：.ZABE=ZEBC,貝

:.AB=AE=3cm,同理可證：DF=DC=AB=3cm,

則EF=/￡+FD-/Z）=3+3-5=lcm.故答案為：1.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，關鍵是運用角平分線的概念和平行線的性質，由等角推出等邊.

例4.（2023春?四川達州?八年級校考階段練習）如圖,在RtA/BC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D,

4F平分/C42,交.CD于點、E,交C3于點尸，則下列結論成立的是（）

【答案】C

【分析】求出NCAF=/BAF,ZB=ZACD,根據三角形外角性質得出/CEF=/CFE,即可得出答案；

【詳解】：在RtAABC中，NACB=90°,CDXAB,NCDB=NACB=90°,

.,.ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,.,.ZACD=ZB,

：AF平分NCAB,；./CAE=NBAF,/ACD+NCAE=NB+NBAF,

.\ZCEF=ZCFE,ACE=CF.故選C.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定，正確的識別圖形是解題的關鍵.

例5.（2023.成都市青羊區八年級期中）如圖，在△43C中，ZBAC=90°,4D_18c于點。，N4BC的平

分線BE交AD于F,交ZC于E,若4E=3,DF=2,則.

【答案】5

【詳解】由角度分析易知=,即/￡=/尸，

'/AE=3：.AF=3'：DF=2：.AD=AF+DF=5

【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型.

例6.（2023九年級?廣東?專題練習）如圖1,在V/3C中，//3C和NNC3的平分線交于點O,過點。作

EF//BC,交于￡,交NC于E

圖2

；（2）當BE>CF時，若CO是N/C2的外角平分線，如圖2,它

仍然和//8C的角平分線相交于點。，過點。作跖〃2C,交A8于￡,交/C于尸，試判斷ERBE,CF

之間的關系，并說明理由.

【答案】（1）8（2）族=見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義等知識，利用角平分

線和平行線證明等腰三角形是解題的關鍵.（1）由平行線的性質和角平分線的定義可證

BE=OE=5,OF=CF=3,即可得出答案；（2）與（1）同理由平行線的性質和角平分線的定義可證.

【詳解】（1）解：*.*EF//BC,：.^EOB行98GFOC=OCB,

和//C2的平分線交于點O,:.QEBO行98C,FCO=BCO,

:.QEBO往0B,FOC=FCO,：.BE=OE=5,OF=CF=3,

：.EF=EO+FO=8,故答案為：8；

(2)EF=BE-CF,理由如下：VBOABC,；.AABO=NOBC,

'：EO//BC,：.ZEOB=ZOBC,：.AABO=Z.EOB,

：.BE=EO,同理可得R9=CF,AEF=EO-FO=BE-CF.

2.角平分線第二定理（內角平分線定理與外角平分線定理）模型

模型解讀

角平分線第二定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

該定理現在教材里面雖然沒有講，但它在實戰確有很大的作用（可以避免去構造勾股定理或相似），很多時

候能起到事半功倍的良好效果。

模型證明

1）內角平分線定理

BBB

證明：作。尸_L8C,作。垂足分別為尸，H.

S\DFBC

是N/8C的平分線，C.DF-DH,則--------—

?v-DHABAB

2

c—RF-CD

（2）作BE，。垂足為E,則￡8---------啜:.崇嗝

3VBAD_LBE-DA4D4BAD

2

2）外角平分線定理

BCD（A

CAEA

圖2圖3

條件：如圖2,在A48C中，/A4c的外角平分線交的延長線于點。。結論：AB-.AC=BD.CD.

證明：如圖2,過C作CE〃m.交A4的延長線于￡,

BDAB

,**CE//ADt.,*——,N2=N4,N1=N3,**—A.2,???N4=N3,：.AE=AC,：.——二

CDEAAC

3）奔馳模型

條件：如圖3,AASC的三邊3C、AC,的長分別是a,b,c,其三條角平分線交于點。，將“3C分

為三個三角形。結論：S^ABO-S^BCO-S.ao=c：a：b。

證明：過點。作，8C于點。，作OE//C于點E,作0FL/8于點尸.

由題意知：OA,OB,0c是AA8C的三條角平分線，OD1BC,OEJ.AC于,OFLABOD=OE=OF,

?.?A/8C的三邊/B、BC、NC長分別為a,b,c,

S&AB0:S.BCO:Sqo=（gxcX。尸）：（；aX。。）：（；xbXOE）=C：a：b.

