專題4-1抽象函數七大題型匯總

。常考題型目錄

題型1抽象函數的定義域........................................................................1

題型2抽象函數求值............................................................................3

題型3抽象函數解不等式........................................................................8

題型4抽象函數求解析式.......................................................................13

題型5抽象函數的值域.........................................................................18

題型6抽象函數的單調性.......................................................................24

題型7抽象函數的奇偶性.......................................................................32

U題型分類

題型1抽象函數的定義域

【方法總結】

對于抽象函數定義域原則為括號里范圍相同。

【例題1】(2023上?甘肅白銀?高一甘肅省靖遠縣第一中學校考期末)已知函數y=/(%)的定義域是[-1,3],

則y=/(2x-1)的定義域是()

A.[0,2]B.[-1,3]C.[0,4]D.[-j.o]

【答案】A

【分析】根據抽象函數定義域之間的關系即可得到結論.

【詳解】因為函數y=/(x)的定義域是[-1,3],

所以—1<2x—1<3,解得0<x<2,

故函數y=f(2x-1)的定義域是[0,2].

故選：A.

【變式1-1】1.(2022上?北京?高一北京市第一六一中學校考階段練習)已知“X)的定義域為[1,2],則f(|x|)

的定義域為

[^][-2,-1]U[1,2]

【分析】利用抽象函數的定義域求法，通過同一題中相同函數符號的括號內范圍相同得出人田)中田e[1,2],

即可解出答案，注意定義域是自變量x的取值范圍.

【詳解】?."(>)的定義域為[1,2],

.?普(㈤)中|x|e[1,2],解得Xe[1,2]或[一2,-1],

f(團)的定義域為[―2,-1]U[1,2].

故答案為:[-2,-l]u[l,2].

【變式1-1]2.(2023上?安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期中)若函數f(x)的定義域為[0,4],則函數

g(x)=f(.\x-1|)+浣邪勺定義域為.

【答案】(2,5]

【分析】根據/'(X)的定義域列出不等式，求解即可.

【詳解】函數f(%)的定義域為[0,4],得『W比4,解得2<x<5,

所以函數9(%)=/(|x-1])+關邪勺定義域為(2,5].

故答案為：(2,5].

【變式1-1]3.(2023上河南?高一校聯考期中)已知函數/⑺的定義域為[0,4],則函數y=人力)的定義

域為

【答案】[-2,2]

【分析】根據抽象函數定義域的求法計算即可.

【詳解】令0W/w4,解得—2WxW2,即曠=/(/)的定義域為[―2,2].

故答案為：[-2,2].

【變式1-1J4.(2023上?山東濰坊?高一統考期中)已知函數y=f(x)的定義域為[-2,5],則函數y=四F

的定義域為

【答案】[-，l)u(l,3]

【分析】應用求解抽象函數的定義域的方法即可.

【詳解】函數y=的定義域為[-2,5],

叫-2J2x-1^<5，則％<1或1<%s3

則函數y=0?的定義域為[一J,1)U(1,3].

X-1z

故答案為：[-：,1)U(1,3]

題型2抽象函數求值

【方法總結】

抽象函數大題，基本技巧是賦值，有如下規律技巧：

1.第一層次賦值：常常令字母取o,-1,1.

2.第二層次賦值：若題中有條件f(X。)=t,則再令字母取X。.

3.第三層次賦值：拆分賦值.根據抽象式子運算，把賦值數拆成某兩個值對應的和與積(較

多)或者差與商(較少).如4=2X2,8=4X2;拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例題2](2021?全國?高一專題練習汜知函數/⑺滿足八孫廠f(x)+/(y)且x,yeR，則勝)+/(|)+f

(1)+/(2)+/(3)=()

A.OB.lC.|D.5

【答案】A

【分析】令％=y=1,可得/'(1)=0,再令y=1,可得/■(x)+/(>=0,然后可求得結果

【詳解】解：,??函數/(x)滿足/(xy)=/(x)+f(y)S.x,yeR,

令％=y=1,則/"(1)=y(1)+f(1)

f(1)—0

令y=?，則/(1)=/CO+〃》=o

.?./(l)+/(3)=0fi/(i)+/(2)=0

???居)+嗎+八1)+/(2)+八3)=0

故選：A.

【變式2-1]1.(2015上?上海徐匯?高一位育中學校考期中)對久ER,yeR，已知f(x+y)=/(%)?/(y),

且〃1)=2則0+?+闡+…+《。⑸+”2。16)的值為

以八J'人」/(1)/⑵/⑶7(2014)f(2015)qJia/J

【答案】4030

【分析】在已知等式f(X+y)=f。)"(y)中，取y=1,可得黑2=2,由此求得需+需+雋+…+

JJI17J\^)J

f(2015)/(2016)的彳4

/(2014)十/(2015)口」但.

