平行四邊形的存在性問題

1.如圖1,平面直角坐標系中，二次函數y="2++4的圖像經過點A(-2,0)、B(4,0)兩點與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數的解析式；

⑵如果點E在線段0C上，且/CBE=NACO,求點E的坐標；

⑶點M在y軸上，且位于點C上方，點N在直線BC上，點P為上述二次函數圖像的對稱軸上的點如果以C、

M、N、P為頂點的四邊形是菱形，求點M的坐標.

2如圖1,已知直線y=-|x+2與x軸、y軸分別交于點B、C,拋物線y=+bx+c過點B、C,且

與x軸的另一個交點為A.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點M是線段BC上一點，過點M作直線1〃丫軸交該拋物線于點N，當四邊形OMNC是平行四邊形時，

求它的面積；dx

，/一

(3)聯結AC,設點D是該拋物線上一點,且滿足/DBA=NCAO,求點D的坐標./。\"

3如圖在RtAABC中,/C=9(F,AC=6,BC=8動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度

運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD〃BC,交AB于點D,

聯結PQ.點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t

秒(GO).

(1)直接用含t的代數式分別表示:QB=,PD=;

⑵是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點

Q的速度(勻速運動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度.

4如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A(4,0)、B(0,3),點C的坐標為(0,m),過點

C作CE±AB于點E,點D為x軸正半軸的一動點,且滿足OD=2OC,連結DE以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA.

(1)如果平行四邊形DEFA為矩形.求m的值;

⑵如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出m的值.

5如圖1,在平面直角坐標系xOy中,已知直線1與直線y=2x平行，且直線1與x、y軸分別交于點A(-l,0)x

點B,點C(l,a)在直線1上.

(1)求直線1的表達式以及點C的坐標；J

(2)點P在y軸正半軸上，點Q是坐標平面內一點，如果四邊形PAQC為矩形，求點P、Q的坐標

①如圖L在平面直角坐標系xOy中直線y=kx+2經過點A(2,-2),與y軸交于點B,與x軸交于點E.沿x軸方向

平移直線AB，使其經過原點，此時A、B的對應點分別是C、D.

(1)求直線AB平移的距離；

⑵已知點F在x軸上，點G在坐標平面內，且以點C、D、F、G為頂點的四邊形是矩形，求點F的坐標.

備用圖

7如圖1,已知平面直角坐標系*0丫,過點(4,6)的直線y=kx+3與y軸交于點A,將此直線向下平移［個單位，所

得到的直線1與y軸交于點B.

(1)求直線1的表達式；

⑵點C位于第一象限且在直線1上，點D在直線y=kx+3上，如果以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形,

求點C的坐標.

8.已知點P(l,m)、Q(n,l)在反比例函數y=:的圖像上，直線y=kx+b經過點P、Q,且與x軸、y軸的交點分別

為A、B兩點.

⑴求k、b的值；

(2)0為坐標原點,C在直線y=kx+b上且AB=AC,點D在坐標平面上，順次聯結點0、B、C、D得四邊形0BC

D,滿足BC〃0D,B0=CD,求滿足條件的D點坐標.

9如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線y=3x-9與x軸、y軸交于點A、點B,點C在y軸的正半軸上，0C

=|。3點D在射線BA上，目ADCB的面積為30.

⑴求點D的坐標；

⑵求直線CD的表達式；

⑶點P在射線CD上，如果四邊形BCPQ是菱形，求點P和點Q的坐標.

10.如圖1,已知直線AQ與x軸負半軸交于點A,與y軸正半軸交于點Q,/QAO=45。,直線AQ在y軸上的截

距為2,直線BE:y=-2x+8與直線AQ交于點P.

⑴求直線AQ的解析式；

(2)在y軸正半軸上取一點F,當四邊形BPFO是梯形時，求點F的坐標；

⑶若點C在y軸負半軸上，點M在直線PA上，點N在直線PB上，是否存在以Q、C、M、N為頂點的四邊

形是菱形，若存在請求出點C的坐標；若不存在請說明理由.E

1.滿分解答

(1)因為拋物線與X軸交于A(-2,0)、B(4,0)兩點，可設y=a(x+2)(x-4).

對照yax2+bx+4,根據常數項相等，得-8a=4.

解得a=-點所以y=-1(%+2)(%-4)=-|x2+x+4.

