直線與圓譙曲線的僚置關系【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】

【題型2圓錐曲線的弦長問題】

【題型3圓錐曲線的中點弦問題】

【題型4圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題】

【題型5圓錐曲線中的最值問題】

【題型6圓錐曲線中的向量問題】

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】

?考情分析

1、直線與圓錐曲線的位置關系

考點要求真題統計考情分析

2022年新高考全國I卷;第22題，12

分圓饞曲線是高考的焦點內容，直線與

(1)了解直線與圓錐曲線2022年新高考全國II卷:第22題，12圓錐曲線的位置關系是每年高考必考內

位置關系的判斷方法分容.從近幾年的高考情況來看，本節內容

(2)掌握直線被圓錐曲線2023年新高考1卷:第22題，12分主要以解答題的形式考查,考查方向主要

所播的弦長公式2023年新高考II卷:第21題，12分有兩個方面L是平面解析幾何通性通法

(3)能利用方程及數形結2023年全國甲卷(理數):第20題，的研究;二是圓饞曲線中的弦長、面積、最

合思想解決焦點弦、中點12分值、定點、定值或定直線等問題的求解;有

弦問題2024年新高考/卷:第16題,15分時會與向■:、數列等知識結合考查，其思

2024年新高考II卷:第10題,6分維要求高，計算及蜘需要靈活求佩

2024年新高考H卷:第19題,17分

?知識梳理

【知識點1直線與圓錐曲線的位置關系】

1.直線與園錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去“(或工)，得到關于M或4)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線

相交OA>0；直線與圓錐曲線相切OA=0；直線與圓錐曲線相離—A<0.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交,有且只有一個交點.

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交,有且只有一個交點.

【知識點2圓儺曲線中的弦長問題】

1.橢圓的弦長問題

(1)定義:直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

⑵弦長公式:設直線Z:g=fcc+ni交橢圓與+為=1（。>匕>。）于尸1（'Qi），。2（、2,歹2）兩點,

ab

則由尸21=，1+12|汨一對或由尸2=J+52一為

2.雙曲線的弦長問題

①弦長公式:直線,=far+b與雙曲線相交所得的弦長d=，1+左2|xi—=^1+-p-|ji-y2\■

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在立軸上

還

是在沙軸上，雙曲線的通徑總等于當.

a

3.拋物線的弦長問題

設直線與拋物線交于A（孫珀石（無2,處）兩點，則

\AB\=，（1+左2）（汨一'2）2=+打）2-4「1/2或

|=J（1+J）（乂-T>=jl+3-J（M+乃尸—（k為直線的斜率，kW。）.

【知識點3圓饞曲線中的中點弦與焦點弦問題】

1.橢IB的“中點弦問題”

（1）解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數的關系法:聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數,利用一元二次方程根

與系數的關系以及中點坐標公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上,坐標滿足方程,將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中

點坐標和斜率的關系.

設/（XQ1）,8（x2,%），代入橢圓方程-^2+g=1（a>b>0）,

①—②可得（%十處）（而一9）+（兇+了2）（。一"）=°,

'a2b2

___________F

設線段AB的中點為P（x。,％）,當網抄2時，有|+展=。?

因為尸（X。,為）為弦的中點，從而轉化為中點P（x0,為）與直線的斜率之間的關系,這就是處理弦

中點軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點與直線的斜率的關系

線段是橢圓三+冬=1（a>b>0）的一條弦，當弦所在直線的斜率存在時，弦AB的中點及

a2bz

的坐標

為（死,為），則弦AB所在直線的斜率為-變，即生"?的&=-￡.

ay0a

2.雙曲線的“中點弦問題”

“設而不求”法解決中點弦問題：

①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點,這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類

問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將

為九轉化為能用韋達定理直接代換的X1+X2,X|X2.垂直關系有時用向量的數量關系來刻畫，要注意轉

化.

3.拋物線的焦點弦問題

拋物線y2=2px（p>0）上一點A（X。,為）與焦點F（g0）的距離為以同=刈+§,若MV為拋物線y2

=2px（p>0）的焦點弦,則焦點弦長為\MN\=Xi+x2+p（xi，x2分別為河,N的橫坐標）.

