由線段關系產生的函數關系問題

1.一次函數y=kx+4與二次函數.y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為(1,2),另一個交點是該二次函數圖像的

頂點.

⑴求k,a,c的值；

(2)過點A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數.y=ax2+c的圖像相交于B,C兩點.點。為坐標原點，

記勿=0A2+求W關于m的函數解析式，并求W的最小值.

2.如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD邊上一點，連接AE,將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落

在BC邊上的點F處，延長AE交BC的延長線于點G.

(1)求線段CE的長；

⑵如圖2,點M、N分別是線段AG、DG上的動點(與端點不重合)，且/DMN=NDAM,設AM=x,DN=y.

①寫出y關于x的函數關系式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點M,使ADMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由.

3如圖1,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E為邊BC上一點,BE=AB,連接AE動點P、Q從點A同時出發,

點P以V2cm/s的速度沿AE向終點E運動；點Q以2cm7s的速度沿折線AD-DC向終點C運動.設點Q運動的時

間為x(s),在運動過程中，點P、Q經過的路線與線段PQ圍成的圖形面積為y(cm2).

(1)AE=,ZEAD=;

(2)求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶當PQ=|時,直接寫出x的值.

4.如圖L梯形ABCD中,AD〃BC,AD=2,AB=BC=CD=6.動點P在射線BA上，以BP為半徑的OP交邊BC于

AD

點E(點E與點C不重合)，聯結PE、PC,設BP=x,PC=y.

(1)求證:PE//DC;

(2)求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

(3)聯結PD,當/PDC=NB時以D為圓心半徑為R的。D與。P相交，求R的取值范圍；

5.已知在RtAABC中,/ACB=9(T,AC=1,D是AB的中點以CD為直徑的。Q分別交BC、AB于點F、E,點E位

于點D下方，聯結EF交CD于點G.

(1)如圖1,如果BC=2,求DE的長；

(2)如圖2.設BC=x,^-=y,求y關于x的函數關系式及其定義域；

⑶如圖3,聯結CE,如果CG=CE,求BC的長.

6.如圖1,在AABC中,AC=BC=10,COSC=|點P是AC邊上一動點(不與點A、C重合)，以PA長為半徑的。P與

邊AB的另一個交點為D,過點D作DE±CB于點E.

(1)當。P與邊BC相切時，求。P的半徑;

(2)聯結BP交DE于點F,設AP的長為x,PF的長為y,求y關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍；

⑶在⑵的條件下，當以PE長為直徑的。Q與。P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長.

圖1

7如圖1,在RSABC中,/ACB=90>AC=3,BC=4,點P在邊AC上(點P與點A不重合)，以點P為圓心,PA為半

徑作。P交邊AB于另一點D,ED，DP,交邊BC于點E.

(1)求證:BE=DE;

⑵若BE=x,AD=y，求y關于x的函數關系式并寫出定義域；

(3)延長ED交CA的延長線于點F,聯結BP,若ABDP與ADAF相似,求線段AD的長

8如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點0是坐標原點，點A的坐標是(6,0),點B的坐標是(0,8),

點C的坐標是(-2有，4)點M、N分別為四邊形OABC邊上的動點，動點M從點。開始，以每秒1個單位長

度的速度沿O-A-B路線向終點B勻速運動，動點N從點O開始，以每秒2個單位長度的速度沿O-C-B-A路線向

終點A勻速運動.點M、N同時從點O出發，當其中一點到達終點后，另一點也隨之停止運動.設動點運動的時間為

t秒(t>0),ZOMN的面積為S.

(1)填空:AB的長度是.BC的長度是.

⑵當t=3時，求S的值;

(3)當3<t<6時,設點N的縱坐標為y,求y與t的函數關系式；

(4)若S=9請直接寫出此時t的值.

9.如圖1,平行四邊形ABCD中，已知AB=6,BC=9,cos/ABC=，寸角線AC、BD交于點O,動點P在邊AB上.。

P經過點B,交線段PA于點E.設BP=x.

⑴求AC的長；

(2)設。O的半徑為y,當。P與0O外切時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

(3)如果AC是。O的直徑,0。經過點E,求。O與。P的圓心距OP的長.