【詳解】令y=1,則/(%+1)=/(%)-/(1)=2/(%),

即需=2，

則福+瑞+第+…+磊+磊=2+2+…+2=2X2015=4030.

故答案為:4030.

【點睛】本題主要考查函數值的計算，利用賦值法是解決抽象函數的常用方法，是中檔題.

【變式2-1]2.(2020上?安徽安慶?高一安徽省懷寧中學校考階段練習)若對任意的居yeR,有f(x)+

/(y)一/(X+y)=3,函數g(x)=/+/(x),則g(2)+g(—2)的值為

【答案】6

【解析】先利用賦值法計算/O)+/(-%)=6，再根據奇偶性判斷h(x)=/是奇函數彳導以-x)+h(x)=0,

再代入分組計算即可.

【詳解】依題意,取x=y=0,則f(0)+/(0)-f(0)=3,SPf(O)=3,

取y=-%,則/'(x)+f(-x)-f(0)=3,即久久)+/(-x)=6,

令h(x)=,則g(x)=+f(x)=/i(x)+f(x),易見九(x)是奇函數即人(-%)+h(x)=0,故g(2)+

g(-2)=h(2)+f(2)+h(-2)+/(-2)=h(2)+/i(-2)+f(2)+f(-2)=0+6=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了抽象函數的函數值求法，考查了奇函數的定義，屬于中檔題.

【變式2-1】3.(2018?重慶?高一重慶南開中學校考期中)已知函數對任意的實數x,y都滿足“x+y)+

/(x-y)=2/(x)f(y)且f(1)=|,則”2)+/(-2)的值為

【答案】-1

【分析】可令x=y=0,計算可得f(0)=1,再令x=y=1,求得f(2);令x=0,y=l,求得f(-1),

再令x=y=-1,求得f(-2),即可得到所求和.

【詳解】對任意的實數x,y都滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(1)=]

令x=y=0,可得f(0)+f(0)=2f(0)f(0),

可得f(0)=0或f(0)=1,

若f(0)=0,可令y=0,則f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0,即f(x)=0,這與f(l)=濟盾,

則f(0)=0不成立，則f(0)=1,

令x=y=l,可得f(2)+f(0)=2f(l)f(l),

可得f(2)=2xi-l=-|,

令x=0,y=l可得f(l)+f(-1)=2f(0)f(l),

即有f(-1)=2xlx|-|=|,

令x=y=-1可得f(-2)+f(0)=2f(-l)f(-1),

即有f(-2)=2xi-l=-i

則f(2)+f(-2)=-1.

故答案為-1.

【點睛】本題考查抽象函數的函數值的求法，注意運用賦值法，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔

題.

【變式2-1】4(2020?高一課時練習股偶函數f(x)滿足:/(1)=2且當時孫豐0時/(尸了)=韶頭,

八%)十7■(力

則/(一5)=

【答案】於

【解析】利用初始值和遞推關系，逐漸求得f(魚)，f(2),/(V5),/(V10),/(V20),最后求得f(5).再利

用偶函數的性質得出所求.

【詳解】解：/(a)=/(VPTP)=怒緇=1,

/⑵=心可+(司=^^=詈=1

正)=腎推嶗=1，

/(晌=f。同+(M)=磊篇=等*

4(時+(炳)=儒儡嚏=V，

f⑸=fQ(而+(佝)=腐牖喑/

?：f(x)是偶函數，

5)=/'⑸=卷

故答案為:可.

【點睛】本題考查利用抽象函數的解析式求函數值，涉及偶函數的性質，屬中高檔題，關鍵在于利用初始

值和遞推關系，逐漸遞推計算.

【變式2-1]5.(2020上?高一課時練習)已知定義在R上的函數/⑺，其值域也是R，并且對任意x,y&R,

都有f(xf(y))=%y,則|f(2017)|等于()

A.0B.1C.20172D.2017

【答案】D

【分析】由/■析(1)?/(a))=/(I)-a,/(/(a)"⑴)=/(a)-1得出f(a)=/(l)?a,令。=/(l)，結合題設

定義得出，(1)1=1,最后由，(a)|=|a|得出|"2017)|的值.

【詳解】對aeR,由已知得f(/(l)"(a))=/(l)-a

f(f(a)"(1))=/(a)-1,兩式比較，得f(a)=/(l)-a

令a=”1),得/(f(1))=/(l)"(1)?

又由題意可得TV⑴)=/(I-/(I))=1x1=1

于是/⑴"⑴=1,即，⑴1=1,

所以，(a)|=|a|,從而|f(2017)|=2017.

故選：D

【點睛】本題主要考查了求抽象函數的函數值，屬于中檔題.

【變式2-1】6.(2023上?山東濟寧?高一嘉祥縣第一中學校考階段練習股函數y=/(x)的定義域為(0,+8),

f(孫)=/(x)+f(y),若/(8)=6，則/'(&)等于()

A.-iB.1C.-D.i

224

【答案】B

【分析】設/(應)=a,表示出f(2))(4)J(8),結合已知，即可得出答案.