設過拋物線焦點的弦的端點為A（Xi,%）,BQ?,乃），則四種標準方程形式下的弦長公式為：

標港方程弦長公式

才=

2Pxe>0)\AB\=Xi~\~x2~\~p

y2=—2px(p>0)\AB\=p-(xi+x2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

2

X=—2py(p>0)\AB\=p-(yi+y2)

【知識點4圓錐曲線中最值問題的解題策略】

1.處理圓譙曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；

二是利用代數法,即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個（些）參數的函數（解析式），然后利用

函數方法、不等式方法等進行求解.

U：【知識點5.…圓…錐曲.—線中的探索性問—題的..解題策略】

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，

成立則存在,否則不存在;若探究結論，則應先求出結論的表達式,再針對其表達式進行討論,往往涉及

對參數的討論.

【方法技巧與總結】

1.已知河，N是橢圓C：￡+5=1（a>b>0）上的兩點，點。為坐標原點，且P是河，N的中點，則

__b^

^MN.k(jp————?

卜2

2.若曲線為雙曲線,其余條件不變，則人，?心=薩.

3.若曲線為拋物線，P（x。,%）為弦AW的中點：心亞=二（開口向右），“2V=—3（開口向左），左”囚=包

yoyop

（開口向上）公產一方（開口向下）.

?舉一反三

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】

1.（2024?山東.模擬預測）已知直線l：y=kx+1,橢圓C：~+y2=l,則%=0”是“Z與。相切”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】利用“數形結合”的思想結合“一元二次方程根有一解求解的判別式等于零”求解即可.

【解答過程】當k=0時，直線Z:V=1,直線與橢圓相切，當“Z與。相切”時，

{y—kx-\-1

i2_1有（4fc2+l）rr2+8kx=0,令△=（8fc）2—4X（4fc2+l）X0=0,有k=0,

~r+y=i

所以k=0是直線與橢圓相切的充要條件.

故選C.

2.（2024?廣東肇慶?模擬預測）已知雙曲線E:亨—菅=1,則過點（2,濾）與E有且只有一個公共點的直線

共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

［解題思路】根據點和雙曲線的位置關系確定滿足條件的直線的條數.

【解答過程】分析條件可得：點。（2,0）在雙曲線的漸近線y=乎7上,且位于第一象限,和雙曲線的右頂點

有相同橫坐標，如圖：

所以過P(2,且與雙曲線E有且只有一個公共點的直線只有兩條：

一條是切線：c=2,一條是過點P(2,〃5)且與另一條漸近線平行的直線.

故選：C.

3.(2024?江蘇宿遷?三模)已知拋物線,點,則>1”是“過M且與。僅有一個公共點的

直線有3條”的()

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】求出“過朋■且與拋物線。僅有一個公共點的直線有3條”的充要條件，進而判斷.

【解答過程】過M且與拋物線。僅有一個公共點的直線有3條，

則當直線的斜率不存在時符合題意，此時直線為劣=機；

當直線的斜率存在時，設直線為y—1—k^x—m),

則|"11=網"一館)，消去沙整理得/—fcc+/CM—1=0,

I力=y

A=0即fc2—4km+4=0有兩個不同的解，

所以Ai>0即16恒2—16>0,解得m<—1或>1,

所以“小>1”是“過河且與拋物線。僅有一個公共點的直線有3條”的充分條件.

故選：4

2

4.(2024.上海.模擬預測)已知直線Z與橢圓「，點及月分別為橢圓r：^-+/=1的左右焦點，直線F.M±

I,，，垂足分別為點不重合)，那么“直線，與橢圓相切”是“㈤河|?㈤的

F2N±rN|=i"

()

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

［解題思路】設直線方程為y=+將直線方程與橢圓方程聯立，利用判別式和點到直線的距離公式求出1

與％的關系，再根據充分性和必要性的概念求解即可.