模型運用

例1.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在中，ZC=90°,ZS=30°,以點A為圓心，適當長

為半徑畫弧分別交/'/C于點M和點N,再分別以點M,N為圓心，大于!的長為半徑畫弧，兩弧交

于點夕，連接Z尸并延長交6C于點。.若△/CQ的面積為8,則。的面積是（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【分析】本題考查了尺規作圖，含30。的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識，由作圖知/。平分

NBAD,則可求/C4O=40/5=30。，利用含30。的直角三角形的性質得出CO=，利用等角對等邊

2

得出AD=BD,進而得出8然后利用面積公式即可求解.

2

【詳解】解：VZC=90°,Z5=30°,AZCAB=60°,由作圖知：AD平分NBAD,

:.NCAD=NDAB=3Q°,：.CD=-AD,ZB=ZBAD,

2i

/.AD=BD,Z.CD=-BD,：.

2-BDACBD2

2

又A/CO的面積為8,.,.△48。的面積是2x8=16,故選B.

例2.（2023?四川瀘州?八年級統考期中）如圖，“BC的三邊48、BC、。長分別是10、15、20.其三

條角平分線交于點。，將分為三個三角形，SAABOSABCOACAO等于（）

B

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

【答案】C

【分析】過。點作ODJ-4B,OE1BC,OFLAC,垂足分別為。，E,尸，根據角平分線的性質可知

OD=OE=OF,再利用三角形的面積公式計算可求解.

【詳解】解：過。點作OEVBC,OFLAC,垂足分別為。，E,F,

”3C的三條角平分線交于點。，；.OD=OE=O尸，?.?48=10,BC=15,CA=20,

SsS

.ABO-.Bco-.CAO=^ABOD:^BC-OE:^-AC-OF=10:15:20=2:3:4.故選C

【點睛】本題考查角平分線的性質，三角形的面積，利用角平分線的性質求得OD=OE=O尸是解題的關鍵.

例3.（23-24九年級上?吉林?期末）已知V4BC,是一條角平分線.

【探究發現】如圖①，若是/A4c的角平分線.可得到結論：嚕=黑.

小紅的解法如下：過點。作。E1/8于點E,DF，AC于點、F,過點/作NG，5c于點G,

；4D是N8/C的角平分線，且。E148,DF1AC,：.

&-ABxDEq-BDxAG

>△ABD__2________'△ABD_2________BD

_____________.又：q~1

S&IDC^ACxDF)△z。。-CDxAGCD

22

【類比探究】如圖②，若4D是NA4c的外角平分線,40與8c的延長線交于點。.求證：—

AR嚼=黑；［類比探究］證明見解析

【答案】［探究發現］=跖，—

C■/

【分析】本題考查了角平分線的性質定理，等高三角形面積的關系.熟練掌握角平分線的性質定理是解題

的關鍵.［探究發現］根據過程填寫即可；［類比探究］證明過程同［探究發現］.

【詳解】［探究發現］證明：是/A4c的角平分線，且DF1AC,

ABS&ABD\BDxAGBD

g-ABxDE

.__2________.AB_BD

：.DE=EF.

SQADC-ACXDFACS△血-CDxAGCD

22

以田生、rABAB_BD

故答案為：DE=EF,——

AC~AC~^C

［類比探究］證明：如圖②，過點。作胡于N,過點。作于過點4作4尸，助于點尸.

—ABxDN

■3cjon?AADD

?//。平分/5雙，：.DN=DM.=Y--------=——

S"-ACXDMAC

2

-BDxAPDA

又??Sc“BD_2_________BDDrt?AADB_BD

S-DCLCDxAP,。4cCD

2

例4.（23-24九年級上?湖南婁底?期末）一次數學綜合實踐活動課上，小慧發現并證明了關于三角形角平分

ADDr\

線的一個論證.如圖1,已知/。是V/3C的角平分線，可證絲=叱.小慧的證明思路是：如圖2,過點

ACCD

C作CE〃AB,交AD的延長線于點E,構造相似三角形來證明嚕=黑

圖1圖2圖3

（1）嘗試證明：請參照小慧提供的思路，利用圖2證明受=去；

（2）應用拓展：如圖3,在RtA48C中，/B4c=90。,。是邊8c上一點.連接40,將A/CZ）沿40所在直

線折疊，點C恰好落在邊NB上的￡點處.

