專題1-7空間向量最值與取值范圍十大題型匯總

。常考題型目錄

題型1長度距離相關考點..........................................................1

題型2面積相關考點..............................................................3

題型3體積相關考點..............................................................5

題型4線線角相關考點............................................................8

題型5線面角相關考點............................................................9

題型6面面角相關考點...........................................................11

題型7數量積相關考點...........................................................12

題型8距離相關考點.............................................................13

題型9外接球相關考點...........................................................15

?類型1半徑相關..........................................................15

?類型2面積相關..........................................................16

?類型3體積相關..........................................................18

?類型4長度相關..........................................................18

題型10截面相關考點............................................................19

?類型1截面面積問題......................................................19

?類型2截取長度問題......................................................19

但題型分類

題型1長度距離相關考點

【例題1】（2023?全國?高三專題練習）在棱長為2的正方體4BCD-4/1的5中，E、F分別

是棱BC、CQ的中點，P是側面BCC/i（包含邊界）上的一動點，若&PII平面4EF,則線段

&P長度的取值范圍是（）

A.[1,^]B.[乎片]C.序，詞D.[2,V5]

【變式1-1】L（2022?全國?高三專題練習）如圖，在三棱錐D-ABC中,DA，平面4BC,

4B18C,AB=BC=4。=1,點P在三棱錐。-28C的表面上運動，則|而+方|的取值

范圍是（）

A.[0,^]B.憐1]C.[1,V3]D.[0,V3]

D

【變式1-1]2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，正四面體ABCD的棱長為1，點P是該

正四面體內切球球面上的動點，點E是4。上的動點，則PE的取值范圍為

【變式1-1]3.（2022秋?上海黃浦?高三上海市大同中學校考階段練習）如圖所示，在四

面體P-28C中，底面A8C是一個邊長為2的等邊三角形GABC的外心為點。，P41平

面力BC,且PA=1,動點M、N分別在線段24（含端點）上和△PBC所在的平面中運動，

滿足MN=1.

（1）貝MN?的最大值為

（2）貝UON2的取值范圍為

C

【變式1-1]4.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖圓柱內有一個內切球，這個球的

直徑恰好與圓柱的高相等，。1,。2為圓柱上下底面的圓心，。為球心，EF為底面圓01的一

條直徑，若球的半徑r=2,貝[|（

E-

A.球與圓柱的體積之比為2：3

B.四面體CDEF的體積的取值范圍為（0,32]

C.平面DEF截得球的截面面積最小值為當

D.若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為[2+2V5,4V3]

【變式1-1]5.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，在直三棱柱48C-4/iG中，

^ACB=90。，AC=C8=CCI=4,P為棱當的的中點，Q為棱上的動點，平面APQ

與棱&G交于點R,則下列說法中正確的是（）

A.存在點Q,使得&Q1APB.線段CiR長度的取值范圍是[0,刀

C.當點Q與點B重合時，四棱錐C-AQPR的體積為16D.設截面AQPR,AAPR,A

4PQ的面積分別為S1,S2，S3,則斗€[4,斗

題型2面積相關考點

【例題2]（2022?全國?高三專題練習）如圖,在四棱錐P—4BCD中，PA，平面ABCD,

△BAD=90°,PA=AB=BC=^AD=1,BCWAD,已知Q是四邊形ABCD內部一點（包

括邊界），且二面角Q—PD—A的平面角大小為：，則44DQ面積的取值范圍是（）

A.（o,滔B.（0,§C.（0誓]D.（0,碧

【變式2-1]1.（2022?全國?高三專題練習）如圖所示，正方形A8CD的邊長為2,切去陰

影部分后，剩下的部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐的側面積的取值范圍為（）

A.（1,2）B,（1,2]C.（0,2]D.（0,2）

【變式2-1J2.（多選X2023?全國模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體力BCD-

中，P為GA的中點，過A,P兩點的平面a分別交棱CG,于點Q,R,則下列結論正

確的是（）

A.不存在點Q,使得&Q與AP所成角的余弦值為察

B.&R的長度取值范圍是[1,2]

C.記四邊形4QPRAPR,△APQ的面積分別為X,S2,S3,則等的最大值為今

D.當平面a經過點C時，幾何體RD/的體積為（

【變式2-1]3.（2023秋?上海浦東新?高三上海市進才中學校考開學考試）已知圓錐SO（0

是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為胡，高為1,P、Q為底面圓周上任意兩點.有

以下三個結論：

①三角形SPQ面積的最大值為2;

②三棱錐。-SPQ體積的最大值為|;

③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為9n.