BB

圖1備用圖

10如圖1,已知AABC中，AB=AC,tanB=\,BC=4..點E是在線段BA延長線上一點以點E為圓心、EC為

半徑的圓交射線BC于點C、F（點C、F不重合），射線EF與射線AC交于點P.

（1）求證：AE2=AP-AC;

⑵當點F在線段BC上，設CF=x,APFC的面積為y,求y關于x的函數解析式及定義域；

⑶當詈=決寸，求BE的長.

1.滿分解答

(1)直線y=kx+4與y軸的交點為(0,4).

將點(1,2)代入y=kx+4,得2=k+4.解得k=-2.

拋物線y=ax2+c的對稱軸為y軸所以拋物線與直線y=-2x+4的交點(0,4)就是拋物線的頂點.所以yax2+

4,c=4.

代入點(1,2%得2=a+4.解得a=-2.

所以y=-2x2+4.

(2)解方程—2d+4=77b得％=±但尹.

所以BC=2X'8；血=V8—2m.

所以W=0A2+BC2=m2+(8-2m)=m2—2m+8=(m—l)2+7.

當m=l時，W取得最小值，最小值為7（如圖1、圖2所示）.

考點伸展

深入討論一下：拋物線y=a久2+4與y軸的交點不變，開口向下形狀在改變，那么〃=0A2+BC?取得最小

值時，m的值與a有怎樣的關系?

解方程收+4=皿得x=士所以BC=2X

222

所以W=0A+BC=m+>=m2_|_=(m+2)—4+

aaa\ajaz

當巾=一2時，W取得最小值，最小值為一號

aaz

特別的，如果a=-2,當機=一々=1時，勿=一號=一空=7.

z

a取小催a4

如果a=-l時，當m=--=2時，W=一匕詈=12如圖3所示).

a取小但a

如果。=一：時，當m=--=4時，W=一匕詈=16如圖4所示).

2a取小催”

1

Ww=4+16a416./I.4\./I,4..八J2

-------a52—=a2r----a---=-4\a(-7Ha/)=——4\a(-7H-a------r4——41)=—\4a(-----F)I+16

我們再來看a為何值時，W的最小值可以取得最大值?

由可知當a=-用寸，W的最小值可以取得最大值，最大值時16（如圖4所示）.

2.滿分解答

⑴如圖3.在RtAABF中,AB=8,AF=10,所以BF=6.

在RtAEFC中,FC=BC-BF=10-6=4,設CE=m，那么EF=ED=8-m.由勾股定理，得((8-m)2=42+/解得m=3.

(2)①第一步，計算說理DA=DG.

如圖4,由AD〃:BG,得竽=器所以?=|.所以GC=6.

GCCEGC3

如圖5,在RtADCG中,DC=8,GC=6,所以DG=10.

所以DA=DG.所以NDAG=NDGA.

在RtAABG中,AB=8,BG=16,所以.AG=8V5.

第二步，證明ADAMsAMGN.

由ZDMG=ZDAM+Z1,ZDMG=ZDMN+Z2,NDAM=NDMN,彳導/1=Z2.

又因為NDAM=/MGN,所以△DAMs^MGN.

m'lDAMGr-r-pi10SV5-Xr-r-pix)i24店,

所以茄=而所以工=訴？?所以y=di°—笠—=擠—+dn

當尤=4有時，y取得最小值，最小值y=10—M絲㈤=10—史部業=2.此時M是AG的中點,MNLDG.

②如圖8所示,在等腰三角形DAG中,DA=DG=10,AG=8V5

已知/DMN=/A=/G,分三種情況討論等腰三角形DMN.

①如圖8所示，如果DM=DN,那么/DNM=NDMN=/G.

此時點N與點G重合，不符合題意.

②如圖9,當MD=MN時，由于ADAMSAMGM此時ADAM0△MGN.

根據DA=MG彳導10=8V5-%.解得x=8乘一10.

③如圖10,當NM=ND時,NNDM=NDMN=NG.此時AMDGS^DAG.

所以—=竺所以昆=羋解得x;呼

DGAG108遮2

考點伸展

這道題目的情景圖，把一個經典的長方形紙片翻折問題，稍微延伸了一下，又成為一個經典的幾何計算說理問

題，此時四邊形AFGD是菱形.這也是一個經典的“平分+平行，必有等腰三角形”的模型.