【詳解】設f(應)=a,

由已知可得，八2)=/(V2-VI)=2/(V2)-2a,

f(4)=f(22)=2/(2)=4a,

所以/1(8)=f(2x4)=/⑵+f(4)=6a=6,

所以,a=1,§Pf(V2)=1.

故選:B.

【變式2-1]7.(2023上安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期中)已知函數fQ)滿足：/(%)豐0,且對任

意的非零實數久,y,都有fO+y)=G+3/(x)/(y)成立，/'(D=2.若/'(n)="九+1),neZ,則

n=

【答案】-2

【分析】結合抽象函數的關系，應用賦值法令％=l,y=n得f(l+n)-(1+3/(l)/(n)=『x2/(n),

再與f(n)=/(n+l),neZ,聯立即可求解.

【詳解】由題意可得，/(I+n)=(l+i)/(l)/(n)=等x2/6),

又f(n)=f(n+l),f(x)豐0,所以fx2=1,而neZ,可得?i=-2.

故答案為：-2

題型3抽象函數解不等式

【方法總結】

簡單概括為f的"穿"、"脫”問題。將函數符號加上即為"穿"、將函數符號去掉即為"脫"，

根據函數值相等…-先"穿"，根

據函數的單調性--后"脫、

【例題3］(2023上?湖南?高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習)已知定義在R上的函數f(x)在［0,+8)

上是增函數，且對任意的x,y,都有f(xy)=/(x)/(y),若八-1)=1,則/(乃<1的解集為.

【答案】(-1,1)

【分析】利用賦值法可得/(比)是偶函數，然后根據單調性和定義域列不等式，解不等式即可.

【詳解】令y=-1,則/■(一%)=/(%),所以/1(%)是偶函數,

則/⑺=/(1%1),/(I)=/(-I)=1,

又定義在R上的函數f(x)在［0,+8)上是增函數，

由"x)<1,得/(|久|)</(I),則|x|<1,解得—1<%<1,

故f(x)<1的解集為(T1).

故答案為：(-1,1).

【變式3-1]1.(2023?重慶統考一模)已知定義域為(0,+8)的減函數/⑺滿足f(盯)=f(x)+/(y),且

/(2)=—1,則不等式/(%+2)+f(x+4)>—3的解集為

【答案】(-2,0)

【分析】根據題意可得-3=/(8),/(x+2)+/(%+4)=/(/+6X+8),進而將原不等式轉換為不等式

組，解之即可.

【詳解】由題意知，

-3=3/(2)=/(8),f(x+2)+f(x+4)=f(x2+6%+8),

/(X2+6x+8)>/(8)

y(x+2)+/(x+4)>-3X+2>0

.x+4>0

=卜2+6%+8<8=_2<%<0

Ix>-2

故答案為：(—2,0).

【變式3-1]2.(2022上?河北唐山?高一灤南縣第一中學校考期中)定義在(0,+8)上的f(x)同時滿足以下

三個條件:①外2)=2；②f(%)為單調函數；③對任意的￡(0,+8),總有f(盯)=f(x)+f(y)-1,則

關于X的不等式f(乃>3的解的集合是

【答案】{x|x>4}

【分析】將x=2,y=2代入/Oy)=/(%)+/(y)-1可得/'(4)=3，結合題意可得/'(%)為(0,+8)上的單調

增函數，然后列不等式即可

【詳解】將x=2,y=2代入f(xy)=/(%)+f(y)-1可得/(4)=2f(2)-1=3,

因為"4)>f(2),且f(x)為單調函數，

所以/0)為(0,+8)上的單調增函數，

所以由/'(X)>3=f(4)可得x>4,

所以尤的不等式f(x)>3的解的集合是{"x>4},

故答案為：｛XIX>4)

【變式3-1]3.(2023上?安徽?高一校聯考期中)已知/(?是定義在R上的減函數，且對于任意乂yeR,

總有f(久)+/(y)=/(%+y)+2,若使f(/一ax)+/(%-a)>4成立的解集中恰有兩個整數，則實數a的

取值范圍為

【答案】[-4,-3)U(1,2]

【分析】抽象函數求出單調性，再利用已知條件，求出a取值范圍

【詳解】令g(x)=f(x)-2,510/(x)=g(x)+2,

又寸任意的x、yeR,有/(x)+/(y)=/(x+y)+2,貝!lg(x)+g(y)=g(x+y).

令y=0,得g(x)+g(0)=g(x),得g(0)=0,

令y=-x時，則g(X)+g(—x)=g(0)=0,即g(—x)=—g(x),

y(x)是定義在R上的減函數，;g(x)在R上單調遞減.

已知對于任意的實數x，恒有-ax)+/(x-a)>4,

整理得：f(x2—ax')-2>—f(x-a)+2,

即一ax)>g(a-x),由于g(x)是減函數,

x2—ax<a—x,BP%2+(1—a)x—a<0.