【解答過程】根據題意可知直線I斜率存在，設直線方程為y=kx+t,

當直線與橢圓相切時，△=(4雙丫-4(2fc2+l)(2t2-2)=0,化簡得回=2小+1,

由題意E（—1,0）,￡（1,0）,

因為用河，Z,ENLZ,所以\F,M\=里坦,|￡N|=包占，

Vfc2+1vP+i

,1III—/c+t||七+力I修一k~\.I91

所以當\F,M\■|^7V|=I"）I=9_L=1時，修9-興=昭9+1,

VP+1Vfc2+1A：+1

解得t2—2彥+1或/=一1（舍去）,

所以''直線I與橢圓「相切”是“㈤M?園N|=1”的充要條件.

故選：C.

HK型2圓錐曲線的弦長問題】

5.（2024.安徽蚌埠.模擬預測）已知雙曲線氏二—%=l（a>O.fe>0）的左頂點是4（—1,0）,一條漸近線的

ab

方程為夕=劣?

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）設直線4=2力—2與雙曲線E交于點P,Q,求線段PQ的長.

【解題思路】（1）根據左頂點與漸近線的方程求得Q,b,C即可得到離心率；

（2）求出交點縱坐標代入弦長公式求解.

【解答過程】（1）由題意知a=1,且立=1,六b=1,

a

c—Va2+fe2=V2,

所以雙曲線的離心率e=，~=A/2.

a

（2）由（1）知雙曲線方程為/—/=],

將"=-^-x—g即/一1=2g代入力2—婿=1,得3g2+4?/=0,

不妨設牡=O，VQ=一.，

O

2

所以\PQ\=V1+2?-y2|=-^-V5.

o

27/2—

6.（2024.河南.模擬預測）已知橢圓C:與+9=l（a>b>0）的左、右焦點分別為E，鳥，點P（3，四）為

橢圓C上一點，且△PEE的面積為2西.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）若傾斜角為全的直線I與C相交于兩個不同的點求\AB\的最大值.

【解題思路】（1）借助橢圓上的點的坐標，△PEE的面積與a?="+c2計算即可得；

（2）設出直線方程，聯立曲線，借助韋達定理與弦長公式計算即可得.

+=1

11用

【解答過程】⑴由題意可得[x2cxV^=2而，解得儼=4,

a2=b2+c2I。』

故橢圓。的標準方程為條+/=1;

124

（2）fc=ta吟=1,故可設lAB:y-x+t,4（%1,仍）,B（力2,紡），

______________F

聯立(12十4一',消去v可得422+6柢+3/—12=0,

.y=x+t

A=36於一16(3產-12)=12(16—/)>Q,即-4<i<4,

,_-6t_3t_3/_12

C[+◎——-—-五,?1?2-，

22

則|AB|=Vl+1,y/(X1+X2)—4X1X2—V2-J(_■_4><_31412

=V2-y/-^-3t2+12=J48：3廿,

則當力=0時，|有最大值,且其最大值為=2V6.

7.（2024.全國.模擬預測）已知雙曲線。鳥-4=1（?>0,6>0）一個焦點廠到漸近線的距離為四，且離

ab~

心率為2.

（1）求雙曲線C的標準方程;

（2）設河,N分別是雙曲線C左、右兩支上的動點，4為雙曲線。的左頂點,若直線AM,4V的斜率分別

為自,自，且自?比=-2,|MZV|=9V2，求直線MV的方程.

【解題思路】⑴首先得到漸近線方程，由點到直線的距離公式求出6,再由離心率公式求出a?,即可得解；

⑵首先判斷直線7W的傾斜角不為零，設直線7W的方程為劣=my+n,"⑶,%）,N3,納），聯立直線與雙

曲線方程，消元、列出韋達定理，由斜率的關系求出71,由弦長公式求出“I,即可得解.