①若NC=1,AB=3,求DE的長；②若BC=k,AAED=a,求1的長（用含人與2的代數式表不）.

【答案】⑴見解析⑵①巫；②J—

41+tana

【分析】（1）過點C作CE〃/8,交的延長線于點E,先證明△/QS^ECD,得至|」券=券，再根

據角平分線的性質和等腰三角形的判定證得NC=CE,進而可得結論；

（2）①先由折疊性質得到NC4O=N8NO,NC=NAED,CD=DE,由（1）知，絲=見，則=3a）,

ACCD

利用勾股定理求得BC=進而可求解；②由折疊性質得=NC=NAED=a,C?=DE,由

（1）得膽=嗎利用正切定義得tan/C=tana=1，，貝ljAD=CD?tana,進而可求解.

ACCD/C

【詳解】（1）證明：過點。作C￡〃/B,交的延長線于點￡,

JZBAD=ZCED,/B=ZECD,^ABD^/\ECD,——=——,

CECD

ADnr\

?：CE//AB,:./BAD=NCAD,則/C4D=NCED,:.AC=CE,：.——=——；

ACCD

(2)解：①：將A/CD沿4D所在直線折疊，點C恰好落在邊45上的￡點處.

4BBD

：.ZCAD=ABAD,/C=/AED,CD=DE,由(1)知，——=——,又ZC=1,AB=3,

ACCD

口口3

——=即5O=3CQ,在中，ABAC=90°AC=\,AB=3,

CD1f

；?BC=yjAC2+AB2=V10.BD+CD=4CD=而，則CO=半，二DE=乎；

4BBD

②由折疊性質，得NC4D=NB4D,ZC=ZAED=a,CD=DE,由(1)得一=一，

4CCD

4B

VABAC=90°,Jtan/C=tana=——,貝ij=CO?tana,

/C

由BD+a)=8C=左得：CDtana+CD=k,：.CD=-------,DE=---.

1+tancr1+tana

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定、勾股

定理、折疊性質、銳角三角函數等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與運用是

解答的關鍵.

例5.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）【問題初探】

在數學活動課上，張老師給出如下問題：“如圖1,在V/BC中，是V/8C的角平分線，求證：嚕=黑

2JLC

有兩名同學給出了不同的解答思路:

①如圖2,小麗同學從結論出發給出如下解題思路：過點C作N5的平行線交AD的延長線于點￡,運用等

腰三角形和相似等知識解決問題.

②如圖3,小強同學從“ND是V4BC的角平分線”給出了另一種解題思路：在/C上截取N歹=48，連接。尸,

過點。作D廠的平行線交ND的延長線于點G,也是利用相似等知識解決問題.

D\

G

圖3圖4

（1）請你選擇一名同學的解答思路，寫出證明過程.

【類比分析】張老師發現之前兩名同學都運用了轉化思想，將兩組線段比值問題轉化為兩三角形相似的對

應邊的比.為了幫助學生更好地領悟這種轉化思想，張老師將問題進行了改編，提出下面問題，請你解答.

（2）如圖4,若△/C8的外角/C4E平分線40交3c的延長線于點D,求證：—.

一4

【學以致用】（3）如圖5,在四邊形48CD中，AD、,CB=4,AB=2,AABC=90°,AD//BC,BE平

分/ABC,求BE的長.

【答案】（1）小麗同學的解題思路；證明見解析（2）證明見解析（3）BE吟也

【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的

判定和性質等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.

AT）Dr\

（1）小麗同學，由平行線分線段成比例得到二三=/，再證/C=CE即可；小強同學，證明

CECD

/、AFDF

AABD^AFD（SAS）,則/ADB=ZADF=NCDG,得到4。尸=/G=/CDG,—=——，則

ACCG

CD=CG,—,即可得到結論;

ACCG

DADARM

⑵過點。作我交班于點跖則前=訪亡而,"Df,由比例的性質得到

照=需,證明/…,即可得到結論;

CF4

⑶延長胡交。的延長線于點R求出BiCF=5,進一步得到而=而二’

EGCG

/CBE=45°,過點￡作￡G，BC于點、G,證明REG是等腰直角三角形，EG//BF,則EG=BG,

BF~BC

12

求得BG=7,即可得到答案;

