塞、指數、對數函數

(七大題型+模擬精練+核心素養分析+方法歸納)

01題型歸納

目錄：

?題型01幕函數的相關概念及圖像

?題型02幕函數的性質及應用

?題型03指數、對數式的運算

?題型04指數、對數函數的圖像對比分析

?題型05比較函數值或參數值的大小

?題型06指數、對數(函數)的實際應用

?題型07指數、對數函數的圖像與性質綜合及應用

?題型01幕函數的相關概念及圖像

1.(2024高三?全國?專題練習)若哥函數了=/(力的圖象經過點倒,后)，則〃16)=()

A.6B.2C.4D.y

【答案】C

【分析】利用已知條件求得哥函數解析式，然后代入求解即可.

【解析】設累函數y=/(x)=x",因為/(x)的圖象經過點(2,夜)，所以2。=也，解得

]_

所以/(x)=/'所以/(16)=16萬=4?

故選：C

2.（2024高三?全國?專題練習）結合圖中的五個函數圖象回答問題:

（1）哪幾個是偶函數，哪幾個是奇函數？

（2）寫出每個函數的定義域、值域；

⑶寫出每個函數的單調區間；

⑷從圖中你發現了什么？

【答案】（1）答案見解析；

（2）答案見解析；

⑶答案見解析；

⑷答案見解析.

【分析】根據已知函數圖象，數形結合即可求得結果.

【解析】（1）數形結合可知，了=，的圖象關于了軸對稱，故其為偶函數;

21

>=X/==—的圖象關于原點對稱，故都為奇函數.

（2）數形結合可知：了=石的定義域是［0,+8）,值域為［0,+8）；

>=%卜=*3的定義域都是火，值域也是尺；

V=」的定義域為（-*0）口（。,+8），值域也為（-*0）口（0,+8）;

y=x2的定義域為R,值域為［0,+8）.

（3）數形結合可知：y=4的單調增區間是：［0,+8）,無單調減區間；

>=x/=x3的單調增區間是：R,無單調減區間；

了=」的單調減區間是：（-8,0）和（0,+8）,無單調增區間；

X

y=x2的單調減區間是（-8,0）,單調增區間是（0,+8）.

（4）數形結合可知：

事函數均恒過（1,1）點；幕函數在第一象限一定有圖象，在第四象限一定沒有圖象.

對哥函數了=/，當a>0,其一定在（0,+8）是單調增函數；當a<0,在（0,+⑹是單調減函數.

3.（2022高一上,全國?專題練習）如圖所示是函數v一尤：（加、〃eN*且互質）的圖象，貝I（）

y—

C.機是偶數，〃是奇數，且絲>1D.m,〃是偶數，且竺>1

nn

【答案】B

【分析】

根據圖象得到函數的奇偶性及（0,+e）上單調遞增，結合加、〃eN*且互質，從而得到答案.

【解析】由圖象可看出y=為偶函數，且在（°，+00）上單調遞增，

故生e（0,1）且加為偶數，又加、“eN*且互質，故〃是奇數.

n

故選：B

?題型02幕函數的性質及應用

4.（2023高三上?江蘇徐州?學業考試）已知幕函數/（》）=（加②+2加-2）/在（0,+8）上單調遞減，則實數加

的值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】A

【分析】根據暴函數的定義，求得機=-3或加=1,結合幕函數的單調性，即可求解.

【解析】由函數/（x）=（加2+2加-2卜加為幕函數，可得小+2加一2=1,

即加之+2冽一3=0,解得m=一3或機=1,

當他=-3時，函數/（力=尸在（0,+s）上單調遞減，符合題意；

當〃?=1時，函數/卜）=》在（0,+8）上單調遞增，不符合題意.

故選：A.

5.（23-24高三上?安徽?階段練習）已知幕函數/（x）=（療-5加+5卜修是R上的偶函數，且函數

g（x）=〃x）-（2a-6）x在區間[1,3]上單調遞增，則實數。的取值范圍是（）

A.（一叫4）B.（一雙4]

C.[6,+oo）D.（-00,4]U[6,+oo）

【答案】B

【分析】根據幕函數的定義與奇偶性求出加的值，可得出函數/（x）的解析式，再利用二次函數的單調性可

得出關于實數”的不等式，即可解得實數〃的取值范圍.