【解答過程】（1）由題知雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=09

不妨設F（c,0）,則焦點F到漸近線的距離d

*.*。的離心率為2,，9=2,/.c2=4a2,/.3a2=3,a2=1,

a

故雙曲線。的標準方程為/—4=

o

⑵由⑴可得4—1,0）,

當直線MN的傾斜角為零時，由\MN\=9V2,得直線MN的方程為y=土國安，

代入雙曲線方程可得工=±涔,不妨令河（—涔，竽）,N（娉，等）,

92

則自?自=—三—x—=一3,不符合題意,則直線的傾斜角不為零,

-7￥+1卮+1

設直線MN的方程為x=my+n,河（如如,N（X2,y》，

，2y2_

聯立<,31,消去力整理得（3m2—1）才+6771ng+3（療-1）=0,

x—my-\-n

3m2—1W0,△=36m2n2—12（3m2—1）（n2—1）>0,3m2+n2—1>0,

6mn3(n2—1)

%+V2

3m2-1

yiV2

fci=,k2=

力1+162+I'

—yiV2

ki,fc2—2,/.

a?i+lx2+l

???%紡+2(61+1)(/2+1)=。，

%紡+2(m?/i+n+l)(m?/2+n+l)=0,

22

(2m+1)yxy2+2m(n+1)(?/i+?/2)+2(n+l)=0,

即(2加+1)?3([T)—27ns+1)?6T"+2(九+1丫=0,

3m—13m—1

:.3(n2—1)(2?77?+1)—12TZI271(714~1)+2(TI+1)2(3TT22—1)—0,

/.n2—4n—5=0,

n=5或n=-L.

當n=—1時，奶紡=0,不符合題意，.，.九二5.

..-30m72

??%+紡=02-V1V2

3m-13m2—1

\MN\=0+向％—%|=Vl+m2-5(勿+例)2—4%仍=Vl+m2?=9V2,

|3m—1|

解得?TZ=±1,故直線MN的方程為x=±y+5.

綜上，直線MN的方程為名一g一5=0或c+g—5=0.

22

8.（2024?四川成都?模擬預測）已知橢圓G：S+4?/=l（a>b>0）與拋物線G：/=43的圖象在第一象限

ab

交于點尸.若橢圓的右頂點為且

（1）求橢圓a的離心率.

（2）若橢圓a的焦距長為2,直線2過點B.設Z與拋物線a相交于不同的兩點Af、N,且△OMN的面積

為24,求線段|AW|的長度.

【解題思路】（1）利用橢圓和拋物線的定義可以用a表示點P的坐標，代入橢圓方程即可求出離心率；

（2）根據條件求出橢圓與拋物線的方程,設I方程及點M、N的坐標，由面積求得，方程，再由弦長公式即可求

得即

【解答過程】⑴???拋物線方程為。2：才=4a,/.其焦點為B（a,0）,拋物線的準線方程為多=—a.

設點P（xp,yp）,故P到準線的距離為%+a.

即\PB\——x+a,-

5P5_____w

2

因為點在第一象限,代入拋物線方程解得y=

PP7r.

（胃）EMR

根據點P在橢圓上，將P點坐標代入橢圓方程+—=1,化簡得4=?.

Cbb2b25

即5a2=6b2=6（a2—c2）,所以/=602,則橢圓E的離心率e=：=答.

（2）因為橢圓G的焦距為2,所以2c=2,所以c=l,

所以橢圓G方程為—z—F=1.

65

拋物線G的方程為#=4碗力.且石（遮,0）,|0日=方.

因為直線，過B且不與坐標軸垂直，不妨設直線I的方程為x—my+V6,mE_R，且mWO.

設點”（小幼）,N（鈾，例），聯立I與&：｛；:黑了'

消去力得：才一4^6my-24=0.

所以％+紡=4V6m,ya=-24.

22

S^OMN=y|OB|?\yr-y2\=平-J（陰+『）2-4=等'V96m+96=12Vm+l=24

所以m2：?.所以\MN\—Vl+m2|?/i—^2!—4A/6（m2+l）=16A/6.

【題型3IS傕曲線的中點弦問題】

2”

9.（2024.陜西西安.模擬預測）已知橢圓+為=1（Q>b>0）的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重

ab

合，離心率為.

⑴求橢圓。的方程;

⑵過點尸（―右0）作斜率為-1的直線交橢圓。于P,Q兩點,求弦PQ中點坐標.

【解題思路】（1）根據拋物線的焦點求出c的值，然后由橢圓的離心率計算a,再由平方關系得到6,可寫出橢圓

的方程；

（2）設P,Q,河的坐標，點差法計算出坐標之間的關系，再根據中點所在直線可求出點的坐標.