ABBD

【詳解】解：(1)證明：小麗同學，???/B||C￡,.??/氏

CECD

ABBD

平分N5/C,工/BAD=/CAD,：.ZCAD=ZE,：.AC=CE,：

ACDC

小強同學，在NC上截取4/=/5,連接DF,過點。作。尸的平行線交40的延長線于點G,

AD平分ZBAC,ABAD=ACAD,

又[AD=AD,△4SZ)也△4JFZ)(SAS),：.BD=DF,ZADB=ZADF=ZCDG,

AF_DFABBD

?：DF//CG,：.ZADF=ZG=ZCDG,,：.CD=CG,—

^C~~CGACCG

(2)證明：如圖4,過點。作。M〃力。交于點

圖4

圖5

BABCBABM…八.BM-AMBD-CD則需CD

-------，----=----，NCL4D=N4DM，?

BMBDACDMBMBDBD

BABMBMBD

VAD^ZCAM,ZCAD=ADAM=ZADM,AAM=DM,?'

AC~DM-AM-CD；

(3)解：如圖5,延長R4交。。的延長線于點R

4

VAD//BC,：—,即AF=3，解得力/=1，???5尸=3,

BFBC

AF+2-7

VZABC=90°,BC=4,BF=3,:.CF=dBC?+BF?=5,

BE平分/ABC,,Z.CBE-45°.CE——

BFEF37

過點E作EGLBC于點G,「?△BEG是等腰直角三角形，EG//BF,

?EGCG.BG4-BG,解得BG=U,BE=41BG=-^2.

??EG=BG，=??-------

BFBC3477

習題練模型

1.（2024?湖南懷化?一模）如圖，以直角V/8C的一個銳角的頂點/為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直

角邊于點。，交斜邊/C于點E,再分別以點。，E為圓心，大于g。E的長為半徑畫弧，兩弧交于點R

2

S

作射線/尸交邊8c于點G,若/8=3,BC=4,用S?Bc表示V/8C的面積（其它同理），則皆（）

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理和尺規作圖，勾股定理等知識，解答時過點G作L/C于點H

得到BG=GH,再由勾股定理求出/C,再推出稱以=*，則問題可解

【詳解】解：如圖，過點G作于點〃，

由尺規作圖可知，NG為/3/C平分線，：1）5=90°,3G=GH,

2222

?38=90。，4B=3,BC=4,：.AC^AB+BC=A/3+4-5.

-ABBG“0

2_4B3

°AABG故選：C.

AC

S*ACG-AC-GH

2

2.（23-24八年級上?陜西西安?階段練習）如圖，V/BC中，N/8C與//CB的平分線交于點R過點/作

〃BC交NB于點。，交/C于點E,那么下列結論:①VBDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE；

③V4DE的周長等于與NC的和；@BF>CE；⑤若NN=80。，則N8BC=130。.其中正確的有（）

A.①②③⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的判定及角平分線的定義及平行線的性質.由角平分線的定義可得

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,結合平行線的性質可知/C2F=/BED,NBCF=NEFC,進而可得

ZABF=ZBFD,NACF=AEFC,由等邊對等角可得。8=DF,EF=EC,再根據等量代換逐項判斷即可.利

用了兩直線平行，內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵.

【詳解】解：①尸是/45C的角平分線，CF是44C8的角平分線，=ZACF=/BCF,

?：DE//BC,：.ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC,：,ZABF=ZBFD,ZACF=ZEFC,

：.DB=DF,EF=EC,...VB。尸和都是等腰三角形，，①選項正確，符合題意；

@'：DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,：.DE=DB+CE,；.②選項正確，符合題意；

③的周長為=ND+DE,-：DE=DB+CE,

二V4DE的周長為=AD+Q8+/E+CE=/B+4C,...③選項正確，符合題意；

④根據題意的角度數不確定，故不能得出8尸>3,.?.④選項不正確，不符合題意；

⑤：若NZ=80°,AABC+ZylC5=180°-Z4=180°-80°=100°,

,?ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,：.ZCBF+ZBCF=ix100°=50°,

2

ZBFC=180°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=130°,⑤選項正確，符合題意；

故正確的有：①②③⑤.故選：A.