【解析】因為暴函數/'（月=（/-5俏+5卜”一2是R上的偶函數，

則次2-5加+5=1,解得加=1或根=4,

當洸=1時，f（x）=xl,該函數是定義域為｛x|x*0｝的奇函數，不合乎題意；

當機=4時，f（x）=x2,該函數是定義域為R的偶函數，合乎題意.

所以，f（x）=x2,貝！|g（x）=x2-（24-6）x,其對稱軸方程為x=a-3,

因為g（x）在區間[1,3]上單調遞增，貝ija-341,解得aW4.

故選：B.

6.（23-24高三上?上海靜安?階段練習）已知”1-1,2,；,3，1，若/（力=x"為奇函數，且在（0,+“）上單調

遞增，則實數a的取值個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】a=-l時，不滿足單調性，“=2或時，不滿足奇偶性，當。=3或時，滿足要求，得到

答案.

【解析】當。=-1時，〃x)=xT在9+8)上單調遞減，不合要求，

當a=2時,/(-x)=(-x)2=x2=/(x),故/(x)=/為偶函數,不合要求，

當a=5時，=的定義域為(。，+8),不是奇函數，不合要求，

當a=3時，f{~x)=(-x)3=-x3=~f{x),/(力=X3為奇函數，

且/(x)=d在(0,+功上單調遞增，滿足要求，

1111

當?=§時，f(-x)=(-^)3==-f(x)1故〃%)=無3為奇函數，

且y(x)=x3在(0，+8)上單調遞增,滿足要求.

故選：B

7.(22-23高三下?上海?階段練習)已知函數/⑺=，，則關于/的表達式/(〃-2/)+/(2/2_1)<0的解集

為.

【答案】卜)]

【分析】利用嘉函數的性質及函數的奇偶性和單調性即可求解.

【解析】由題意可知，/(x)的定義域為(-應+8),

11

所以/(-%)=(-工尸=—x^=—f(X)?

所以函數/(X)是奇函數，

由嘉函數的性質知，函數/(工人聲在函數一叫+切上單調遞增，

由f(t2-2/)+/(2Z2-1)<0,得_2/)<Qd-1),即f(t2-2t)<f(l-2t2),

所以/-2f<l-2/，即3產-2f-l<0,解得

所以關于/的表達式-2/)+/(2/-1)<0的解集為);,11

故答案為：

8.(23-24高三上?河北邢臺,期中)已知函數"》)=(病一加一1)，+,3是幕函數，且在(0,+“)上單調遞減,

若a,6eR,^a<0<b,\a\<\b\,則〃”）+/優）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

【答案】B

【分析】由幕函數的定義與性質求得函數解析式，確定其是奇函數，然后利用單調性與奇偶性可判斷.

【解析】由"尸-"7-1=1得加=2或加=-1,

機=2時，/(x)=x3在R上是增函數，不合題意，

加=-1時，f(x)=x-3,在(0,+8)上是減函數，滿足題意，

所以/(x)=尸>

。<0<6,同<同,則f(-a)>f(b),/(x)=-/是奇函數，因此/(-a)=-/(?),

所以一/(。)>/3)，即/⑷+/(6)<0,

故選：B.

9.(2023,江蘇南京?二模)幕函數〃x)=x"(aeR)滿足：任意xeR有/(-x)=/(x),且4-1)<"2)<2,

請寫出符合上述條件的一個函數〃x)=.

2

【答案】尤3(答案不唯一)

【分析】

2

取/(%)=/，再驗證奇偶性和函數值即可.

222

【解析】取/(X)=戶,則定乂域為R,且/(—X)=(―%)3==/(%),

2

〃T)=1，〃2)=23=班，滿足/(-1)<〃2)<2.

2

故答案為：

10.(2022高三?全國?專題練習)已知函數/0%)=/,g(x)U-m

⑴當xe[-1,3]時，求/(x)的值域；

(2)若對Vxe[0,2],g(x)》l成立，求實數機的取值范圍；

(3)若對％e[0,2],3X26[-1,3],使得g&K/g)成立，求實數折的取值范圍.