3.滿分解答

⑴4E=3夜,NE4D=45°,

⑵如圖2,延長AE交DC的延長線于點F,那么AADF是等腰直角三角形.因為AD=FD=4,所以SAADF=8.

①如圖2,點Q在AD上時,0<xW2,此時AAPQ是等腰直角三角形.

因為AQ=2x,所以y-\AQ2=x2.

②如圖3,點Q在DC上點P未到達點E,2<xv3,QP，AE.

22

因為FQ=8-2x,所以SFPQ=(FQ2=i(8-2x)=(4-%).

所以y=SADF—SFPQ=8—(4—x)2=-x2+8x—8

③如圖4,點Q在DC上，點P到達點E,3<%<|.

因為SPEQ=|FQ-FC=|(8-2x)=4-x,

所以y—SADF~SFEQ=8—(4-%)=%+4.

(3)當PQ=|時,X=|e,或X=y.

考點伸展

第⑶題的解題思路是這樣的：

如圖5,當點Q在AD上時，AQ=42PQ=；V2.

4

所以2%=解得x=|V2.

48

如圖6,當點P到達點E的一瞬間，PQ=&>*

所以在3<%<:范圍內，存在PQ=

Z4

如圖7,在RtACEQ中，EQ=1,EC=1,所以CQ=f.

44

所以7—2x=:.解得x=^.

48

圖7

4.滿分解答

(1)如圖2,因為PB=PE,所以NB=NPEB.

又因為NB=/C,所以NPEB=/C.

所以PE//DC.

⑵如圖3,作AF_LBC于F,DG_LBC于G

已知AD=2,BC=6,所以BF=FG=GC=2.

已知AB=DC=6,所以(cosB=cosC=

如圖4,過點C作CHLAB于H.

在RtABCH中,BC=6,cosB=所以BH=2,CH=4V2

在RtACHP中，PC2=CH2+PH2=(4V2)+(x-2)2=%2-4%+36.

所以y=-4久+36.定義域是0<x<9.

⑶如圖5,延長DP交CB的延長線于N,作NGLCD于G

因為NPDC=/B=NC,所以ND=NC.所以GD=GC=3.

在RtANCG中,因為cosC=￡GC=3,所以NC=9.所以ND=9,NB=3.

如圖6,由AD〃:BC得絲=絲=也=2.

BPNPBN3

所以DP=|ND=￡，等=|.解得BP=x=^.

如圖7,對于。D,rD=R;對于。P,rP=PB=半圓心距d=DP=^.

因為兩圓相交，所以rD-rP<d<rD+rP.

匚々R，曰r\

所L1以'IRr?—1—8<—18<R+事18,解得。<Rc<-』36.

考點伸展

第⑵題求PC的長，也可以作PQLBC,解RtAPBQ和R3PCQ.如圖8,在RtAPBQ中，BP=x.cosB=*所以

BQ=",PQ=誓萬.在RtAPCQ中，由勾股定理，得y=PC=[(苧]+(6—梟了=收一以+36.

5.滿分解答

⑴如圖4,聯結CE.因為CD為直徑，所以NCED=90。.

所以△ABCs△ACE.

在RtAABC中,AC=1,BC=2,所以，AB=V5.

因為D是AB的中點，所以CD=AD=\AB=y.

由第=笫得午=+解得力於去

ACAB1V55

所以DEAD-AE圖■?

2510

(2)如圖5,聯結FD、FQ.

因為CD為直徑，所以/DFC=90。.所以FD〃CA.

所以籍=巖=1,點F是BC的中點

FCDA

所以FQ是ACDB的中位線，FQBD.FQ=^BD=^AB=

244

在RtAABC中,AC=1,BC=x，所以AB=Vx2+1.

由些=竺得些=占解得AE=號.

ACAB，X^1Vx1+1x2+l

所以DE=AD-AE=包亙-寫亙.

2x2+l

由y=器=合=(零—奇”亨=奇?定義域是x〉L

⑶如圖6,因為EF是RtABCE斜邊上的中線，所以FE=FB=FC.所以Z.B=乙FEB.