【解答過程】⑴依題意得：c=1

;e=*■,即!=工，解得a=2

a2a

\*62=a2—c2,解得b—V3

橢圓。的方程為與+￥=1

43

⑵如圖所示：

設（62,例），PQ中點為M（xo,yo）,

所以（為+電=2g

1%+納=2%

則”=號/

a

又P,Q兩點在橢圓三■+=l（a>b>0）上，可得，2%

a2b2空+蛆=1

[a-b2

兩式相減可得或三+朗逑=0,整理得

ab

%一征=b'Oi+g）=_旦*_2曰=在包=_9①

Xi-x2口2（m+例）42yoy0x42'%…"一’'

過點F（―1-,0）斜率為■的直線為夕=號（，+"1"）.

因為M（g,yo）在直線上，故為=~|~（&+春），②

ZO

聯立①②，解得g=—1,泱=十

所以PQ中點坐標為（-l,y）.

10.（2024.廣東,二模）已知雙曲線C：[-^=l（a>0,6>0）的焦點與橢圓^+y2=l的焦點重合，其漸

ab5

近線方程為y=±乎&

O

（1）求雙曲線。的方程;

（2）若48為雙曲線C上的兩點且不關于原點對稱，直線l-y=過AB的中點,求直線AB的斜率.

O

【解題思路】（1）先求出焦點坐標，再根據漸近線方程可求基本量，從而可得雙曲線的方程.

（2）利用點差法可求直線的斜率，注意檢驗.

【解答過程】（1）橢圓三+*=1的焦點為（±2,0）,故/+/=4,

O

由雙曲線的漸近線為y=±義善/，故之=，故b=1,a=A/3,

3a3

故雙曲線方程為：弓—#=L

O

⑵設（力2,m），AB的中點為M,

因為7W在直線l:y=T■明故UM=三*M,

OO

工曷21舄21兒（g—力2）（61+/2）/\/I\n

而巧--%=1,三一例=1,故-----------------（依一生）（%+紡）=0,

Q一力2）力”

故-（仇一紡）g“=o,

3

由題設可知AB的中點不為原點，故xMyMW0,所以———二:"=1,

力1一力2

故直線AB的斜率為1.

12

此時AB:y=x-x+~—x=/——x,

M0MOM

由I"*3可得為2—3（劣—?_力河）2=3,整理得到：2/—4電斕+《宏燈+3=0,

[x2-3y2=3'3，3

當△=164一8弓4+3）=竽4-24>0即xM<—^^或力”>3f,

即當xMV—鷲2或知>卷2時，直線AB存在且斜率為1.

______________即

11.（2024.陜西西安.三模）已知橢圓+%=l（a>b>0）的長軸長是短軸長的2倍，且右焦點為

ab

F（1,O）.

（1）求橢圓C的標準方程;

⑵直線Z：y=k3+2）交橢圓。于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標為—日.求直線Z的方程.

O

【解題思路】（1）根據焦點坐標求得c,根據長軸和短軸的對應關系，以及a2=/+列方程組，可求得a,b的

值，進而求得橢圓的標準方程.

（2）聯立直線的方程和橢圓的方程，消去沙并化簡，寫出韋達定理，根據AB中點的橫坐標求得％的值,進而求

解.

【解答過程】（1）由橢圓。的長軸長是短軸長的2倍，可得a=2b.

所以（2b）2=/+c2.

又F（1,O）,所以（26）2=/+1,解得6=1.

所以a=A/2.

所以橢圓。的標準方程為卷+d=1.

⑵設月（◎，9J，B（A,紡），

%22_

由|1~+"一，得（2彥+1）1+8/3；+8/—2=0.

_y=k（x+2）

mi1一8肥8/-2

如J力1+力2=-9，/1/2=19-

2昭+12昭+1

因為線段AB中點的橫坐標為一日，

O

0+22_—4肥_2

所以

22興+13

解得肥=:，即土］，經檢驗符合題意.

所以直線I的方程為V=±1（2：+2）.