3

【答案】(1)[0,9]；(2)(3)用》-8.

【分析】(1)由二次函數的性質得出值域;

(2)將問題轉化為求g(無)在［0,2］的最小值大于或等于1,再根據指數函數的單調性得出實數機的取值范圍;

(3)將問題轉化為g(x)在［0,2］的最大值小于或等于/(幻在［-1,3］上的最大值9,從而得出實數加的取值范

圍.

【解析】(1)當xe［-l,3］時，函數/(勸=*%［0,9］

/(x)的值域［0,9］

(2)對Vx?0,2］,g(x)》l成立，等價于g(x)在［0,2］的最小值大于或等于1.

而g(x)在［0,2］上單調遞減，所以即叭

(3)對％40,2],3X2G[-1,3],使得g(VW(%2)成立,

等價于g(')在［0,2］的最大值小于或等于/(x)在［-1,3］上的最大值9

由1一加＜9,/.加》-8

?題型03指數、對數式的運算

&4岫寸

11.(23-24高三上?山東泰安,階段練習)(1)計算的值；.

(0.1尸.("43?

22

(2)(log37+log73)-^^-(log73).

(3)log。9+|lg25+lg2-log49xlog38+2臉3T+拾點

Q

【答案】(1)j;(2)2；(3)4

【分析】根據指數幕運算公式和對數運算公式計算即可.

33

【解析】(1)原式=%.絲上8a射8

1-15

10?〃歹

222

⑵原式=(log37+log73)-(log73)-log327xlog37

=log37x(log37+2log73)-log37xlog37

=log37x21og73

=2；

2_

223log23-15

(3)原式=log,3+1g5+1g2-log,23xlog32+2x2+Ine

32一

=4+1-3+-+-

22

=4.

12.（23-24高一上?湖北恩施?期末）（1）計算：Ig:-lg3+lgl2.5-log89」og278.

2o

/r、—rA-1-t1_1a+Q+2X./士

（2）已知Q2+Q2=3，求+Q-2_2的值，

【答案】（1）I；（2）|

【分析】（1）根據對數的運算法則和運算性質，即可求解；

（2）根據實數指數塞的運算性質，準確運算，即可求解.

21

【解析】（1）由對數的運算公式，可得原式=-lg2-（lg5-31g2）+31g5-l-§log；xlog：=§.

（2）因為54-5_3，所以4+。一1+2=9,可得〃+〃T=7,所以〃之+尸+2=49,

CtI14--J

a+ai+27+2_1

可得/47,所以

a+a—247-2-5

?題型04指數、對數函數的圖像對比分析

13.（2024?四川?模擬預測）已知函數y=x",y=bx,y=log^x在同一平面直角坐標系的圖象如圖所示，則

logi。<b"<sinbBlogc<sinb<ba

A.x

22

sinb<ba<logcDsin/?<logc<ba

C.11

22

【答案】B

【分析】根據幕函數，指數與對數函數的性質可得。，上。的取值范圍，進而根據指對數與三角函數的性質判

斷即可.

【解析】因為>=/圖象過（1,1）,故由圖象可得a<0,

又y=圖象過（0/），故由圖象可得0<b<l,

又y=log,”圖象過(1,0),故由圖象可得c>l.

故10gle<峭1=°,0<sini<l,b?>b0=l,故bg“<sinb<"

222

故選：B

14.(2024高三?全國?專題練習)在同一平面直角坐標系中，函數>==，y=loga(x+；)(a>0,且"1)

【解析】略

15.(2024?陜西?模擬預測)已知函數/'(x)的部分圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能為()

x

A.f(x)^e-Q-B.〃x)=l-C./(x)=x桐D.〃x)=inH+2)

【答案】D

【分析】結合指數函數的圖象與性質即可判斷AB選項錯誤，對C代入x=2判斷C錯誤，則可得到D正確.

【解析】根據函數/(x)的圖象，知/'(1h1,而對A選項〃l)=e-e->2排除A；

2?

對B選項〃x)=l-y因為d+貝1]/工產(0,2),

則〃x)=l-匹但圖象中函數值可以大于1,排除B;

根據C選項的解析式，/⑵=2亞=2.8,而根據函數/⑶的圖象，知排除C.