當a=-1時，不等式/+(i_砌比一a<。的解集為0,不滿足題意，舍去；

當a>-1時,不等式/+(1-a)x-a<0的解集為｛x|-1<久<a｝；

若使得解集中恰有兩個整數，即兩個整數只能為0,1,貝111<aW2.

當a<-1時，不等式/+(1-a)x-a<0的解集為｛x[a<%<-1].

若使得解集中恰有兩個整數，即兩個整數只能為-2,-3,則-4<a<-3.

綜上所述，實數a的取值范圍為：[-4,-3)U(1,2].

故答案為：[—4,—3)U(1,2]

【變式3-1J4.（2021上?四川?高一四川省峨眉第二中學校校考階段練習）設人支）為定義在R上的增函數,

且/(X)豐0,對任意%1，尤26R都有+%2)=/(%1)/(%2)-

(1)求證：/(%)>0；

(2)求證：/(%1-X2)/(^2)=/(X1)；

(3)若f(l)=3,解不等式f(4x)>9/(%).

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3){久卜>|}.

【分析】(1)令/=冷=氨導汽X)=/g)/g)-f2(0,即證；

(2)根據X1=(%I-%2)+x2,應用抽象函數性質即可證明；

(3)由題得f(2)=9,可得f(4x)>/(%+2),再利用函數單調性可得.

【詳解】(1)令久1=乂2=：

???f⑺=f0+g=fO0=產(|)

1?1fM*o豐o

???/(x)>0.

(2),"Qi+%2)=fODf3)

?"3)=f(,Xl+x2-x2)=/Ul-X2+x2)=/Ul-%2)f(%2)，

即—x2)f(x2)=即X。.

(3)Vf(l)=3,/■(%!+X2)=

"⑵=9,

-fC4x)>9f8=/(2)/(x)=f(x+2),

????x)為定義在R上的增函數，

2

4%>%+2即%>-

..不等式的解集為{比卜>|}.

【變式3-1】512021上?寧夏中衛?高一中衛一中校考階段練習定義在R上的函數f(行,當x>0時人久)>1,

且對任意的x,yGR,有/'(%+y)=f(x)-f(y),/(I)=2.

(1)求f(0)的值；

(2)求證：對任意久GR,都有>0;

(3)解不等式f(4一2%)>4.

【答案】(1)1；(2)證明見解析；(3)(-8,1).

【分析】(1)令％=1,y=0,結合/⑴=2即可求解；

(2)分別討論x>0、x=0、x<。時/'(%)的范圍即可求證；

(3)先令x=y=1可得八2)=4,再利用單調性的定義證明/(“)在R上單調遞增，利用單調性去掉f解不等

式即可求解.

【詳解】(1)令％=1,y=0,得/■⑴=/(1)-/(0),

因為/(1)=2,所以2=2"(0),可得外0)=1；

(2)當x>0時,/(x)>1>0,

當x=。時，/(0)=1,

當x<0時，一久>0,所以<(T)>1,因為f(0)=/(x-x)=f(x)-f(-x)=1,

所以/'(%)=萬片e(0,1),

J\-Xj

綜上所述：對任意無eR,都有f0)>0;

(3)令x=y=1,得"2)=/(1)-/(1)=2x2=4,

任取％1，刀2eR,且尤1<%2，則刀2-的>0，所以/'(%2-Xt)>1,

所以/'(不)=久2一久1+Xj)=f(X2-Xl)*/(%1)>所的),

所以/(%)在R上單調遞增，

由f(4-2%)>4可得/(4-2%)>/(2),

可得：4-2x>2,解得：%<1,

所以原不等式的解集為(-8,1).

題型4抽象函數求解析式

【例題4】2021上?江蘇南京?高一南京外國語學校校考期中匿函數“X)滿足6R,f(xy)=,

寫出一個符合要求的解析式f(x)=

【答案】x(答案不唯一)

【分析】由/'(%)滿足v久,yeR,f(xy)=f(x)f(y)求解.

【詳解】因為函婁好(久)滿足eR,/(xy)=/(x)/(y),

所以f(x)=X,

故答案為：x,答案不唯一

【變式4-1]1.(2022上?江蘇蘇州?高一南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習)請寫出一個滿足

/(孫)=/(x)+/(y)的增函數/'(%)=.

【答案】1g%(答案不唯一).

【分析】根據已知條件可結合對數函數的性質得答案.

【詳解】由題意可知函數f(乃=1g久滿足條件，

證明：因為f(%y)=1goy)=Igx+Igy=/(x)+/(y),

所以滿足/'(xy)=/(%)+/(y),

函數f(x)=Igx在(0,+8)上為增函數，

所以f(久)=Igx符合條件，

故答案為：Igx(答案不唯一).

