第4節弧中點的構造

前言：縱觀中考題中的圓的綜合題，有些問題出現得很多，比如切線的判定，有些是條件出現得很多，比如本

節所要介紹的“弧中點”，對于常見條件，總結其常用的處理方法，有助于高效解題.

知識導航

與垂徑定理相關

若點P是AB中點連接0P,則OP,AB.

若過點P作MN//AB,則MN是。O的切線.

變換條件：連接BP、AP,若/BPN=/A,則MN是。O的切線.

引例1如圖，BD為△ABC外接圓。0的直徑且/BAE=NC.

(1)求證：AE與。。相切于點A;

(2)若AE||BC,BC=2上,AC=2Vx求AD的長.

解析:⑴如圖，連接0A交BC于點H,

BD是直徑，，ZBAD=90°,

VZBAC=ZD=ZOAD,且/OAD+NOAB=90。，

.\ZBAE+ZOAB=90°,AZOAE=90°,

；.OA_LAE,

???AE與圓。相切于點A.

(2)：AE〃BC,.?.OALBC,.?.點A是弧BC中點，

AB=AC=2&又BH=CH=V7,

勾股定理得：AH=1,設半徑為r,則OB=r,OH=r-l,

在RtAOHB中,。"2+BH2=OB2,

代入得：(r-I)?+(V7)=r2,解得：r=4,

/.BD=2r=8,在RtAABD中，

勾股定理可得：AD=2V14.

與圓周角定理相關

若點P是AB中點點C是圓上一點，貝[]/PCA=/PCB.

特別地，若點P是半圓中點，則/PCA=/PCB=45。.

若連接PA、PB,貝(]/PBA=/PCA=/PCB=/PAB.

可得：△PDA^APAC;APDB^APBC.

可得：△CAPsACDB;ACAD^ACPB.

弓I例2:如圖.AD是△ABC的外接圓。O的直徑，點P在BC延長線上，且滿足/PAC=/B.

(1)求證：PA是。O的切線;

(2)弦CELAD交AB于點F,若AF-AB=12,求AC的長.

解析：(1)VZB=ZD,且/ADC+/CAD=90。,

ZPAC+ZCAD=90°,即AD_LAP,

，PA是。O的切線.

(2)VAD±CE,/.AE=AC,ZACE=ZADC,

VZADC=ZABC,AZACE=ZABC,

.,.AAFC^AACB,.,.AFC=ACB,

.\AC2=AF-AB=12,；.AC=2V3

，AC的長為2V3

真題演練

1.如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓0經過點C、D.AC與BD相交于點E,CD2=CE-CA?

分別延長AB、DC相交于點P,PB=BO,CD=2a.則B0的長是_______.

2加圖，OO是4ABC的外接圓，ZBAC的平分線交。。于點D,交BC于點E,過點D作直線DF〃BC.

⑴判斷直線DF與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若AB=6,AE=胃,CE=?，求BD的長.

3.如圖，四邊形ABCD內接于。O,/.BAD=90。,點E在BC的延長線上,且乙DEC=ABAC.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若.AC||DE,當AB=8,CE=2時.求AC的長.

4.如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D.

(1)求證：ZCAD=ZCAB;

⑵若^=1-AC=2屬求的長.

5.如圖，在直角三角形ABC中,/ACB=90。點H是△ABC的內心，AH的延長線和三角形ABC的外接圓O相交

于點D,連結DB.

(1)求證：DH=DB;

(2)過點D作BC的平行線交AC、AB的延長線分別于點E、F,已知CE=1,。。的直徑為5.

①求證：EF為。O的切線；

②求DF的長.

6.如圖，AB是。0的直徑，點C為BD的中點，CF為。。的弦，且CFXAB,垂足為E,連接BD交CF于點

G,連接CD、AD、BF.

(1)求證：ABFG=ACDG;

(2)若AD=BE=2,求BF的長.

7.如圖,△ABC內接于。O,AD平分/BAC交BC邊于點E”交。。于點D,過點A作AFJ_BC于點F,設。。的

半徑為R,AF=h.

⑴過點D作直線.求證：MN是。O的切線；

(2)求證:ABAC=2Rh;

(3)設/BAC=2a,求/蛆的值(用含a的代數式表示).

8.已知：AB為。O的直徑，延長AB到點P,過點P作。O的切線切點為C,連接AC,且.AC=CP.

(1)求/P的度數;

⑵若點D是弧AB的中點，連接CD交AB于點E,HDEDC=20,求。O的面積.(兀取3.14)

D

9.如圖，M、N是以AB為直徑的。。上的點且AN=BN,弦MN交AB于點C,BM平分^ABD,MF1BD

于點F.

(1)求證：MF是。O的切線；

(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.

10.如圖1,在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圓，過點C作/BCD=/ACB交。O于點D,連接AD

交BC于點E,延長DC至點F,使CF=AC,連接AF.

(1)求證：ED=EC;

(2)求證：AF是。O的切線；

(3)如圖2,若點G是^ACD的內心,BCBE=25,求BG的長.

11.如圖，在RSABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點D,O為AB上一點，經過點A、D的0O分別

交AB、AC于點E、F,連接OF交AD于點G.

(1)求證：BC是。O的切線；

(2)設AB=x,AF=y,試用含x,y的代數式表示線段AD的長；

(3)若BE=8,sinB=:，求DG的長，

B-

DC

第4節弧中點的構造

1.4

解析：：CD2=CE-CA,.?.△CEDs^CDA,

.\ZCDE=ZCAD,.\CD=BC,連接OC,則OC_LBD,

易證△POCs/iPAD,.*.答D=PO=I，；.PC=4V2

易證△PBC-APDA,g=胃代入得:叫=第,

解得：r=4,；.BO的長是4.