故選：D.

16.（23-24高三上,山東濰坊?期中）已知指數函數了=1,對數函數>=log/的圖象如圖所示，則下列關系

成立的是（）

A.0<a<b<\B.0<。<1<6

C.0<b<l<aD.a<0<\<b

【答案】B

【分析】根據題意，由指數函數以及對數函數的單調性即可得到。力的范圍，從而得到結果.

【解析】由圖象可得，指數函數歹=0'為減函數，

對數函數V=log；,x為增函數，

所以

即0<。<1<6.

故選：B

17.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習）函數〃x）=——的圖象大致為（）

2X-2~x

【答案】A

【分析】利用函數的性質和特值法對不符合題意的選項加以排除，即可得出答案.

【解析】因為2，一2-、*0,所以xN0,定義域為（-咫0”（0,+8）；

22

因為=所以〃-x)=:J,故〃x)=-〃r),所以〃x)為奇函數,排除B,

當X趨向于正無窮大時，/、2,-2T均趨向于正無窮大，但隨X變大，2工-2T的增速比V快,

所以/(x)趨向于0,排除D,

由〃i)=g，/出=乎，則排除C.

故選：A.

?題型05比較函數值或參數值的大小

18.(2024?全國?模擬預測)已知"仕J=log/,德=logy,則實數6,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】由函數單調性，零點存在性定理及畫出函數圖象，得到a,6,ce(O,l),得到log/<1=log.a,求出

…，根據單調性得到c=[j從而得到答案?

【解析】令〃x)=G[-x,其在R上單調遞減，

又〃0)=1>0,〃1)=；-1=一；<0,

由零點存在性定理得aC(0,1),

則歹=1嗎X在(0,+s)上單調遞減,

可以得到6e（0,1）,

又必=優在R上單調遞減，畫出％=優與%T°g1x的函數圖象，

2

可以看出ce(O,l),

因為[I]<[3]=1'故log/<l=bg0a,故

因為a,ce(O,l),故">01="，

由"=l°gy得，c]_

22

綜上，c<a<b.

故選：D.

【點睛】指數和對數比較大小的方法有：（1）畫出函數圖象，數形結合得到大小關系；

（2）由函數單調性，可選取適當的"媒介"（通常以"0"或"1"為媒介），分別與要比較的數比較大小，從而間

接地得出要比較的數的大小關系；

（3）作差（商）比較法是比較兩個數值大小的常用方法，即對兩值作差（商），看其值與0（1）的關系，

從而確定所比兩值的大小關系.

19.（2023?江西贛州?二模）log3x=log4j^=log5z<-1,則（）

A.3x<4v<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【答案】D

【分析】設log3X=log4y=10g5Z=7〃<-l,得到x=3m,y=￥,z=5一畫出圖象，數形結合得到答案.

xloloz

【解析】4"l°g3=§4y=§5=rn<-\,則x=3"',y=4'",z=5"',

3x=3m+1,4j=4m+1,5z=5m+1,其中機+l<0,

在同一坐標系內回出y=3",y=4x,y=5',

故選：D

20.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數〃切=/，g(x)=lnx,正實數a,b,c滿足〃a)=g'(a),

/(b)g(6)=g⑷，g(e)+/(g(ac))=0,則()

A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】由/(a)=g'(a)可得。<”1,結合〃6)g(b)=g(a)可判斷b的范圍，再由g(c)+/(g(/))=0可

得lnc+6f=0,結合e"=L可判斷a,c大小關系，進而可得答案.

a

【解析】由題得，g'(x)=:，

由/(a)=g'(a),得e“=L,即L>1,所以0<a<l.

aa

由/伍)g(b)=g(〃)，得/ln)=lna,

因為InacO,e"〉0,所以InbcO,

又e">l,所以lnq=e'lnb<lnb,所以0<a<b<l.

由g(c)+/(g(a'))=O，得Inc+e"=0，即lnc+/=O.

易知能>0,所以lnc<0,所以0<c<l,故。<優.

又e"=L所以〃=-Ina,所以-lnc=q，>Q=-lnQ,

a

所以Incvlna,所以所以c〈q<6.

故選：B.