以上所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2-1]4.（2023春?上海閔行?高三上海市七寶中學校考開學考試）在正三棱柱2BC-

s

中,AAr-4，底面AABC的邊長為2，用一1平面a截此三棱柱，截面a與側棱幺4，

84,CG分別交于點M,N,P,HAMNP為直角三角形，則△MNP的面積的取值范圍是（）

題型3體積相關考點

【例題3]（2023?全國?高三專題練習）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底

面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉月需.現有鱉月需S-

ABC,其中S41平面ABC,4B18C,過A作ADLSB,AELSC,記四面體S-ADE,四

棱錐4-BCED,鱉月需S-ABC的外接球體積分別為匕，/，V,則牛的取值范圍是（）

A.[y,l）B.（1,V2|C.[V2,2）D.[V3,2）

【變式3-1】L（2022?全國?高三專題練習）已知正四棱錐的所有頂點都在體積為36兀的球

。的球面上，若該正四棱錐的高為八，且2WhW5，則該正四棱錐的體積的取值范圍是（）

A罟書B.[噌C[得]D.[篝]

【變式3-1]2.（2023?全國模擬預測）已知三棱錐S-718C的底面4BC是邊長為3的等邊

三角形.若三棱錐S-4BC的外接球的體積為善,則三棱錐S-力BC的體積的取值范圍

為.

【變式3-1]3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，正方體ABCD-&B1C也的棱長為4,

點在正方形的邊界及其內部運動.平面區域由所有滿足小的點組

P2BCDW4<\A±P\<2P

成，則四面體P-&BC的體積的取值范圍.

【變式3-1】4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在棱長為2a的正方體4BCD-4B1G4

中，若繞月/旋轉一周，則在旋轉過程中，三棱錐A-8DG的體積的取值范圍

【變式3-1]5.（2023?北京高三專題練習）如圖，在直三棱柱-a/iG中,AC1BC,

2C=2,8C=1,A4i=2,點。在棱力C上，點E在棱BBi上,給出下列三個結論：

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為|；

②&。+的最小值為或+V5；

③點。到直線GE的距離的最小值為學.

其中所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

【變式3-1]6.（2023?全國?高三專題練習）已知正三棱錐P-48c的六條棱長均為a,。是底

面AABC的中心，用一個平行于底面的平面截三棱錐，分別交P4PB,PC于4，Bi，G點（不

與頂點P,ABC重合）.

給出下列四個結論：

①三棱錐。-&B1G為正三棱錐；

②三棱錐P-48C的高為日a；

③三棱錐。-&B1G的體積既有最大值，又有最小值；

④當鬻=1時，爺&2=5

產43VP-ABC27

其中所有正確結論的序號是.

【變式3-1]7.（2022?全國?模擬預測）在正三棱臺ABC-&B1Q中，已知4B=2&&=4,

點P是側棱BBi上的動點（含端點）.記二面角P-AC-4為a,二面角P-AC-B為0,該

三棱臺的體積為v,三棱錐P-ABC的體積為匕，則多的最大值為；若存在點P,

使得a=0,則V的取值范圍為.

題型4線線角相關考點

【例題4】（2023?全國?高三對口高考）兩條異面直線a、b所成角為5,一條直線I與a、b

成角都等于a,那么a的取值范圍是（）

A《小丁小./罰D.-]

【變式4-1】1.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，在矩形48CD中,AB=%,4。=1,

AF1平面ABC。，且AF=3,點E為線段CD（除端點外）上的動點，沿直線力用的D4E翻

折到△D'AE，則下列說法中正確的是（）

A.當點E固定在線段CD的某位置時，點D的運動軌跡為球面

B.存在點E，使4B1平面DSE

C?點2到平面BCF的距離為日

D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是（答，嚕）

【變式4-1]2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在矩形4BCD中,AB=WBC,E,F,

G,H分別為邊48,BC,CD,n4的中點，將△GDH分別沿直線EF,HG翻折形成四棱錐

B'-AEFC,D'-ACGH,下列說法正確的是（）

D'

A.異面直線EBIG?所成角的取值范圍是（05]B.異面直線EBIG?所成角的取值范圍

是（唱

C.異面直線FBIHD'所成角的取值范圍是（0,外D.異面直線FBI所成角的取值范圍

是（叫

【變式4-1】3.（2023?全國?高三專題練習）三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，P2=

PB=PC=伉，點M為平面ABC內的動點,且滿足PM=V3,記直線PM與直線4B的所成

角的余弦值的取值范圍為.