12.（2024?陜西渭南?模擬預測）已知。為坐標原點，拋物線C:峭=2pMp>0）的焦點為F,點A（g,2p）在C

上,且sva.Z.OAF=當2.

5P

（1）求。的標準方程；

（2）已知直線,交。于河，N兩點，且MN的中點為（2,1）,求直線Z的方程.

【解題思路】（1）由點在拋物線上得A坐標，結合正弦定理得sin/OAF1,即可求解；

（2）利用點差法結合中點坐標求解.

【解答過程】⑴過點A作ABU軸于B,易知點A（2p,2p）,F怎,0）,

^]\AB\=2p,\FB\=^-,\AF\=^-,\OA\=2V2p,

4

所以sinZAFO=sinZAFBAB

AF5'

=04

在△40尸中，由正弦定理得OF

sinZOAFsinZAFO'

得sin""=M=*,

所以生②=也

5p10'

解得p=8,

所以。的標準方程為#=16a?.

（2）當直線/的斜率不存在時，MN的中點不可能為（2,1）,故直線/的斜率存在且不為零,

設直線I的斜率為k,河（力i,g）N（62,例）（64力2,%。一改），

則收=9電，兩式相減得嫉一雄=16（3；!-電），整理得義口1=-JZ~，

（y2=16x20一。2%+紡

因為的中點為（2,1）,所以%+紡=2,所以k=次一新=畢=8,

劣1—622

所以直線/的方程為y—l=8（/—2）,即86一g—15=0.

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】

⑶（2024?河北?模擬預測）已知直線'過橢圓。，+1=?>。,90）的右焦點F（l,0）,且交。于

A（,，t）,B兩點.

（1）求。的離心率；

⑵設點尸（3,1）,求AABP的面積.

【解題思路】（1）由題意，結合題目所給信息以及a,b,c之間的關系，可得橢圓的方程，再根據離心率公式即可

求解；

（2）先得到直線/的方程，將直線，的方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面

積公式進行求解即可.

【解答過程】⑴由題，c=1,

16X

且人佶得）在。上有今+f7j

解得a=V2.

故橢圓C的標準方程為—F?/2=1,

離心率e=9=4.

a2

⑵因為直線Z經過A信,（），F（l,0）兩點,

可得直線I的方程為y=x-l,

聯立［考+才=1,>

{y=x-1

___________F

解得/=0或/=奈,

所以直線,與楠圓。的另一交點為（0,—1）,

則/空傳-。＞+佶+小子,

又點P到直線Z的距離d=:：3-1［二里

VF+P2

故△ABP的面積S=2?d?|AB|=。.

乙O

2

14.（2024?山東濟南.二模）已知點3（4,四）是雙曲線T:4—/=1上一點，T在點B處的切線與必軸交于

a-

點4

⑴求雙曲線T的方程及點A的坐標；

（2）過A且斜率非負的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做N尸垂直于2軸交T于尸（當N位于左

頂點時認為N與P重合）.。為圓E：（x—1＞+（9+2）2=1上任意一點，求四邊形MBPC的面積S的最小

值.

【解題思路】⑴利用待定系數法求雙曲線方程，利用導數法來求切線方程即可得A點坐標；

⑵先設直線PM的方程，再利用河,AN三點共線，可求出直線過定點Q（4,0），從而把面積問題轉化到

兩定點上去研究，最后發現P、M■為實軸兩頂點時SABPM取到最小值，再去研究另一個圓上動點。的S&CPM最

小值.

【解答過程】⑴由題意可知，空一3=1,即a=2,故T的方程為：車一婿=1.

a4

因為B在第一象限，不妨設。＞0,則［一才=1可變形為沙=告—

則V'=—1）”,與，代入力=4得：式=，所以切線方程為y=,

令9=0得c=l,所以點A坐標為（1,0）.