【點睛】思路點睛：比較大小常用方法：

(1)同構函數，利用單調性比較；

(2)取中間值進行比較；

(3)利用基本不等式比較大小;

(4)利用作差法比較大小.

21.(2023?浙江紹興?二模)已知/(x)是定義域為R的偶函數，且在(-%0)上單調遞減，?=/(ln2.04),

004

Z)=/(-1.04),C=/(e),貝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】令g(x)=e-x-1,利用導數求得g(x)在(0,1)單調遞增，得至Ug(x)>g⑼=0,得到e°3>i.04,

再由對數函數的性質，得到ln2.04<1.04<e°g,再由函數/卜)的單調性與奇偶性

/(ln2.O4)</(l.O4)</(e004),即可求解.

【解析】令g(x)=e，-x-l,xe(0,l),可得g,x)=e，-l>0,所以g(x)在(0,1)單調遞增，

又由g(0)=0,所以g(x)>g(O)=O,即g(0.04)>0,可得e。04>0.04+1=1.04,

又由In2.04w(0,1),所以In2.04<1.04<e004,

因為/(x)是定義域為R的偶函數，且在(-*。)上單調遞減，

則〃x)在(0,+8)上單調遞增，且b=/(-1.04)=/(1.04),

所以〃ln2.04)</(1.04)</(e°a),即/(ln2.04)</(-1.04)</(e004),

所以Q<b<C.

故選：A.

?題型06指數、對數(函數)的實際應用

22.(2024?安徽合肥?二模)常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做

半衰期，記為T(單位：天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為T，4.開始記錄時,

這兩種物質的質量相等，512天后測量發現乙的質量為甲的質量的%則叱滿足的關系式為()

C512512.512512

、一2HB2+——=——

■刀L

C.-2+.拳=噫拳C,512,512

D.2+log2—=log2—

【答案】B

【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為L可得512天后甲，乙的質量，根據題意列出等式即可

得答案.

【解析】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1,

512512

則512天后，甲的質量為：g）不，乙的質量為：（》不，

1空11生12+^-

由題意可得（;產=;.（y=§尸,

?C512512

所以2+有1=吃”.

故選：B.

23.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關

規定：100mL血液中酒精含量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設

某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒

精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（）（結果取整數，參考數據:

lg3?0.48,lg7?0.85）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】設經過x個小時才能駕駛，則0.6x100x（1-30%）,<20,再根據指數函數的性質及對數的運算計算

可得.

【解析】設經過x個小時才能駕駛，貝10.6x100x（1-30%）“<20即0.7”<；.

U1

由于y=07'在定義域上單調遞減，x>11=lg>lg3-048048二？.

So-731g0.7lg7-l0.85-10.15,

他至少經過4小時才能駕駛.

故選：D.

?題型07指數、對數函數的圖像與性質綜合及應用

24.（2024?山東聊城二模）已知函數為R上的偶函數，且當x>。時，/（x）=log4x-l,則/

()

【答案】A

【分析】根據偶函數的定義可得了（一2；）=/（2,），結合函數解析式和對數的運算性質即可求解.

【解析】因為“*）為偶函數,所以/（-x）=/（x）,

22221）

貝U/（-23）=/（23）=log42^-1=10g2,2^-1=log22^-1=--1=--.

故選：A

25.（2023?江西南昌?三模）設函數/3=優（0<。<1）,g（x）=log〃x（6>l）,若存在實數加滿足：①

/（m）+g（m）=0；@/（?）-g（n）=0,③|機-九區1,則（加一〃的取值范圍是（）

9

【答案】D

【分析】由①/（心）+8（"）=。，②/■（〃）-8（〃）=。解出0<根<1,〃>1,解出;"?-”<-；；結合③轉化

為線性規劃問題解出z>-三立.

4

【解析】函數/（》）=優（。<。<1）,g（x）=logjX（Z>>l）,

若存在實數加滿足：①/（加）+g（M=0;@/（H）-g（M）=0,

即Q"=-logb冽，且。”=log/,〃，貝！）a"-a"=10gz，加〃v0,

貝|0<加〃<1,且0<加<1,n>l,所以;加一〃<一；，

又因為③阿-〃區1,

不防設x=m,y=n,則轉化為線性規劃問題,

在A點處Z取最小值.