【變式4-1】4.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第二高級中學校考期中）已知正四

面體A-BCD內接于半徑為野的球。中，在平面BCD內有一動點P,且滿足4P=4魚，則|BP|

的最小值是；直卑1P與直線BC所成角的取值范圍為.

【變式4-1]5.（2023?全國?高三專題練習）正四面體ABCD的棱長為12,在平面BCD內有

一動點P,且滿足AP=6V3，則P點的軌跡是；設直線AP與直線BC所成的角為8，則cos。

的取值范圍為.

題型5線面角相關考點

【例題5]（2023?全國?高三專題練習）已知正方形4BCD的邊長為2，現將△2CD沿對角線4c

翻折，得到三棱錐。-ABC.^AC,BC,4。的中點分別為M,N,則下列結論錯誤的是（）

D

B.三棱錐D-ABC體積的最大值為竽

C.三棱錐D-28C的外接球的表面積為定值

D.MN與平面B。。所成角的范圍是（0,；）

【變式5-1J1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，棱長為1的正方體4BCD-&B1GA中，

P為線段4聲上的動點，則下列結論中正確的個數為（）

①DC11D1P；

②平面Di&P_L平面4遇P；

③NAP5的最大值為90。；

④4P+PA的最小值為拒不反；

⑤C/與平面A/iB所成角正弦值的取值范圍是［子,夸］.

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1J2.（2023秋?廣東東莞?高三校考階段練習）在4。48中,OA=4B=4/04B=

120°,若空間點P滿足SAP.=次04B，則。P的最小值為；直線。P與平面。48所成角

的正切的最大值是.

【變式5-1]3.（多選）（2023?全國?學軍中學校聯考二模）如圖：在三棱柱ABC-

中，底面為正三角形，且乙4iAB=Z-ArAC=45。,AB=1,則下列說法正確的是（）

A.直線廿與底面a/iCi所成角的余弦值為當

B.設BC中點為P,則線段P4的長度的最小值為巳

C.平面&B1B/與平面8CC/1夾角的余弦值為產

D.直線4遇與平面G44所成角的余弦值的最大值為日

【變式5-1】4.（多選）（2023?全國?高三專題練習）三棱錐P-4BC中,AB=2a，BC=1,

AB1BC,直線PA與平面ABC所成的角為30。,直線PB與平面ABC所成的角為60。，則

下列說法中正確的有（）

A.三棱錐P-4BC體積的最小值為日

B.三棱錐P-4BC體積的最大值為？

C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P-BC-4的平面角為銳角

D.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P-AB-C的平面角為鈍角

題型6面面角相關考點

【例題6]（2023?全國?高三專題練習）在正方體A8CD-48O中，點P是44上的動點，

Q是平面內的一點，且滿足AD18Q,則二面角P-8。-Q余弦值的取值范圍

是.

【變式6-1]1.（2023春?河南洛陽?高三孟津縣第一高級中學校考開學考試）在直三棱柱

ABC-6中，=1,4iC=2,NB4C=g,E,F為線段&C的三等分點，點。在線

O

段EF上（包括端點）運動,則二面角。-AB-C的正弦值的取值范圍為（）

A￡嚼B./M，/D.[j.|]

【變式6-1】2.（2023?全國?高三專題練習）在矩形ABCD中，AB=8，BC=1,現將AABC

沿對角線AC翻折，得到四面體D-ABC,則該四面體外接球的體積為；設二面角

D-AC-B的平面角為e,當e在K身內變化時，BD的取值范圍為.

【變式6-1]3.（多選）（2022?全國?高三專題練習）在正三棱由18C-中,AB=2,

A4i=3,點。、E分別在棱B/、C】C上運動（。不與名重合，E不與心重合），使得△&DE是

等腰三角形.記4&DE的面積為S,平面&DE與平面4BC所成銳二面角的平面角大小為9,

則（）

A.DE〃平面B.△&DE可能為等腰直角三角形

C.S的取值范圍是（舊,2V3]D.8的取值范圍是（01

題型7數量積相關考點

【例題7】（2023?上海統考模擬預測）若P、Q、R是棱長為1的正四面體棱上互不相同的三

點，則而?礪的取值范圍是.