【變式4-1]2.(2023上?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實驗中學校考階段練習)Vx>0,Vy>OJ(xy)=

f(x)+f(y),當0cx<<o；x>l,/(x)>0,則/(x)=

【答案】Iog2x(答案不唯一)

【分析】根據對數函數的性質寫出一個滿足要求的函數即可.

【詳解】對于/'(%)=logax(a>1)且定義域為(0,+8),

則/。y)=loga(xy)=logax+logay=f[x)+/(y),X、y為正數,

滿足0<x<l,/(x)<0,%>l,/(x)>0,顯然/'?=log2%滿足條件.

故答案為：10g2%(答案不唯一)

【變式4-l】3.(2021上?全國?高三校聯考階段練習塔定義在R上的函數f(x)滿足①對于任意的心yeR,

都有f(xy)=;②“久)為奇函數.則函數f(x)的一個解析式可以是

【答案】f(X)=-X

【分析】根據給定條件及-/(X)的運算特征，再結合f(x)為奇函數寫出一個解析式,然后驗證即得.

【詳解】依題意，令/'(X)=-x,顯然/■(%)定義域為R,

任意的X,yGR,f(xy)=-xy=,

又fD=-(-x)=x=-/(x),即/'(%)是奇函數,

因此，函數/■(x)=-x同時滿足①和②，

所以函數f(x)的一個解析式可以是：/(%)=-%.

故答案為：/(X)=-X

【變式4-1】4.(2021?江蘇南通統考模擬預測)已知f(久)在(0,+8)上是減函數，且f(x)+f(y)=f(孫)+1

對任意的xG(0,+8)都成立，寫出一個滿足以上特征的函數/(乃=

【答案】1一Iog3%(答案不唯一)

【分析】由/(%)+/(y)變形到外孫)可考慮對數函數，然后根據單調性以及"1"可考慮構造對數型函數y=

1-logax(0<a<1).

【詳解】由題意可知，“X)+/(y)可變化為f(xy)的形式，由此可想到對數函數,

又因為f(X)在(0,+8)上是減函數且/■(%)+f(y)=/(xy)+1,

所以滿足條件的一個函數可取/(x)=l-log3x,

故答案為：/(%)=1-10g3》(答案不唯一).

【變式4-1]5.(多選)(2023上?浙江?高一校聯考期中)已知函數f(%)定義域為R，且〃久)=%3/(￡)(xe

(-00,0)U(0,+oo)),f(x)+f(y)+xy=f(x+y),則下列說法正確的是()

A./(0)=0B./(3)=3

C./(x)-f(—x)=%D.f(x)=?

【答案】AC

【分析】根據條件，令x=y=0,可得/'(0)=0,A正確；再令y=-x,可得/'(久)+/(-%)=/,據此變

形/'0)=爐/(§),可得/'(無)-/(一刀)=%，故C正確；此時可解出/'(X)=三(xeR),求得/'(3)=6,故

BD錯誤.

【詳解】對于A,/(x)+f(y)+xy=+y)中令x=y=0,

則f(0)=0,A正確；

對于BCD,再令y=-x,則/(x)+f(-x)-x2=/(0)=0,

即/'(x)+f(-x)=%?①

所以/'(%)=/fG)=/度-/■(-*]=x-x3f(-^)=x+f(-x)

即f(x)-/(-X)=x(x*0)②,

又因為/(O)=0也符合上式，C正確；

聯立①②，解得/(x)=y(xeR),D錯誤

/(3)=6,B錯誤.

故選：AC.

【變式4-1]6.（2023?全國?高三專題練習）設/⑺是定義在實數集R上的函數，且對任意實數x,y滿足

f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1恒成立.

⑴求f(0),/■⑴；

⑵求函數f(x)的解析式；

(3)若方程丹/(2幻]=k恰有兩個實數根在(-2,2)內，求實數k的取值范圍.

【答案】(1)/(0)=1)⑴=|

(2)/(%)=-|x2+l

(3)(-君u{l}

【分析】(1)利用賦值法計算即可；

(2)令、=x,化簡即可;

(3)結合(2)得(2x)]=-2x4+2%2+|,利用導數研究函數的單調性與極最值及函數的奇偶性，數

形結合求范圍即可.

【詳解】(1)令％=y=0,得f(0)=/(0)+/(0)-1a/(0)=1,

令x=y=1,得〃0)=/⑴+/⑴+1-1,即1=2/(1),即/"⑴=|.

(2)令y=x，得f(0)=/(x)+/(%)+x2-1,

222

即1=2/(%)+%—1z貝(]2/(%)=—X+20/(x)=—|%+1.

(3)-//(%)=-j%2+1.