⑵由A(-2,0)、C(0,4),可得tanzXCO=1.

在RtABOC中,OB=OC=4,所以NBCO=45。，BC=4a

作EHJ_BC于H,那么tan/CBE=tan乙4C。=點所以EH=

設EH=m,BH=2m,那么(CH=m,CE=V2m.

由BC=3m=心/②得m=1V2.

所以CE=42m=

所以OE=OC—CE=4-g=*E(0，§.

(3)已知C(0,4),點P在直線x=l上，點M在點C上方，點N在直線y=-x+4上以CM為分類標準討論菱形.

①如圖3,當CM為菱形的對角線時，CM與NP互相垂直平分.

因此點N、P到y軸的距離相等，等于1.所以xN=-1.所以N(-l,5).

所以C、M到直線NP的距離相等，等于1.所以M(0,6).

圖3

②如圖4,當CM為菱形的邊時，由于PN||CM||y軸，所以點N在直線.尤=1上.所以N(1,3).所以菱形的邊

長為CN=魚.此時M(0-4+V2).

考點伸展

如果第⑶題沒有點M在點C上方的限制，那么還存在如圖5所示的情形.此時點M的坐標為((0,4-72).

2.滿分解答

(1)由y=+2,彳導B(4,0),C(0,2).

設拋物線的解析式為y=-*比—4)(“—上),代入點C(0,2)彳導—2X2=2.

解得x2=-1.

所以y=-|(X-4)(x+1)=-|x2+|久+2.

(2)設++|%+2)

如圖2,如果四邊形OMNC是平行四邊形，那么NM=CO=2.

解方程+|x+2)-(-|x+2)=2,整理，得—?+4=0.

解得%i=x2=2.

所以S平行四邊形OMNC=2x2=4.

⑶如圖3,/DBA=/CAO存在兩種情況.

①當點D在x軸上方時，四邊形CABD是等腰梯形.

此時C、D兩點關于拋物線的對稱軸x=|對稱，所以D(3,2).

②當點D在x軸下方時，作DHLx軸于H.

由tan/DBH=tan/CACX得—=—=2.所以DH=2BH.

圖2圖3

設D\m'—|(m—4)(m+1)),那么|(m—4)(m+1)=2(4—m).

解得m=-5,或m=4(與B重合,舍去).此時.D(-5，-18).

考點伸展

第⑶題②中設點D的縱坐標，為什么用拋物線的交點式表示比較方便呢？

求直線BD與拋物線的交點，其中一個交點B(4,0)在x軸上，所以直線BD和拋物線的解析式中，都含有

一個因式(x-4).這樣用因式分解法解方程比較方便.

3.滿分解答

(l)QB=8-2t,PD=1t.

(2)先說明菱形是否存在.

如圖1,在四邊形PDBQ中,(QB=8-2t,PD==1。—11.

由BQ=PD,得8-2t=*解得t=y.

由PD=BD得|t=10一|t.解得t=y.

由于茅7岸所以四邊形PDBQ是平行四邊形時，鄰邊不相等.

所以四邊形PDBQ不可能成為菱形.

再改變點Q的速度，使得四邊形PDBQ是菱形.

如圖2,由PD=BD知”爭寸,四邊形PDBQ是菱彩

所以菱形的邊長PD=]=?Xg3

此時。(2=理一收=8-蔡=加[^^^的速度”=半=藁+費=表.

c--P"Cp八

圖1圖2

4.滿分解答

(1)在RtAAOB中,0A=4,0B=3,所以.AB=5,coszB=|.

在RtABCE中,BC=3-m,所以BE=BC-coszB=|(3-m)=|-|im.

所以2E=AB-BE=5-弓一|m)=|m+

當四邊形DEFA是矩形時，在RSADE中，coszX盜，

當點C在x軸上方時,OC=mQD=2OC=2m.所以AD=4-2m.

解方程用=3得爪=*

-771+-^-531

當點C在X軸下方時,OC=-m,OD=2OC=-2m.所以AD=4+2m.

解方程拄空T得m=一得

519

-5m5+—

立』

圖1圖2

⑵如果平行四邊形DEFA為菱形，那么在等腰三角形ADE中,J2=1當點C在X軸上方時解方程

E8

16

m=—.

19

當點C在X軸下方時,解方程Ug.得甲-：：?