【變式7-1】1.（2022?全國?高三專題練習）已知點P為正四面體ABCD的外接球上的任意一

點，正四面體ABC。的棱長為2,則西?方的取值范圍為.

【變式7-1]2.（2022?全國?高三專題練習）正四面體4-BCD的棱長為4,空間中的動點

P滿足|麗+元|=2/,則而?麗的取值范圍為（）

A.[4-2V3.4+2網B.[V2,3碼

C.[4-3V2,4-V2]D.[-14,刀

【變式7-1】3.（多選）（2023?全國?模擬預測）如圖，正四棱推P-28CD的所有棱長均為

1,E為BC的中點,M,N分別為棱PB,PC上的動點設前=4而，前=^-PCi<A<1,

ZAZ

A.AM不可能垂直于BNR.AM-3的取值范圍是（-g0）

【變式7-1]4.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，已知正方體4BCD-由歷的外的

棱長為2,E尸分別是棱BC,CG的中點，P是側面BCG為內（含邊界）的動點，則下列說法

正確的是（）

A.若直線&P與平面AEF平行，則三棱錐P-力￡尸的體積為|

B.若直線&P與平面4EF平行，則直線A/上存在唯一的點Q，使得DQ與&P始終垂直

C.若&P=V5,則EP的最小值為力-1

D.若&P=V5,則中?瓦W的最大值為4或

題型8距離相關考點

【例題8]（2023?山東濟南?濟南市歷城第二中學校考二模庵平面直角坐標系中，為圓/+

y2=16上的動點，定點4（-3,2）.現將y軸左側半圓所在坐標平面沿y軸翻折，與y軸右側半

圓所在平面成m的二面角，使點4翻折至4,P仍在右側半圓和折起的左側半圓上運動，則4,

P兩點間距離的取值范圍是（）

A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3詞D,[V13,7]

【變式8-1]1.（2023?全國?高三專題練習）直線m1平面a,垂足是。，正四面體4BCD的

棱長為4,點C在平面a上運動，點B在直線m上運動,則點。到直線4。的距離的取值范圍是

（）

A.B.[2V2-2,2或+2]

C.[一,亨]D.[3V2-2,3V2+2]

【變式8-1]2.（2023?全國?高三專題練習）我們把底面是正三角形，頂點在底面的射影是

正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐.現有一正三棱錐P-4BC放置在平而a上,已知它的底

面邊長為2,高無，該正三棱錐繞BC邊在平面a上轉動（翻轉），某個時刻它在平面a上的射

影是等腰直角三角形，貝心的取值范圍是（）

A.（譚B.（0^]u[^l]C.（0用D.（O^]u（^l）

【變式8-1】3.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知AZBC為等腰直角三角形AB=AC,

其高4D=3,E為線段BD的中點，將4ABC沿AD折成大小為8g<0<歐的二面角，連接

BC,形成四面體A-BCD,動點P在4"D內（含邊界），且PEII平面4BC,則在。變化的

過程中（）.

A.XD1BC

B.E點到平面ADC的距離的最大值為|

C.點P在△4。。內（含邊界）的軌跡長度為企

D.當BP12C時，BP與平面4DC所成角的正切值的取值范圍為[2a,+8）

【變式8-1]4.（多選I2023?全國?高三專題練習）已知AABC為等腰直角三角形,AB=AC,

其高4D=3乃為線段BD的中點，將△力BC沿4D折成大小為9g<0<習的二面角，連接BC,

形成四面體A-BCD,動點。在44CD內（含邊界），且PE〃平面ABC，則在8變化的過程中

（）

A.XD1BC

B.E點到平面ADC的距離的最大值為乎

C.點2在42DC內（含邊界）的軌跡長度為近

D.當BP12C時，BP與平面4DC所成角的正切值的取值范圍為[2企,+8）

題型9外接球相關考點

?類型1半徑相關

【例題9-1]（2023?全國?模擬預測）已知三棱錐P-ABC,PA1底面ABC,AB=4，設AABC

和小PAB的外接圓半徑分別為心，r2.若三棱錐P-力BC外接球的體積為36n,則q+萬的最

大值為（）

A.2V5B.2V6C.V26D.3V3

【變式9-1]1.（2023?全國?高三專題練習）在正方體ABC。—a/iGA中,AB=4,。為4G

的中點，若該正方體的棱與球。的球面有公共點，則球。的半徑的取值范圍是.