/./(2x)=-2x24-1,

42

=-2x+2x+1z

令g(%)=-2x4+2x2+1=>g'(x)——8x3+4%=—4x(%—(%+,

令g'(%)=0=>%=。或；r='或％=-y,

“⑴在(-2,-?),(0與上單調遞增，在(_今0)右,2)上單調遞減，

二當無=。時g(x)取得極小值g(0)=|,

當％=土產時g(x)取得極大值g(±y)=1,g(±2)=-y,

易知g(x)為偶函數,

當k=1時，-2x。+2x2+?=；=>*=士日滿足條件，

???方程f[/(2x)]=k恰有兩個實數根在(-2,2)內，

?■?fee(-?)1]-

綜上所述:k的取值范圍為ke(-y,|]U{1}.

【變式4-1]7.(2022上?江蘇淮安?高一江蘇省洪澤中學校聯考期中)某問題的題干如下："已知定義在R

上的函數f(%)滿足:①對任意x、yeR，均有2/(久y)=f(%)■/(y)；②當x>0時,/(x)>0；③f(2)=16."

某同學提出一種解題思路，構造f(x)=a?/色40),使其滿足題干所給條件.請按此同學的思路，解決以

下問題.

(1)求f(x)的解析式；

2

(2)若方程/(?=朕恰有3個實數根，求實數m的取值范圍.

【答案】⑴/⑺=2x3；

⑵(-2,0)U(0,+8).

【分析】(1)利用待定系數法進行求解即可；

(2)根據一元二次方程根的判別式進行求解即可.

【詳解】(1)因為/'(x)=a?”，a40,

代入①得，2a-(xy)b=a-xb-a-yb,

所以2a=a2,

故a=2,

又由③得，2?2萬=16,

所以b=3；

因此/1(x)=2x3,

經檢驗，/(x)=2%3,%eR,滿足題干所給條件，

所以/'(%)=2x3；

(2)因為方程2/=^^恰有3個實數根，

顯然0為其一個實數根，

所以方程2X=與恰有2個非0實數根，

X—Z

即方程2/-4x-爪=。恰有2個實數根，且兩根非0,2,

由4>0可得，TH>—2,

又由0,2均不是此方程的根，

則m豐0,

所以，m的取值范圍為(一2,0)u(0,+8).

題型5抽象函數的值域

【例題5](2019上?河南?高一校聯考階段練習)定義在R上的函數八%)對一切實數x、y都滿足f(%)中0,

且f(久+y)=f(K)"(y),已知f(x)在(0,+8)上的值域為(0,1),則f(久)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,+oo)D.(0,1)u(1,+8)

【答案】C

【分析】令久=y=0,可得/(0)=/(0)-/(0)/(0)=1,再令y=-x,可得/(0)=/(%)-/(-%)=1,得

到久支)在(-8,0)上的值域為(L+8),即得解.

【詳解】因為定義在R上的函數/(X)對一切實數X、y都滿足f(x)*0,且/(X+y)=,

令x=y=0,可得f(0)=/(0)/(0)f(0)=1,

再令y=-%,可得/"(0)=/(x)-/(-x)=1,

又〃久)在(0,+8)上的值域為(0,1),因此/(%)在(-8,0)上的值域為(1,+8)

則f(X)在R上的值域是(0,+8).

故選：c

【點睛】本題考查了抽象函數的值域問題，考查了學生綜合分析，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于較

難題.

【變式5-1］1.(2019上?河北保定?高一統考期中)已知函數/(%)對于任意實數"GR總有/⑶+/(y)=

f(x+y),當x>。時/(*)<0,/(I)=-|.

Q)求/⑺在［-3,3］上的最大值和最小值

(2)若f(X)+/(%-2)<4有成立，求x的取值范圍.

【答案】(1)/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分別為2和-2(2)［-2,+8)

【分析】⑴先判斷函數/(久)在R上是減函數可知f(x)在［-3,3］上也是減函數，易求f(3)=-2，從而可求得

/(無)在［-3,3］上的最大值和最小值；

(2)由f(-3)=2可得/(-6)=4,再由f(x)+/(y)=f(x+y)可得f(x)+/(%-2)=/(x2-2x),利用函數的

單調性的定義可解得求久的取值范圍.

【詳解】解：(1)任取%1，刀2eR且久1<刀2,則%2—久1>0，

由X>。時,/(%)<-%1)<0,

由f(%)+/(y)=+y),

得/(>2)=/[(%2-^1)+Xl]=/(X2-%i)+f(%1)<

所以/'(%)在(-8,+8)上是減函數；

2

令久=y=1可得02)=/(1)+/(1)=2/⑴=-5

令X=l,y=2可得/"(3)=/(1)+/(2)=-2,

令x=y=0得f(0)+f(0)="0),解得/(0)=0,

令X=-3,y=3可得"-3)+f(3)=f(0)=0,：./(—3)=2

由單調性可得f。)在［-3,3］上的最大值和最小值分別為2和-2.

(2)令x=y=-3可得/(—6)=/(—3)+/(—3)=4,

/(%)+f(x-2)<4等價于f(2x-2)<f(一6),

由函數的單調性可得2x-2>-6,解得x>-2.