3.（2023春?山東淄博?九年級校考期中）如圖，“8C中，/ABC=90。，點/為。8c各內角平分線的交點,

過/點作/C的垂線，垂足為X,若BC=3,AB=4,/C=5,那么出的值為（）

A

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【分析】連接"、IB.IC,過/作IM，4g于INIBC于N,利用角平分線的性質，以及等積法求線

段的長度，即可得解.

【詳解】解：連接"、IB.IC,過/作于INYBC千N,

??,點/為各內角平分線的交點，IMLAB,INIBC,IH1AC,：.IH=IM=INf

BC=3,AB=4,AC=5,S^/A\zBlDCV=-2x3x4=6,

*.*ARC—S.AJB+SARK〃「，=—xABxIM+—xBCxIN+—xACxIH,

/\zizj/\jiiij/\zj/t>+S/A\zuL6222

,:BC=3,AB=4,AC=5,IH=IM=IN,：.IH=\,故A正確.故選：A.

【點睛】本題主要考查角平分線的性質，等積法求線段長度.熟練掌握角平分線的性質，利用等積法求線

段的長度是解題的關鍵.

4.（2023春?湖南岳陽?八年級統考期末）如圖，/瓦助是“BC的角平分線，/瓦助相交于點。,。尸，

于尸，ZC=60°,下列四個結論：①乙108=120。；②AD+BE=AB；③若“3C的周長為見。9=〃，則

S.ABc=mn；④若OE:Q4=1:3,則。。：。5=2:3.其中正確的結論有（）個.

c

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據三角形內角和定理可驗證結論①；如圖所示，在N8上截取/K=ND,可證

△NOD*A4OK(SAS),ABOE^ABOK(ASA),根據全等三角形的性質可驗證結論②；如圖所示，連接OC,

過點。分別作OGL/C于點G,作于點根據角平分線的性質，三角形的面積計算方法可驗證

結論③；結合結論②，③，圖形結合，等面積法等知識可驗證結論④.

【詳解】解：結論①N4O8=120。，

ABAC+ZC+ZABC=180°,ZC=60°,AZBAC+ZABC=12(F,

AE,BD是^ABC的角平分線，，NCAE=NEAB=-ZCAB,ZCBD=/DBA=-ZABC,

22

ZEAB+ZDBA=；(ZCAB+ZCBA)xl20°=60,,在^AOB中，NOAB+ZOBA+ZAOB=180°,

ZAOB=180°-(ZOAB+ZOBA)=180°-60°=120°,故結論①正確；

結論②+=由結論①正確可知，403=120。，

VZAOD+ZAOB=1SO°,：.ZAOD=180°-ZAOB=180°-120°=60°,

AAOD=ABOE,ABOE=60°,如圖所示，在48上截取NK=4D,

---是“BC的角平分線，,NDAO=NKAO,

AD=AK

.?.在中，\ZDAO=ZKAO,AAOD^AAOK(SAS),

NO=/O(公共邊)

ZDOA=ZKOA=60P,ZBOK=ZAOB-ZAOK=120°-60°=60S

AD=AK,NBOK=ZBOE=60P,在ABOE,ABOK中,

ZBOK=ZBOE

?08=08(公共邊)，.?.△3O￡0A8OK(ASA),BE=BK,

ZOBK=ZOBE

：.AK+BK=AD+BE=AB,故結論②正確；結論③若“3C的周長為犯。尸=〃，則5.”0=加〃，

如圖所示，連接OC,過點。分別作OGL4c于點G,作。〃工8c于點a,

；是的角平分線，。尸_LNC,OF=n,

OC平分N/C8,OF=OG=OH=n,^.AB+AC+BC=m,

SAABC=SMOC+SZMOB+SABOC=OG+-^ABOF+-8COH,

中

/.S^ABC=^OF^AB+BC+AC)mnmn,故結論③錯誤；

結論④若。￡:。4=1:3,則。。：03=2:3,

如圖所示，連接OC,過點。分別作。GL/C于點G,作OH/8C于點a,

9

11s—BEnBE

S^BOE=-BEOH,S^AOB=-AB.OF9且0〃=09=〃，???^^=^——=—

2AB

2LOBLAB.n

2

如圖所示，過點8作氏區_L4E于點M,

OE

且OE:Q4=1:3,

OA

.BEOE1ADOD,?_

..---=---=一,同理，---=---，如