-1+6

1

二—-2~

由rV無解得<

y/5+l

y=x+l

y=-^—

代入解得z>-三立.

4

故選：D.

26.(2022高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=k?ga(ax+9-3a)(a>0且awl).

⑴若“X)在［1,3］上單調遞增，求實數4的取值范圍；

(2)若/(3)>0且存在x°e(3,+a)),使得/(x°)>21og?x。成立，求a的最小整數值.

【答案】3

(2)7

【分析】⑴設g(x)=ax+9-3a,得到g(x)在［1,3］上是增函數，且g(l)>0,即可求解;

(2)由/(3)>0,的得到。>1,把不等式/(x°)>21og/o,轉化為a>%+3,結合題意，即可求解.

【解析】⑴解:由函數/(x)=log“(ax+9-3a),設g(x)=ax+9-3a,

由a>0且aHl,可得函數g(x)在［L3］上是增函數，所以a>l,

又由函數定義域可得g⑴=9-2a>0,解得

所以實數0的取值范圍是

(2)解：由〃3)=log.9>0,可得a>l,

又由/(%)>210gliX。,可得loga(ax0+9-3a)>log/；,

所以Q/+9—3a>x：,即a>/+3,

因為存在為e(3,+co),使得/(Xo)>21og”o成立，可得a>6,

所以實數。的最小整數值是7.

x2+x.-2cWxK一1

4

27.(23-24高二下?湖南,階段練習)已知函數/(x)=<,若/(x)的值域是是2,2］,則C的值

?1

log^,—<x<c

為()

A.2B.2V2C.4D.8

【答案】C

【分析】畫出函數圖像，由分段函數中定義域的范圍分別求出值域的取值范圍再結合二次函數和對數運算

可得正確結果.

【解析】當時，==+-1,2,

因為/(x)的值域是[-2,2],又〃x)=bg「在&，c上單調遞減，

所以logy=-2,;.c=4.

2

故選：C.

28.(22-23高一上?遼寧本溪?期末)若不等式(x-<log/(a>Q,且。片1)在xe(l,2]內恒成立，則實

數。的取值范圍為()

A.[1,2)B.(1,2)

C.(1,V2]D.(2,V2)

【答案】B

【分析】分析出。時，不成立，當。>1時，畫出〃x)=log.X,g(x)=(x-l『的圖象，數形結合得到

實數。的取值范圍.

2

【解析】若0<。<1,此時xe(l,2],10glix<0,n'n(x-l)>0,故(x-lp<log.x無解；

若a>l,此時xe(l,2],logax>0,而(x—lfzO,

令/(x)=log"X,g(x)=(x-l)2,

畫出兩函數圖象，如下:

故要想(x-1)2<logax在X€(1,2]內恒成立，

則要1嗎2>1,解得：ae(l,2).

故選：B.

29.(2022高二下?浙江,學業考試)已知函數/(力=32+2,對于任意的％e[05，都存在再使得

/(國)+2〃％+相)="成立，則實數機的取值范圍為.

【答案】log21,log21

【分析】雙變量問題，轉化為取值范圍的包含關系，列不等式組求解

【解析】???〃西閆5,8]$4,

X2+mM1+ra

/(x2+zn)=3-2+2G[3-2+2,3-2+2],

-z-

52",>-

3.2m+2>-611

由題意得彳2^log2-<m<log2-

3-2m+1+2<42m+1<-63

〔13

故答案為：log,I，log,1

63

30.(21-22高三上?湖北?階段練習)已知函數MX)=7〃I+1(7〃>0且加41)經過定點A,函數

/(x)=logaM。>。且的圖象經過點A.

⑴求函數y=/(2a-2J)的定義域與值域；

⑵若函數g(x)="2/)?/(/)-4在2,4]上有兩個零點，求2的取值范圍.

【答案】⑴定義域為(一%2),值域為(-8,2)；

(2)[1,+8)

【分析】(1)根據對數函數的性質，求得定點4(4,2),代入函數/(xhlog'X,求得。=2,進而求得

y=/(2a-2')=log2(4-2，，結合對數函數的性質，求得函數的定義域與值域；

(2)由(1)知，化簡得至I］函數g(x)=2〃log2X)2+21og2X-4,設々log?》，貝lpe［-2,2］,轉化為

〃(x)=2?2+2/-4在［-2,2］上有兩個零點，結合二次函數的性質，分類討論，即可求解.