即%的取值范圍是［-2,+8)

【點睛】本題考查抽象函數及其應用，突出考查函數的奇偶性、單調性與最值的綜合應用，考查轉化思想與方

程思想的綜合應用,屬于中檔題.

【變式5-1］2.(2021?高一單元測試)函數〃久)的定義域為(0,+8),且對任意x>0,y>0都有f6)=

f⑸-f(y)+1,且f(2)=2,當x>1時,有〃久)>1.

(1)求/⑴，/⑷的值；

(2)判斷f(x)的單調性并加以證明；

(3)求f(%)在［1,16］上的值域.

【答案】(1)f⑴=1,"4)=3；(2)f(x)在(0,+8)上為增函數，證明見解析；(3)［1,5］.

【分析】(1)可令x=y=1解得/⑴，再令％=4,y=2可得f(4);

(2)函數f⑺在(0,+8)上為增函數，可令0<%!<%2,運用條件和單調性的定義，即可得證；

(3)運用函數的單調性和賦值法，即可得到所求值域.

【詳解】(1)可令X=y=1時，/(1)=/(1)-/(1)+1=1;

令x=4,y=2可得f(2)=f(4)-f(2)+1,即f(4)=3；

(2)函婁妤(x)在(0,+8)上為增函數.

證明：當%>1時,有/(%)>1,

可令0<<x2,即有三>1,則f(三)=/(x2)-可/)+1>1,

X1X1

可得/'(犯)>/(Xl)，

則/(X)在(0,+8)上遞增；

(3)由/㈤在(0,+00)上為增函數，可得〃尤)在［1,16］遞增，

可得f(l)=1為最小值，/'(16)為最大值，

由f(4)=f(16)-f(4)+1,可得f(16)=2/(4)-1=5,

則/(%)的值域為口5］.

【變式5-1］3.(2023上?廣東東莞?高一校考期中)已知函婁好。)，對于任意的居yeR,都有fQ+y)=

f(x)+/(y),當%>0時,/(%)<0,且/⑴=-1.

Q)求/(0),f(3)的值；

(2)當-8<%<10時，求函數〃久)的最大值和最小值；

(3)設函數g(x)=/(x2-m)-2/(|x|),若方程g。)=0有4個不同的解，求m的取值范圍.

【答案】(l)f(0)=0；f(3)=-1

(2)/(x)的最大值為4,最小值為-5

⑶(TO)

【分析】(1)根據題意，結合特殊值，進行合理賦值，即可求解；

(2)根據題意，結合函數單調性的定義和判定方法，求得函數/0)是R上的減函數，得到“X)在［-8,10］上

單調遞減，進而求得函數的最值;

(3阱艮據題意彳導到函數g(x)為奇函數，求得g(x)=f(x2-2\x\-tri)，令g(x)=0得到/'(相-2|%|-m)=

0=/(O),轉化為/一2|x|-m=0,令h(久)=x2-2\x\,結合二次函數的圖象與性質，即可求解.

【詳解】(1)解：因為"x+y)=f(x)+f(y),

令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,

令x=y=1,可得/(2)=2/⑴=-1,

令％=2,y=1,可得f(3)=/(2)+/(I)=-|.

(2)解：任取比i，乂2eR,且久i<x2,x2-x1>0,

因為/'(X+y)-/(x)=/(y),BP/(x+y)-f(x)=f[(x+y)-%]=f(y),

令%2=X+y,Xi=X，貝Uy=%2-Xi,可得f(%2)-/(X1)=f(x2~%1),

又因為X>。時,f(x)<0,且久2-%1>o,所以/'(刀2-xj<0,

所以/'(>2)-/。1)<0,即/(%2)</(X1),所以函數fO)是R上的減函數，

所以/(X)在[-8,10]上單調遞減，所以f(x)max=/(-8),“x)min=/(10),

又因為f(10)=2/(5)=2[f(2)+/(3)]=2(-1-|)=-5,

由f(0)=/(I-1)=/(l)+/(-l)=0,可得f(-1)=i,

所以f(—8)=2/(-4)=4/(-2)=8/(-1)=8x^=4,

所以，當-8W久W10時，f(x)的最大值為4,最小值為-5.

(3)解：令y=-x,代入/'(x+y)=/(%)+/(y),可得f(x)+/(-%)=/(0)=0,

所以f(-久)=-/(%),可得函數”無)為奇函數，

可得一“㈤)=/(—㈤)，BP-2/(|x|)=2/(-|x|)

所以所x)=所%2-m)-2f(|x|)=f(x2-in)+2f(-|x|)=/(x2-m)+/(-|x|)+=f(x2-

2\x\-m),

令g(%)=0,即f(——2\x\—m)=0=f(0),

因為函數/(%)是R上的減函數，所以%2-2\x\-m=0,即血=%2-2\x\,

令八(%)=X2-2|x|=『2二，

則函數八0)的圖象，如圖所示，

結合圖象，可得：當巾e(-1,0)時，函數g(x)有4個零點，

即實數小的取值范圍為(-1,0).