【變式9-1]2.（2023?全國?高三專題練習）如圖，正方形28CD的邊長為2,E為BC的中點，

將4B2E沿力E向上翻折至以PAE，連接PC,PD，在翻折過程中，下列說法中正確的是（）

P(B)

①四棱錐P-4ECD的體積最大值為言②.PD中點尸的軌跡長度為缶

③EP,CD與平面24。所成角的正弦值之比為2:1

④三棱錐P-4ED的外接球半徑有最小值|,沒有最大值

A.①③B.②③C.①③④D.①②③

【變式9-1]3.（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，有一個棱長為4的正四面

體P-48C容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（）

A.若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為1

B.△ABE的周長最小值為4+V34

C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為彳

D如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為逐-2

【變式9-1]4.（2023?全國?高三專題練習）已知空間四邊形A8CD的各邊長及對角線BD的

長度均為6,平面ABD，平面CB。，點M在相上,且AM=2MC,那么ABCD外接球的半徑

為；過點M作四邊形4BCD外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為.

?類型2面積相關

【例題9-2]（2023?山東濟南校考模擬預測）已知三棱錐P-48C的三條側棱兩兩垂直，且

其外接球半徑為2,貝USAPAB+S?AC+SAPBC的最大值為.

【變式9-2]1.（2023?全國?高三專題練習）已知48,C三點在球。的球面上，且/C1

BC.AC==2,若球。上的動點。到點48,C所在平面的距離的最大值為在+V3,

則球。的表面積為（）

A.16兀B.247TC.8V6;rD.24瓜rt

【變式9-2]2.（2023?全國?高三專題練習）在正四棱柱4BCD-&B1GA中，AB=1,

=3,點P為側棱上一點，過A,C兩點作垂直于BP的截面，以此截面為底面，

以B為頂點作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值范圍是.

【變式9-2】3（2022秋?黑龍江哈爾濱?高三校考階段練習卻圖直四棱柱71BCD-A/iGA

中，底面4BCD為平行四邊形，力8=1,4。=2,A4i=2,^BAD=60。，點P是半圓弧省之上

的動點（不包括端點），點Q是半圓弧廢上的動點（不包括端點），若三棱錐P-BCQ的外接球

表面積為S,則S的取值范圍是.

【變式9-2]4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，正四棱臺4BCD-a/iGA,上下底面

分別是邊長為4,6的正方形，若6[V3,3V3],則該棱臺外接球表面積的取值范圍

是.

?類型3體積相關

【例題9-3]（2023?全國?高三專題練習）一球的表面積為4n,它的內接圓錐的母線長為I,

且1W1W百，則該內接圓錐體積的取值范圍是（）.

Af,邪玉葛

J-]D.隋用

【變式9-3]1.（2023?全國?高三專題練習）已知圓錐的底面圓半徑為r,圓錐內部放有半

徑為1的球/求與圓錐的側面和底面都相切<r<V6則圓錐體積的取值范圍是）

A.管，等]B.[等,16水.詈，智D.[167T,257r]

【變式9-3]2.（2023?全國?高三專題練習）某正六棱錐外接球的表面積為16n,且外接球

的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長Ze[百,2|,則其體積的取值范圍是（）

A.[4丹竽]B.[4百，萼]

D.[*響

【變式9-3]3.（2023?全國?高三專題練習）定義：若a,B,C,D為球面上四點,E,F分

別是4B,CD的中點，則把以EF為直徑的球稱為助,CD的"伴隨球”.已知A,B,C,D是

半徑為2的球面上四點,AB=CD=2W，則，⑶的"伴隨球"的直徑取值范圍為—；

若a,B,C,D不共面，則四面體4BCD體積的最大值為.

?類型4長度相關

【例題9-4]（2023?全國?高三專題練習）已知正四面體4-BCD的棱長為6,P是ATIBC外接

圓上的動點，、是四面體A-BCD內切球球面上的動點，則|PQ|的取值范圍是

題型1