【解析】(1)解：令>4=0,解得x=4,所以M4)=〃/+l=2,所以函數〃(x)過點44,2),

將點A的坐標代入函數/(x)=log0x,可得log”4=2,解得。=2,

又由函數V=/(2。-2，)=10&(4一2工)，

由4-2*>0,解得x<2,所以函數y=/(2a-2')的定義域為(fo,2),

又由0<4-2*<4,所以函數y=/(2a-2*)的值域為(一>?,2).

22A2

(2)解：由(1)知，g|Sg(^)=/(2x)?/(x)-4=log2(2X)-log2x-4

2

=22(log2x)+2log2x-4在。,4］上有兩個零點，

設t=log2X,則fe［-2,2］,

因為f為關于x的單調遞增函數，所以g(x)在耳,4］有兩個零點，

等價于函數h(x)=2AZ2+2/4在［-2,2］上有兩個零點，

①當4=0時，由〃(》)=2/4=0,可得f=2,函數〃(x)只有一個零點，所以2=0不合題意;

△=4+322>0

-2c<----1--<2c

②當彳>0時，由，22，解得221；

"-2)=84-820

42)=8/120

A=4+32%>0

C1C

-2<------<2

③當2<0時，由，2A,此時不等式組的解集為空集,

//(-2)=82-8<0

/t(2)=8/l<0

綜上可得，實數幾的取值范圍是［1,+8).

02模擬精練

一、單選題

1.(2024?黑龍江?二模)己知函數y=+6的圖象經過原點，且無限接近直線>=2,但又不與該直線相

交,則()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由題意可得。+b=0且b=2,求出°,即可求解.

【解析】因為函數y=/(x)=。甘+6圖象過原點，所以心°+6=0,

得a+Z)=0,又該函數圖象無限接近直線>=2,且不與該直線相交，

所以b=2,貝!Ja=—2,

所以ab=-4.

故選：C

2.(2024?上海閔行?二模)已知y=/(x),xeR為奇函數，當x>0時，/(x)=log2x-1,則集合

｛x|/(-x)-/(x)<0｝可表示為()

A.(2,+oo)B.(-<?,-2)

C.(-8,-2)U(2,+S)D.(-2,0)U(2,+S)

【答案】D

【分析】利用函數奇偶性可得不等式/(-工)-/(幻<0等價于〃刈>0,再求出函數解析式，利用對數函數單

調性解不等式可得結果.

【解析】因為y=/(x)為奇函數，所以/(-X)-/(%)<0等價于-2/(x)<0,gp/(x)>0；

當x>0時，/(x)=log2x-l,gp/(x)=log2x-l>0,解得x>2；

-

當x<0時，-x>0,n]f(-x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以/'(x)=l-log2(-x),

解不等式f(x)=l-log2(-x)>0,可得-2<x<0,

綜上可得集合｛XIf(-x)-f(x)<0｝可表示為(-2,0)U(2,+8).

故選：D

3.(2024?北京通州?二模)某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S(單位：平方米)與時間/(單位:

月)的關系式為S=a血(?>0,且awl),圖象如圖所示.則下列結論正確的個數為()

①浮萍每個月增長的面積都相等;

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是％,%，%貝篙+，2=1

【答案】B

【分析】由已知可得出S=2,M,計算出萍蔓延1月至2月份增長的面積和2月至3月份增長的面積，可判

斷①的正誤；計算出浮萍蔓延4個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷

③的正誤；利用指數運算可判斷④的正誤.

【解析】由已知可得"=2,則S=2㈤.

對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23-22=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為24-2,=8（平方米），①錯；

對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為2,=32（平方米），②對；

r\n+2

對于③，浮萍蔓延第〃至〃+1個月的增長率為2二;=1，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是

100%,③錯；

對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是6,G，t.,

則2'出=3,2'加=4,2,3+1=12=3x4=2，1+1-2,2+1=2，1+（2+2,所以6+L+1，④錯.