【變式5-1】4.(2018上?河北保定?高一校聯考期中)已知函數f(久)的定義域為(0,+8)且對一切%>0,

y>0者隋"孫)=f(x)+f(y),當久>1時,有f(%)>0.

(1)判斷f(x)的單調性并加以證明；

(2)若〃4)=2,求f(%)在[1,8]上的值域.

【答案】(1)見解析；(2)[0,3]

【分析】(1)/co在ro,+8)上為單調遞增函數.利用增函數的定義證明結論即可.

(2)由題意結合函數的單調性和函數的定義域確定函數的值域即可.

【詳解】(1)/(X)在4,+8J上為單調遞增函數.

證明如下:任取<%26(0,+00),

貝好3)-心=/(%!?資)一/(%!)=/(%!)+70-/(%1)=,

人］4141

又因為當％>1時，有/(X)>0,而無1<Xe(0,+oo),所以①>1,

2X1

所以f02)-f01)=fe>0,所以f(%2)>,

所以在(0,+8J上為單調遞增函數；

(2)令X=y=1代入“盯)=/(%)+/(y)得f(1)=/(I)+/⑴所以/⑴=0,

令久=y=2代入f(xy)=/(%)+f(y)得f(4)=f(2)+f(2)=2所以f(2)=1,

令X=2,y=4代入f(xy)=f(x)+f(y)得f(8)=f(2)+f(4)=3,

又由(1)知f(x)在［1,8］上為單調遞增函數，所以f(x)在［1,8］的值域為［0,3］.

【點睛】抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數.由于抽

象函數表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一抽象性較強，靈活性大，解抽象函數重要

的一點要抓住函數中的某些性質，通過局部性質或圖象的局部特征，利用常規數學思想方法(如化歸法、

數形結合法等)，這樣就能突破"抽象"帶來的困難，做到胸有成竹.另外還要通過對題目的特征進行觀察、

分析、類比和聯想，尋找具體的函數模型，再由具體函數模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函數問題

的方法

題型6抽象函數的單調性

【方法總結】

在證明抽象函數的單調性時的方法時需要構造的數量關系是久2然后靈活運用題

X1

目的法則進行求解證明是關鍵，在證明過程中題目中的每一句都要進行靈活運用，類似單

調性定義證法作差，化簡，定號.本題有難度，需要在平常學習過程中多積累，多思考，

多運用方法解題.

【例題6］(2022上福建廈門?高一廈門一中校考期中淀義在區間(-1,1)上的函數/(久)滿足:/(%)-/(y)=

奇),x6(—1,0)時/⑺<0,若a=/停)+f0,b=/?),c="0),則。=,三個實數

a,b,c最大的為

【答案】0b

【分析】令X=y=0,可求出C=/(0)=0,

設一1<x<y<l，推導出一1(戶<0，結合xe(一1,0)時，f(x)<0，得到f(x)—f(y)=f(戶)<0,

i—xy\L-xy/

從而f(x)在(-1,1)上單調遞增,取y=最奇=］貝卜=|,由0<|<，

結合函數的單調性得到"0)</(|)</(|),求出b最大.

【詳解】令x=y=0得：/(0)-/(0)=/(0),解得：/(0)=0,故c=0,

設％<y,且滿足一1<%VyV1,貝！］(X+l)(y-l)=xy-x+y-l<0,

所以一(1-xy)<x-y,因為1一%y>0,所以一1V，

±—xy

因為％—y<0,所以：-<。，綜上：—1<y<0,

l-xy1-xy

因為%e(-1,0)時,f(x)<0,故/(奇)<0,

即f(x)-f(y)=f(急)<o，〃x)<〃y)，

故函數/(%)在(-1,1)上單調遞增，

因為〃%)=/(奇)+/(y),

因為。<|<|,

所以"0)</(1)</(1),SPc<a<b,三個實數a,b,C最大的為b.

故答案為：0；b.

【點睛】抽象函數單調性求解或證明，通常使用賦值法，結合函數特點，對X,y賦值，結合函數定義法證明

出函數的單調性，證明本題難點有兩個，一個是設出-1<X<y<1,推導出-1(戶<0,從而證明出

i-xy

函數”X)在(-1,1)上單調遞增，另一個是如何處理a=/?)+/(I).

【變式6-1]1.(2023上?北京?高一北京市十一學校校考期末)已知函婁好(無)的定義域為(0,+8),滿足對

任意居y6(0,+oo),都有f(盯)=/(X)?f(y)-f(x)_f(y)+2,且％>1時，/(%)>2.則下列說法正確的

是

①f(l)=2；②Hl)=1;③當Xe(0,1)時，〃x)<2；④〃久)在(1,+8)上是減函數;⑤存在實數k使得函

數y=l/(x)+幻在(0,1)上是減函數.

【答案】①③⑤

【分