根據等角的余角相等，得N1=NA.

所以等腰三角形CEGs等腰三角形DCA.

所以NECG=NCDA.所以ACED是等腰直角三角形.

設DE=CE=m,所以(CD=BD=近m.

因為tanB=-=*，所以〒J=2.所以.BC=42+1.

BEBCy/2m+mBC

考點伸展

第⑵題中的定義域X>1的幾何意義是什么呢？如圖7,當點E、D重合時，斜邊AB上的中線CD與高CE重合,

所以CD垂直平分AB.此時AABC是等腰直角三角形,x=CB=CA=l.當x>l時，點E在點D的下方.

6.滿分解答

(1)如圖2,做PH_LBC于H.

當。P與邊BC相切時,PH=PA=x.B

3/\

在RtACPH中,cosC=|,PH=x,PC=CA-PA=10-x,Z-\

所以sinC=和表=*一\

圖2

解得X=*所以0P的半徑為3

(2)如圖3,作BM±CA于M.

在RtABCM中，CB=10,cosC=芻所以CM=6,BM=8.

在RtABAM中,AM=10-6=4,BM=8,所以tanZA=2.

在RtABMP中，由勾股定理彳導BP2=BM2+MP2=82+(4-x)2=V%2-8%+80

如圖4,作PH±CB于H.

因為CA=CB,PA=PD,所以NA=NABC,/A=/1.

所以NABC=/1.所以PD//CB.

于是可知四邊形PDEH為矩形.所以HE=PD=x.

在RtACPH中,CP=CA-PA=10-x,cosC=:所以CH=|(10-x).

所以BH=CB-CH=10-|(10-x)=4+|x.

由PD〃CB得黑=器所以不—

整理，得y=至言普.定義域是o<x<io.

⑶如圖5,因為/EDP=90。.所以點D也在以PE為直徑的。Q上.

所以。Q與。P的公共弦為DG.因此PE垂直平分DG,/2=N3.

當點G落在AC邊上時,EG_LCA,/GPD=/2+/3=/A+/l.

所以N2=/3=NA=/1.

在RtAEGP中,PG=x,tan/3=tan/A=2,所以EG=2x.

在RtAEGC中，EG=2x,tanzC=所以CG=|x.

由C4=CG+GP+P4=|久+x+久=(x=10,解得%=y.

如圖6,在RtAADG中，已知4G=2x=/,tanz4=2.

所以sinzX=等.所以GD=AG-sin乙4=二丹

所以。Q與。P相交所得的公共弦的長為竽.

考點伸展

第⑶題求久=爭勺過程也可以不用推理/2=N3=/A=/1根據EG=ED列方程.

如圖5,由PG=PD=PA,可知點D在以AG為直徑的圓P上，所以NGDA=90。.

又因為PE垂直平分DG,所以PE〃AB.

于是由CA=CB,可得CP=CE,AP=BE=x.

在RtAECG中,CE=10-x,sin/C=|所以EG=1(10-x).

在RtABED中,BE=AP=x,tan/B=2,所以ED=2x.

由EG=ED,得|(10-2久)=2%.解得x=y.

7滿分解答

⑴如圖2,因為PA=PD,所以/仁NA.

已知EDLDP,根據等角的余角相等得/2=NB.

所以BE=DE.

(2)在RtAABC中,AC=3,BC=4,所以.AB=5,cosB=

如圖2,作EM±AB于M,所以BM=DM.

在RtABEM中，BE=x,cosB==所以BM=

所以BD=2BM=|x.

所以y=ADAB-BD=-|x+5.

定義域為

oo

(3)如圖3,NBDP與ADAF都是鈍角三角形,那么以/3為分類標準，分N3=N4和N3=/PBD兩種情況.

①先討論N3=N4的情況.

第一步，求AF:AD的值.

如圖4,過點F向AB作垂線，垂足為N.

由于sinz.3=sinzB=|,sinz5=smZ.BAC=芻可設FN=12m.

于是AF=15m,AN=9m,DN=16m.

所以AD=16m-9m=7m.所以

第二步解AAPD作PH±AD于H,那么AH=\AD=|y.

由coszBXC=|=笫得AP=).所以DP=AP=\y.