解析：(1)相切.

?；AD平分/BAC,.?.點D是弧BC中點，連接OD,則ODLBC,又?.?DF〃BC,.,.OD，DF,.?.DF是圓O的切

(2)連接CD,RTilEAAEB^ACED,

???g=舞代入得：M=卷解得：CD=吟：.BD=CD=率,BD的長為竽.

5

(1)如圖，連接BD,；/8人口=90。，；.BD是直徑，

VZBAC=ZBDC,ZBDC+ZCBD=90°,

；./BAC+/CBD=90°,又/DEC=/BAC,

.\ZDEC+ZCBD=90°,/.ZBDE=90°,即BD_LDE,

ADE是圓。的切線.

(2)VBD±DE,AC//DE,BD_LAC,D是弧AC中點，易證△BAD絲ABCD,.\AC=AB=8,記BD與AC交點為H,

射影定理可得：CD2=CB-CE,

代入可得：CD=4,；.BD=4V5

易證△DHC-ADCB,可得:*=黑，代入得：浮=提解得：CH=^,.-.AC=

DCDUO4V555

故AC的長為《I

角星析：(1)連接oc,貝！］OC_LDC,?.?AD_LDC,，OC〃AD,；.NDAC=NACOJiOA=OC,NACO=/CAB,；.NCA

(2)連接CB,則/ACB=90。，XZDAC=ZCAB,.\ADAC^ACAB,?.?詈=署，設AD=2m,則AB=3m代入得：

聶=等解得：m=2,；.AD=4,二CD=J(2V6)2-42=272,ACD的長為：2雙

解析:(1)連接BH,

易證乙4HB=90°+|ZT1CB=90°+45°=135°,

ZBHD=45°,XZBDH=90°,ABDH是等腰直角三角形,，DH=DB.

(2)①連接OD,：AD平分NBAC,；.D是弧BC中點,

AODXBC,VEF/7BC,.\OD±EF,

；.EF是圓O的切線.

②記BC與0D交點為M點則DM=CE=1,

vAB=5,??.OD=OB=-AB=OM=-BM=2,

'222f

3__

???tanZ-OBM=BCEF,??.ZF=Z.ABC,

4

n3cl4八八4510

???tanzF=DF=-OD=-x-=—,

43323

，DF的長為g

6.解析:⑴由題意可得:NCDB=NCFB,NCGD=NBGF,連接BC,?..點C是弧BD中點，；.CD=BC,又BC=BF,

CD=BF,.*.△BFG^ACDG(AAS).

(2)考慮到DC=CB=BF,；.BD=CF,設半徑為r,則BD2=(2r)2-22=4r2-4,CE2=r2-(r-2)2=4r-4,

CF2=4CE2=16r-16故4r2-4=16r-16,解得：「=1(舍)或3,EF=V32-I2=2?,：.BF=2V3.

解析:⑴連接OD,；AD平分NBAC,弧BD=MCD,;.OD±BC,；MN〃BC,OD±MN,MN是圓O的切線.

(2)延長DO與圓交于點Q,連接AQ,；AF_LBC,DQ±BC,.*.AF/7DQ,/.ZEAF=ZADQ,/.AAFE^ADA

Q,魯=禽即AEAD=AFDQ,連接CD,易證△ACD^AAEB,/.OCE=ADAB,即AEAD=ABAC,/.ABAC=AFD

Q,.,.ABAC=2Rh.

(3)延長BA至點G使得BG=AC,又NDBG=NDCA,DB=DC,ADBG^ADCA,AB+AC=AB+BG=AG,

過點D作DHLAG交AG于點H,則H是AG中點,

AB+4C

AHAB+ACAB+AC

cosa=一2=2cosa.

ADAD2ADAD

8.解析：⑴連接0C,則NOAC=/OCA,.

VAC=CP,.\ZCAP=ZCPA,XCP是圓O的切線，則OC_LCP,.?.NOAC+NOCA+NP=90。，；./P=30。.故NP

的度數是30°.

(2)連接BC,易證ADEBs^DBC,

噫=案,即DB2=DE.DC=20,；.DB=2V5

AB=2yJ10,OA=OB=V10,S=nr2?3.14X10=31.4

角華析：(1)連接OM,則OM=OB,.\ZOBM=ZOMB,

VMB平分NABD,AZOBM=ZFBM,AZOMB=ZFBM,

,/ZBMF+ZFBM=90°,ZFMB+ZOMB=90°,gpZOMF=90°,AMF是圓O的切線.

(2)?..點N是弧AB中點，；.NABN=45o=/BMN,

I—?%—i-NCNB/1、\/日3—4

勿證NCBNBM,—=—，代入q：=—,

“，NBNM'…、B4NM'

解得：NM=^,-.CM=NM-NC=^f-3=

故CM的長為|

10.解析：⑴^ilEZEDC=ZECD,/.ED=EC.

(2)連接OA,則OALBC,

VZBAD=ZADC,；.AB〃CD,

又CF=AC=AB,...四邊形ABCF是平行四邊形

；.AF〃BC,；.OA_LAF,；.AF是圓O的切線.

(3)易證△BEA^ABAC,.\BA2=BEBC=25,.*.BA=5,?gAG,ZBAG=ZBAE+ZDAG,ZBGA=ZBCA+ZCAG,

又/BAE=/BCA,ZDAG=ZCAG,

；./BAG=/BGA,；.BA=BG,，BG=5.

11.解析：⑴連接OD,「AD平分/BAC,

，NB