IX

圖3圖4

5.滿分解答

⑴設y=2x+b,代入點A(-1,O］得-2+b=0,解得b=2.所以y=2x+2,B(0,2),C(l,4).

⑵如圖2,以AC為直徑作圓與y軸的交點為點P1、P2.

由A(-1,O).B(0,2)、C(l,4,得.AB=BC=V5.

因為四邊形PAQC為矩形，所以BP=BQ=AB=BC=V5.

當點P在點B上方時，Pi(O,2+V5),Qi(O,2-V5);

當點P在點B下方時，P2(O<2-V5),Q2O2+V5).

6.滿分解答

⑴將點A(2,-2)代入y=kx+2彳導2k+2=-2,解得k=-2.

所以直線AB的解析式為y=-2x+2.所以B(0,2)、E(1,O).

所以直線AB平移的距離為1.

(2)由⑴，得C(l,-2)sD(-l,2),設F(x,O).

所以DIF2=(x+I)?+(-2)2,CF2=(x-+22,CD2=(-2)2+42=20.

當以點C、D、F、G為頂點的四邊形是矩形時，則^CDF是直角三角形，分三種情況討論.

①如圖2，當心CDF=90。時，DF2+CD2=CF2.(x+I)2+(-2)2+20=(x-l)2+2?整理，得4x+20=0.

解得x=5所以F(-5,0).

②如圖3,當乙DCF=90。時,(CD2+CF2=DF2.20+(x-l)2+22=(x+l)2+(-2產整理得-4x+20=0.解得

x=5.所以F(5,0).

③如圖4,當乙CFD=90。時,LF2+CF2=CD2.(x+l)2+(-2)2+(x-l)2+22=20整理，得x2-5=0.解

得=V5,X2=-低所以F(V5-0)pg(-V5>0).

7.滿分解答

(1)將點(4,6)代入y=kx+3彳導4k+3=6.解得k=:所以y=\x+3,A(0,3).所以直線1的表達式為y=+：,B

444N

04).

(2)分兩種情況討論以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形.

①如圖2,當AB為邊時,BC=AB.設C[x>\x+

所以BC2=x2+(-x+--邛=竺/

\422)16

所以工/=(|)[解得打=-2(不符合題意，舍去)，.七=2.所以C(2,2).

1O\Z/

②當AB為對角線時,AB與DC互相垂直平分，設AB、DC相交于點M.

所以AM=MB.所以yA-yM=yM-yB,3-yM=yM-

解得y”=：將yc=y“=彳代入y=|%+卜得冗=|所以c(|4)

8.滿分解答

(1)由y=(得P(l,5)、Q(5,l).

將P(l,5)、Q(5,l)代入y=kx+b,得￡+6=1,解得卜J?

⑵由y=-x+6狷A(6,0)、B(0,6),.AB=6A/2.

設C(a,-a+6).因為AB=AC,所以6a=7(?-6)2+(-a+6)2.

解得a1=12,a2=0(與點B重合,舍去).所以C(12,-6).

因為BC〃OD,所以OD解析式為:y=-x.

設D(m,-m).因為BO=CD,所以6=—12江+(-m+6尸.解彳導g=6,m212.

所以口(6,-6)或(12,-12).

當D(6,-6)時,四邊形OBCD為等腰梯形.

當D(12,-12)時,四邊形OBCD為平行四邊形.

9.滿分解答

⑴如圖2,由y=3x-9,得A(3,0)、B(0,-9).

因為OC=|OB,所以oc=Ix9=6,C(0,6).

因為SDCB=|BC-XD=|(6+9)-XD=30,所以xD=4.

所以yD=3xD-9=3,D(4,3).

⑵設直線CD的表達式為y=kx+6,代入點D(4,3)狷4k+6=3.解得k=-*所以直線CD的表達式為y=-9

44

+6.

⑶如圖3.設P(%，一江+6),因為C(0,6),所以CP2=%2+(-|x+6-6)2.

當四邊形BCPQ是菱形時,CP=PQ=BQ=CB=15,PQ〃CB〃y軸.

所以cp2=CB2,X2+(--%+6-6?=152.整理，得—X2=152.

解得%!=12/2=-12(舍).

所以P(塔-3),Q(12,-18).

10.滿分解答

(1)如圖2,在RtAAOQ中,NQA