⑵

顯然直線的斜率存在且不為一看，

設PM:y=kx+m,M(Xi,yj,P(電,y?),則N(x2,-y2),

聯立方程(4，整理得：(1一4/)2；2一8的712：-4巾2-4=0,

[y=kx+m

27n

A=16(m—4k2+l)>0,61+電=8kmxx——4,4

l-4fc2l-4fc2

由7W,AN三點共線得：%=一當■，即/2%+力曲一(m+紡)=0,

整理得：2kxrX2+(m—%)Qi+g)-2m=0,

所以2k—占+(m-k)8km,_27n=Q整理得m=-4k，

1-4A;21—4后

滿足A>0,所以直線過定點Q(4,0),則\BQ\=V3且線段垂直于x軸,

令dP_BQ,dM_BQ,dc_PM分別表示P,河,C到BQ,PM的距離，

結合圖，顯然\dP_BQ一dM_BQ\>2a,\PM\>2a,僅當M為右頂點時兩式中等號成立,

|+~^\P^t\dc-PM

所以S=S^BPM+S&CPM—S^BPQ~SABMQ+SACPM—~^\BQ\\dP_BQ—dM_BQ\

>］田02&+/2磯田川一1)=2，^+2,當且僅當/>(一2,0),河(2,0),。(1,一1)時等號成立.

15.(2024.浙江?模擬預測)已知點4(4,4),8,C,。均在拋物線W：x2=2py(p>0)±,A,。關于沙軸對

稱，直線AB,AD關于直線47對稱，點D在直線AC的上方，直線AD交y軸于點E,直線AB斜率小

于2.

(1)求△ABE面積的最大值；

(2)記四邊形BCDE的面積為Si,/XABE的面積為S2,若令=2,求sinZBAD.

【解題思路】(1)AB-.y=4)+4,(fc>0),則AD:y=——4)+4,令c=0可得的坐標，由韋達定

理可表示出山-電|,從而可求得△ABE面積52的表達式，結合基本不等式即可求解；

⑵設ABOD的面積為S,由題意S=3S2,由韋達定理以及同理思想可得沙2=4d一1)2,%=4(%+1)2,由公

式$=：|人。||紡一紡|可知S也可以用％表示，進而可以得出關于看的方程，解出看,結合二倍角公式、平方關

系即可求解.

【解答過程】(1)由題意4?=2px4,解得p=2,所以拋物線W:/=州，

因為A,。關于?/軸對稱，直線關于直線AC對稱，

所以AD,AB斜率互為相反數，不妨設人89=%0—4)+4,(%>0),

則AD：y=——4)+4,

設AB與夕軸交于點F,而直線AO交y軸于點E,

所以E(0,4+4%),F(0,4—4k),

聯立AB：y—fc(a:—4)+4與拋物線W:/=4夕,化簡并整理得X2—4：kx+16fc—16=0,

A=16儲一64%+64=16(/c—2)2>0n%R2,

設A(，i,m),B(a；242),

則x1+x2=4fc,XiX2=16fc—16,

設△ABE面積為S2,

則s2=y-\EF\■\xx-x^=y-8fc-J(0+電)2-42巡2

=4A；V16fc2—64A;+64=16fc|fc-2|=16fc(2—fc)W16(上士1——)=16,等號成立當且僅當k=1,

所以△ABE面積的最大值為16;

___________F

由(1)可知力便2—422—16k—16,解得劣2=4k—4,

設點。的坐標為(比3,明)，同理可得劣3=4(—k)—4=—4k—4,

所以n*=4(k—ip,物=4(k+iy,

設4BCD的面積為S,而四邊形BCC?的面積為S,△4BE的面積為S2,

由題意獸=且善=2,所以S=3$2,

02E

而S=之兇。||加一紡I=JX8x[4伏+l)2-4(fc-l)2]=64%,(0<A:<2),

而$2=16fc(2—fc)，所以64k=3x16fc(2—fc),即3fc2=2k,解得k=三,

o

由題意AC//X軸，且/A4C=ZDAC,設ABAC=ADAC=9,36(0,y),

所以k=~|~=tan/

o

9x,/24

2sin9cos。2tan<9="3=3=12

所以sinABAD=sin2。=

sin%+cos?。tan^+l"J-l3

16.（2024.陜西寶雞.三模）已知橢圓E：4+當=l（a>b>0）和圓。：/+靖=1,。經過E的右焦點斤,

ab

點A,口為E的右頂點和上頂點，原點O到直線AB的距離為等L.