第三步，根據對應邊成比例列方程.

由竺=竺=竺得？=竺解得a。=四.

AD77

DP、39

圖3

②再討論/3=/PBD的情況.

如圖5,由于/3=N2=/CBA,所以點P與點C重合.

此時在等腰三角形ACD中，AD=|XC=y.

考點伸展

圖4中構造輔助線的策略,因為N2=N3=/4=/B,所以把/3構造為直角三角形的銳角.也可以把/4構造為

直角三角形的銳角，過點B向PD作垂線.同樣的方法，可得DB：DP=15：7.

如圖4,在RtAPDF中，ZDPF是定值，就是等腰三角形APD的頂角.用面積法可以計算得到APDF的三邊

比時7:24:25然后在RtAPBH中按照PH:BH=7:24來列方程.

第⑵題的定義域為(Wx＜多這樣思考：

OO

當P、C兩點重合時，AC=3,y=力。=gac=y.

解方程—：乂+5=?得x=(

當P、A兩點重合時，.y=。.解方程一!久+5=0彳導%=

5o

8.滿分解答

(l)AB=10,BC=6.

(2)如圖2,當t=3時點M運動到OA的中點點N與點C重合.此時S=|x3x4=6.

(3)如圖3.由B(0,8)、C(-2芯,4),可知點C在OB的垂直平分線上.

設OB的中點為D.作NHJ_y軸于H.

在RtABCD中,BD=4,CD=2V5,所以BC=6,sinzSCO=|.

在RtABNH中,BN=12-2t,所以BH=BNsin乙BNH=|(12-2t)=8-1t.

所以yHO=BO-BH=8-(8-^=].

(4)若S=?那么t的值為8,.嚕

考點伸展

第(4)題要考慮三種情況：

①如圖4,當點N在CB上時，由S=jtx|t=卷解得t=空舍去了負值).

②當點M、N在AB上時，AM=t-6,BN=2t-12,12.點O到AB的距離為y.

(i)如圖5,點M、N在相遇前,MN-10-(t-6)-(2t-12)=28-3t.

由S=128—3t)義當=￡，解得t=8.

(ii)如圖6,點M、N在相遇后,MN=3t-28.

由S=*3?28)xg=/解得t=^.

9.滿分解答

⑴如圖2,作AFLBC于F.

在RtAABF中，AB=6,COSNABF=答=*所以BF=2.所以.AF=4位.

在RtAACF中,CF=BC-BF=9-2=7,所以，AC=J（4&『+72=9.

（2攻口圖3,作CGXAB于G,作OH_LAB于H,那么（OH=\CG.

在RtABCG中,.BC=9,cosz.GBC=—=工,所以BG=3.

BC3

所以CG=6/,AG=3.所以（OH=^CG=3a,AH=jXG=|.

如圖4,在RtAOPH中，PH=BH-PBx,OP=x+y.

由勾股定理，得（％+丫產=G一%）+（3或）-

整理，得y=、4%2—36%+153—x.

定義域是0<x<3.x=3如圖5所示.

⑶如圖6,由CA=CB=9,=0E=攝，可知EO/7BC,E是AB的中點.

由OHLAB,可知H是AE的中點.

又因為P是BE的中點，所以PH=^AB=3.

在RtAOPH中,PH=3,OH=3&所以0P=3?

如圖7,特別地，當點E與點A重合時，OP=l，

考點伸展

第⑴題求AC的長，用圖3來解更便捷.

在RtABCG中求得BG=3,可得CG垂直平分AB,所以AC=BC=9.

10滿分解答

(1)如圖2,由AB=AC得/1=N2.

由EF=EC得NEFC=/ECF.

所以NEFC-/1=NECF—N2,即/3=N4.

又因為/EAP=/CAE,所以AAEPs/^ACE.

所以空=經所以AE2=AP-AC.

⑵第一步，求AECB的面積.

如圖3,作EH±BC于H.那么EH垂直平分FC,所以CH=|CF=|x.

在RtAEBH中，BH=BC-CH=4--x,tanB=—=工,所以EH=2--x.

2BH24

所以SECB=^BC-EH=2X4(2-=4-|x.

第二步，證明APFC^AECB.