故選：B.

4.（2024?天津紅橋二模）若.=（1）3,6=logi|,,=3?則°，兒c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用基函數、對數函數性質，并借助媒介數比較大小.

［解析］^=logi|>log||=l,0=（$3=［（|）4］石=（：戶>（捺產=（；戶=°,而q=（g><l,

所以Q,b,。的大小關系為>C.

故選：c

5.(2024?全國.模擬預測)已知函數/(x)=10gl,(/一"+x-2水0>0且"1)在區間(1,+8)上單調遞減,

則。的取值范圍是()

A.^0,—B.—,1^C.(1,2]D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】對數函數的單調性與底數有關，分0<。<1和。>1兩種情況討論，此外還要注意對數函數的定義域,

即真數為正；復合函數單調性滿足"同增異減"，根據對數函數單調性結合題干中“在區間(L+◎上單調遞減"

得到真數部分函數的單調性，從而求得。的取值范圍.

【解析】設函數g(x)=--ax?+x-2a,則g'(x)=3x?-2辦+1.

①若0<a<l,貝l]y=log/在定義域上單調遞減.

又/(尤)=log.(丁-a/+x-2a)在區間(1,+動上單調遞減，所以g(尤)在區間(1,+8)上單調遞增，故g，(x)20

對任意的xe(1,+oo)恒成立.

Xg，(l)=4-2fl>0,所以對任意的xe(l,+8),g，(x)Z0顯然成立.

又因為g(x)>0對任意xe(l,+co)恒成立，所以g(l)=2-3a?0,故0<a4§.

②若。>1,則y=log,x在定義域上單調遞增.

又/(x)=log/--潑+x_2a)在區間+8)上單調遞減，所以g(x)在區間(1,+8)上單調遞減，故g'(x)W0

對任意的xe(l,+oo)恒成立.

因為拋物線》=3x2-2辦+1的開口向上，所以g，(x)40不可能對任意的xe(1,+⑹恒成立.

所以“的取值范圍為(0。,

故選：A.

6.(2024?寧夏固原?一模)已知函數“X)的部分圖像如圖所示，則/(%)的解析式可能為()

—X―一X—X-x

A."x)=3B.〃X)=K

【答案】A

【分析】利用/(x)在。,+s)上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/'(x)在(1,+8)上的單調性排除D,

從而得解.

【解析】對于B,當x>l時，f(x}=-———,易知行一片,>0,3-4x<0,

I/3-4x

則/(x)<0,不滿足圖象，故B錯誤；

對于C,"x)=律T定義域為)叫-小1輔唱+8),

-X-1,—e—Xe-X*4.-e-X

又/(一x)=4l_=則〃x)的圖象關于了軸對稱，故c錯誤；

?X]3LX—J

xxI

對于D，當x>l時，〃x)=pp=13rl+口，

由反比例函數的性質可知，/(X)在(1,+8)上單調遞減，故D錯誤；

cX-x

檢驗選項A,f(x)=11a滿足圖中性質,故A正確.

堀71-3

故選：A.

1

尹,x<0

7.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數/(》)=<,則不等式/(/T)>"3)的解集為()

1

,x>0

、x+2

A.(-2,2)B.(0,+8)

c.(-<?,o)D.(-00,-2)u(2,+oo)

【答案】A

【分析】判斷函數/(x)的單調性，再利用單調性解不等式即可.

【解析】〃x)=，易知了=尹在(-應0)單調遞減，

---,x>02

[x+2

尸一二在(o,+8)單調遞減，且“X)在X=O處連續，故〃X)在R上單調遞減,

x+2

由/(/一1)>/(3),貝02_I<3,解得一2<a<2,

故不等式/(力-1)>/(3)的解集為(-2,2).

故選：A

8.(2024?甘肅蘭州?一模)已知了=/(力是定義在R上的奇函數，且對于任意x均有/(x+l)+/(x-l)=0,

當0<xWl時，/(%)=2￥-1,若加n(ea)]>/(lna)(e是自然對數的底)，則實數”的取值范圍是()

A.B.e*<a<e”/eZ)

31

「q—1+4%/八/Q1+4人(K-卜4k—2+4k

C.e<a<e(KGZ)